Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số ứng dụng của liên phân số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

97
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Một số ứng dụng của liên phân số" nhằm tìm hiểu những ứng dụng của liên phân số vào một số bài toán số học với những ví dụ đơn giản có thể áp dụng cho học sinh phổ thông, đồng thời nghiên cứu các xấp xỉ tốt nhất đối với một số vô tỉ, đặc biệt là việc xem xét liên phân số ở góc độ hình học để hiểu sâu hơn về liên phân số. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số ứng dụng của liên phân số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN MINH THÚY MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LIÊN PHÂN SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN MINH THÚY MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LIÊN PHÂN SỐ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG Thái Nguyên - 2015
i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Danh sách kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Danh sách hình vẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu 1 1 Kiến thức cơ bản về liên phân số 3 1.1 Liên phân số hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Liên phân số vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Giải phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Giải phương trình nghiệm nguyên bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . 12 1.5 Ứng dụng liên phân số giải phương trình Pell . . . . . . . . . . . . . 14 2 Xấp xỉ tốt nhất một số vô tỉ và góc nhìn hình học 17 2.1 Xấp xỉ tốt nhất đối với số vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Liên phân số dưới góc độ hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48
ii Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: N: Tập các số tự nhiên Z: Tập các số nguyên Z+ : Tập các số nguyên dương Q: Tập các số hữu tỉ R: Tập các số thực R − Q: Tập các số vô tỉ
iii Danh sách hình vẽ Stt Tên hình Trang 1 Hình 2.1 35 2 Hình 2.2 36 3 Hình 2.3 37 4 Hình 2.4 38 5 Hình 2.5 39 6 Hình 2.6 39 7 Hình 2.7 40 8 Hình 2.8 46
1 Mở đầu Liên phân số được giới thiệu đầu tiên bởi Leonardo Fibonacci trong công trình "Liber abaci" xuất bản năm 1202. Đến thế kỉ thứ 16, Bombelli đã biểu diễn các số thực bởi liên phân số. Sau này, vào thế kỉ thứ 17, Huygens đã sử dụng chúng trong việc xây dựng mô hình hệ thống năng lượng mặt trời. Điều tuyệt vời là liên phân số đã mang lại cách biểu diễn số vô tỉ rất rõ ràng. Liên phân số là một đối tượng rất quan trọng của Số học với nhiều ứng dụng hay không chỉ trong các lĩnh vực của Toán học mà còn có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Vì vậy, chúng tôi đã chọn đề tài "Một số ứng dụng của liên phân số" nhằm tìm hiểu những ứng dụng của liên phân số vào một số bài toán số học với những ví dụ đơn giản có thể áp dụng cho học sinh phổ thông, đồng thời nghiên cứu các xấp xỉ tốt nhất đối với một số vô tỉ, đặc biệt là việc xem xét liên phân số ở góc độ hình học để hiểu sâu hơn về liên phân số. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương 1. Chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về liên phân số và một vài ứng dụng phổ biến của nó: giải phương trình đồng dư bậc nhất một ẩn, giải phương trình nghiệm nguyên bậc nhất hai ẩn, ứng dụng liên phân số giải phương trình Pell. Chương 2. Chương này chúng tôi trình bày cách xấp xỉ một số vô tỉ bởi một số hữu tỉ thông qua các giản phân của liên phân số. Phần thứ nhất của chương này trình bày về hai loại xấp xỉ xấp xỉ tốt nhất loại một và xấp xỉ tốt nhất loại hai của một số vô tỉ dưới góc độ đại số, tính chất của số hữu tỉ đủ gần một số vô tỉ và việc có thể tìm được một số xấp xỉ tốt hơn nữa trong một vài trường hợp đặc biệt. Phần thứ hai của chương trình bày về việc có thể minh họa hình học tính xấp xỉ của số vô tỉ bởi các số hữu tỉ thông qua việc mô tả khoảng cách từ các điểm nguyên (q, p) đến một đường thẳng L có độ nghiêng là số vô tỉ α. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hoàng - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.
2 Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi xin gửi tới các thầy, cô khoa Toán - Tin, phòng Sau Đại học, Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán A khóa 2013 - 2015 lời cảm ơn sâu sắc về công lao dạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Ngô Quyền - Hạ Long, Quảng Ninh, các bạn bè đồng nghiệp và các bạn học viên đã động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, vì điều kiện thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện. Thái Nguyên, ngày 18 tháng 04 năm 2015 Tác giả Nguyễn Minh Thúy
3 Chương 1 Kiến thức cơ bản về liên phân số Chương này nhằm trình bày những kiến thức cơ bản cần thiết về liên phân số đơn hữu hạn, liên phân số đơn vô hạn và một số áp dụng thông dụng của chúng (giải phương trình nghiệm nguyên, phương trình đồng dư) cũng được trình bày ở chương này giúp cho việc trình bày có tính hệ thống và sáng rõ. Kiến thức của chương này được trình bày dựa trên một số tài liệu [6], [1], [2], [4]. 1.1 Liên phân số hữu hạn Định nghĩa 1.1.1. Một biểu thức có dạng 1 a0 + 1 a1 + 1 a2 + 1 ... + 1 an−1 + an với a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ R trong đó a1 , a2 , . . . , an > 0 được gọi là một liên phân số hữu hạn và ký hiệu là [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ]. Trong trường hợp khi a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ Z thì ta gọi [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] là một liên phân số đơn hữu hạn. Tính chất sau đây cho ta một đặc trưng của một số hữu tỉ qua liên phân số đơn hữu hạn.
4 Định lý 1.1.2. Cho α ∈ R. Khi đó α là một số hữu tỉ nếu và chỉ nếu α có thể biểu diễn được dưới dạng một liên phân số đơn hữu hạn. a Chứng minh. Giả sử α = là số hữu tỉ (với a, b ∈ Z, b > 0). Khi đó bằng b thuật toán Euclid ta có biểu diễn a = bq0 + r1 , b = r1 q1 + r2 , r1 = r2 q2 + r3 , . . . , rn−2 = rn−1 qn−1 +rn , rn−1 = rn qn +0, trong đó q0 ∈ Z, q1 , . . . , qn ∈ N∗ và qn > 1. Từ đó a r1 1 1 = q 0 + = q0 + r2 = . . . = q0 + . b b q1 + 1 r1 q1 + 1 q2 + 1 ... + 1 qn−1 + qn a Suy ra = [q0 ; q1 , q2 , . . . , qn ] là một liên phân số đơn hữu hạn. Ngược lại, b nếu α = [q0 ; q1 , q2 , . . . , qn ] thì dễ thấy nó là một số hữu tỉ. Định nghĩa 1.1.3. Cho α = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] là một liên phân số hữu hạn, khi đó liên phân số hữu hạn ci = [a0 ; a1 , a2 , . . . , ai ] (trong đó 0 ≤ i ≤ n) được gọi là giản phân thứ i của α. Định nghĩa 1.1.4. Cho α = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] là một liên phân số hữu hạn, ta định nghĩa P0 , P1 , P2 , . . . , Pn và Q0 , Q1 , Q2 , . . . , Qn bởi quy tắc truy hồi sau như: P0 = a0 , P1 = a0 a1 + 1 Pi = ai Pi−1 + Pi−2 , với 2 ≤ i ≤ n; Q0 = 1, Q1 = a1 Qi = ai Qi−1 + Qi−2 , với 2 ≤ i ≤ n. Bổ đề 1.1.5. Nếu α = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] là một liên phân số đơn hữu hạn thì Q0 ≤ Q1 < Q2 < . . . < Qn . Chứng minh. Theo Định nghĩa 1.1.4 ta có Q0 = 1 ≤ Q1 . Các trường còn lại, khi i ≥ 1 ta có ai ≥ 1, Qi−1 ≥ 1 nên Qi+1 = ai+1 Qi + Qi−1 ≥ 1Qi + 1 > Qi .
5 Định lý 1.1.6. Cho α = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] là một liên phân số đơn hữu hạn, Pi khi đó giản phân thứ i là ci = , với mọi 0 ≤ i ≤ n. Qi P0 Chứng minh. Quy nạp theo i. Khi i = 0 ta có c0 = a0 = Q 0 (vì P0 = a0 , Q0 = 1). Khi i = 1 ta có c1 = [a0 ; a1 ] = a0 + a11 = a0 aa11+1 = QP11 . Giả sử i > 1 và ci = QPii . Ta nhận thấy rằng ci+1 thu được từ ci bằng cách thay ai bởi ai + ai+1 1 . Do đó vì ai Pi−1 + Pi−2 ci = ai Qi−1 + Qi−2 nên ta có 1 (ai + ai+1 )Pi−1 + Pi−2 ci+1 = 1 (ai + ai+1 )Qi−1 + Qi−2 Pi−1 (ai Pi−1 + Pi−2 ) + ai+1 = Qi−1 (ai Qi−1 + Qi−2 ) + ai+1 Pi−1 Pi + ai+1 = Qi−1 Qi + ai+1 ai+1 Pi + Pi−1 Pi+1 = = . ai+1 Qi + Qi−1 Qi+1 Định lý 1.1.7. Cho α = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] là một liên phân số hữu hạn, khi đó Y m Qm−1 Qm 0 1 Pm−1 Pm = 1 ai , i=0 với 1 ≤ m ≤ n. Chứng minh. Quy nạp theo m. Nếu m = 1, ta có vế trái là Q0 Q1 1 a1 P 0 P 1 = a0 a0 a1 + 1 trong khi vế phải là 1 Y 0 1 0 1 0 1 1 a1 1 ai = 1 a0 1 a1 = a0 a0 a1 + 1 . i=0
6 Giả sử đẳng thức đúng với m = k . Xét m = k + 1 ta phải chứng minh Qk Qk+1 0 1 0 1 0 1 0 1 Pk Pk+1 = 1 a0 1 a1 . . . 1 ak 1 ak+1 . Theo giả thiết quy nạp ta có vế phải đẳng thức trên bằng với Qk−1 Qk 0 1 Qk ak+1 Qk + Qk−1 Pk−1 Pk 1 ak+1 = Pk ak+1 Pk + Pk−1 Qk Qk+1 đó chính là ma trận P P . Ta có điều cần chứng minh. k k+1 Định lý 1.1.8. Cho α = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] là một liên phân số đơn hữu hạn, khi đó ta có các phát biểu đúng sau đây: i) Pi Qi−1 − Pi−1 Qi = (−1)i−1 với mọi 1 ≤ i ≤ n. ii) (Pi , Qi ) = 1 với mọi 0 ≤ i ≤ n. Chứng minh. Chứng minh ý i) được suy ra từ Định lý 1.1.7 bằng cách tính định thức hai vế. Ý thứ ii) được suy ra từ đẳng thức (−1)i−1 Pi Qi−1 − (−1)i−1 Pi−1 Qi = 1 với mọi 1 ≤ i ≤ n. Đối với i = 0 ta có (P0 , Q0 ) = (a0 , 1) = 1. Định lý 1.1.9. Cho α = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] là một liên phân số đơn hữu hạn, khi đó ta có các đẳng thức sau: (−1)i−1 i) ci − ci−1 = với mọi 1 ≤ i ≤ n, Qi Qi−1 (−1)i ai ii) ci − ci−2 = với 2 ≤ i ≤ n. Qi Qi−2 Chứng minh. i) Ta có Pi Pi−1 Pi Qi−1 − Pi−1 Qi (−1)i−1 ci − ci−1 = − = = . Qi Qi−1 Qi Qi−1 Qi Qi−1 ii) Ta có (−1)i−1 (−1)i−2 (−1)i−2 (Qi − Qi−2 ) ci −ci−2 = (ci −ci−1 )+(ci−1 −ci−2 ) = + = Qi Qi−1 Qi−1 Qi−2 Qi Qi−1 Qi−2 (−1)i (ai Qi−1 + Qi−2 − Qi−2 ) (−1)i ai Qi−1 (−1)i ai = = = . Qi Qi−1 Qi−2 Qi Qi−1 Qi−2 Qi Qi−2 .
7 Định lý 1.1.10. Cho α = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] là một liên phân số đơn hữu hạn, khi đó i) c0 < c2 < c4 < . . . < c5 < c3 < c1 . ii) Qi ≥ i với mọi 0 ≤ i ≤ n. Định nghĩa 1.1.11. Một dãy số (Fn ) được gọi là dãy Fibonacci nếu nó xác định bởi quy tắc F0 = 0, F1 = 1 và Fn+1 = Fn + Fn−1 với n ≥ 1. Định lý 1.1.12. Cho α = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ] là một liên phân số đơn hữu hạn và cho dãy Fibonacci (Fn ). Khi đó Qi ≥ Fi+1 với mọi 0 ≤ i ≤ n. Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo i. Với i = 0, ta có Q0 = 1 ≥ 1 = F1 . Với i = 1, ta có Q1 = a1 ≥ 1 = F2 . Giả sử k ≥ 1 và mệnh đề đúng với các trường hợp i ≤ k . Từ đó ta có Qk+1 = ak+1 Qk + Qk−1 ≥ Fk+1 + Fk = Fk+2 (vì ak+1 ≥ 1 và Qk−1 ≥ Fk ; Qk ≥ Fk+1 theo giả thiết quy nạp). 1.2 Liên phân số vô hạn Bổ đề 1.2.1. Cho dãy số nguyên a0 , a1 , a2 , . . . trong đó a1 , a2 , . . . > 0. Với mỗi i ≥ 0 ta đặt ci = [a0 ; a1 , a2 , . . . , ai ]. Khi đó tồn tại giới hạn lim ci . i→∞ Từ đó có cơ sở để ta có định nghĩa sau đây. Định nghĩa 1.2.2. Một biểu thức có dạng 1 a0 + 1 a1 + 1 a2 + a3 + . . . (trong đó a0 , a1 , a2 , . . . ∈ R với a1 , a2 , . . . > 0) được ký hiệu là [a0 ; a1 , a2 , . . .], nó được gọi là một liên phân số vô hạn. Chú ý 1.2.3. i) Một liên phân số vô hạn δ = [a0 ; a1 , a2 , . . .] trong trường hợp a0 , a1 , a2 , . . . ∈ Z thì δ được gọi là liên phân số đơn vô hạn. Trong luận văn này ta chủ yếu xét liên phân số đơn vô hạn.
8 ii) Ta nhận thấy rằng: tất cả các phát biểu của Định nghĩa 1.1.3 đến Bổ đề 1.2.1 đều đúng cho liên phân số đơn vô hạn. Định nghĩa 1.2.4. Với mỗi số thực x, phần nguyên của x là bxc, được xác định bởi bxc = max{n ∈ Z | n ≤ x}; và phần thập phân của x kí hiệu là f rac(x), được xác định bởi f rac(x) = x − bxc. Ta thấy 0 ≤ f rac(x) < 1. Định lý 1.2.5. Nếu α là số vô tỉ (tức là α ∈ R − Q) thì α có thể biểu diễn được thành một liên phân số đơn vô hạn, và điều ngược lại cũng đúng. Chứng minh. Cho α ∈ R−Q. Lấy α0 = α. Ta xây dựng a0 , a1 , . . . như sau: lấy 1 ai = bαi c với i ≥ 0, và αi+1 = với i ≥ 0. Suy ra a0 , a1 , a2 , . . . ∈ Z. f rac(αi ) Bây giờ ta chứng tỏ rằng α0 , α1 , α2 , . . . ∈ R − Q bằng quy nạp. Với i = 0, ta có α0 là số vô tỉ, giả sử rằng αk ∈ R − Q. Khi đó f rac(αk ) ∈ R − Q. Từ đó 1 ta có αk+1 = ∈ R − Q, nên bước quy nạp hoàn thành. f rac(αk ) Từ đó ta thấy rằng ai < αi < ai + 1 ⇔ 0 < f rac(αi ) < 1 với mọi i ≥ 0. 1 Suy ra αi+1 = > 1, và ai+1 = bαi+1 c ≥ 1. Vậy a0 , a1 , a2 , . . . ∈ Z f rac(αi ) trong đó a1 , a2 , . . . > 0. Bây giờ ta có 1 1 1 αi+1 = ⇔ f rac(αi ) = ⇔ α i = ai + f rac(αi ) αi+1 αi+1 với mọi i ≥ 0. Do đó ta viết được 1 1 1 α = α 0 = a0 + = a0 + = . . . = a0 + . α1 1 1 a1 + a1 + α2 1 a2 + 1 ... + 1 ai + αi+1 αi+1 Pi + Pi−1 Nói cách khác α = [a0 ; a1 , a2 , . . . , ai , αi+1 ] = với mọi i > 0. αi+1 Qi + Qi−1 Từ đó i−1
αi+1 Pi + Pi−1 P i
−(−1)