Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả về hình lồi, đường kính của hình và vận dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

47
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán học rời rạc và hình học tổ hợp là một chủ đề thú vị, được phát triển mạnh mẽ trên thế giới trong những năm gần đây. Các kết quả liên quan không chỉ hấp dẫn các nhà toán học ứng dụng mà còn hấp dẫn các em học sinh phổ thông, bởi các kết quả lập luận tư duy hấp dẫn. Đây cũng là chủ đề khai thác cho các bài toán thử tài và phát triển tư duy cho học sinh trung học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả về hình lồi, đường kính của hình và vận dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ VĂN NINH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI, ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ VĂN NINH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI, ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2017
1 Mục lục Lời mở đầu 2 1 Một số kiến thức chuẩn bị 2 1.1. Khái niệm về hình lồi [3] . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. Giao của các hình lồi [7] . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Về hình lồi và đường kính của hình 18 2.1. Định nghĩa đường kính của hình [3] . . . . . . . . . . 18 2.2. Đặt vấn đề [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3. Chia hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4. Chia hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Một số dạng toán vận dụng 38 3.1. Về hình lồi [2], [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2. Một bài thi học sinh giỏi các nước [2], [7] . . . . . . . 49 Kết luận 66 Tài liệu tham khảo 67
2 Lời mở đầu Toán học rời rạc và hình học tổ hợp là một chủ đề thú vị, được phát triển mạnh mẽ trên thế giới trong những năm gần đây. Các kết quả liên quan không chỉ hấp dẫn các nhà toán học ứng dụng mà còn hấp dẫn các em học sinh phổ thông, bởi các kết quả lập luận tư duy hấp dẫn. Đây cũng là chủ đề khai thác cho các bài toán thử tài và phải triển tư duy cho học sinh trung học. Đó là lý do, tôi lựa chọn chủ đề này đề thực hiện đề tài luận văn Thạc sĩ Toán học, chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, với đề tài: "Một số kết quả về hình lồi, đường kính của hình và vận dụng". Luận văn sẽ trình bày một số kết quả về hình lồi, đường kính của hình: giao khác rỗng của các hình lồi, bài toán chia hình, một số dạng toán vận dụng. Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm ba chương. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng ta đề cập đến khái niệm hình lồi và các kết quả về giao khác rỗng của các hình lồi. Chương 2. Về hình lồi và đường kính của hình. Trong chương này chúng ta đề cập đến khái niệm đường kính của hình, bài toán chia hình phẳng thành nhỏ nhất các hình có đường kính nhỏ hơn, bài toán chia hình cầu thành bốn phần có đường kính nhỏ hơn mà không thể chia thành số phần nhỏ hơn. Chương 3. Một số dạng toán và vận dụng. Trong chương này trình bày các bài toán vận dụng các kết quả được trình bày trong chương 1, 2 và một số bài toán được lấy từ các kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia và Quốc tế.
1 Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chỉ bảo của thầy giáo TS. Trần Xuân Quý. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo Khoa Toán Trường Đại học Khoa học, các thầy các cô đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Thái Nguyên, ngày 25 tháng 9 năm 2017 Tác giả luận văn Vũ Văn Ninh
2 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Khái niệm về hình lồi [3] Khi học hình học phẳng chúng ta đã làm quen với các hình lồi, chẳng hạn các hình tam giác, các hình bình hành, các hình thang và các đa giác đều là các hình lồi. Hình 1 Trong sách giáo khoa các đa giác lồi được đề cập tới và được định nghĩa như sau: một đa giác là đa giác lồi khi nó nằm về một phía của đường thẳng đi qua một cạnh bất kì. Nhưng định nghĩa này rất hạn chế không thể áp dụng cho hình có ít nhất một cạnh không phải là đoạn thẳng (chẳng hạn hình tròn, các hình e-lip), hoặc là hình không có giới hạn trong mặt phẳng (một góc chẳng hạn). Để mở rộng khái niệm hình lồi người ta đưa ra định nghĩa sau đây mở rộng cho các hình không phải là các đa giác.
3 Định nghĩa 1.1 Một hình F được gọi là lồi khi và chỉ khi mọi điểm A, B thuộc F thì đoạn AB thuộc F. Hình 2 Dễ thấy rằng các đa giác lồi cũng lồi theo khái niệm này. Và ngoài các đa giác lồi thì các hình tròn, hình elip, hình viên phân hình không có giới hạn trong mặt phẳng cũng là hình lồi. Hình 3 Trong hình trên ta có thể tìm thấy các ví dụ về hình không phải là hình lồi. Các hình lồi đóng (hiểu theo nghĩa giải tích là nó chứa tất cả các điểm giới hạn của nó) và bị chặn (có thể phủ nó bằng một hình tròn đủ lớn) được gọi là các oval. Ngoài ra còn có các hình lồi không bị chặn: nửa mặt phẳng, một góc nhỏ hơn 180 độ, một dải, phần mặt phẳng giới hạn bởi một đường thẳng parabol. Các điểm của một hình lồi được chia thành hai loại điểm trong và điểm biên. Định nghĩa 1.2 Một điểm gọi là điểm trong của hình lồi F nếu tồn tại một hình tròn nhận nó làm tâm và nằm hoàn toàn trong F.
4 Hình 4 Định nghĩa 1.3 Một điểm gọi là điểm biên của hình lồi F nếu mỗi hình tròn nhận nó làm tâm chứa ít nhất một điểm không thuộc hình lồi F. Hình 5 Định nghĩa 1.4 Nếu F hình lồi đóng thì tập hợp các điểm biên là những đường liên tục được gọi là biên của F. Các oval có biên là một đường khép kín. Các hình trong luận văn này đều được hiểu là các hình đóng có tính cả biên, trừ trường hợp ngoại lệ mà ta nói rõ. Định lý 1.1 Một đường thẳng qua điểm trong hình lồi F cắt biên tại đúng 2 điểm. Khi đó đoạn nối hai điểm này nằm trong F. Bây giờ xét B là một điểm biên tùy ý của một hình lồi F. Từ B ta kẻ những nửa đường thẳng xuất phát từ B và chạy qua ít nhất một điểm bên trong của F.
5 Hình 6 Các tia này sẽ tạo nên một nửa mặt phẳng hoặc là tạo nên một góc lồi. Định nghĩa 1.5 Đường thẳng d đi qua ít nhất một điểm biên và không đi qua điểm trong nào của hình lồi F gọi là đường thẳng tựa của F. Trong trường hợp thứ nhất đường thẳng tạo nên nửa mặt phẳng là đường thẳng tựa duy nhất của F. Hình 7 Còn trong trường hợp thứ hai, hình F nằm trong miền trong của góc ABC [ nhỏ hơn 180 độ và qua B sẽ có vô hạn đường thẳng tựa của hình lồi F: bất kỳ đường thẳng nào không đi qua điểm trong của góc ABC [ đều sẽ là đường thẳng tựa của F. Các tia tạo nên bởi BA+ và BC + được gọi là nửa tiếp tuyến của F tại B. Tóm lại là đi qua một điểm biên tùy ý của F có ít nhất một đường thẳng tựa. Định lý 1.2 Qua một điểm biên B của hình lồi F có ít nhất một đường thẳng tựa. Trong trường hợp có duy nhất một đường thẳng tựa thì B gọi là điểm chính quy của F.
6 Định nghĩa 1.6 Nếu qua điểm biên B của hình F có vô hạn đường thẳng tựa thì điểm B gọi là không chính quy hoặc là đỉnh của F. 1.2. Giao của các hình lồi [7] Trong phần này chúng ta làm quen với một định lý rất quan trọng của hình học tổ hợp. Nếu cho trước một họ các hình lồi, chúng ta quan tâm đến câu hỏi khi nào họ hình lồi này có giao khác rỗng. Những câu hỏi đó được đặt ra khi xem xét một hệ điểm có thể phủ được bởi một hình tròn có bán kính cho trước hay không (ta có thể thấy ngay điều đó tương đương với câu hỏi: liệu họ các hình tròn có tâm tại các điểm đã cho và bán kính cho trước có giao với nhau khác rỗng hay không?). Những câu hỏi tương tự như vậy có thể đặt ra mặc dù có thể khó nhận biết hơn. Chẳng hạn ta có thể hỏi khi nào trong đa giác cho trước tồn tại một điểm, có thể từ đó quan sát được hết tất cả các cạnh của đa giác... Nhưng hình lồi trong không gian một chiều (đường thẳng) có thể nhận biết và chia lớp khá đơn giản. Chúng chỉ có thể là một đoạn, một khoảng, một tia hoặc là cả đường thẳng mà thôi. Trong không gian 2- chiều, tức là trên mặt phẳng thì hình lồi đa dạng hơn và đặc biệt khó là vấn đề nhận biết khi nào giao của chúng khác rỗng. Chẳng hạn nếu cho trước một hình (hoặc hệ một điểm) thì rất khó trả lời khi nào có thể phủ nó bằng một hình tròn bán kính R. Ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng câu hỏi đó tương đương với câu hỏi liệu hệ các hình tròn bán kính R có tâm tại các điểm thuộc hình (hoặc hệ điểm cho trước) có giao khác rỗng hay không? Trước hết ta có thể dễ dàng chứng minh mệnh đề sau cho không gian một chiều: Định lý 1.3 Một họ I các đoạn thẳng [ai , bi ] trên đường thẳng cho trước có giao khác rỗng khi và chỉ khi giao của hai đoạn bất kì trong chúng khác rỗng. Chứng minh:
7 Điều kiện cần: Nếu giao các đoạn của họ I khác rỗng ⇒ ∃c ∈ ∩I ⇒ c ∈ [ai , bi ] ∩ [aj , bj ] , ∀i, j. Điều kiện đủ: Nếu giao của hai đoạn thẳng bất kì trong một họ các đoạn thẳng khác rỗng thì giao của họ các đoạn thẳng này sẽ khác rỗng. Lưu ý rằng [ai , bi ] ∩ [aj , bj ] tương đương với điều kiện min{bi , bj } ≥ max{ai , aj }. Thậy vậy, nếu: [ai , bi ] ∩ [aj , bj ] 6= thì tồn tại: c ∈ [ai , bi ] ∩ [aj , bj ] . Khi đó ta có bi , bj ≥ c và c 6= ai , aj . Do đó ta có: min{bi , bj } ≥ c ≥ max{ai , aj } Ngược lại, nếu min{bi , bj } ≥max{ai , aj }, thì chọn c thỏa mãn: min{bi , bj } ≥ c ≥ max{ai , aj } Khi đó c ∈ [ai , bi ] và c ∈ [aj , bj ] cho nên: c ∈ [ai , bi ] ∩ [aj , bj ] . Vậy ta có điều kiện: [ai , bi ] ∩ [aj , bj ] 6= tương đương với điều kiện min{bi , bj } ≥ max{ai , aj }. Với lưu ý trên, nếu có một họ I các đoạn thẳng [ai , bi ] sao cho giao của hai đoạn thẳng trong chúng khác rỗng thì ta có: inf{bi : i ∈ I } ≥ sup{ai : i ∈ I } Khi đó điểm c thỏa mãn: inf{bi : i ∈ I } ≥ c ≥ sup{ai : i ∈ I } sẽ thuộc giao chung của tất cả các đoạn thẳng thuộc họ I. ♦ Chú ý: Ta phải dùng inf và sup vì nếu I là họ vô hạn các đoạn thì min{bi , bj }; max{ai , aj } có thể không tồn tại. Ví dụ 1 1 I= 1 − ;1 + , n ∈ N∗ n n 1 1 I= ;1 + , n ∈ N∗ n n
8 1 1 I= 1 − ;2 − , n ∈ N∗ n n Trên mặt phẳng, mệnh đề tương tự cũng đúng. Tuy nhiên chứng minh cho trường hợp họ vô hạn các hình lồi sẽ khó hơn rất nhiều. Ở đây ta chứng minh mệnh đề tương tự cho hữu hạn các hình lồi. Định lý 1.4 Giao của một họ hữu hạn các hình lồi trên mặt phẳng khác rỗng nếu giao của ba hình bất kì trong chúng khác rỗng. Chứng minh: Định lý hiển nhiên đúng cho 3 hình. Ta chứng minh quy nạp theo số n các hình lồi (n ≥ 4). ∗ Ta chứng minh cho n = 4. Gọi F1 , F2 , F3 , F4 là 4 hình lồi sao cho 3 hình bất kỳ trong chúng có giao khác rỗng. A1 ∈ F2 ∩ F3 ∩ F4 A2 ∈ F1 ∩ F3 ∩ F4 A3 ∈ F1 ∩ F2 ∩ F4 A4 ∈ F1 ∩ F2 ∩ F3 Trường hợp 1. Nếu 2 điểm trong số 4 điểm A1 , A2 , A3 , A4 trùng nhau. Giả sử A1 ≡ A2 ⇒ A1 ∈ F1 ∩ F2 ∩ F3 ∩ F4 . Vậy ta chỉ xét 4 điểm A1 , A2 , A3 , A4 phân biệt. Trường hợp 2. A1 , A2 , A3 , A4 thẳng hàng. Giả sử A2 A3 ⊂ A1 A4 . ⇒ A2 ∈ A1 A4 ⇒ A2 ∈ F2 ⇒ A2 ∈ F1 ∩ F2 ∩ F3 ∩ F4 . Trường hợp 3. Bao lồi của A1 , A2 , A3 , A4 là tứ giác A1 A2 A3 A4 . Xét O là giao điểm của 2 đường chéo A1 A3 và A2 A4 . Suy ra O ∈ A1 A3 ⇒ O ∈ F2 ∩ F4 O ∈ A2 A4 ⇒ O ∈ F1 ∩ F3 ⇒ O ∈ F1 ∩ F2 ∩ F3 ∩ F4 . Trường hợp 4. Bao lồi của A1 A2 A3 A4 là tam giác. Giả sử A4 nằm trong hoặc trên 4A1 A2 A3 mà A1 , A2 , A4 ∈ F4 .
9 ⇒ 4A1 A2 A4 ⊂ F4 ⇒ A4 ∈ F4 . ⇒ A4 ∈ F1 ∩ F2 ∩ F3 ∩ F4 . Vậy định lý đúng cho trường hợp n = 4. Giả sử định lý đúng cho trường hợp n ≥ 4. Ta chứng minh nó đúng với n + 1. Thật vậy, xét n + 1 hình lồi F1 , F2 , ..., Fn , Fn+1 thỏa mãn giao của 3 hình bất kỳ khác rỗng. Xét n hình lồi sau: F1 , F2 , ..., Fn−1 , Fn ∩ Fn+1 , n hình này thỏa mãn điều kiện của định lý vì nếu 3 hình bất kỳ trong chúng không chứa Fn ∩ Fn+1 có giao khác rỗng. Nếu có một trong ba hình là Fn ∩ Fn+1 thì ta quy về bốn hình Fn , Fn−1 và 2 hình kia, nên có giao khác rỗng. Vậy n hình trên thỏa mãn điều kiện của định lý. Theo giả thiết quy nạp F1 ∩ F2 ∩ ... ∩ Fn−1 ∩ Fn ∩ Fn+1 6= ∅. Tức là n + 1 hình lồi đã cho có giao khác rỗng. ♦ Định lý 1.5 Cho ba hình bình hành F1 , F2 , F3 , các cạnh của chúng song song với hai đường thẳng cố định. Khi đó, nếu mọi cặp hai hình trong chúng có điểm chung, thì cả ba hình bình hành cũng có điểm chung. Chứng minh: Hình 8 Ta chọn trong mặt phẳng hệ tọa độ với các trục nằm trên hai đường thẳng đã cho. Kí hiệu A1 là điểm chung của F2 và F3 , A2 là điểm chung của F1 và F3 , A3 là điểm chung của F1 và F2 . Kí hiệu (xi , yi ) là tọa độ của điểm Ai đối với hệ tọa độ đã chọn (i = 1, 2, 3).
10 Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết những hình bình hành F1 , F2 , F3 , được gán nhãn sao cho với các tọa độ tương ứng x1 , x2 , x3 , thỏa mãn bất đẳng thức x1 ≤ x2 ≤ x3 . Hình bình hành F1 sẽ chứa các điểm A2 và A3 . Khi đó, nó chứa tất cả những điểm P với tọa độ (x, y) sao cho x2 ≤ x ≤ x3 , y2 ≤ y ≤ y3 với y2 ≤ y3 hoặc là y3 ≤ y ≤ y2 với y3 ≤ y2 . Tương tự, F2 sẽ chứa tất cả những điểm Q với tọa độ (x, y) sao cho x1 ≤ x ≤ x3 , y1 ≤ y ≤ y3 với y1 ≤ y3 hoặc là y3 ≤ y ≤ y1 với y3 ≤ y1 . Ta lặp lại lập luận trên với hình bình hành F3 , ta sẽ nhận được sự tồn tại điểm P với tọa độ (x2 , z), mà nó nằm trên cả ba hình bình hành. Thật vậy, cho các chỉ số i, j, k nhận những giá trị 1, 2, 3 và giả sử rằng bất đẳng thức sau đúng yi ≤ yj ≤ yk . Khi đó bằng cách đặt yi = z, sẽ nhận được kết quả cần thiết.♦ Kết hợp với Định lý 1.4 ta được kết quả Định lý 1.6 Trong mặt phẳng cho hữu hạn các hình bình hành có các cạnh song song với hai đường thẳng cố định. Nếu mọi cặp hai hình trong chúng có điểm chung, thì tất cả các hình bình hành cũng có điểm chung. Bài toán 1.1 Chứng minh rằng một họ các đa giác đôi một cắt nhau sẽ có một cát tuyến chung. Lời giải: Cho họ đa giác F mà Fi ∩ Fj 6= ∅ với mọi Fi , Fj ∈ F . Gọi d là đường thẳng bất kỳ.
11 Gọi [ai , bi ] là hình chiếu của Fi lên d. Ta thấy Fi ∩ Fj 6= ∅ ⇒ [ai , bi ] ∩ [aj , bj ] 6= ∅ Do đó các đoạn [ai , bi ] có điểm chung A. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với d là cát tuyến chung cần tìm. Bài toán 1.2 Trên mặt phẳng có một số điểm mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong chúng không vượt quá 1. Chứng minh rằng có thể 1 phủ chúng bởi một hình tròn bán kính √ . 3 Lời giải: Lấy họ các điểm Mi (i = 1, 2, ..., n) sao cho Mi Mj ≤ 1. Gọi Fi 1 là các đường tròn tâm Mi , bán kính √ . 3 Ta sẽ chứng minh giao của 3 đường tròn trong họ Fi khác rỗng. Thật vậy, xét 3 điểm bất kỳ của họ Mi giả sử là M1 , M2 , M3 . Trường hợp 1. 4M1 M2 M3 có một góc lớn hơn hoặc bằng 90o . c1 > 90o . Khi đó đường tròn đường kính M2 M3 chứa 4M1 M2 M3 . Giả sử M M2 M3 1 1 Suy ra bán kính đường tròn này R < ≤
12 Gọi (O; R) là đường tròn ngoại tiếp 4M1 M2 M3 . Theo định lý hàm sin: M2 M3 M1 M2 1 R= ≤ < √ . 2 sin M1 2 sin 60o 3 1 ⇒ 4M1 M2 M3 chứa trong hình tròn tâm O; √ . 3 ⇒ F1 , F2 , F3 có điểm chung. Vậy trong họ Fi có giao khác rồng, A là một điểm thuộc phần chung này. 1 Đường tròn A; √ là đường tròn cần tìm. 3 Bài toán 1.3 Trên mặt phẳng có một số các hình tròn. Biết rằng có một đĩa tròn có tính chất là với ba hình tròn tùy ý trong chúng luôn có thể tìm vị trí để đặt đĩa cắt cả ba hình tròn này. Chứng minh rằng tồn tại một vị trí để đặt đĩa cắt tất cả các hình tròn đã cho. Lời giải: Gọi Fi là các hình tròn tâm I, bán kính Ri . Đĩa tròn có tâm I, bán kính R. Xét các hình tròn Ci tâm Ii , bán kính Ri + R > IIi . Ta thấy nếu đĩa tròn cắt Fi thì I ∈ Ci . Theo giả thiết 3 hình tròn Ci có giao khác rỗng là I. Do đó họ Ci có giao khác rỗng. Ta chỉ cần đặt tâm I của đĩa vào vị trí này.
13 Bài toán 1.4 Trên mặt phẳng có một số hình tròn. Biết rằng có một đĩa tròn có tính chất là với ba hình tròn tùy ý trong chúng luôn có thể tìm vị trí để đặt đĩa phủ cả ba hình tròn này. Chứng minh rằng tồn tại một vị trí để đặt đĩa phủ tất cả các hình tròn. Lời giải: Xét các hình tròn Fi tâm Ii , bán kính Ri và đĩa có tâm I bán kính R. Xét các hình tròn (Ci ) tâm Ii , bán kính R − Ri . Ta thấy rằng đĩa tròn phủ Fi khi và chỉ khi IIi < R+Ri . Do đó I ∈ (Ci ). Theo giả thiết cứ ba hình tròn tùy ý luôn tìm được vị trí để đĩa phủ 3 hình tròn này có nghĩa là cứ ba hình tròn (Ci ) tùy ý có giao khác rỗng là điểm I. Do đó họ (Ci ) có giao khác rỗng. Ta đặt đĩa sao cho tâm của đĩa vào vị trí giao khác rỗng này. Bài toán 1.5 Trên mặt phẳng có một số hình tròn. Biết rằng có một đĩa tròn có tính chất là với ba hình tròn tùy ý trong chúng luôn có thể tìm vị trí để đặt đĩa nằm trong cả ba hình tròn này. Chứng minh rằng tồn tại một vị trí để đặt đĩa nằm trong tất cả các hình tròn đã cho. Lời giải: Xét các hình tròn Fi tâm Ii , bán kính Ri và đĩa có tâm I bán kính R. Xét các hình tròn (Ci ) tâm Ii , bán kính Ri − R. Ta thấy rằng đĩa tròn phủ Fi khi và chỉ khi IIi < R+Ri . Do đó I ∈ (Ci ).
14 Theo giả thiết cứ ba hình tròn tùy ý luôn tìm được vị trí để đĩa nằm trong ba hình tròn này có nghĩa là cứ ba hình tròn (Ci ) tùy ý có giao khác rỗng là điểm I. Do đó họ (Ci ) có giao khác rỗng. Ta đặt đĩa sao cho tâm của đĩa vào vị trí giao khác rỗng này. Bài toán 1.6 Trên mặt phẳng có một số các đường thẳng. Biết rằng có một đĩa tròn có tính chất là với ba đường thẳng tùy ý trong chúng luôn có thể tìm vị trí đặt đĩa cắt cả ba đường thẳng này. Chứng minh rằng tồn tại một vị trí cắt tất cả các đường thẳng đã cho. Lời giải: Xét các họ đường thẳng di của đề bài và đĩa có tâm I, bán kính R. Gọi Fi là dải song song, ở đó di nằm giữa Fi và khoảng cách từ di đến biên của Fi là R. Ta thấy rằng, nếu di cắt đĩa thì I ∈ Fi . Theo giả thiết để bài ta có ba
15 dải bất kỳ trong họ Fi có giao khác rỗng là I. Do đó họ Fi có giao khác rỗng ta đặt đĩa sao cho tâm I của đĩa nằm ở vị trí này. Bài toán 1.7 Trên một đường tròn đơn vị có một hệ các cung nhỏ hơn π có tính chất là giao của ba hình bất kỳ trong chúng khác rỗng. Chứng minh rằng giao của cả hệ khác rỗng. Lời giải: Mỗi cung ứng với một hình viên phân. Hình viên phân lồi do cung nhỏ hơn π. Ba cung bất kỳ có giao khác rỗng khi và chi khi ba hình viên phân tương ứng có giao khác rỗng. Do đó họ các hình viên phân có giao khác rỗng. Lấy một điểm bất kỳ thuộc giao này, kéo dài đường thẳng nối điểm O với điểm này cắt đường tròn tại hai điểm. Một trong hai điểm này là điểm cần tìm. Bài toán 1.8 Trên một đường tròn đơn vị có một hệ cung có độ dài 2π nhỏ hơn có tính chất là giao của hai cung bất kỳ trong chúng khác 3 rỗng. Chứng minh rằng giao của cả hệ khác rỗng. Lời giải: Lấy một cung bất kỳ trong chúng. Giả sử là cung AB.
16 Theo giả thiết suy ra N không nằm trên bất cứ cung nào cắt đường tròn tại điểm N và trải thẳng ra ta sẽ có bài toán: 2π Hai đoạn bất kỳ nhỏ hơn có giao khác rỗng, ta có giao của họ các 3 đoạn khác rỗng. Từ đó, ta có giao của họ các cung khác rỗng. Bài toán 1.9 Trong một khu triển lãm tranh có hình đa giác có các cạnh không tự cắt. Chứng minh rằng nếu cứ ba bức tường tùy ý luôn tìm được một điểm nhìn thấy tất cả chúng thì ta tìm được một điểm nhìn thấy tất cả các bức tường. Lời giải: Gọi di là họ các đường thẳng chứa cạnh của đa giác. Gọi Mi là nửa mặt phẳng có bờ là di chứa một phần của đa giác liền với cạnh tương ứng. Một điểm trong đa giác nhìn thấy cạnh thì phải thuộc nửa mặt phẳng tương ứng. Vậy cứ ba bức tường tùy ý luôn tìm được một điểm nhìn thấy tất cả