Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn suy rộng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương, cụ thể như sau: Chương 1 - Trình bày về một số kết quả đặc trưng trong không gian Banach - Bài toán tìm điểm bất động. Chương 2 - Trình bày về định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn suy rộng. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- ĐỖ TRUNG HIẾU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Trần Xuân Quý TS. Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN - 2020
Mục lục Bảng ký hiệu 1 Mở đầu 2 Chương 1. Một số kết quả đặc trưng trong không gian Banach - Bài toán tìm điểm bất động 4 1.1 Một số kết quả đặc trưng trong không gian Banach . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian Banach lồi đều . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian Banach lồi chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Modul lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . 10 Chương 2. Một số định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn suy rộng 14 2.1 Về dãy xấp xỉ điểm bất động cho ánh xạ không giãn . . . . . . . 14 2.2 Một số kết quả về điểm bất động cho ánh xạ không giãn suy rộng 26 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 iii
Bảng ký hiệu X không gian Banach R tập các số thực R+ tập các số thực không âm N tập các số tự nhiên ∀x với mọi x A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất C[a, b] tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b] d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C lim supn→∞ xn giới hạn trên của dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dưới của dãy số {xn } xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T Lp tập hợp các hàm khả tích cấp p lp tập hợp các dãy khả tổng cấp p 1
Mở đầu Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ đã và đang là một chủ đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Một trong những hướng nghiên cứu về bài toán điểm bất động là xây dựng phương pháp tìm (xấp xỉ) điểm bất động của ánh xạ trong không gian Hilbert hoặc không gian Banach. Nhiều bài toán liên quan tới phương pháp xấp xỉ này đã được đặt ra và giải quyết cho từng lớp ánh xạ chẳng hạn như ánh xạ co, ánh xạ không giãn,. . . Với luận văn tốt nghiệp thạc sĩ, em lựa chọn một phần trong bài toán xấp xỉ nghiệm cho các ánh xạ không giãn trong không gian Banach. Dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Xuân Quý và TS. Nguyễn Thị Ngọc Oanh, em chọn đề tài luận văn: “Một số định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn suy rộng”. Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương, cụ thể như sau: Chương 1: Trình bày về một số kết quả đặc trưng trong không gian Banach - Bài toán tìm điểm bất động. Chương 2: Trình bày về định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn suy rộng. Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và động viên của các thầy cô trong Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo, Khoa Toán –Tin. Với bản luận văn này, em mong muốn được góp một phần nhỏ công sức của mình vào việc gìn giữ và phát huy vẻ đẹp, sự hấp dẫn cho những định lý toán học vốn dĩ đã rất đẹp. Đây cũng là một cơ hội cho em gửi lời tri ân tới tập thể các thầy cô giảng viên của trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên nói chung và Khoa Toán – Tin nói riêng, đã truyền thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu trong thời gian em được là học viên của trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên cùng toàn thể các anh chị em đồng nghiệp đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong thời gian đi học Cao học; cảm ơn các anh chị em học viên lớp Cao học Toán K12 và bạn bè 2
3 đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Đặc biệt em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn, TS. Trần Xuân Quý và TS. Nguyễn Thị Ngọc Oanh đã luôn quan tâm ân cần chỉ bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình và góp ý sâu sắc cho em trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện đề tài. Chặng đường vừa qua sẽ là những kỉ niệm đáng nhớ và đầy ý nghĩa đối với các anh chị em học viên lớp K12 nói chung và với bản thân em nói riêng. Dấu ấn ấy hiển nhiên không thể thiếu sự hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương của cha mẹ hai bên và các anh chị em con cháu trong gia đình. Xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân yêu đã giúp đỡ, đồng hành cùng em trên chặng đường vừa qua. Cuối cùng tôi xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã trao đổi, động viên và khích lệ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Thái Nguyên, ngày 22 tháng 06 năm 2020 Tác giả luận văn Đỗ Trung Hiếu
Chương 1 Một số kết quả đặc trưng trong không gian Banach - Bài toán tìm điểm bất động Chương này trình bày một số tính chất hình học không gian Banach và bài toán điểm bất động trong không gian Banach. Kiến thức của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1], [2] và [5]. 1.1 Một số kết quả đặc trưng trong không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi đều Xét X là không gian Banach và x0 ∈ X cho trước, xét Sr (x0 ) mặt cầu tâm x0 bán kính r > 0, nghĩa là, Sr (x0 ) := {x ∈ X : ||x − x0 || = r}. Định nghĩa 1.1.1. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu ∈ (0, 2] bất kỳ, tồn tại δ
=
δ() >
0 sao cho nếu x, y ∈ X với ||x|| = 1, ||y|| = 1 và
1
||x − y|| > , thì
(x + y)