Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý về sự phân nhánh nghiệm của phương trình phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Phan Hữu Hớn<br /> <br /> MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ PHÂN NHÁNH<br /> NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI<br /> TUYẾN<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh – 2011<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Phan Hữu Hớn<br /> <br /> MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ SỰ PHÂN NHÁNH<br /> NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI<br /> TUYẾN<br /> Chuyên ngành: Toán giải tích<br /> Mã số: 60 46 01.<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:<br /> PGS. TS. NGUYỄN BÍCH HUY<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh – 2011<br /> <br /> LỜI CẢM ƠN<br /> <br /> Lời đầu tiên, tôi kính xin gửi đến Thầy PGS. TS. Nguyễn Bích Huy lời cảm ơn<br /> chân thành vì đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt thời gian làm luận văn.<br /> Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô trường Đại học Sư Phạm Thành<br /> phố Hồ Chí Minh, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã<br /> tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi trong suốt khóa học.<br /> Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp, các bạn học viên cao học Toán<br /> Giải tích K19 và gia đình đã luôn động viên, khuyến khích và giúp đỡ tôi trong thời<br /> gian tôi học tập và làm luận văn.<br /> Do kiến thức bản thân tôi còn hạn chế nên luận văn sẽ khó tránh khỏi những<br /> thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự nhận xét và chỉ bảo của Quí Thầy Cô và sự góp<br /> ý chân thành của các bạn đồng nghiệp.<br /> Tp. Hồ Chí Minh, ngày 20/08/2011<br /> Học viên cao học khoá 19<br /> Phan Hữu Hớn<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> LỜI CẢM ƠN ............................................................................................. 3<br /> MỤC LỤC ................................................................................................... 4<br /> MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 5<br /> 1.Lý do chọn đề tài .................................................................................................... 5<br /> 2.Mục tiêu của đề tài ................................................................................................. 5<br /> 3.Phương pháp nghiên cứu ........................................................................................ 5<br /> 4.Nội dung luận văn .................................................................................................. 5<br /> <br /> Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................. 7<br /> 1.1.Đạo hàm Fréchet ................................................................................................. 7<br /> 1.2.Công thức Taylor................................................................................................. 7<br /> 1.3.Định lý hàm ẩn .................................................................................................... 8<br /> 1.4.Bổ đề Whyburn (xem tài liệu tham khảo [3]) .................................................... 8<br /> 1.5.Định lý mở rộng Dugundji .................................................................................. 8<br /> 1.6.Bậc tôpô của ánh xạ compắc ............................................................................... 8<br /> <br /> Chương 2. SỰ PHÂN NHÁNH TỪ GIÁ TRỊ RIÊNG ĐƠN ............... 12<br /> 2.1.Phép chiếu Liapunov-Schmit ............................................................................ 12<br /> 2.2.Định lý Crandal-Rabinowitz ............................................................................. 14<br /> 2.3.Ứng dụng ........................................................................................................... 15<br /> <br /> Chương 3. SỰ PHÂN NHÁNH TOÀN CỤC ......................................... 18<br /> 3.1.Nguyên lý nối dài .............................................................................................. 18<br /> 3.2.Định lý hàm ẩn toàn cục .................................................................................... 21<br /> 3.3.Định lý Rabinowitz về sự phân nhánh toàn cục ................................................ 23<br /> <br /> Chương 4. SỰ PHÂN NHÁNH NGHIỆM DƯƠNG ............................ 26<br /> 4.1.Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón ..................................................... 26<br /> 4.2.Định lý phân nhánh nghiệm dương ................................................................... 31<br /> <br /> KẾT LUẬN ............................................................................................... 39<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 40<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1.Lý do chọn đề tài<br /> Các hệ thống trong tự nhiên hoặc xã hội được phát triển dưới tác động của<br /> nhiều yếu tố. Khi tác động các yếu tố này đạt tới một ngưỡng nào đó thì trong sự phát<br /> triển của hệ thống xảy ra một đột biến lớn. Phát biểu ở dạng toán học, ta có một họ<br /> phương trình dạng F ( x,λ ) = 0 phụ thuộc tham số λ thuộc một không gian L nào đó<br /> và ∀λ ∈ L , phương trình có nghiệm tầm thường 0 nhưng tồn tại λ0 sao cho trong lân<br /> cận ( λ0 − ε ; λ0 + ε ) có thêm nghiệm x ( λ ) ≠ 0 . Ta nói họ nghiệm ( x ( λ ) , λ ) phân<br /> <br /> nhánh từ họ nghiệm tầm thường ( 0, λ ) tại điểm ( 0, λ0 ) và λ0 gọi là điểm phân nhánh.<br /> Nghiên cứu sự phân nhánh của các phương trình phi tuyến được bắt đầu từ<br /> những năm 1930, được phát triển và hoàn thiện cho đến ngày nay. Chúng ta tìm được<br /> các ứng dụng quan trọng trong việc nghiên cứu, phân tích nhiều hiện tượng của tự<br /> nhiên và xã hội.<br /> 2.Mục tiêu của đề tài<br /> • Trình bày một cách hệ thống, chi tiết một số định lý cơ bản về sự phân nhánh<br /> nghiệm, như định lý Crandal-Rabinowitz; định lý Krasnoselskii; định lý Rabinowitz.<br /> • Giới thiệu các phương pháp khác nhau nghiên cứu sự phân nhánh.<br /> • Xét một số ứng dụng đơn giản.<br /> 3.Phương pháp nghiên cứu<br /> Chỉ nghiên cứu về mặt lý thuyết. Từ các tài liệu do giảng viên hướng dẫn giới<br /> thiệu và học viên tự tìm; học viên tự tìm hiểu vấn đề và trình bày kết quả theo hiểu<br /> biết của mình một cách chi tiết, theo hệ thống khoa học.<br /> Các phương pháp chứng minh cụ thể: sử dụng định lý hàm ẩn, bậc tôpô.<br /> 4.Nội dung luận văn<br /> Nội dung luận văn gồm 4 chương:<br /> Chương 1. Trình bày các kiến thức chuẩn bị cho các chương sau như: đạo hàm<br /> Fréchet, công thức Taylor (trong không gian Banach), định lý hàm ẩn, bổ đề<br /> Whyburn, định lý mở rộng Dugundji và các kết quả về bậc tôpô của ánh xạ compắc.<br /> Chương 2. Trình bày về sự phân nhánh nghiệm của phương trình<br /> F ( 0 ,λ ) = 0 ,∀λ ∈  từ giá trị riêng đơn.<br /> Phần 2.1 trình bày phép chiếu Liapunov-Schmit để từ đó nhờ Bổ đề 2.1.2, ta sẽ<br /> tìm được nghiệm không tầm thường của phương trình F ( u,λ ) = 0 ngay lập tức.<br /> Phần 2.2 trình bày định lý Crandal-Rabinowitz.<br /> Phần 2.3 trình bày một ứng dụng của định lý Crandal-Rabinowitz vào bài toán<br /> tìm điểm phân nhánh của phương trình vi phân thường với điều kiện biên tuần hoàn.<br /> <br />