Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

38
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngày nay, các bài toán tối ưu bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng đã trở thành công cụ để giải quyết nhiều vấn đề trong thực tế. Các bài toán này là những bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu và các vấn đề liên quan. Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời từ những năm 1960. Năm 1972, Ky Fan và năm 1978 Browder – Minty đã phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại nghiệm của nó với những giả thiết khác nhau. Kết quả của Ky Fan nặng về tính nửa liên tục trên, còn kết quả của Browder – Minty nặng về tính đơn điệu của hàm số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ HẢI PHƯỢNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ HẢI PHƯỢNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU CẢI BIÊN GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60. 46. 01. 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN THÁI NGUYÊN - 2017
i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 8 tháng 6 năm 2017 Người viết luận văn Vũ Thị Hải Phượng Xác nhận Xác nhận của khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn
ii Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, giáo sư, tiến sĩ khoa học ở Viện Toán học Việt Nam. Đầu tiên, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Trong suốt quá trình làm luận văn, thầy đã dành nhiều thời gian và công sức để chỉ bảo hướng dẫn tôi từ những điều nhỏ nhặt nhất tới những vấn đề khó khăn, thầy vẫn luôn kiên nhẫn, tận tình quan tâm giúp đỡ tôi để hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, khoa Sau đại học và các học viên lớp Cao học khóa K23 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ chúng tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng cảm ơn người thân và bạn bè đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. Thái Nguyên, ngày 8 tháng 6 năm 2017 Người viết luận văn Vũ Thị Hải Phượng
iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Toán tử đơn điệu và sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Toán tử chiếu và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Phép chiếu metric và sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov với bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.7. Phương pháp gradient kéo dài với bất đẳng thức biến phân 26 2 Một số phương pháp chiếu cải biên 29
iv 2.1. Phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân với hệ số ưu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân không có hệ số ưu tiên . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tài liệu tham khảo 42
1 Mở đầu Ngày nay, các bài toán tối ưu bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng đã trở thành công cụ để giải quyết nhiều vấn đề trong thực tế. Các bài toán này là những bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu và các vấn đề liên quan. Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời từ những năm 1960. Năm 1972, Ky Fan và năm 1978 Browder – Minty đã phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại nghiệm của nó với những giả thiết khác nhau. Kết quả của Ky Fan nặng về tính nửa liên tục trên, còn kết quả của Browder – Minty nặng về tính đơn điệu của hàm số. Đầu tiên người ta nghiên cứu những bất đẳng thức biến phân liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều vào chính nó. Sau đó mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với một nón, tạo ra một quan hệ từng phần trên không gian đó. Khái niệm về ánh xạ đa trị được xây dựng và phát triển do nhu cầu phát triển của toán học và các lĩnh vực khác. Từ đó người ta tìm cách phát biểu bài toán liên quan đến ánh xạ đa trị và chứng minh các kết quả quen biết từ đơn trị sang đa trị. Khái niệm giả đơn điệu giới thiệu bởi Karamardian S. trong [5], là một tổng quát quan trọng của toán tử đơn điệu. Trong bài báo này, tác giả đã
2 chỉ ra rằng một hàm là giả lồi khi và chỉ khi ánh xạ gradient là giả đơn điệu. Từ đó, Karamardian S. và Schaible S. [6] đưa ra một số khái niệm đơn điệu tổng quát như đơn điệu chặt, giả đơn điệu mạnh và tựa đơn điệu. Tác giả thiết lập một mối quan hệ của đơn điệu tổng quát của toán tử với các khái niệm của hàm lồi tổng quát. Bất đẳng thức biến phân đơn điệu được sử dụng để nghiên cứu phương trình vi phân đạo hàm riêng eliptic và parabolic, nghiên cứu các bài toán tối ưu và bài toán cân bằng. Chúng cho phép xây dựng những thuật toán và chỉ ra sự hội tụ tới lời giải của bài toán. Cho tới nay bất đẳng thức biến phân đơn điệu vẫn là một chủ đề được quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu toán học. Phương pháp tìm nghiệm khác nhau đã được đề xuất cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu: Phương pháp chiếu metric, phương pháp hiệu chỉnh TiKhonov, phương pháp điểm gần kề, phương pháp gradient kéo dài. . . Trong những năm gần đây sự tồn tại nghiệm và thuật toán tìm nghiệm cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu và tựa đơn điệu được nghiên cứu trong nhiều tài liệu. Người ta đã tìm được những thuật toán để giải các bài toán này trong nhiều trường hợp đặc biệt. Một số phương pháp chiếu cải biên là những phương pháp được nghiên cứu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân. Với mong muốn tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề trên, cùng sự gợi ý, giúp đỡ tận tình của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, tôi chọn đề tài “Một số phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân” làm luận văn thạc sĩ của mình. Luận văn giới thiệu một số phương pháp chiếu cải biên để giải bài toán
3 bất đẳng thức biến phân: Cho H là không gian Hilbert, C là tập con khác rỗng của H , ánh xạ T : C → H . Bài toán: Tìm vectơ x∗ ∈ C sao cho hT (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, với mọi x ∈ C, được gọi là bất đẳng thức biến phân. Bài toán này đóng vai trò rất quan trọng trong lý truyết phương trình toán tử và phương trình vi phân, cũng như trong các lĩnh vực khác của khoa học. Việc xét sự tồn tại nghiệm và việc tìm ra được thuật toán để giải ra nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân bằng một số phương pháp chiếu cải biên là một trong những vấn đề quan trọng, được các nhà toán học quan tâm và nghiên cứu sâu rộng. Để làm điều này, chúng ta nghiên cứu phạm vi của các ứng dụng của một số phương pháp chiếu cải biên và tìm hiểu các ứng dụng trong từng phương pháp, cụ thể là thuật toán chiếu cải biên với hệ số ưu tiên và thuật toán chiếu cải biên không có hệ số ưu tiên. Nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân , sự tồn tại nghiệm. Sau đó, tìm các mối liên hệ giữa bài toán này với các bài toán khác. Mục đích chính của luận văn là giới thiệu một số phương pháp giải bài toán trên, qua việc sử dụng những tính chất của phép chiếu. Luận văn là một tổng quan về việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân bằng phương pháp chiếu cải biên. Cụ thể, ta sẽ xây dựng những dãy lặp qua toán tử chiếu hội tụ tại nghiệm của bài toán. Cấu trúc luận văn gồm 2 chương. Chương 1 của luận văn dành để nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị: Không gian Hilbert; Phát biểu bái toán bất đẳng thức biến phân; Toán tử đơn điệu và sự tồn tại nghiệm của bài toán
4 bất đẳng thức biến phân; Toán tử chiếu; Phép chiếu metric; Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov; Phương pháp gradient kéo dài với bất đẳng thức biến phân. Chương 2 giới thiệu một số phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân. Mục 2 chương 2 giới thiệu phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân với hệ số ưu tiên, mục 2 chương 2 giới thiệu phương pháp chiếu cải biên giải bài toán bất đẳng thức biến phân không có hệ số ưu tiên.
5 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm để sử dụng cho chương sau. Ta nhắc lại không gian Hilbert và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert. Nội dung của chương này được trình bày dựa trên các tài liệu [3], [6]và việc chứng minh các định lí có thể tìm thấy ở những tài liệu này. 1.1. Không gian Hilbert Trước hết, ta nhắc lại định nghĩa không gian Hilbert, một số khái niệm cơ bản thuộc không gian Hilbert như tính trực giao, hình chiếu, toán tử compact và toán tử bị chặn.Ta thấy không gian này có nhiều tính chất rất hay gần giống như không gian hữu hạn chiều. Ta bắt đầu bằng định nghĩa. Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính thực. Ta gọi : h., .i là một tích vô hướng trên không gian X nếu h., .i là một ánh xạ h., .i : H × H → R thỏa mãn các điều kiện sau: i) hu, vi = hv, ui , ∀u, v ∈ U ; ii) hu + v, wi = hu, vi + hv, wi , ∀u, v, w ∈ U ; iii) hλu, vi = λ hu, vi , ∀λ ∈ R; ∀u, v ∈ U ;
6 iv) hu, ui ≥ 0, ∀u ∈ U, hu, ui = 0 ⇔ u = 0. hu, vi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ u và v. H cùng với tích vô hướng này được gọi là không gian tiền Hilbert. p Nếu ta định nghĩa ||u|| = hu, ui với mọi u ∈ H thì ||.|| là một chuẩn trên H và như vậy, (H, ||.||) là không gian định chuẩn. Hơn vậy, nếu ta định nghĩa q ρ(u, v) = hu − v, u − vi thì ρ là một metric và (H, ρ) là không gian metric. Nếu (X, ρ) là không gian metric đầy đủ thì (H, h., .i) được gọi là không gian Hilbert. Trong luận văn này ta thống nhất kí hiệu H là một không gian Hilbert thực. Ta dễ dàng chỉ ra rằng không gian Euclide n-chiều là trường hợp đặc biệt của không gian Hilbert. Ta nói hai vectơ u và v của một không gian Hilbert trực giao với nhau, và kí hiệu u ⊥ v, nếu hu, vi = 0. Từ định nghĩa ấy có thể suy ra tính chất đơn giản sau đây: i) Nếu u ⊥ v thì v ⊥ u. Ta có u ⊥ u khi và chỉ khi u = 0. Vectơ 0 trực giao với mọi vectơ u; ii) Nếu u ⊥ (v1 , v2 , ..., vn ) thì u ⊥ (α1 v1 + α2 v2 + ... + αn vn ); iii) Nếu u ⊥ yn , vn → v(∀n → ∞) thì u ⊥ v; iv) Nếu tập M trù mật trong H thì M ⊥ gồm 1 phần tử duy nhất là 0, nghĩa là u ⊥ M ⇒ u = 0; v) Nếu u ⊥ v thì ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 (định lí Pythagore); vi) Nếu {un } là một hệ trực giao (nghĩa là các vectơ trực giao từng đôi ∞ X ∞ X n một) thì chuỗi (u ) hội tụ khi và chỉ khi chuỗi ||un ||2 < ∞. n=1 n=1
7 Định lý sau cho ta biểu diễn của phần tử thông qua không gian con đóng và phần bù của nó. Định lý 1.1. Cho M là không gian con đóng của không gian Hilbert H. Bất kể phần tử u nào của H cũng có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng u = v + w với v ∈ M, w ∈ M ⊥ . (1.1) trong đó v là phần tử của M gần u nhất, tức là ||u − v|| ≤ ||u − x|| với mọi x ∈ M. Định nghĩa 1.2. Cho X và Y là các không gian định chuẩn. Khi đó, toán tử tuyến tính bị chặn A : X → Y được gọi là toán tử compact nếu nó biến tập bị chặn thành tập compact tương đối. Ví dụ 1.1. X và Y là các không gian hữu hạn chiều thì mọi ánh xạ tuyến tính A : X → Y đều là toán tử compact. Toán tử compact là một lớp quan trọng của toán tử bị chặn. Mệnh đề 1.1. ([3]) Mọi toán tử compact đều bị chặn. Mệnh đề sau nói về các phép tính đại số của toán tử compact. Mệnh đề 1.2. ([3]) Cho A, B là hai toán tử compact. Với A, B : H → H. Ta có các phép tính đại số về toán tử compact như sau: i) (A + B)(u) = A(u) + B(u); ii) (αA)(u) = αA(u); iii) (A×B)(u) = A(u)×B(u). Trong đó, (A×B) là tích đề các của A và B; iv) Cho A là toán tử compact trong không gian Hilbert H và B là toán tử bị chặn trên H. Khi đó AB và BA là toán tử compact.
8 Định nghĩa 1.3. Một toán tử được gọi là hữu hạn chiều nếu miền giá trị của nó là hữu hạn. Trong không gian hữu hạn chiều hai khái niệm này trùng với nhau. Cụ thể ta có: Mệnh đề 1.3. ([3]) Toán tử bị chặn và hữu hạn chiều là compact. Định lý sau cho ta các phép tính tôpô của toán tử compact và tính đóng của dãy toán tử compact trong không gian Hilbert. Định lý 1.2. ([3]) Giới hạn của dãy hội tụ đều các toán tử compact là com- pact. Trong trường hợp đặc biệt, nếu E1 , E2 , . . . , En là các toán tử compact trong không gian Hilbert H và ||En − E|| → 0 khi n → ∞ với mọi toán tử E trên H thì E là compact. Hệ quả 1.1. Giới hạn của dãy hội tụ các toán tử hữu hạn chiều là toán tử compact. Nói đến quan hệ giữa ảnh của dãy hội tụ yếu và hội tụ mạnh giữa toán tử compact, ta có định lý sau: Định lý 1.3. ([3]) Một toán tử E trên không gian Hilbert H là compact nếu và chỉ nếu nó biến một dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh. Tức là E là compact nếu và chỉ nếu un → u thì Eun → Eu với bất kì un , u ∈ H. 1.2. Bất đẳng thức biến phân Đầu tiên, ta phát biểu khái niệm về bài toán bất đẳng thức biến phân. Sau đó là phát biểu bài toán bù và một số bài toán liên quan. Phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân Cho C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert (H, h., .i) và cho T : C → H là một ánh xạ. Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân được định nghĩa bởi C và T, kí hiệu là V I(C, T ), được phát biểu dưới dạng:
9 Tìm vectơ x∗ ∈ C sao cho hT (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.2) Tập nghiệm của bài toán được kí hiệu là Sol(C, T ). Dưới đây là luôn giả thiết C là tập lồi, đóng và ánh xạ T là liên tục. Ví dụ đơn giản của hai bài toán bất đẳng thức biến phân là giải một phương trình phi tuyến cổ điển, nó tương ứng với trường hợp H = C. Trong trường hợp đó, rõ ràng điều kiện (1.2) được viết tương đương như sau T (x∗ ) = 0. Như thường lệ, T được gọi là ánh xạ giá. Một biểu diễn hình học của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T ) : x∗ ∈ C là một nghiệm của V I(C, T ) khi và chỉ khi vectơ T (x∗ ) và vectơ y − x∗ tạo với nhau thành một góc nhọn hoặc vuông, với mọi y ∈ C. Ta có thể định dạng điều này dưới nón pháp tuyến ngoài tại điểm x∗ của tập C như sau: NC (x∗ ) = {z ∈ H : hz, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}. Vectơ z ∈ NC (x∗ ) gọi là vectơ pháp tuyến ngoài tại điểm x∗ ∈ C. Bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T ) chỉ ra rằng: x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T ) khi và chỉ khi T (x∗ ) là một vectơ pháp tuyến ngoài tại x∗ của C, hay 0 ∈ T (x∗ ) + NC (x∗ ). Khi C là một nón (tức là x ∈ C kéo theo τ x ∈ C với mọi số vô hướng τ ≥ 0), một số trường hợp đặc biệt của (1.2) gọi là bài toán bù. Định nghĩa 1.4. Bài toán bù được cho bởi một nón lồi C và một ánh xạ T : C → H là một bài toán tìm một vectơ x∗ ∈ H với: x∗ ∈ C, T (x∗ ) ∈ C ∗ , hT (x∗ ), x∗ i = 0, (1.3) với C ∗ := {d ∈ H : hd, xi ≥ 0, ∀x ∈ C}, là một nón đối ngẫu của C. Bài toán (1.3) được viết tắt là KP (C, T ).
10 Khi x ∈ C và T (x) ∈ C ∗ thì x được gọi là vectơ chấp nhận được của KP (C, T ). Nếu bài toán KP (C, T ) có một vectơ chấp nhận được thì nó được gọi là có tính chấp nhận được. Nếu H = Rn , T là một ánh xạ affin, tức là, T (x) = M x + q với M ∈ Rn×n , q ∈ Rn , và C = Rn+ (trong trường hợp này C ∗ = Rn+ ), KP (C, T ) trở thành bài toán bù tuyến tính, kí hiệu là LKP (M, q) : x∗ ≥ 0, M x∗ + q ≥ 0, hM x∗ + q, x∗ i = 0. (1.4) Khi đó bất đẳng thức trong Rn+ được xem là các thành phần không âm. Tập nghiệm của bài toán này được kí hiệu là Sol(M, q). Mối liên hệ mật thiết giữa V I(C, T ) và KP (C, T ) với là một nón được mô tả dưới đây. Mệnh đề 1.4. Giả sử C là một nón lồi, điểm x∗ là một nghiệm của bài toán bù KP (C, T ) nếu và chỉ nếu x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T ). Chứng minh. Thật vậy, trước giả thiết x∗ là nghiệm của bài toán bù KP (C, T ), thì x∗ ∈ Rn+ , T (x∗ ) ∈ Rn+ và hT (x∗ ), x∗ i = 0. Khi đó hT (x∗ ), x − x∗ i = hT (x∗ ), xi − hT (x∗ ), x∗ i = hT (x∗ ), xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn+ . Vì vậy x∗ là nghiệm đúng của V I(C, T ). Ngược lại, giả sử x∗ ∈ Rn+ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(C, T ). Đặt ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), y = x∗ + ei , trong đó 1 là vị trí thứ i. Khi đó, y ∈ Rn+ và 0 ≤ T (x∗ ), x∗ + ei − x∗ = T (x∗ ), ei = Ti (x∗ ). Do vậy T (x∗ ) = (T1 (x∗ ), . . . , Tn (x∗ )) ∈ Rn+ . (1.5)
11 Từ bất đẳng thức hT (x∗ ), x − x∗ i ≤ 0, ∀x ∈ Rn+ . và x = 0 ∈ Rn+ , suy ra hT (x∗ ), x∗ i ≤ 0. Mặt khác, theo giả sử x∗ ∈ Rn+ và theo (1.5), ta có hT (x∗ ), x∗ i ≥ 0. Do đó: hT (x∗ ), x∗ i = 0. Vậy x∗ nghiệm đúng của KP (C, T ). 1.3. Toán tử đơn điệu và sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân gắn liền với ánh xạ T và tập C. Việc xét sự tồn tại nghiệm của bài toán này phải được đặt điều kiện lên tập C và ánh xạ T. Ta đưa ra một số khái niệm về tính đơn điệu của ánh xạ dưới đây. Định nghĩa 1.5. ([6]) Cho C là một tập con lồi, khác rỗng của một không gian Hilbert H và một ánh xạ T : C ⊂ H → H. Khi đó: 1) Ánh xạ T được gọi là đơn điệu mạnh trên C nếu ∃γ > 0 sao cho hT (x) − T (y), x − yi ≥ γ||x − y||2 , ∀x, y ∈ C; 2) giả đơn điệu mạnh trên C nếu ∃γ > 0 sao cho hT (x), y − xi ≥ 0 ⇒ hT (y), y − xi ≥ γ||x − y||2 , ∀x, y ∈ C; 3) đơn điệu chặt trên C nếu hT (x) − T (y), x − yi > 0, ∀x, y ∈ C, x 6= y;
12 4) đơn điệu trên C nếu hT (x) − T (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C; 5) giả đơn điệu trên C nếu với mỗi x, y ∈ C hT (y), x − yi ≥ 0 ⇒ hT (x), x − yi ≥ 0; 6) tựa đơn điệu trên C, nếu với mỗi x, y ∈ C hT (y), x − yi > 0 ⇒ hT (x), x − yi ≥ 0; 7) tựa đơn điệu hiển trên C, nếu với mỗi x, y ∈ C x+y hT (y), x − yi > 0 ⇒ hT (w), x − yi ≥ 0, ∀w ∈ ,y . 2 Mệnh đề dưới đây cho ta biết tập nghiệm của V I(C, T ) là khác rỗng nếu T là giả đơn điệu mạnh và cấu trúc của Sol(C, T ) là lồi nếu T liên tục và giả đơn điệu. Mệnh đề 1.5. Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng và T : C → H là liên tục. i) Nếu T là giả đơn điệu mạnh, thì V I(C, T ) có ít nhất một nghiệm; ii) Nếu T là giả đơn điệu, thì Sol(C, T ) là lồi. Chứng minh. Nếu T là giả đơn điệu mạnh với mođun γ > 0 và x∗ , y ∗ ∈ Sol(C, T ) thì hT (y ∗ ), x∗ − y ∗ i ≥ 0 và hT (y ∗ ), y ∗ − x∗ i ≥ γ||x∗ − y ∗ ||2 . Thêm vào bất đẳng thức này 0 ≥ γ||x∗ − y ∗ ||2 suy ra x∗ = y ∗ và do đó chứng minh được khẳng định i). Cho T là liên tục và giả đơn điệu. Để có được ii), ta phải chứng minh rằng \ Sol(C, T ) = {x∗ ∈ C : hT (x), x − x∗ i ≥ 0}. x∈C
13 Đúng vậy, nếu x∗ ∈ Sol(C, T ), thì hT (x∗ , x − x∗ )i ≥ 0 với mọi x ∈ C. Vì tính giả đơn điệu của T, suy ra hT (x, x − x∗ )i ≥ 0 với mọi x ∈ C, từ đó ta có x∗ thuộc vế phải của đẳng thứ ở trên. Hơn nữa, giả sử x∗ thuộc tập thứ hai. Với mỗi x ∈ C là bất kỳ. Từ τ x∗ + (1 − τ )x ∈ C với mọi τ ∈ (0, 1), ta có hT (τ x∗ + (1 − τ )x), x − x∗ i ≥ 0, ∀τ ∈ (0; 1). Với τ → 1 suy ra hT (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0. Như vậy x∗ ∈ Sol(C, T ). Với mỗi x ∈ C, tập {x∗ ∈ C : hT (x), x − x∗ i ≥ 0} là lồi và từ giao của các tập lồi là lồi, kéo theo là Sol(C, T ) cũng là lồi. Trong phần chứng minh của mệnh đề 1.5ii), ta thấy rằng nếu F là liên tục và giả đơn điệu trên một tập C lồi và đóng thì x∗ ∈ Sol(C, T ) khi và chỉ khi hT (x), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. Kết quả trên được gọi là bổ đề Minty cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu. Đây là một tổng quát của bổ đề Minty cổ điển. 1.4. Toán tử chiếu và các tính chất cơ bản Xét phép toán tử chiếu được đưa ra ở Định nghĩa 1.6 với giả thiết rằng C ⊂ H là tập lồi, đóng và khác rỗng. Một số tính chất cơ bản của toán tử chiếu PC : H → C được trình bày trong nội dung sau. Định lý 1.4. Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng. 1) PC (.) là ánh xạ không giãn, tức là với mọi x, y ∈ H, ||PC (x) − PC (y)|| ≤ ||x − y||. 2) Với y ∈ H, z ∈ C hai tính chất sau tương đương a) z = PC (y). b) y − z ∈ NC (z).
14 3) Lấy bất kỳ x ∈ H và bất kỳ y ∈ C, ||y − PC (x)||2 ≤ ||x − y||2 − ||x − PC (x)||2 . 4) Giả sử y ∈ C thì hPC (y) − y, x − PC (y)i = 0 là siêu phẳng tựa của C tại PC (y) và tách hẳn y ra khỏi C, tức là hPC (y) − y, x − PC (y)i ≥ 0, ∀x ∈ C, và hPC (y) − y, y − PC (y)i < 0. Ở đây, cho C là tập lồi, nếu x∗ ∈ C thì một siêu phẳng ht, x − x∗ i = 0 (đi qua x∗ ) sao cho ht, x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C gọi là một siêu phẳng tựa của C tại x∗ . Chứng minh. Trước hết ta đi chứng minh Khẳng định 2) Trước tiên ta chứng minh a) ⇒ b). Giả sử z = PC (y) ta cần chứng minh y − z ∈ NC (z). Đúng vậy, lấy x ∈ C, λ ∈ (0, 1). Đặt xλ = λx + (1 − λ)z. Ta có x, y ∈ C và tập C lồi nên xλ ∈ C. mà z = PC (y) nên suy ra ||z − y|| ≤ ||y − xλ ||. hay ||z − y||2 ≤ ||y − xλ||2 ≤ ||y − (λx + (1 − λ)z)||2 ≤ ||λ(z − x) + (y − z)||2 ≤ λ2 ||z − x||2 + ||y − z||2 + 2λhz − x, y − zi.