Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ kiểu Geraghty trên không gian b-metric mở rộng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các nghiên cứu trong luận văn này được chia ra thành 2 chương trình bày một số khái niệm, ví dụ về các không gian metric, b-metric, b-metric mở rộng; các tính chất về sự hội tụ, một số tính chất khác của các không gian này; giới thiệu định lý điểm bất động của Geraghty được nhà toán học Geraghty công bố vào năm 1973... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ kiểu Geraghty trên không gian b-metric mở rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ HẢI CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY TRÊN KHÔNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ HẢI CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KIỂU GERAGHTY TRÊN KHÔNG GIAN b–METRIC MỞ RỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG Thái Nguyên - 2020
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Hà Trần Phương. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác. Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020 Người viết luận văn Phạm Thị Hải Châu i
Lời cảm ơn Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Hà Trần Phương. Tôi xin cảm ơn Thầy về sự hướng dẫn tận tình, hỗ trợ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020 Người viết luận văn Phạm Thị Hải Châu ii
Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Không gian b–metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Không gian b-metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Không gian b-metric mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. Một số định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Geraghty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Định lý điểm bất động của Geraghty cho ánh xạ trên không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Trường hợp không gian b-metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3. Trường hợp không gian b-metric mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 iii
Lời mở đầu Các định lý điểm bất động đóng vai trò khá quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Những kết quả đầu tiên được biết đến đó là nguyên lý ánh xạ co Banach trên lớp các không gian metric đầy đủ. Về sau có rất nhiều tác giả mở rộng nguyên lý này với các điều kiện khác nhau về không gian và ánh xạ. Vào năm 1973, nhà toán học Michael A. Geraghty đã chứng minh một dạng định lý điểm bất động cho một lớp ánh xạ đặc biệt (thường gọi là ánh xạ kiểu Geraghty), là một mở rộng tự nhiên của nguyên lí ánh xạ co Banach. Trong vài năm trở lại đây, một số nhà Toán học đã nghiên cứu các trường hợp của định lý này trong các lớp không gian khác nhau, đồng thời mở rộng được một số kết quả của A. Geraghty. Để tìm hiểu, nghiên cứu nhằm làm rõ hơn về các vấn đề liên quan đến khái niệm, tính chất và một số định lý điểm bất động trong không gian b-metric, b-metric mở rộng, tôi đã thực hiện nghiên cứu luận văn của mình với tên gọi là: "Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ kiểu Geraghty trên không gian b-metric mở rộng". Các nghiên cứu trong luận văn này được chia ra thành 2 chương: • Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị: Trong chương này, tôi trình bày lại một số khái niệm, ví dụ về các không gian metric, b-metric, b-metric mở rộng; Các tính chất về sự hội tụ, một số tính chất khác của các không gian này. • Chương 2: Một số định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Geraghty. Đây là phần trọng tâm của luận văn, trong phần này trước tiên tôi sẽ giới thiệu định lý điểm bất động của Geraghty được nhà toán học Geraghty công bố vào năm 1973, đây được xem như định lý gốc, cổ điển để so sánh 1
với các kết quả công bố trong một số năm gần đây của các nhà toán học. Sau đó chúng tôi sẽ giới thiệu một số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu Geraghty trên lớp không gian b-metric, đã được các tác giả, đặc biệt là A.Aghajani, M.ABBAS, J.R. Roshan ([1]) và Hamid Faraji, Dragana Savic, Stojan Radenovic ([3]) công bố vào các năm 2014, 2019. Đồng thời, chúng tôi sẽ giới thiệu một số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu Geraghty trên lớp không gian b-metric mở rộng, đã được các tác giả Vahid Parvaneh, Zoran Kadelburg, R. J. Shahkoohi, Hasan Hosseinzadeh ([5]) và một số tác giả khác công bố trong những năm gần đây. Tôi đã cố gắng chọn lọc và sắp xếp để nội dung luận văn được ngắn gọn và phù hợp hơn, nhưng do thời gian và khuôn khổ của luận văn có hạn nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Chính vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ phía các thầy cô giảng viên, các nhà nghiên cứu và các anh chị học viên Cao học để luận văn được hoàn thiện hơn. Trong quá trình thực hiện luận văn này, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy giáo Hà Trần Phương. Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo và anh chị học viên lớp Cao học Toán K26B trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 6 năm 2020 Tác giả Phạm Thị Hải Châu 2
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại khái niệm, đưa ra một số ví dụ cụ thể và tập trung nghiên cứu một số tính chất cơ bản của không gian metric, không gian b-metric, không gian b-metric mở rộng, được tham khảo từ các tài liệu [2], [3], [5], [6], [7] để làm cơ sở cho việc trình bày Chương 2. 1.1. Không gian b–metric 1.1.1. Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. (Không gian metric) Cho X là một tập khác rỗng, trên X ta trang bị một hàm số d:X ×X →R (x, y) 7→ d (x, y) thỏa mãn các điều kiện sau: 1. d (x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X ; d (x, y) = 0 ⇔ x = y ; 2. d (x, y) = d (y, x) với mọi x, y ∈ X ; 3. d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) với mọi x, y, z ∈ X . Khi đó d được gọi là một metric hay khoảng cách trên X . Cặp (X, d) gọi là một không gian metric. Mỗi phần tử của X sẽ được gọi là một điểm, d (x, y) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y của X . 3
Ví dụ 1.1.2. Cho X = R hoặc X = C, ta xác định metric trên X như sau: d (x, y) = |x − y| với x, y ∈ X . Theo định nghĩa trên, (X, d) là không gian metric. Định nghĩa 1.1.3. (Sự hội tụ trong không gian metric) Trong không gian metric (X, d), {xn } là một dãy các phần tử của X , ta nói {xn } hội tụ đến x0 ∈ X nếu: lim d (xn , x0 ) = 0. n→∞ Khi đó ta viết lim xn = x0 hoặc xn → x0 khi n → ∞. Phần tử x0 gọi là n→∞ giới hạn của dãy {xn }. 1. Giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất. 2. Nếu lim xn = a; lim yn = b thì lim d (xn , yn ) = d (x, y). Tức là hàm n→∞ n→∞ n→∞ khoảng cách là một hàm số liên tục đối với x và y . Định nghĩa 1.1.4. Giả sử (X, d) là một không gian metric. Dãy {xn } các phần tử của X được gọi là một dãy Cauchy (hay dãy cơ bản ) nếu: lim d (xm , xn ) = 0. m,n→∞ Nghĩa là, với mọi ε > 0, tồn tại một số n0 ∈ N∗ sao cho với mọi m, n ≥ n0 ta luôn có: d (xm , xn ) < ε. Định nghĩa 1.1.5. Không gian metric X gọi là không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy các phần tử của X đều hội tụ. Định nghĩa 1.1.6. Giả sử (X, d) là không gian metric, x0 ∈ X và r > 0. Tập B (x0 , r) = {x ∈ X : d (x0 , x) < r} gọi là hình cầu mở tâm x0 , bán kính r. 4
Định nghĩa 1.1.7. Cho không gian metric (X, d), T là một ánh xạ từ tập X vào chính nó. Ánh xạ T được gọi là có điểm bất động nếu tồn tại x0 ∈ X : T x0 = x0 . Nếu X là không gian metric đầy đủ thì điểm bất động là duy nhất. Định nghĩa 1.1.8. Ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào chính nó được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số α ∈ [0, 1) sao cho: d (T x, T y) ≤ αd (x, y) , với mọi x, y ∈ X . Định lý 1.1.9. (Nguyên lí ánh xạ co Banach) Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và T co trên X , tồn tại α ∈ [0, 1) sao cho: d (T x, T y) ≤ αd (x, y) với mọi x, y ∈ X . T có duy nhất điểm bất động và với x0 ∈ X bất kì, dãy {T n (x0 )} hội tụ đến điểm bất động. 1.1.2. Không gian b-metric Định nghĩa 1.1.10. (Xem [3]) (Định nghĩa không gian b-metric) Giả sử X là tập khác rỗng và s ≥ 1 là số thực cho trước. Hàm d : X × X → [0; +∞) được gọi là b-metric trên X nếu với mọi x, y, z ∈ X các điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1. d (x, y) = 0 ⇔ x = y ; 2. d (x, y) = d (y, x); 3. d (x, y) ≤ s [d (x, z) + d (z, y)] (bất đẳng thức tam giác). Khi đó, tập X cùng với một b-metric trên X được gọi là không gian b-metric với tham số s, nói gọn là không gian b-metric và được kí hiệu bởi (X, d) hoặc X . 5
Chú ý: 1) Từ nay về sau, khi nói tới không gian b-metric ta luôn hiểu tham số của nó là s ≥ 1. 2) Từ định nghĩa không gian metric và không gian b-metric ta thấy rằng không gian metric là trường hợp đặc biệt của không gian b-metric khi s = 1. Ví dụ sau đây cho thấy rằng, lớp các không gian b-metric thực sự rộng hơn lớp các không gian metric. Ví dụ 1.1.11. 1) Giả sử (X, ρ) là không gian metric và d : X × X → [0; +∞) là hàm được cho bởi: d (x, y) = (ρ (x, y))2 , ∀x, y ∈ X . Khi đó d là b-metric với s = 2. 2) Giả sử X = R và trên R ta xét metric thông thường. Ta xác định hàm d : R × R → [0; +∞) bởi: d(x, y) = |x − y|2 , ∀x, y ∈ R. Khi đó d là b-metric với s = 2 (theo 1) nhưng không là metric trên R vì d (1, −2) = 9 > 5 = d (1, 0) + d (0, −2) . Định nghĩa 1.1.12. (Xem [7]) Cho (X, d) là không gian b-metric. Khi đó dãy {xn } ∈ X được gọi là a) b-hội tụ (nói gọn là hội tụ) tới x ∈ X và được kí hiệu bởi xn → x hoặc lim xn = x nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n→∞ n ≥ n0 , ta có d (xn , x) < ε. Nói cách khác, xn → x khi và chỉ khi d (xn , x) → 0 khi n → ∞. b) dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi n, m ≥ n0 ta có, d (xn , xm ) < ε. c) Không gian b-metric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ. 6
Ví dụ 1.1.13. Giả sử X = {1, 2, 3, 4} và d : X × X → [0, +∞) là hàm được cho bởi d (x, y) = d (y, x), ∀x, y ∈ X ; d (x, y) = 0 ⇔ x = y ; 5 d (1, 2) = d (1, 4) = 1, d (2, 4) = ; 2 9 d (1, 3) = d (2, 3) = d (3, 4) = . 4 5 Khi đó d là b-metric trên X với s = và (X, d) là không gian b-metric đầy 4 đủ. Bổ đề 1.1.14. Giả sử {xn } là dãy trong không gian b-metric (X, d) và xn → x ∈ X. Khi đó, 1) {xn } là dãy Cauchy; 2) x là duy nhất; 1 3) d (x, y) ≤ lim inf d (xn , y) ≤ lim sup d (xn , y) ≤ sd (x, y) với mọi s n→∞ n→∞ y ∈ X. Chứng minh. 1) Vì xn → x nên với mọi ε > 0 tồn tại số tự nhiên n0 sao cho ε d (xn , x) < , ∀n ≥ n0 . 2s Từ đó suy ra d (xn , xm ) ≤ s [d (xn , x) + d (xm , x)] < ε, ∀n, m ≥ n0 . Do đó {xn } là dãy Cauchy. 2) Giả sử xn → x và xn → y . Khi đó, d (xn , x) → 0 và d (xn , y) → 0 khi n → ∞. Theo bất đẳng thức tam giác ta có: d (x, y) ≤ s [d (xn , x) + d (xn , y)] , n = 1, 2,... Cho n → ∞ ta được h i 0 ≤ d (x, y) ≤ s lim d (xn , x) + lim d (xn , y) = 0. n→∞ n→∞ 7
Do đó d (x, y) = 0 hay x = y . Vậy x là duy nhất. 3) Với mọi y ∈ X ta có: d (x, y) ≤ s [d (x, xn ) + d (xn , y)] , ∀n = 1, 2, ... Từ đó suy ra 1 d (x, y) − d (x, xn ) ≤ d (xn , y) ≤ s [d (xn , x) + d (x, y)] , s với mọi n = 1, 2, .... Trong bất đẳng thức trên cho n → ∞ và sử dụng lim d (xn , x) = 0 ta n→∞ được 1 d (x, y) ≤ lim inf d (xn , y) ≤ lim sup d (xn , y) ≤ sd (x, y) . s n→∞ n→∞ Vậy đẳng thức 3) được chứng minh. Bổ đề 1.1.15. (Xem [7]) Cho (X, d) là không gian b-metric với s ≥ 1 và giả sử rằng {xn } và {yn } lần lượt hội tụ tới x và y . Khi đó 1 2 d (x, y) ≤ lim inf d (xn , yn ) ≤ lim sup d (xn , yn ) ≤ s2 d (x, y) . s n→∞ n→∞ Hơn nữa, với mỗi z ∈ X , ta có: 1 d (x, z) ≤ lim inf d (xn , z) ≤ lim sup d (xn , z) ≤ sd (x, z) . s n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.1.16. Cho (X, d) là không gian b-metric và ánh xạ T : X → X . Ta nói rằng T liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi dãy {xn } trong X , xn → x0 khi n → ∞ thì T xn → T x0 khi n → ∞. Nếu T liên tục tại mỗi điểm x0 ∈ X thì ta nói T liên tục trên X . Bổ đề 1.1.17. Cho (X, d) là không gian b-metric với tham số s và {xn } ⊂ X sao cho xn → x và xn → y . Khi đó x = y . Bổ đề 1.1.18. Cho (X, d) là không gian b-metric với tham số s và {xk }n0 ⊂ X. Khi đó: d (xn , x0 ) ≤ sd (x0 , x1 ) + ... + sn−1 d (xn−2 , xn−1 ) + sn d (xn−1 , xn ) . 8
Chứng minh. Ta có: d (xn , x0 ) ≤ s [d (x0 , x1 ) + d (x1 , xn )] = sd (x0 , x1 ) + sd (x1 , xn ) ≤ sd (x0 , x1 ) + s2 [d (x1 , x2 ) + d (x2 , xn )] = sd (x0 , x1 ) + s2 d (x1 , x2 ) + s2 d (x2 , xn ) ... ≤ sd (x0 , x1 ) + ... + sn−1 d (xn−2 , xn−1 ) + sn d (xn−1 , xn ) . Bổ đề được chứng minh. Bổ đề 1.1.19. Cho {xn } là dãy trong không gian b-metric (X, d) với tham số s sao cho: d (xn , xn+1 ) ≤ αd (xn−1 , xn ) 1 với 0 < α < với mỗi n ∈ N. Khi đó {xn } là dãy Cauchy trong X . s Định lý 1.1.20. (Định lí Banach trong không gian b-metric) Cho (X, d) là không gian b-metric đầy đủ với tham số s và T : X → X là 1 ánh xạ sao cho với 0 < α < , s d (T x, T y) ≤ αd (x, y) với mọi x, y ∈ X . Khi đó T có duy nhất điểm bất động r và với mỗi x0 ∈ X , dãy {T n x0 } hội tụ đến r. Chứng minh. Lấy x0 ∈ X bất kì và kí hiệu yn = T n x0 . Khi đó: d (yn , yn+1 ) = d (T yn−1 , T yn ) ≤ αd (yn−1 , yn ) với mỗi n = 1, 2, .... Theo Bổ đề 1.1.19, {yn } là dãy Cauchy mà (X, d) đầy đủ nên tồn tại r ∈ X sao cho {yn } → r khi n → ∞. Khi đó: d (T r, r) ≤ s [d (T r, T yn ) + d (yn+1 , r)] ≤ s [αd (r, yn ) + d (yn+1 , r)] → 0 9
khi n → ∞. Do đó d (T r, r) = 0 hay T r = r. Vậy điểm bất động của T là r. Tiếp theo ta đi chứng minh r là duy nhất. Thật vậy, nếu r1 là một điểm bất động của T . Khi đó T r1 = r1 , ta có: d (r, r1 ) = d (T r, T r1 ) ≤ αd (r, r1 ) . 1 Với 0 < α < , điều này xảy ra khi và chỉ khi d (r, r1 ) = 0 hay r = r1 . s Vậy r là điểm bất động duy nhất của T . Định lý 1.1.21. (Xem [2]) Cho (X, d) là không gian b-metric đầy đủ với tham số s ≥ 1 và giả sử T : X → X thỏa mãn d (T x, T y) ≤ ϕ (d (x, y)) (1.1) với mọi x, y ∈ X , trong đó ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) là tăng và lim ϕn (t) = 0 với mọi t ≥ 0. n→∞ Khi đó T có duy nhất một điểm bất động x∗ ∈ X và lim T n (x) = x∗ với n→∞ mỗi x ∈ X . Định nghĩa 1.1.22. Một quan hệ hai ngôi trên tập hợp X được gọi là quan hệ thứ tự (từng phần) nếu nó thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Kí hiệu quan hệ thứ tự bởi và nếu a b hoặc b a thì ta nói hai phần tử a và b là so sánh được với nhau. Tập X khác rỗng mà trên đó có một quan hệ thứ tự từng phần được gọi là tập sắp thứ tự từng phần. Kí hiệu là (X, ). Định nghĩa 1.1.23. Cho X là tập khác rỗng. Khi đó (X, d, ) được gọi là không gian b-metric sắp thứ tự từng phần nếu và chỉ nếu d là một b-metric trên tập sắp thứ tự từng phần (X, ). Tập con K của tập sắp thứ tự từng phần X được gọi là sắp thứ tự tốt nếu hai phần tử bất kì của K so sánh được. Định nghĩa 1.1.24. (Phần tử bé nhất) Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự. Một phần tử a ∈ X gọi là phần tử bé nhất của X nếu với mọi x ∈ X , ta có a x. 10
Định nghĩa 1.1.25. (Tập sắp thứ tự tốt) Một tập hợp được gọi là sắp thứ tự tốt nếu nó là sắp thứ tự và mọi bộ phận khác rỗng của nó đều có một phần tử bé nhất. Định nghĩa 1.1.26. Cho (X, ) là tập sắp thứ tự từng phần và T : X → X . Ta nói rằng T là ánh xạ không giảm nếu với x, y ∈ X , x y ⇒ T x T y. Định nghĩa 1.1.27. (Xem [7]) Cho (X, d, ) là không gian b-metric. T : X → X được gọi là ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại I nếu tồn tại β ∈ B sao cho d (T x, T y) ≤ β (M (x, y)) M (x, y) (1.2) với mọi phần tử so sánh được x, y ∈ X , trong đó: d (x, T x) d (y, T y) d (x, T x) d (y, T y) M (x, y) = max{d (x, y) , , }. 1 + d (x, y) 1 + d (T x, T y) Định nghĩa 1.1.28. (Xem [7]) Cho (X, d, ) là không gian b-metric. T : X → X được gọi là ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại II nếu tồn tại β ∈ B sao cho d (T x, T y) ≤ β (M (x, y)) M (x, y) (1.3) với mọi phần tử so sánh được x, y ∈ X , trong đó d (x, T x) d (x, T y) + d (y, T y) d (y, T x) M (x, y) = max{d (x, y) , , 1 + s [d (x, T x) + d (y, T y)] d (x, T x) d (x, T y) + d (y, T y) d (y, T x) }. 1 + d (x, T y) + d (y, T x) Định nghĩa 1.1.29. (Xem [7]) Cho (X, d, ) là không gian b-metric. T : X → X được gọi là ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại III nếu tồn tại β ∈ B sao cho: d (T x, T y) ≤ β (M (x, y)) M (x, y) (1.4) 11
với mọi phần tử so sánh được x, y ∈ X , trong đó: d (x, T x) d (y, T y) M (x, y) = max{d (x, y) , , 1 + s [d (x, y) + d (x, T y) + d (y, T x)] d (x, T y) d (x, y) }. 1 + sd (x, T x) + s3 [d (y, T x) + d (y, T y)] 1.2. Không gian b-metric mở rộng Định nghĩa 1.2.1. (Xem [5]) Cho X là tập khác rỗng. Hàm d : X × X → [0; ∞) được gọi là b-metric mở rộng nếu tồn tại hàm liên tục tăng ngặt Ω : [0; ∞) → [0; ∞) với Ω−1 (t) ≤ t ≤ Ω (t) với mọi t ≥ 0 và Ω−1 (0) = 0 = Ω (0) sao cho với mọi x, y, z ∈ X , các điều kiện sau thỏa mãn: 1. d (x, y) = 0 ⇔ x = y ; 2. d (x, y) = d (y, x); 3. d (x, z) ≤ Ω [d (x, y) + d (y, z)] (bất đẳng thức tam giác). Khi đó, cặp (X, d) được gọi là không gian b-metric mở rộng. Không gian b-metric là một trường hợp riêng của không gian b-metric mở rộng với Ω (t) = s (t) với mọi s ≥ 1 (khi hàm tham số là hằng số). Định nghĩa 1.2.2. (Xem [5]) Cho (X, d) là không gian b-metric mở rộng. Khi đó dãy {xn } trong X được gọi là 1) hội tụ nếu tồn tại x ∈ X sao cho d (xn , x) → 0 khi n → ∞. Ta viết lim xn = x; n→∞ 2) dãy Cauchy nếu d (xn , xm ) → 0 khi n, m → ∞. 3) Không gian b-metric mở rộng (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. 12
Bổ đề 1.2.3. (Xem [5]) Cho (X, d) là không gian b-metric mở rộng với hàm Ω và giả sử rằng {xn } và {yn } lần lượt hội tụ tới x, y . Khi đó, ta có −1 Ω2 (d (x, y)) ≤ lim inf d (xn , yn ) ≤ lim sup d (xn , yn ) ≤ Ω2 (d (x, y)) . n→∞ n→∞ (1.5) Đặc biệt, nếu x = y thì lim d (xn , yn ) = 0. Hơn nữa, với mỗi z ∈ X , ta có: n→∞ Ω−1 (d (x, z)) ≤ lim inf d (xn , z) ≤ lim sup d (xn , z) ≤ Ω (d (x, z)) . n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.2.4. (Xem [6]) Cho (X, d) là không gian b-metric mở rộng. 1) Một tập con A của X được gọi là tập mở nếu với a ∈ A bất kì, tồn tại ε > 0 sao cho B (a, r) ⊂ A ; 2) Một tập con C của X được gọi là tập đóng nếu với dãy {xn } bất kì trong C sao cho lim xn = x với mọi n thì x ∈ C ; n→∞ Định nghĩa 1.2.5. (Xem [6]) Cho (X, d) là không gian b-metric mở rộng và C là tập con của X . Khi đó C là tập compact nếu mọi dãy các phần tử của C đều chứa một dãy con hội tụ đến một phần tử của C . Định nghĩa 1.2.6. (Xem [5]) Cho (X, d, ) là không gian b-metric mở rộng sắp thứ tự từng phần. T : X → X được gọi là ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại I nếu tồn tại β ∈ BΩ sao cho: Ω (d (T x, T y)) ≤ β (M (x, y)) M (x, y) (1.6) với mọi x, y ∈ X và x y , trong đó: d (x, T x) d (y, T y) d (x, T x) d (y, T y) M (x, y) = max d (x, y) , , . 1 + d (x, y) 1 + d (T x, T y) Không gian b-metric mở rộng sắp thứ tự từng phần (X, d, ) được gọi là có tính chất so sánh giới hạn dãy (tính chất s.l.c) nếu với mỗi dãy không giảm {xn } trong X , {xn } hội tụ tới x ∈ X thì xn x với mọi n ∈ N. 13
Định nghĩa 1.2.7. (Xem [5]) Cho (X, d, ) là không gian b-metric mở rộng sắp thứ tự từng phần. T : X → X được gọi là ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại II nếu tồn tại β ∈ BΩ sao cho: Ω (d (T x, T y)) ≤ β (M (x, y)) M (x, y) (1.7) với mọi x, y ∈ X và x y , trong đó: d (x, T x) d (x, T y) + d (y, T y) d (y, T x) M (x, y) = max{d (x, y) , , 1 + Ω [d (x, T x) + d (y, T y)] d (x, T x) d (x, T y) + d (y, T y) d (y, T x) }. 1 + d (x, T y) + d (y, T x) Định nghĩa 1.2.8. (Xem [5]) Cho (X, d, ) là không gian b-metric mở rộng sắp thứ tự từng phần. T : X → X được gọi là ánh xạ co Geraghty dạng hữu tỉ loại III nếu tồn tại β ∈ BΩ sao cho: Ω (d (T x, T y)) ≤ β (M (x, y)) M (x, y) (1.8) với mọi x, y ∈ X và x y , trong đó: d (x, T x) d (y, T y) M (x, y) = max{d (x, y) , , 1 + Ω [d (x, y) + d (x, T y) + d (y, T x)] d (x, T y) d (x, y) }. 1 + Ω (d (x, T x)) + Ω3 [d (y, T x) + d (y, T y)] 14
Chương 2 Một số định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Geraghty Trong Chương 2 của luận văn, chúng tôi sẽ giới thiệu định lý điểm bất động của Geraghty và trình bày một số định lý điểm bất động của ánh xạ kiểu Geraghty trên không gian b-metric và b-metric mở rộng. Nội dung trong chương này được trích dẫn chủ yếu từ các nguồn tài liệu tham khảo [3], [4], [5] và [7]. 2.1. Định lý điểm bất động của Geraghty cho ánh xạ trên không gian metric Trước tiên chúng tôi sẽ giới thiệu định lý điểm bất động của Geraghty được công bố vào năm 1973, đây được xem như định lý gốc, cổ điển để so sánh với các kết quả công bố trong một số năm gần đây của các nhà toán học. Ta kí hiệu như sau. Cho bất kì cặp dãy xn và yn trong X với xn 6= yn , ta viết: dn = d(xn , yn ) và ∆n = d(T (xn ), T (yn ))/dn . Định lý 2.1.1. (Xem [4]) Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ. Cho T : X → X với d(T (x), T (y)) < d(x, y) với mọi x, y ∈ X . Lấy x0 ∈ X và xây dựng dãy {xn }: xn = T (xn−1 ) với n = 1, 2, ..... Nếu và chỉ nếu với hai dãy con bất kì xhn và xkn với xhn 6= xkn , ta có: ∆n → 1 chỉ nếu dn → 0. 15