Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán về Poset Tôpô trên một tập cố định

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

86
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán về Poset Tôpô trên một tập cố định nêu khái niệm Poset, dàn và nhắc lại một số kiến thức về Tôpô đại cương; dàn của các Tôpô T, Poset của các Tôpô T và một số nội dung khác. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán về Poset Tôpô trên một tập cố định

THƯ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------------- Trần Thanh Phong MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ POSET TÔPÔ TRÊN MỘT TẬP CỐ ĐỊNH Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2010
LỜI CÁM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - người đã từng bước hướng dẫn tác giả phương pháp nghiên cứu đề tài cùng những kinh nghiệm thực hiện đề tài, cung cấp nhiều tài liệu và truyền đạt những kiến thức quí báu trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Chân thành cám ơn quý thầy trong tổ Hình học, khoa Toán – Tin trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong suốt quá trình học cao học. Chân thành cám ơn quý thầy cô phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thực hiện luận văn này. Trong quá trình thực hiện luận văn, tác giả đã vài lần liên lạc với các nhà toán học nước ngoài, đặc biệt là giáo sư Offia T. Alas đã tận tình giải đáp các vấn đề liên quan. Xin chân thành cám ơn giáo sư. Chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu cùng các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Văn Trỗi Tỉnh Tây Ninh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học cao học. Xin chân thành cảm ơn những người thân trong gia đình luôn động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Sau cùng chân thành cám ơn các bạn cùng lớp với những trao đổi góp ý và động viên tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn. TP. HCM tháng 8 năm 2010 Tác giả Trần Thanh Phong
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Vào năm 1936, Garnett Birkhoff đưa ra ý kiến cho rằng việc nghiên cứu tôpô là so sánh hai tôpô khác nhau trên cùng một tập. Trong công trình của mình: “G. Birkhoff, On the combination of topologies, Fund. Math. 26 (1936) 156-166”, Birkhoff mô tả rõ ràng sự so sánh này bằng cách sắp xếp họ tất cả các tôpô trên một tập hợp cho trước và nhìn vào kết quả được hình thành được gọi là dàn. Về bản chất, đây là sự so sánh hai tôpô, nghĩa là nếu  và   là hai tôpô trên cùng một tập hợp cho trước thì  thô hơn hoặc bằng với   nếu  là một tập con của   . Đối với hai tôpô bất kì  và   trên tập hợp, có một tôpô     (kí hiệu chính xác hơn là     ) gọi tôpô lớn nhất được chứa trong hai tôpô  và   , có một tôpô     gọi là tôpô bé nhất chứa cả hai tôpô  và   . Dàn này có phần tử lớn nhất là tôpô rời rạc và phần tử nhỏ nhất là tôpô thô (tôpô chí có tập rỗng và chính tập hợp đang xét). Dàn của tất cả các tôpô trên một tập được gọi là dàn đầy đủ, tức là có một tôpô lớn nhất được chứa trong mỗi phần tử của một họ các tôpô và có một tôpô nhỏ nhất chứa mỗi phần tử của họ các tôpô. Các bài toán về dàn các tôpô được nhiều nhà Toán học quan tâm vào những năm 60 của thế kỉ trước. Chẳng hạn như công trình của N.Smythe và C.A. Wilkins về các không gian Hausdorff cực tiểu và compact cực đại (1963); công trình của Anne K. Stiener về phần bù trong các dàn tôpô T1 , cấu trúc và phần bù trên dàn các tôpô (1966); công trình của A. R. Padmanabhan và B.V. Rao về Idean trên dàn các tôpô (1969)…Đặc biệt là vào năm 1967, Garnett Birkhoff đã cho xuất bản quyển sách “lý thuyết dàn”. Đến năm 1975, Roland E. Larson và Suan J. Andima đã khảo sát và tổng hợp đầy đủ về dàn của các tôpô. Do đó, công trình này được nhiều nhà toán học quan tâm, nó dùng làm tài liệu tra cứu rất hữu ích trong quá trình nghiên cứu dàn của các tôpô. Trong quá trình nghiên cứu về dàn các tôpô, ta thấy có khái niệm về poset (partially ordered set) của các tôpô. Và gần đây đã có nhiều công trình nghiên cứu về poset của các tôpô. Ví như D.W. McIntyre và W.S. Watson (2004) quan tâm đến các khoảng vô hạn trong poset của các tôpô có số chiều 0, các tôpô Tychonoff, các tôpô chính quy; Offlia T. Alas và
Richard G.Wilson (2004) quan tâm về tôpô dưới và tôpô trên trong dàn của các tôpô T1 . Nathan Carlson (2007) quan tâm về tôpô dưới và tôpô trên của poset của các tôpô T2 . Bài toán về poset tôpô được nhiều nhà toán học quan tâm và còn rất nhiều bài toán mở. Nghiên cứu các bài toán về poset tôpô là vấn đề mang tính thời sự. Đề tài nghiên cứu của chúng tôi đặc biệt quan đến vấn đề này với tên đề tài là “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ POSET TÔPÔ TRÊN MỘT TẬP CỐ ĐỊNH” nhằm nghiên cứu một số vấn đề được quan tâm trong thời gian gần đây. 2. Mục đích Nghiên cứu poset của tôpô Hausdorff ( T2 ) trên một tập cố định. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các bài toán về tôpô dưới và tôpô trên trong các poset của các tôpô T2 . Tìm các ví dụ cụ thể đối với các tôpô dưới và tôpô trên. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn Nghiên cứu và trình bày chứng minh một số bài toán về tôpô dưới và tôpô trên góp phần hoàn thiện các tính chất trong poset của tôpô T2 , dàn của các tôpô T1 , dàn của các tôpô. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của bản luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương và phần kết luận. Phần chính của luận văn được tập trung ở chương 2, 3. Cụ thể: Phần mở đầu: Giới thiệu khái quát về đề tài. Chương 1: Nêu khái niệm poset, dàn và nhắc lại một số kiến thức về tôpô đại cương. Chương 2: Nêu dàn của các tôpô T1 , nêu poset của các tôpô T2 , trình bày mở đầu về tôpô dưới và tôpô trên trong  2 (X ) . Chương 3: Trình bày kiến thức: một tôpô không cực tiểu trong  2 ( X ) thuộc CH không phải là tôpô trên và cho các ví dụ về tôpô trên. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và các vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu sau đề tài.
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, luận văn trình bày lại các kiến thức tôpô đại cương có liên quan đến các chương sau và mở đầu về khái niệm dàn trên tập hợp. Ở đây, các định lí, các hệ quả, các bổ đề và các kết quả chỉ phát biểu chứ không chứng minh. Chúng được dùng làm cơ sở lý thuyết phục vụ đề tài. 1.1. Một số kiến thức về lý thuyết tập hợp 1.1.1. Tập hợp được sắp 1.1.1.1. Thứ tự bộ phận và tập được sắp bộ phận (poset) Quan hệ R trên tập hợp X được gọi là một thứ tự bộ phận nếu thỏa các tính chất sau: (i) Phản xạ: xRx, x  X , (ii) Phản đối xứng: Nếu xRy vaø yRx thì x  y, x , y  X , (iii) Bắc cầu: Nếu xRy vaø yRz thì xRz, x , y, z  X . Tập hợp X cùng với một thứ tự bộ phận R được gọi là một tập hợp được sắp bộ phận (viết tắt là poset) và được ký hiệu (X, R). Thứ tự bộ phận thường được ký hiệu là  và poset được ký hiệu là  X ,   . 1.1.1.2. Phần tử cực tiểu, cực đại Cho poset  X ,   , phần tử a  X được gọi là phần tử cực tiểu nếu trong X không có phần tử x nào sao cho x  a . Phần tử b  X được gọi là phần tử cực đại nếu trong X không có phần tử x nào sao cho b  x . Một poset có thể không có, có thể có một hoặc có nhiều phần tử cực tiểu hay cực đại. 1.1.1.3. Cận dưới, cận trên Cho poset  X ,   , A  X . Phần tử a  X được gọi là phần tử cận dưới của A nếu a  x với x  A . Phần tử b  X được gọi là phần tử cận trên của A nếu x  b với x  A . Nếu A có cận dưới thì A được gọi là bị chặn dưới. Nếu A có cận trên thì A được gọi là bị chặn trên. Nếu A bị chặn dưới và bị chặn trên thì A được gọi là bị chặn.
1.1.1.4. Phần tử bé nhất, lớn nhất Cho  X ,   là một poset và A  X . Phần tử a  a  A được gọi là phần tử bé nhất (phần tử đầu tiên) của A nếu a  A và a  x , x  A . Phần tử b  b  A  được gọi là phần tử lớn nhất (phần tử cuối cùng) của A nếu b  A và x  b , x  A . 1.1.1.5. Cận dưới lớn nhất, cận trên nhỏ nhất Cho poset  X ,   , giả sử A là tập hợp con của X và A có cận dưới. Nếu tập hợp các cận dưới của A có phần tử lớn nhất  thì  được gọi là cận dưới lớn nhất và kí hiệu là   inf A . Nếu A có cận trên và tập hợp các cận trên của A có phần tử bé nhất  thì  được gọi là cận trên bé nhất và ký hiệu   SupA . 1.1.1.6. Tập được sắp tốt: Tập được sắp bộ phận  X ,   được gọi là được sắp tốt nếu mọi tập hợp con không rỗng của X đều có phần tử bé nhất. Tập hợp các số tự nhiên với quan hệ  thông thường là một tập được sắp tốt. Dựa vào các tính chất đó của tập hợp các số tự nhiên người ta đã xây dựng một phương pháp chứng minh được sử dụng rộng rãi, đó là phương pháp quy nạp toán học (còn gọi là phương pháp quy nạp hữu hạn). Chúng ta có thể có một phương pháp tương tự bằng cách thay tập hợp các số tự nhiên bởi một tập hợp được sắp tốt bất kỳ. Phương pháp đó được gọi là phương pháp quy nạp siêu hạn. 1.1.2. Tiên đề chọn 1.1.2.1. Tiên đề chọn Giả sử  Ai  là một họ không rỗng các tập hợp không rỗng. Lúc đó tồn tại một ánh xạ iI f từ I vào  iI Ai sao cho f (i)  Ai . 1.1.2.2. Định lí ( Zermelo) Mọi tập hợp đều có thể được sắp tốt.
1.1.2.3. Định lí (Zorn) Giả sử ( X , ) là poset không rỗng sao cho mỗi tập hợp con được sắp tuyến tính của X đều có cận trên (cận dưới) trong X . Lúc đó X có phần tử cực đại (cực tiểu). 1.1.3. Lực lượng của tập hợp Cho các tập X và Y. Nếu tồn tại một đơn ánh f : X  Y thì ta viết X  Y ; nếu tồn tại một song ánh f : X  Y thì ta viết X  Y ; nếu tồn tại một đơn ánh f : X  Y nhưng không tồn tại một song ánh từ X lên Y thì ta viết X  Y . Ta gọi X là lực lượng của tập X. Hiển nhiên X  Y thì X  Y . 1.1.4. Tập đếm được Một tập X là tập đếm được nếu X   . Như vậy, X là tập đếm được nếu có một đơn ánh f : X   hoặc có một toàn ánh g : Y Mọi tập hữu hạn là đếm được. Ta kí hiệu X  n nếu X  1,2,..., n  0 Trong trường hợp này ta có thể hiểu X là số phần tử của X. 1.1.5. Tập có lực lượng continuum 1.1.5.1. Định nghĩa Một tập hợp vô hạn không tương đương tập hợp các số tự nhiên được gọi là tập hợp không đếm được. 1.1.5.2. Định lí Tập hợp các điểm trên [0,1] là không đếm được. 1.1.5.3. Định nghĩa Một tập hợp tương với tập hợp các điểm trên [0,1] là một tập hợp có lực lượng continuum. Kí hiệu: [0,1]  c
1.1.6. Giả thiết continuum Những tập hợp điểm không đếm được quan trọng trên đường thẳng, trong đó có bản thân đường thẳng đều là những tập hợp có lực lượng continuum. Một vấn đề tự nhiên được đặt ra là: trên đường thẳng tồn tại hay không những tập hợp không đếm được là tập hợp có lực lượng continuum, nói cách khác tồn tại hay không một tập hợp A sao cho  A Quá trình tìm câu trả lời cho câu hỏi đã dẫn đến giả thiết sau đây thường được gọi là giả thiết continuum: Không tồn tại một tập hợp A sao cho:  A Định lí Cantor: Giả sử X là một tập hợp bất kì. Lúc đó X  P( X ) 1.1.7. Mở đầu về dàn (Lattice) trên tập hợp 1.1.7.1. Dàn Một poset được gọi là dàn nếu hai phần tử bất kì trong tập hợp có một cận trên nhỏ nhất và có một cận dưới lớn nhất. Trong đó: Cận trên nhỏ nhất của a, b  a  b (cái hợp của a và b ) Cận dưới lớn nhất là a, b  a  b (cái giao của a và b ) Kí hiệu dàn với quan hệ thứ tự  là: ( L , ) 1.1.7.2. Ví dụ Xét poset (, ) ; ở đó  là số tự nhiên và  là quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng. Cho a, b   , ta có: Cận trên nhỏ nhất của a, b  a  b  Max (a, b) và Cận dưới lớn nhất là a, b  a  b  Min(a, b ) Do đó: (, ) là dàn. 1.1.7.3. Một số thuật ngữ và kí hiệu của dàn Dàn được gọi là đầy đủ nếu như bất kỳ tập con nào của nó cũng có một cận trên nhỏ nhất và có một cận dưới lớn.
( L , ) được gọi là dàn đối ngẫu của ( L , ) . ( A, ) được gọi là con của dàn ( L , ) nếu A  L và các cái hợp và cái giao hữu hạn được bảo toàn. ( A, ) được gọi là con đầy đủ của dàn ( L , ) cái hợp và cái giao bất kỳ được bảo toàn. Cách nói “ a phủ b” trong dàn ( L , ) hàm ý rằng b  a và b  c  a thì b  c hoặc c  a. Phần tử hay tập hợp nhỏ nhất của dàn được ký hiệu là O và phần tử hay tập hợp lớn nhất được ký hiệu là I. Một nguyên tử là một phần tử phủ phần tử nhỏ nhất. Dàn được gọi là nguyên tử nếu mọi phần tử ngoài O đều có thể được biểu diễn dưới dạng cái hợp của các nguyên tử. Phản nguyên tử là một phần tử được phủ trong I. Dàn được gọi là phản nguyên tử nếu mọi phần tử khác I đều có thể được biểu diễn dưới dạng cái giao của các phần tử phản nguyên tử. Phần tử a được gọi là phụ bù của b trong dàn nếu a  b  O và a  b  I . Dàn được gọi là được phụ bù nếu mọi phần tử đều có ít nhất một phần tử phụ bù của mình và được gọi là được phụ bù duy nhất nếu như mọi phần tử đều có một phần tử phụ bù. Dàn được gọi là phân phối nếu a  ( b  c )  (a  b )  (a  c ) và a  (b  c)  (a  b)  (a  c) , với mọi a, b, c trong dàn. Một dàn được gọi modular nếu a  c thì a  (b  c)  (a  b)  c . Một dàn được gọi là nữa-modular trên khi và chỉ khi với hai phần tử phân biệt a và b trong L sao cho a và b đều phủ c thì a  b phủ cả hai phần tử a và b . Một dàn được gọi là nữa modular dưới khi và chỉ khi với hai phần tử phân biệt a và b trong L sao cho a và b đều được phủ trong c thì a  b được phủ trong cả hai phần tử a và b . Nếu L là dàn nguyên tử đầy đủ với A là tập hợp các nguyên tử thì L được gọi là cao (tall) khi và chỉ khi với mọi P  A, ở đó  p   a aP ,  a a  A, a  p  B P  B  A, a, b  B vaøc  a  b thì c  B Một ánh xạ từ dàn L vào dàn K được gọi là đồng cấu dàn nếu nó bảo toàn hữu hạn cái giao và cái hợp. Ánh xạ nói trên được gọi là đồng cấu đầy đủ nếu nó bảo toàn cái hợp và cái giao bất kì. Một đẳng cấu dàn là một đồng cấu dàn 1-1. Một dàn ( L , ) được gọi là tự đối ngẫu nếu nó đẳng cấu dàn với ( L , ) .
1.2. Không gian mêtric 1.2.1. Không gian mêtric Cho X là một tập. Một hàm d : X 2   là một mêtric trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) d  x, y   0; d  x, y   0  x  y; (ii) d  x, y   d  y , x  ; (iii) d  x, z   d  x, y   d  y, z  , x, y, z  X . Không gian mêtric  X , d  là một tập X cùng với một mêtric d trên X. Nếu  X ,d  là một không gian mêtric thì mỗi x  X gọi là một điểm và với mọi x, y  X ta gọi d  x, y  là khoảng cách từ x đến y. 1.2.2. Khoảng cách Cho A, B là hai tập con khác rỗng của không gian mêtric X. Đặt d ( A, B )  inf d ( x, y ) x A, yB Ta gọi số thực d(A, B) này là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B. Nếu A = {a} thì ta viết d(A, B) = d(a, B) và gọi là khoảng cách từ điểm a đến tập B. Nếu A  B   thì d(A, B) = 0, nhưng điều ngược lại nói chung không đúng. 1.2.3. Không gian mêtric tích Cho  X , d X  và  Y , dY  là hai không gian mêtric tùy ý. X Y   x, y x  X , y  Y  là tích Descartes của X và Y. Đặt d   x1 , y1  ,  x2 , y2    d X  x1 , x2   dY  y1 , y2  ,   x1 , x2  ,  y1 , y2   X  Y Khi đó d là một mêtric trên X  Y . Không gian mêtric  X  Y , d  được gọi là không gian mêtric tích của hai không gian mêtric X và Y. 1.3. Không gian tôpô 1.3.1. Tôpô. Không gian tôpô 1.3.1.1. Cho một tập X. Một họ  các tập con của X gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) X và  thuộc  ; (ii) Hợp của tùy ý các tập thuộc  là thuộc  ; (iii) Giao của hữu hạn các tập thuộc  là thuộc  . 1.3.1.2. Ví dụ 1. Với mọi tập X,  (X) là một tôpô trên X, gọi là tôpô rời rạc. Tập X cùng với tôpô rời rạc gọi là không gian rời rạc. 2. Với mỗi tập X, họ , X  là một tôpô trên X, gọi là tôpô tầm thường hay tôpô phi rời rạc. Tập X với tôpô tầm thường gọi là không gian tầm thường. 3. Với mọi không gian mêtric (X,d), họ các tập mở theo mêtric d là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô sinh bởi mêtric d. Không gian mêtric X luôn được coi là không gian tôpô với tôpô sinh bởi mêtric. Tôpô sinh bởi mêtric thông thường trên  gọi là tôpô thông thường. 4. Với mọi tập vô hạn X, họ bao gồm tập  và tất cả các tập con G của X có X \ G đếm được, là một tôpô trên X. Tôpô này gọi là tôpô Zariski. 5. Với mọi tập không đếm được X, họ bao gồm tập  và tất cả các tập con G của X có X \ G đếm được, là một tôpô trên X. 1.3.2. Cơ sở 1.3.2.1. Cơ sở Cho  là một tôpô trên X. Một họ  của  gọi là một cơ sở của  nếu mọi tập thuộc  đều bằng hợp của một họ các tập thuộc  . Nói cách khác, họ con  của  là cơ sở của  nếu mọi G  mọi x  G tồn tại V   sao cho x V  G . Không gian tôpô gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô của nó có một cơ sở đếm được. 1.3.2.2. Ví dụ 1. Tôpô thông thường trên  có cơ sở là họ tất cả các khoảng  a , b  với a, b là số hữu tỉ, a < b. Như vậy  với tôpô thông thường thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai.  1 2. Trong không gian mêtric, họ tất cả các hình cầu mở B  x,  , x  X , n   là một cơ  n sở.
1.3.3. Lân cận, cơ sở lân cận 1.3.3.1. Lân cận Cho X là một không gian tôpô và x  X . Tập con V của X được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x  G  V . Nếu lân cận V của x là tập mở thì V là lân cận mở của x. 1.3.3.2. Cơ sở lân cận Một họ x các lân cận của x gọi là một cơ sở lân cận của x nếu mọi lân cận V của x đều tồn tại lân cận Ux sao cho U  V. Không gian tôpô X gọi là thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu mọi điểm x  X đều có một cơ sở lân cận đếm được. 1.3.3.3. Ví dụ 1.  a, b   a  b  là lân cận của một điểm tùy ý của  a, b  trên đường thẳng thực. 2. Họ tất cả các tập mở chứa x là một cơ sở lân cận của x. 3. Trong không gian mêtric, tại mỗi điểm x, họ các hình cầu mở tâm x, bán kính 1 ,n  N là cơ sở lân cận của x. Như vậy mọi không gian mêtric đều thỏa mãn tiên đề đếm n được thứ nhất. 4. Trong không gian rời rạc, tập một điểm  x là cơ sở lân cận của điểm x. 1.3.4 Phần trong và bao đóng Cho X là một không gian tôpô và A là tập con của X. Ta gọi phần trong của A là hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A, kí hiệu là IntA . Từ định nghĩa ta có: IntA là tập mở lớn nhất chứa trong A; A  B thì IntA  IntB và A mở nếu và chỉ nếu A  IntA . Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A, kí hiệu là ClA . Từ định nghĩa ta có ClA là tập đóng nhỏ nhất chứa A; A  B thì Cl A  ClB và A đóng nếu và chỉ nếu A  Cl A . Tập con D gọi là trù mật trong X nếu ClD  X . Không gian X gọi là khả li nếu nó có một tập con đếm được trù mật. Tập con A của X gọi là không đâu trù mật nếu IntCl A   .
1.3.5. Ánh xạ liên tục 1.3.5.1. Định nghĩa Cho X và Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f : X  Y được gọi là liên tục tại x  X nếu mọi lân cận V của f  x  trong Y đều tồn tại lân cận U của x trong X sao cho f U   V . Một ánh xạ gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi xX. 1.3.5.2. Định lí Nếu f : X  Y và g : Y  Z là các ánh xạ liên tục thì g  f liên tục. 1.3.5.3. Định lí Với mọi ánh xạ f : X  Y , các điều kiện sau đây là tương đương. a ) f liên tục; b) f 1  G  mở trong X với mọi tập G mở trong Y ; c ) f 1  G  mở trong X với mọi tập G thuộc một cơ sở của Y ; d ) f 1  G  mở trong X với mọi tập G thuộc một tiền cơ sở của Y ; e) f  ClA   Clf ( A) với mọi tập con A của X . 1.3.6. So sánh hai tôpô 1.3.6.1. Định nghĩa Cho hai tôpô  1 và  2 trên cùng một tập hợp X , ta bảo  1 là mịn hơn  2 (hay  2 là thô hơn  1 ) nếu, kí hiệu X i là tập hợp X với tôpô  i  i  1,2  , ánh xạ đồng nhất X 1  X 2 là liên tục. Nếu ngoài ra  1   2 ta bảo  1 là chặt chẽ mịn hơn  2 (và  2 là chặt chẽ thô hơn  1 ). Ta kí hiệu X 1  X 2 , X 1  X 2 và X 1  X 2 để chỉ rằng tôpô trên X 2 là trùng với tôpô trên X 1 , tôpô trên X 2 là mịn hơn hay trùng với tôpô trên X 1 và tôpô trên X 2 là chặt chẽ mịn hơn trên X 1. Hai tôpô mà cái này mịn hơn cái kia là so sánh được với nhau. 1.3.6.2. Định lí Cho hai tôpô  1 và  2 trên cùng một tập hợp X , các khẳng định sau đây là tương đương.
a)  1 mịn hơn  2 ; b) Với mọi x  X , mọi lân cận của x trong  2 là một lân cận của x trong  1 ; c) Mọi tập con mở của X trong  2 là mở trong  1. 1.3.7. Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, phép đồng phôi 1.3.7.1. Định nghĩa phép đồng phôi Cho X , Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f : X  Y được gọi là một phép đồng phôi hay ánh xạ tôpô nếu f là song ánh, liên tục và f 1 liên tục. 1.3.7.2. Định nghĩa ánh xạ mở, ánh xạ đóng Cho X, Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f : X  Y được gọi là mở (hay ánh xạ mở) nếu mọi tập G mở trong X thì f  G  mở trong Y . Ánh xạ f : X  Y được gọi là đóng (hay ánh xạ đóng) nếu mọi tập F đóng trong X thì f  F  đóng trong Y . Nếu f : X  Y là một đơn ánh và f : X  f  X  là một phép đồng phôi thì f gọi là một phép nhúng đồng phôi từ X vào Y . 1.3.7.3. Định lí Cho f : X  Y là song ánh liên tục. Khi đó các điều kiện sau là tương đương. (a) f là phép đồng phôi; b  f là ánh xạ mở; c f là ánh xạ đóng. 1.4. Sự hội tụ 1.4.1. Lọc và cơ sở 1.4.1.1. Lọc Giả sử X là một tập hợp. Một lọc trên X là một họ con không rỗng  các các tập con của X sao cho F1. Mọi tập con của X chứa một tập thuộc  cũng thuộc  . F2. Giao của mỗi họ hữu hạn các tập thuộc  cũng thuộc  .
F3. Mọi tập thuộc  đều không rỗng. 1.4.1.2. Cơ sở Giả sử  là một lọc trên X . Một họ  các tập con của X được gọi là cơ sở của  nếu (1)    (2) Với mọi tập V  , tồn tại một tập W   saoc cho W  V . Ta cũng nói rằng lọc các tập  sinh nên lọc  hoặc lọc  sinh bởi họ  . 1.4.3. Siêu lọc Họ các lọc trên một tập không rỗng X có phần tử cực đại theo quan hệ bao hàm. Lọc cực đại này được gọi là một siêu lọc. Như vậy, mỗi lọc  trên một tập X đều tồn tại một siêu lọc trên X chứa  . 1.4.4. Điểm giới hạn, hội tụ Giả sử ( X , ) là không gian tôpô,  là một lọc trên X . Điểm x  X được gọi là điểm giới hạn của lọc  và lọc được gọi là hội tụ đến tới x nếu lân cận lọc  ( x ) tại x được chứa trong lọc  . Nếu  là một cơ sở lọc trên X thì x  X được gọi là điểm giới hạn của  và ta cũng nói cơ sở lọc  hội tụ tới x nếu lọc được sinh bởi  hội tụ tới x . 1.4.5. Điểm dính, bao dính Cho X là một không gian tôpô,  là một lọc trên X . Một điểm x được gọi là điểm dính của lọc  nếu x là điểm dính của mọi tập thuộc  . Bao dính của  , kí hiệu là Adh , là tập hợp tất cả các điểm dính của  , do đó Adh   ClA . A Nếu  là một cơ sở của một lọc trên X , thì x được gọi là một điểm dính của  nếu nó là điểm dính của lọc sinh bởi cơ sở  . Bao dính của  , kí hiệu là Adh là tập hợp tất cả các điểm dính của nó. 1.5. Tiên đề tách Không gian tôpô X gọi là T0 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y hoặc một lân cận của y không chứa x. Không gian tôpô X gọi là T1 - không gian nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X đều có một lân cận của x không chứa y và một lân cận của y không chứa x. Không gian tôpô X gọi là T2 - không gian (hay không gian Hausdorff ) nếu hai điểm x, y khác nhau bất kỳ thuộc X, tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U  V   .
Không gian tôpô X gọi là T3 - không gian (hay không gian chính qui) nếu X là T1- không gian và với mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại các tập con mở U và V sao cho x U , F  V và U  V   . Không gian tôpô X gọi là T 1 - không gian (hay không gian hoàn toàn chính qui) nếu X 3 2 là T1 - không gian và với mọi x  X , mọi tập con đóng F của X không chứa x, tồn tại một hàm liên tục f : X   0,1 sao cho f(x)=0 và f(y)=1 với mọi y  F . Không gian hoàn toàn chính qui gọi là không gian Tikhonov. Không gian tôpô X gọi là T4 - không gian ( hay không gian chuẩn tắc) nếu X là T1- không gian và hai tập con đóng A, B bất kì không giao nhau trong X, tồn tại các tập mở U và V sao cho A  U , B  V và U  V   . Ta gọi T0 , T1 , T2, T3 , T 1 , T4 là các tiên đề tách. 3 2 Nhận xét. T j - không gian  Ti - không gian với j  i. 1.6. Không gian compact 1.6.1. Định nghĩa phủ, phủ mở, phủ hữu hạn: Cho X là không gian tôpô, tập A  X. Một họ {V} I các tập con của X được gọi là một phủ của A nếu A   V  I Khi đó: - Nếu V là tập mở, I thì {V}I được gọi là một phủ mở của A. - {V }I là một phủ của A cũng có thể nói A được phủ bởi họ {V}I - Nếu I là tập hữu hạn thì {V}I được gọi là một phủ hữu hạn của A. 1.6.2. Định nghĩa phủ con, phủ con hữu hạn: Cho X là không gian tôpô, tập A  X và {V}I là một phủ của A. Nếu J  I mà {V}J cũng là một phủ của A thì {V}J được gọi là một phủ con của {V}I . Nếu tập J hữu hạn thì {V}J được gọi là phủ con hữu hạn của {V}I 1.6.3. Định nghĩa không gian compact: Một không gian tôpô được gọi là không gian compact nếu mọi phủ mở của nó đều có chứa phủ con hữu hạn.
Tập con A của không gian tôpô (X, ) được gọi là tập compact nếu (A, A) là một không gian compact, với A là tôpô cảm sinh bởi tôpô  trong X. Một cách tương đương: Tập con A trong không gian tôpô X được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A đều có chứa phủ con hữu hạn. Nhận xét: - Hợp của hữu hạn các tập compact của một không gian tôpô là tập compact. - Cho X là không gian compact, Y là không gian tôpô thì phép chiếu Y : X  Y  Y là ánh xạ đóng. 1.6.4. Định lý: a) Tập con đóng của không gian compact là tập compact. b) Tập con compact của không gian compact là tập đóng. c) Không gian compact, Hausdorff là không gian chuẩn tắc. d) Cho ánh xạ f : X  Y liên tục và A là tập con compact trong X. Thì f(A) là tập con compact trong Y. e) Nếu f : X  Y là song ánh liên tục, X là compact và Y là Hausodrff thì f là phép đồng phôi. 1.6.5. Không gian compact địa phương 1.6.5.1. Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là compact địa phương nếu điểm x  X có một lân cận compact. 1.6.5.2. Ví dụ 1. Không gian compact tùy ý. 2. Không gian rời rạc tùy ý. 3.  n Chú ý : Nếu X là không gian compact địa phương và A  X thì không nhất thiết không gian con A là compact địa phương. Chẳng hạn,  là compact địa phương và    nhưng không gian con  không là compact địa phương. 1.6.5.3. Định lý 1
Cho X là một không gian Hausdorff compact địa phương. Khi đó a) Mọi x  X và mọi lân cận mở U của x , tồn tại một lân cận compact  của x sao cho   U . b) Mọi tập compact K của X và mọi tập mở U chứa K , tồn tại một tập mở V sao cho K  V  V  U và V là tập compact. 1.6.5.2. Định lý 2 Không gian Hausdorff compact địa phương là hoàn toàn chính quy. 1.6.6. Compact hóa Các không gian compact là những không gian tôpô quan trọng nhất. Vì vậy một vấn đề lý thuyết được đặt ra là: cho một không gian không compact X, có hay không một không gian compact Y sao cho X là một không gian con trù mật khắp nơi trong Y? 1.6.6.1. Định nghĩa: Cho không gian X không compact. Không gian compact Y cùng với ánh xạ h : X  Y sao cho h là phép đồng phôi từ X lên h(X) và h(X) trù mật khắp nơi trong Y được gọi là một compact hóa của không gian X. Chú thích: Ánh xạ h : X  Y (với X, Y là các không gian) được gọi là phép nhúng X vào Y nếu h : X  h(X) là phép đồng phôi. 1.6.6.2. Compact hóa Alexanderov: Compact hóa Alexanderov là compact hóa đơn giản nhất một không gian không compact X bằng một điểm. Ta xây dựng như sau: i) Thêm vào X một điểm tùy ý không thuộc X mà ta ký hiệu là . ii) Xác định trên Y := X  {} một họ  = {U  Y  U là tập mở trong X hoặc Y \ U là tập con đóng và compact của X}. Thì  là tôpô trên Y. iii) Ta ký hiệu: X * = (Y,  ). Hiển nhiên ánh xạ nhúng i: X  X * là phép nhúng. 1.6.6.3. Định lý: a) Nếu X không compact thì (X *, i) là compact hóa của X.
b) Đường thẳng thực mở rộng     {,  } với ánh xạ nhúng i :    là một compact hóa của đường thẳng thực . 1.6.7. Không gian compact đếm được 1.6.7.1 Định nghĩa Không gian tôpô X được gọi là compact đếm được nếu mỗi phủ mở đếm được của X có chứa phủ con hữu hạn. Nhận xét: Hiển nhiên mọi không gian compact đều compact đếm được. 1.6.7.2 Định lý Nếu X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai và compact đếm được thì X là compact. 1.7. Sự mêtric hóa 1.7.1. Tôpô sinh bởi mêtric 1.7.1.1. Hình cầu, mặt cầu Cho không gian mêtric  X , d  , điểm x0  X và số thực r  0 .   Hình cầu mở tâm x0 bán kính r là tập B  x0 , r   x  X d ( x, x0 )  r  Hình cầu đóng tâm x0 bán kính r là tập B  x0 , r   x  X d ( x, x0 )  r   Mặt cầu tâm x0 bán kính r là tập hợp B  x0 , r   x  X d ( x, x0 )  r  Hình cầu mở B(x0, r) được gọi là r- lân cận của điểm x0 trong không gian mêtric  X , d  . 1.7.1.2. Tôpô sinh bởi mêtric Cho không gian mêtric (X, d). Ta xác định trong  X , d  một tập hợp  các tập con của X như sau:  = {U  X  xU, r > 0 sao cho B(x, r)  U}. Thì  là một tôpô trên X. Tôpô  xác định như trên gọi là tôpô sinh ra bởi mêtric d trên X, các phần tử thuộc  được gọi là các tập mở trong  X , d  . 1.7.2. Không gian mêtric hóa 1.7.2.1. Định nghĩa
Không gian tôpô X gọi là không gian mêtric hóa nếu trên X có một mêtric d sao cho tôpô sinh bởi mêtric d trùng với tôpô xuất phát trên X. 1.7.2.2. Ví dụ Mọi không gian rời rạc đều là không gian mêtric hóa (bởi mêtric rời rạc) 1.7.3. Khái niệm hữu hạn địa phương, rời rạc 1.5.3.1. Họ  các tập con của không gian tôpô được gọi là hữu hạn địa phương khi và chỉ khi mỗi điểm của không gian có một lân cận chỉ cắt một số hữu hạn các phần tử của họ  Họ  là  -hữu hạn địa phương khi và chỉ khi nó là hợp của một số hữu hạn các họ con hữu hạn địa phương 1.7.3.2. Họ  các tập con của không gian tôpô được gọi là rời rạc nếu mỗi điểm của không gian có một lân cận cắt nhiều nhất một phần tử của họ . Như vậy, một họ rời rạc là hữu hạn địa phương. Họ  là  -rời rạc khi và chỉ khi nó là hợp của một số hữu hạn các họ con rời rạc. 1.7.4. Cái mịn 1.7.4.1. Định nghĩa Phủ  của tập hợp X được gọi là cái mịn của phủ  khi và chỉ khi mỗi phần tử của phủ  được chứa trong phần tử nào đó của phủ . 1.7.4.2. Ví dụ Trong không gian mêtric họ tất cả các hình cầu mở bán kính một nửa là cái mịn của họ tất cả hình cầu mở bán kính một đơn vị.