Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của phương trình Monge Ampère phức và lý thuyết đa thế vị

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

125
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của phương trình Monge Ampère phức và lý thuyết đa thế vị bao gồm những nội dung về dòng dương và hàm đa điều hòa dưới, bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge - Ampère, phương trình Monge - Ampère cho hàm không bị chặn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của phương trình Monge Ampère phức và lý thuyết đa thế vị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Nguyễn Phương Duy MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Phạm Nguyễn Phương Duy MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE PHỨC VÀ LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến Thầy TS. Nguyễn Văn Đông, người đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến giúp cho luận văn được hoàn chỉnh hơn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Khoa Toán – Tin của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Phòng Sau đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chương trình học tập và thực hiện luận văn này. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè đã động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cảm ơn. Phạm Nguyễn Phương Duy 1
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1 MỤC LỤC .................................................................................................................... 2 MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 3 CHƯƠNG 1: DÒNG DƯƠNG VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI.......................... 5 1.1. Dạng dương ................................................................................................................. 5 1.2. Dòng.............................................................................................................................. 9 1.3. Dòng liên kết với hàm đa điều hòa dưới ................................................................. 13 1.4. Công cụ làm việc với dòng........................................................................................ 15 1.5. Dung lượng tương đối và sự hội tụ của dòng ......................................................... 17 1.6. Nguyên lý so sánh ...................................................................................................... 24 1.7. Hàm cực trị tương đối ............................................................................................. 26 1.8. Tập hợp nhỏ............................................................................................................... 29 CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH MONGE- AMPÈRE .................................................................................................................... 32 2.1. Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampère phức với dữ liệu liên tục. ..................................................................................................................................... 32 2.2. Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge Ampere phức với nghiệm là hàm đa điều hòa dưới bị chặn. ................................................................................................ 40 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPÈRE CHO HÀM KHÔNG BỊ CHẶN ......................................................................................................................... 54 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................................................... 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 67 2
MỞ ĐẦU Một nhánh trong giải tích phức nhiều biến phát triển mạnh mẽ trong vòng 30 năm trở lại đây là lý thuyết đa thế vị. Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được người ta biết đến từ khá sớm trước những năm 80 của thế kỉ trước, chẳng hạn như Định lí Josefson về sự tương đương giữa tính đa cực địa phương và đa cực toàn thể của một tập trong  n . Tuy nhiên sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau của toán học như: giải tích phức nhiều biến, động lực học phức, giải tích hyperbolic, hình học vi phân phức, phương trình vi phân đạo hàm riêng phức…chỉ thực sự từ những năm 80 của thế kỉ trước trở lại đây. Các kết quả đặc sắc của E.Berford và B.A.Taylor năm 1982 là việc xây dựng thành công toán tử Monge – Ampère phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, tìm ra nghiệm đa điều hòa dưới của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge – Ampère phức và đưa ra khái niệm dung lượng của một tập Borel trong một tập mở trong  n . Có thể xem đây như là một công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa thế vị cho đến nay. Trong những năm gần đây bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère phức ( dd u ) n c = d µ , u = ϕ trên biên được giải với một lớp rộng rãi các độ đo khác nhau. Việc đưa ra các điều kiện để phương trình có nghiệm liên tục cũng như mô tả các độ đo này để phương trình có các nghiệm thuộc lớp rộng hơn các hàm đa điều hòa dưới được sự quan tâm của các nhà toán học trên thế giới. Với mong muốn tìm hiểu một số kết quả của lý thuyết đa thế vị và phương trình Monge – Ampère phức nên tôi chọn nội dung “Một số tính chất của phương trình Monge – Ampère phức và lý thuyết đa thế vị” làm đề tài luận văn của mình. Nội dung chính của luận văn này trình bày về sự tồn tại các nghiệm yếu của phương trình Monge-Ampère phức bằng cách áp dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1. Dòng dương và hàm đa điều hòa dưới: Giới thiệu các khái niệm và định lý cơ bản của lý thuyết đa thế vị. Chương 2. Bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampère: Mục đích chính là đưa ra sự mô tả về các độ đo Borel không âm ở vế phải của phương trình Monge Ampère phức sinh ra các nghiệm đa điều hòa dưới thỏa các đòi hỏi về tính liên tục, tính bị chặn. 3
Chương 3. Phương trình Monge-Ampère cho hàm không bị chặn. Chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge Ampère phức cho lớp các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn trong miền siêu lồi. 4
CHƯƠNG 1: DÒNG DƯƠNG VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI Chương này trình bày một số khái niệm và định lý cơ bản của lý thuyết đa thế vị. Mục 1.1, 1.2 trình bày các tính chất cơ bản của dòng dương. Mục 1.3 giới thiệu các dòng liên kết với các hàm đa điều hòa dưới. Mục 1.4 giới thiệu một số công cụ được sử dụng khi làm việc với dòng như định lý Stokes, bất đẳng thức Schwarz, nguyên lý địa phương hóa, đặc biệt là bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg. Mục 1.5 trình bày các khái niệm dung lượng tương đối và hội tụ theo dung lượng. Nội dung cơ bản trong mục này là các định lý hội tụ 1.5.5, 1.5.10. Mục 1.6 trình bày một trong công cụ hiệu quả nhất trong lý thuyết đa thế vị là Nguyên lý so sánh. Khái niệm và một số tính chất cơ bản của hàm cực trị tương đối được trình bày trong mục 1.7. Mục 1.8 được dành cho việc trình bày về các tập nhỏ như tập đa cực, tập không đáng kể và mối liên hệ giữa các tập này, định lý Josefson cũng được trình bày trong mục này. Nội dung của chương 1 được trích trong các tài liệu tham khảo [LG], [BT1], [BT2], [X], [De], [D-H], [KO], [KLi], [Ho]. 1.1. Dạng dương Kí hiệu C(∞p , p ) ( Ω ) là tập hợp tất cả các dạng vi phân trơn song bậc ( p, p ) xác định trên một tập mở Ω ⊂  n . Ta kí hiệu dạng ω bất kỳ trong C(∞p , p ) ( Ω ) bởi =ω ip = ∑ J p= ,K p ' ω JK dz J ∧ dz K , trong đó ω JK là hàm thuộc lớp C ∞ trong Ω , dz J = dz j ∧ dz j ∧ ... ∧ dz j , 1 2 p dz J = dz j1 ∧ dz j2 ∧ ... ∧ dz j p , và ∑ ' là tổng lấy theo các đa chỉ số J = ( j1 ,..., j p ) , K = ( k1 ,..., k p ) sao cho j1 < j2 < ... < j p ; k1 < k2 < ... < k p . Ta gọi ω dạng Hec-mit nếu ω = ω . Khi ω ∈ C(∞p , p ) ( Ω ) có biểu diễn ω = i pω1 ∧ ω1 ∧ ω2 ∧ ω2 ∧ ... ∧ ω p ∧ ω p , trong đó ω j ∈ C(∞1,0) ( Ω ) thì ω được gọi là một dạng dương sơ cấp. ( ωl có dạng dz j ± dzk hoặc dz j ± idzk ) 5
Mệnh đề 1.1.1. Không gian các dạng song bậc ( p, p) với hệ số hằng được sinh ra bởi các dạng dương sơ cấp. Chứng minh. Ta chỉ cần biểu diễn dz j ∧ dzk là tổ hợp tuyến tính của các dạng dương sơ cấp. Thật vậy, 1 4 s dz j = ∧ dzk ∑ 4 s =1 i (dz j + i s dzk ) ∧(dz j + i s dzk ) .  Mệnh đề 1.1.2. Nếu ω là dạng dương sơ cấp trên Ω ' ⊂  n và f : Ω → Ω ' là ánh xạ chỉnh hình thì dạng kéo ngược (pull-back) f *ω là dạng dương sơ cấp. = Chứng minh. Giả sử f ( f1 ,..., f n ) : Ω → Ω ' với f j : Ω →  là ánh xạ chỉnh hình. n Giả sử α= ∑ a dz j =1 j j ∈ ∞(1,0) (Ω ') . Khi đó: n  ∂f j  f *α = ∑= a df ∑  ∑ a j j j ∂ωk  d ωk j =1 k  j n  ∂f j  f *α = ∑= a jd f j ∑  ∑ a j d ωk ∂ωk  j =1 k  j Do đó f * (α ∧ α ) = f *α ∧ f *α( ) Như vậy nếu ω= i pω1 ∧ ω1 ∧ ... ∧ ω p ∧ ω p với ω j ∈ ∞(1,0) (Ω ') thì f= * ω i p f *ω1 ∧ ( f *ω1 ) ∧ ... ∧ f *ω p ∧ ( f *ω p ) và do đó, f *ω là dạng dương sơ cấp.  Ta thường sử dụng dạng (Kahler) chính tắc (1,1) trên  n : i i n n β= ∂∂ z = ∑ dz j ∧ dz j= ∑ dx ∧ dy j 2 j 2 2 1 1 6
1 n Khi đó Vn = β là dạng thể tích trong  n . n! Định nghĩa 1.1.3. Dạng ω ∈ ∞( p , p ) được gọi là dạng dương nếu với mọi dạng dương sơ cấp α ∈ ∞( n − p ,n − p ) ta có ω ∧α =f β n với f ≥ 0 Mệnh đề 1.1.4. 1) Dạng kéo ngược của một dạng dương trên một ánh xạ song chỉnh hình thì dương. 2) Một dạng song bậc ( p, p ) là dương khi và chỉ khi thu hẹp của nó trên một đa tạp con giải tích phức p chiều tùy ý (tương đương: không gian con giải tích p chiều tùy ý) bằng với dạng thể tích của một đa tạp con nhân với một hàm không âm. Chứng minh. 1) Cho f : Ω → Ω ' là ánh xạ song chỉnh hình và cho ω là dạng dương trên Ω ' . Với một dạng dương sơ cấp α ∈ C(∞p , p ) ( Ω ) thì dạng kéo ngược của nó ( f −1 ) *α cũng là dạng dương sơ cấp. Do đó với hàm không âm g nào đó f * ω ∧= ( α f * ω ∧ ( f −1 ) *α ) = f * ( g β= n ) g det f ' β n 2 2) Từ 1) ta có thể quy chứng minh về việc kiểm tra điều kiện của định nghĩa trong trường hợp dạng dương sơ cấp = α 0 i n − p dz p +1 ∧ dz p +1 ∧ ... ∧ dzn ∧ dzn và không gian con A0= {z : z = ...= zn= 0} . Nhưng nếu thu hẹp trên A0 của dạng ω song bậc p +1 ( p, p ) bằng i p gdz1 ∧ dz1 ∧ ... ∧ dz p ∧ dz p =2 p gV p thì ω ∧ α 0 = 2n gVn . n 1 n 1 i ( Lưu ý rằng Vn= β= β ∧ ... ∧ β=   dz1 ∧ d z1 ∧ ... ∧ dzn ∧ d zn ).  n! n !  n  2 Mệnh đề 1.1.5 7
∑ α jk dz j ∧ dzk là dương nếu và chỉ nếu (α jk ) là dạng ma trận Héc – mit i = 1) Dạng (1,1) α 2 (nửa xác định) dương. 2) Hơn nữa, nếu ω là dạng ( p, p ) dương thì α ∧ ω là dạng dương. Chứng minh.1) Đầu tiên ta nhận xét rằng nếu α là dạng dương thì nó là dạng Hec-mit. Thật vậy, với bất kì dạng dương sơ cấp γ song bậc ( n − p, n − p ) ta có α ∧γ = α ∧γ = α ∧γ Theo Mệnh đề 1.1.1 điều này đúng cho mọi dạng ( n − 1, n − 1) . Do đó α = α . Nếu ta xét tham số hóa của một đường thẳng phức L : λ → ( λω1 , λω2 ,..., λωn ) i thì L *α = 2 ∑ α jkω jωk d λ ∧ d λ . Sử dụng Mệnh đề 1.1.3 ta được tương đương mong muốn khi ω thay đổi. n n γj (= ∑ a jk dzk ∈ C1,0 (Ω) thì γ 1 ∧ ...= k =1 ∧ γ n −1 ∑M k =1 k dz1 ∧ ... ∧ dzk −1 ∧ dzk +1 ∧ ... ∧ dzn , n M k = det ( ast= )s 1,...,n−1 =t 1,..., n ,t ≠ k và α ∧ γ = α ∧ i n −1γ 1 ∧ γ 1... ∧ γ n −1 ∧ γ n −1 = ∑α k =1 jk M k M k dVn ) 2) Ta có thể áp dụng phép biến đổi tọa độ Unita để chéo hóa ma trận (α jk ) tại điểm cho trước z0 sao cho α ( z0 ) = i ∑ α jj dz j ∧ dz j , α jj ≥ 0 . (Giả sử P là ma trận Unita, tức là PT P = (δ jk ) sao cho B = P −1 (α jk ) P là ma trận đường chéo. (α jk ) PBP Từ đó = = −1 PB ( PT ) −1 . 8
 b1 0 0 0   sử P (= Pjl ) , B  0 b2 0 0 Giả= ta có  .. .. .. ..    0 0 0 bn  i   (α ) = ∑ P B P= i jk l ,αjl l lk 2 ∑ α jk dz j= ∧ dzk ∑ b 2  ∑ P dz l jl j  ∑ Plk dz j  )   Khi đó với bất kì dạng dương sơ cấp γ α ∧ ω= ∧γ ∑α jj ω ∧ ( idz j ∧ dz j ∧ γ ) Do những dạng trong dấu ngoặc là dương sơ cấp ta có vế phải là không âm vì là tổng của các số hạng không âm.  1.2. Dòng Vì các hàm đa điều hòa dưới nói chung là không trơn, ta cần nghiên cứu dạng với hệ số phân bố được gọi là dòng. Đặc biệt chúng ta quan tâm nghiên cứu các dòng dương. Ký hiệu D( p ,q ) ( Ω ) là không gian các dạng thử song bậc ( p, q ) trên Ω trang bị tô pô Schwartz. (Cho Ω ⊂  n là tập mở, {Ω j } j =1 là dãy tăng các tập mở, compact tương đối, vét cạn Ω. Với ∞ = k ≥ 0 xét các hệ nửa { } chuẩn ϕ k ,Ω sup D β ϕ I , J ( x) : x ∈ Ω j , β ≤ k , I , J . Khi đó D( p ,q ) Ωj là j ( ) không gian Frèchet với tô pô xác định bởi hệ { k ,Ω j } : k = 0,1,.. . Tô pô trên D( p ,q ) ( Ω ) là giới hạn quy nạp chặt họ tô pô xác định trên D( p ,q ) Ωj . ( ) Như vậy nếu {ϕ j } ⊂ D( p ,q ) ( Ω ) , ϕ o ∈ D( p ,q ) = (Ω) , ϕ j ∑ϕ j I ,J zJ , ϕ 0 dz I ∧ d= ∑ϕ 0 I ,J dz I ∧ d z J thì I ,J I ,J ϕ j → ϕ 0 trong D( p ,q ) ( Ω ) khi 1) Tồn tại tập compact K ⊂ Ω sao cho suppϕ Ij, J ⊂ K , suppϕ I0, J ⊂ K với mọi I , J , j ≥ 1 . 2) D β ϕ Ij, J → D β ϕ I0, J đều trên K khi j → ∞ với mọi I, J và β ∈  2n + Ký hiệu D(0p ,q ) (Ω) là không gian các dạng ( p, q) có hệ số liên tục trên Ω có giá compact, tô pô trên nó cũng được xác định tương tự) 9
Định nghĩa 1.2.1. Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian D( p ,q ) ( Ω ) được gọi là dòng song bậc ( n − p, n − q ) (tương đương: song chiều ( p, q ) ) trên Ω . Tập hợp tất cả các dòng như thế được kí kiệu là D '( p ,q ) ( Ω ) . Những phần tử thuộc ( D(0p ,q ) (Ω)) ' được gọi là dòng song bậc ( n − p, n − q ) cấp 0. Dòng song bậc (n, n) là một phân bố trên Ω . Dòng song bậc (n, n) cấp 0 là một độ đo Borel chính quy trên Ω . Khi T ∈ D '( p ,q ) ( Ω ) nếu ta có (T , ω ) ≥ 0 với mọi ω là dạng thử dương sơ cấp tùy ý thì T được gọi là dòng dương. Với một tập các đa chỉ số được sắp thứ tự tăng J ta kí hiệu J ' là đa chỉ số tăng duy nhất {1, 2,..., n} và J + J ' = sao cho J ∪ J ' = n . Khi đó, ta kí hiệu α JK là dạng bù của dz J ∧ dz K , nghĩa là α JK λ dz J ' ∧ dz K ' , = trong đó λ được chọn sao cho dz J ∧ dz K ∧ α JK = Vn . Nhận xét rằng ta có thể đồng nhất một dòng T ∈ D '( p ,q ) ( Ω ) với một dạng vi phân mà có có hệ số là phân bố (hàm suy rộng) =T ∑ J = n− p, ' TJK dz J ∧ dz K . K = n−q Hệ số TJK được xác định bởi (TJK , φ ) = (T , φα JK ) . Cũng như trong trường hợp dạng vi phân, tính chất dương của dòng không bị ảnh hướng bởi phép biến đổi tọa độ song chỉnh hình. Cho f : Ω → Ω ' là ánh xạ song chỉnh hình và T ' là dòng dương trên Ω ' . Khi đó kéo ngược T = f * T ' của T ' theo f được xác định bởi (T , ω ) = (T ', ( f −1 ) * ω ) cũng dương. Cho T ∈ D '( p , p ) ( Ω ) ta đặt 10
( f*T , ω ') = (T , f * ω ') và gọi f*T là ảnh trực tiếp của T . Khi đó với T là dương thì ảnh trực tiếp của nó f*T cũng dương. Khẳng định trên được suy ra một cách trực tiếp từ tính chất kéo ngược của dạng dương sơ cấp là dạng dương sơ cấp. Ta cũng có thể định nghĩa tích ngoài của một dòng T và một dạng trơn ω là (T ∧ ω , φ ) := (T , ω ∧ φ ) với φ là dạng thử tùy ý. Nếu T là dương và ω là dạng (1,1) dương thì T ∧ ω cũng dương. Đặc biệt, với một dòng ( p, p ) dương và một dạng ω dương sơ cấp song bậc ( n − p, n − p ) ta có dòng T ∧ ω là một độ đo Radon không âm. Ta lấy vi phân của dòng theo công thức ( DT , φ ) = − (T , Dφ ) với D là toán tử vi phân cấp một. ∂ϕ I , J ( Cho ∂ : D( p ,q ) ( Ω ) → D( p +1,q ) ( Ω ) xác định = bởi ∂ϕ ∑∑ I , J 1≤ k ≤ n ∂zk dzk ∧ dz I ∧ d z J ∂ϕ I , J ∂ : D( p ,q ) ( Ω ) → D( p ,q +1) ( Ω ) xác = định bởi ∂ϕ ∑∑ I , J 1≤ k ≤ n ∂ zk d zk ∧ dz I ∧ d z J với =ϕ ∑ϕ I ,J I ,J dz I ∧ d z J . Nếu T là một dòng song bậc ( p, q ) trong Ω thì ( ∂T , φ ) = (−1) p + q +1 (T , ∂φ ) , ( ∂T ,φ ) = (−1) p + q +1 (T , ∂φ ) và dT = ∂T + ∂T . Ta thường sử dụng toán tử d c =: i ( ∂ − ∂ ) . Như vậy dd cT= 2i∂∂T và ( dd T ,ϕ ) = (T , dd ϕ ) với ϕ ∈ D( c c n − p −1, n − q −1) ( Ω ) . Do đó dd cT là dòng song bậc (p+1,q+1).) 11
Mệnh đề 1.2.2. Tác động của một dòng dương có thể được mở rộng liên tục đến không gian các dạng có giá compact với hệ số liên tục D(0p ,q ) (Ω) . Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng nếu =T =J p= ,K p ∑ ' TJK dz J ∧ dz K thì tất cả các TJK là độ đo Radon. Ta biểu diễn α JK được giới thiệu ở trên trong một cơ sở (ω ) gồm các dạng dương sơ cấp với hệ số hằng (xem Mệnh đề 1.1.1) j α JK = ∑ csJK ωs Khi đó với hàm thử tùy ý g ta có (TJK , g ) = , gα JK ) ∑ csJK (= (T= T , gωs ) ∑ csJK (T ∧ ωs , g ) . Do đó TJK là tổ hợp tuyến tính của độ đo không âm Radon.  Cho một dòng T với hệ số độ đo ta có thể xác định một chuẩn T E = = ∑ J p= ,K q ' TJK E , trong đó TJK E là biến phân toàn phần của TJK trên tập compact E . Với hai dòng S , T song bậc ( p, p ) bất đẳng thức S ≤T có nghĩa là T − S là một dòng dương. Mệnh đề 1.2.3. Tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc vào chiều của không gian sao cho T E ≤ C ∫ T ∧ β n− p E với dòng dương T ∈ D '( n − p ,n − p ) ( Ω ) . Chứng minh. Trong phần chứng minh trước ta có biểu diễn 12
= TJK ∑c sJK T ∧ ωs , trong đó ωs là dạng dương sơ cấp với hệ số hằng và csJK chỉ phụ thuộc vào n . Vì ωs là tích ngoài của các dạng (1,1) ta quy việc chứng minh về ước lượng hiển nhiên sau: Với dạng (1,1) ω có hệ số hằng cho trước ta có thể tìm được C1 sao cho ω ≤ C1β . Thường thì rất thuận tiện khi làm việc với các dạng trơn và khi đó chứng minh các mệnh đề về dòng ta sử dụng xấp xỉ của một dòng cho trước bằng các dạng trơn. Để làm điều này ta có thể áp dụng sự chính quy hóa chuẩn bằng cách nhân chập nhân trơn với mỗi hệ số TJK của dòng T . Cho hàm không âm, bất biến với phép quay ρ ∈ C0∞ ( B ) ( B là quả cầu đơn vị trong  n ), trong đó ∫ ρ dV = 1 . Ta định nghĩa dãy chính quy hóa (T j )= I ,J TI , J ∗ ρ j với ρ j ( z ) := j 2 n ρ ( jz ) . Khi đó T j → T theo nghĩa dòng , tức là với dạng thử tùy ý ω dãy (T j , ω ) hội tụ về (T , ω ) . Nếu không phát biểu khác đi khái niệm hội tụ áp dụng cho dãy các dòng được hiểu theo nghĩa này.  1.3. Dòng liên kết với hàm đa điều hòa dưới Kí hiệu tập hợp các hàm đa điều hòa dưới trong Ω là PSH ( Ω ) . Nếu u ∈ PSH ( Ω ) thì dd c u là n ∂ 2u i ∂ 2u dòng dương đóng (1,1) . ( dd cu = 4 ∑ dz j d zk trong đó là đạo hàm theo nghĩa j , k =1 ∂z j ∂ zk 2 ∂z j ∂ zk phân bố của u) Ta có thể định nghĩa tích ngoài của các dòng dd c u với điều kiện rằng các hàm đa điều hòa dưới là bị chặn địa phương. Thật vậy, mệnh đề sau nói lên điều đó Mệnh đề 1.3.1. Cho u ∈ PSH ∩ L∞loc ( Ω ) và một dòng dương đóng T trên Ω . Khi đó dòng dd c ( uT ) cũng được xác định tốt. Hơn nữa, dòng dd c u ∧ T := uT và dd c u ∧ T := dd c ( uT ) đồng thời đóng và dương. 13
Chứng minh. Khẳng định có tính chất địa phương, nên ta có thể chính quy hóa u bởi dãy giảm các hàm trơn bị chặn đều u j . Vì các hệ số phân bố của T là độ đo phức nên từ định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta suy ra u jT hội tụ yếu đến uT . Do đó dd c ( u jT ) → dd c ( uT ) . Do ( ) u j trơn ta có dd c = u jT dd c u j ∧ T và do đó dd c u ∧ T là giới hạn của các dòng dương đóng dd c u j ∧ T . Bằng cách này, sử dụng quy nạp, ta có thể xác định dòng dương đóng dd c u1 ∧ dd c u2 ∧ ... ∧ dd c u N , với u j ∈ PSH ∩ L∞loc ( Ω ) . Đồng thời ta cũng có thể xác định du ∧ d c u ∧ T nếu u là hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và T là dòng dương đóng. Để có điều này ta có thể giả sử rằng u ≥ 0 (do u 2 là hàm đa điều hòa dưới) và sử dụng đồng nhất thức du ∧= d cu ∧ T (1/ 2 ) dd cu 2 ∧ T − udd cu ∧ T Khi đó vế phải được xác định tốt theo mệnh đề (1.3.1) trên. Hơn nữa, nếu T song bậc ( n − 1, n − 1) và v là một hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương thì du ∧ d c v ∧ T = dv ∧ d c u ∧ T được xác định tốt và bằng với (1/ 2 )  d ( u + v ) ∧ d c ( u + v ) ∧ T − du ∧ d cu ∧ T − dv ∧ d c v ∧ T  .  Điều này suy ra từ mệnh đề 1.4.2 bên dưới. Toán tử Monge-Ampère Μ tác động một hàm đa điều hòa dưới trơn u trên C 2 được cho bởi công thức sau  ∂ 2u  Μ ( u ) : 4n n !det ( dd u ) n = =   dVn c ,  ∂z j ∂zk  ở đây lũy thừa ở vế phải được lấy đối với tích ngoài. 14
1.4. Công cụ làm việc với dòng Định lý 1.4.1. (Định lý Stokes). Cho Ω ⊂  n là miền với biên thuộc lớp C 1 và T là một dòng bậc 2n − 1 xác định trong lân cận của Ω , thuộc lớp C1 trong một lân cận của ∂Ω . Khi đó ∫ T = ∫ dT ∂Ω Ω Chứng minh. Chúng ta chứng minh cho các chính quy hóa T j của T . Cố định hàm thử χ trong Ω biết nó bằng 1 trong một lân cận của tập hợp mà trong đó T không trơn. Đặt S j = T (1 − χ ) + χT j Khi đó S j = T trong một lân cận của ∂Ω và ta có thể áp dụng định lý Stoke cơ bản cho S j được ∫T = ∂Ω ∫= ∂Ω S ∫ dS j Ω j → ∫ dT Ω  Mệnh đề 1.4.2. Nếu T là dòng dương đóng trong Ω song bậc ( n − 1, n − 1) và u, v là hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương thì du ∧ d c v ∧ T = dv ∧ d c u ∧ T Chứng minh. Với hàm trơn u và v đẳng thức được suy ra từ điều là các phần của song bậc (1,1) của du ∧ d c v và dv ∧ d c u cùng bằng với i∂u ∧ ∂v + i∂v ∧ ∂u . Trong trường hợp tổng quát ta sử dụng sự chính quy hóa.  1.4.3. Bất đẳng thức Schwarz. Nếu T là một dòng dương song bậc ( n − 1, n − 1) trong Ω và u , v là tổ hợp tuyến tính của các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương thì 1/2 1/2     ∫Ω du ∧ d v ∧ T ≤  Ω∫ du ∧ d u ∧ T   Ω∫ dv ∧ d v ∧ T  c c c Chứng minh. Ta chỉ cần nhận xét rằng dạng ( u, v ) = ∫ du ∧ d cu ∧ T Ω 15
là xác định dương vì du ∧ d cu= 2i∂u ∧ ∂u là dạng dương sơ cấp.  1.4.4. Nguyên lý địa phương hóa. Nếu ta chứng minh sự hội tụ yếu hoặc ước lượng địa phương của một họ các hàm đa điều hòa dưới bị chặn đều địa phương thì không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng các hàm đó thì xác định trong một quả cầu và tất cả bằng nhau trên một lân cận nào đó của biên. Chứng minh. Cho một tập compact K . Ta phủ K bởi các quả cầu B ( a j , r ) . Cố định một trong chúng và xét thu hẹp us của các hàm từ họ các hàm đã cho lên quả cầu =B B ( a j , tr ) , t > 1 , sao cho quả cầu này chứa trong miền chúng ta xét. Vì us là bị chặn đều ta có thể giả sử us < 0 và tìm một hàm đa điều hòa dưới vét cạn h của B sao cho nó nhỏ hơn bất kì us trên B ( a j , r ) . Để kiểm tra ước lượng theo yêu cầu ta bây giờ có thể làm việc với hs = max ( us , h ) , ở đây hs bằng với us trên B ( a j , r ) và bằng với h trong lân cận nào đó của biên B .  1.4.5 Bất đẳng thức Chern-Levine-Nirenberg (CLN). Nếu K ⊂⊂ U ⊂⊂ Ω thì với một = hằng số C C ( K ,U , Ω ) bất đẳng thức sau đúng dd c u0 ∧ dd c u1 ∧ ... ∧ dd c uk ∧ T ≤ C u0 U u1 U ... uk U T U , K với bất kì dòng dương đóng T và bất kì tập các u j ∈ PSH ∩ L∞ ( Ω ) . Hơn nữa dd c u1 ∧ dd c u2 ∧ ... ∧ dd c uk ≤ C ( K , Ω ) u1 L1 ( Ω ) u2 Ω ... uk Ω , K và u0 ∧ dd c u1 ∧ ... ∧ dd c uk ≤ C ( K , Ω ) u0 L1 ( Ω ) u1 Ω ... uk Ω . K Chứng minh. Lấy một hàm thử không âm φ trong U mà bằng 1trong K và không vượt quá 1 ở những nơi khác. Áp dụng Mệnh đề 1.4.2 và hai lần định lý Stokes cho dòng T song bậc ( n − j − 1, n − j − 1) ta được: dd c u0 ∧ T ≤ C1 ∫ φ dd c u0 ∧= T ∧ β j C1 ∫ u0 dd cφ ∧ T ∧ β j K U U ≤ C u0 U T U 16
trong đó C phụ thuộc vào C1 và đạo hàm cấp hai của φ . Lặp lại chứng minh này cho ta khẳng định đầu tiên. Để có được bất đẳng thức thứ hai ta áp dụng nguyên lý địa phương hóa và giả sử rằng −1 ≤ u j ≤ 0, j =1, 2,..., k . Cố định các tập compact K= K 0 ⊂ K1 ⊂ ... ⊂ K k ⊂ Ω và các hàm đa điều hòa dưới trơn trên Ω : h, h1 ,..., hk sao cho h − h j ≥ 1 trên K j −1 và h = h j trên Ω \ K j . Sau đó sử dụng định lý Stoke và Mệnh đề 1.4.2 ta được ∫ dd u ∧ dd c u2 ∧ ... ∧ dd c uk ∧ β n − k c 1 K ≤ ∫ ( h − h ) dd u ∧ dd c u2 ∧ ... ∧ dd c uk ∧ β n − k c 1 1 K1 = ∫ ( −u ) dd ( h − h ) ∧ dd u ∧ dd c u3 ∧ ... ∧ dd c uk ∧ β n − k c c 1 1 2 K1 ≤ ∫ ( −u ) dd h ∧ dd u ∧ dd c u3 ∧ ... ∧ dd c uk ∧ β n − k c c 1 1 2 K1 ≤ ∫ ( h − h ) dd h ∧ dd u ∧ ... ∧ dd c uk ∧ β n − k c c 2 1 2 K2 Cứ tiếp tục như trên ta được ∫ dd u ∧ dd c u2 ∧ ... ∧ dd c uk ∧ β n − k c 1 K ≤ ∫ ( −uk ) dd c h1 ∧ dd c h2 ∧ ... ∧ dd c hk ∧ β n − k ≤ C ∫ ( −uk ) β n Ω Xem lại Mệnh đề 1.2.3 ước lượng này cho khẳng định thứ hai (nếu ta đổi chỗ u1 và uk ). Để có khẳng định thứ ba ta sử dụng nguyên lý địa phương hóa và sau đó lấy tích phân từng phần và lặp lại như trên ta được: ∧ dd c u2 ∧ ... ∧ dd c uk ∧ β n − k ≤ ∫ u0 ( dd c h ) ∧ β n − k .  k ∫ u dd u c 0 1 K Ω 1.5. Dung lượng tương đối và sự hội tụ của dòng Trong lý thuyết đa thế vị, cũng như trong lý thuyết thế vị cổ điển, các dung lượng đóng vai trò quan trọng. Đặc biệt chúng giúp ta quyết định khi nào sự hội tụ của các hàm đa điều hòa dưới là đủ “tốt”. Định nghĩa 1.5.1. 17
  cap ( E , Ω ) sup  ∫ ( dd c u ) : u ∈ PSH ( Ω ) , −1 ≤ u < 0  n = E  được gọi là dung lượng tương đối của tập Borel E (đối với Ω ) Ta sẽ xét các hàm tập hợp gắn với dòng dương đóng T song bậc ( n − k , n − k ) :   capT ( E , Ω ) sup  ∫ ( dd c u ) ∧ T : u ∈ PSH ( Ω ), −1 ≤ u < 0  k = E  Theo bất đẳng thức CLN các đại lượng này là hữu hạn. Hơn nữa, cap ( E , Ω ) ≥ C ∫ Vn với E hằng số C phụ thuộc chiều của không gian và đường kính của Ω . Một số tính chất khác được liệt kê ở mệnh đề sau. Mệnh đề 1.5.2. Cho tập con Borel E j của miền bị chặn Ω ta có 1) cap ( E1 , Ω ) ≤ cap ( E2 , Ω ) nếu E1 ⊂ E2 . 2) cap ( E , Ω ) ≥ lim cap ( E j , Ω ) nếu dãy tăng đến E , j →∞ 3) cap ( E , Ω ) ≤ ∑ cap ( E j , Ω ) với E = ∪ E j . Trong mệnh đề tiếp theo ta ước lượng dung lượng tương đối của một tập mức dưới của một hàm đa điều hòa dưới âm. Mệnh đề 1.5.3. Cho K ⊂⊂ U ⊂⊂ Ω . Khi đó tồn tại hằng số C phụ thuộc vào các tập hợp này sao cho với bất kỳ u ∈ PSH ( Ω ) , u < 0 cap ( K ∩ {u < − j} , Ω ) ≤ C u L1 (U ) . j Bất đẳng thức cũng đúng cho capT với C cũng phụ thuộc T . Chứng minh. Cố định v ∈ PSH ( Ω ) với −1 ≤ v < 0 . Do bất đẳng thức CLN 1 ∫ ( dd v ) ≤   ∫ u ( dd c v ) ≤ c n n C u L1 (U ) K ∩{u