Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về đa giác lưỡng tâm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong lĩnh vực hình học sơ cấp, các vấn đề về đa giác lưỡng tâm là một trong những chủ đề hấp dẫn và nhắc đến thường xuyên. Một số bài toán về đa giác lưỡng tâm đã được xếp trong lớp những bài toán kinh điển về hình học, chẳng hạn như bài toán của Fuss hay các định lý của Poncelet về đa giác lưỡng tâm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về đa giác lưỡng tâm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THANH TÙNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA GIÁC LƯỠNG TÂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THANH TÙNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA GIÁC LƯỠNG TÂM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. TRẦN VIỆT CƯỜNG Thái Nguyên - 2016
i Mục lục Lời nói đầu 1 1 Tam giác lưỡng tâm và tứ giác lưỡng tâm 3 1.1 Tam giác lưỡng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Tính chất của tam giác lưỡng tâm . . . . . . . . 3 1.1.2 Khoảng cách giữa tâm của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tứ giác lưỡng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Tính chất của tứ giác lưỡng tâm . . . . . . . . . 16 1.2.2 Diện tích của tứ giác lưỡng tâm . . . . . . . . . 36 2 Đa giác lưỡng tâm và ứng dụng 39 2.1 Đa giác lưỡng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 Tính chất của đa giác lưỡng tâm . . . . . . . . 39 2.1.2 Mối quan hệ giữa n-giác lưỡng tâm và 2n-giác lưỡng tâm với đường tròn bàng tiếp . . . . . . . 41 2.2 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.1 Bài toán của Fuss về tứ giác lưỡng tâm . . . . . 45 2.2.2 Định lý Poncelet về đa giác lưỡng tâm . . . . . 50 2.2.3 Một số bài tập ứng dụng trong chương trình phổ thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
ii Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64
iii Danh sách hình vẽ 1 Đa giác lưỡng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 a Tam giác lưỡng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 b Tứ giác lưỡng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Tam giác có đường tròn ngoại tiếp (O, R), các cạnh có độ dài a, b, c thỏa mãn c ≥ b ≥ a. . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Tam giác ABC với các cạnh có độ dài c ≥ b ≥ a. . . . . . 6 1.3 Đường cao có độ dài h được kẻ từ C xuống cạnh AB . . . 7 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
iv 1.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.9 Các tứ giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn và ngoại tiếp vòng tròn bé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.10 Các lục giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn và ngoại tiếp vòng tròn bé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.11 Các bát giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn và ngoại tiếp vòng tròn bé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.12 Các thập giác lưỡng tâm nội tiếp vòng tròn lớn và ngoại tiếp vòng tròn bé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.13 Bàn bi-a tròn với chướng ngại vật hình tròn ở giữa. . . . . 55 2.14 Bàn bi-a tròn với lỗ tròn ở giữa. . . . . . . . . . . . . . . 55 2.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.17 Tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc của quả bi-a với đường tròn lớn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1 Lời nói đầu Trong lĩnh vực hình học sơ cấp, các vấn đề về đa giác lưỡng tâm là một trong những chủ đề hấp dẫn và nhắc đến thường xuyên. Một số bài toán về đa giác lưỡng tâm đã được xếp trong lớp những bài toán kinh điển về hình học, chẳng hạn như bài toán của Fuss hay các định lý của Poncelet về đa giác lưỡng tâm. Khái niệm một đa giác lưỡng tâm P trong không gian R2 được phát biểu như sau: Đa giác P được gọi là một đa giác lưỡng tâm nếu tồn tại đồng thời một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp ứng với P (xem Hình 1). (a) Tam giác lưỡng tâm (b) Tứ giác lưỡng tâm Hình 1: Đa giác lưỡng tâm Trong luận văn này, mục tiêu của chúng tôi là trình bày lại một cách có hệ thống các kết quả, cũng như một số tính chất thú vị về đa giác lưỡng tâm. Nội dung của luận văn gồm hai chương. Trong chương thứ nhất, chúng tôi trình bày về khái niệm, tính chất của tam giác lưỡng tâm và tứ giác lưỡng tâm. Nội dung của chương chủ yếu xoay quanh việc tìm hiểu các tính chất nếu lên mối quan hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp và khoảng cách giữa hai tâm. Bên cạnh đó, một số công thức thú vị để tính diện tích của
2 tứ giác lưỡng tâm cũng được trình bày cụ thể. Tiếp theo, trong chương thứ hai, chúng tôi trình bày các tính chất về đa giác lưỡng tâm cùng với mối quan hệ giữa bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp và khoảng cách giữa hai tâm. Ngoài ra, chúng tôi có trình bày lại mối quan hệ giữa giữa n− giác lưỡng tâm và 2n− giác lưỡng tâm với đường tròn bàng tiếp của chúng. Cuối cùng, chúng tôi đề cập đến một số bài toán nổi tiếng về đa giác lưỡng tâm, đó là các bài toán của Fuss và Poncelet. Yên Bái, tháng 5 năm 2016 Tác giả Bùi Thanh Tùng
3 Chương 1 Tam giác lưỡng tâm và tứ giác lưỡng tâm Trong Chương 1, chúng tôi trình bày khái niệm, một số tính chất, công thức căn bản về tam giác lưỡng tâm và tứ giác lưỡng tâm. 1.1 Tam giác lưỡng tâm Từ những kiến thức ở hình học sơ cấp, chúng ta đã biết rằng mọi tam giác T đều có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn nội tiếp tương ứng với nó. Do đó, mọi đa giác là tam giác đều là tam giác lưỡng tâm. Trong mục này, chúng tôi xin đưa ra các tính chất đẹp của tam giác lưỡng tâm. 1.1.1 Tính chất của tam giác lưỡng tâm Các tính chất thú vị về tam giác lưỡng tâm chủ yếu xoay quanh hai đại lượng, đó là bán kính ngoại tiếp R và bán kính nội tiếp r, vì vậy trong phần này chúng tôi sẽ đưa ra các mối liên hệ, cách tính R và r. Với trường hợp đường tròn ngoại tiếp tam giác T , có độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c, các công thức sin cho phép ta tính toán độ dài bán kính R một cách thuận lợi. Ta có thể biểu diễn R là một hàm với các độ dài a, b, c. Mệnh đề 1.1.1. ([4, tr. 2-3]) Gọi T là tam giác có độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c (c ≥ b ≥ a). Khi đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp R được
4 tính bởi công thức sau abc R=p . (1.1) 4a2 b2 − (a2 + b2 − c2 )2 Chứng minh. Gọi A, B, C là các đỉnh của tam giác T thỏa mãn AB = a, AC = b, BC = c, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác T , w là góc hợp bởi cạnh BC và OC , e là góc hợp bởi BC và OB , d là góc hợp bởi AC và OA, f là góc hợp bởi AB và OA (Hình 1.1). Ta có các công thức sau c cos w b= , (1.2) 2R w b = eb, (tính chất tam giác cân) (1.3) C b+w b = d, b (1.4) db + fb = A, b (1.5) eb + Bb = fb. (1.6) Kết hợp (1.4) với (1.5) và biến đổi, ta thu được đẳng thức sau C b+w b − fb. b=A (1.7) Kết hợp (1.3) với (1.6), ta có w b+B b = fb. (1.8) A b C d f ω a R c e B O Hình 1.1: Tam giác có đường tròn ngoại tiếp (O, R), các cạnh có độ dài a, b, c thỏa mãn c ≥ b ≥ a.
5 Kết hợp (1.7) và (1.8), ta thu được b−C A b−B b 2w b−C b=A b − B, b hay w b= . (1.9) 2 Mặt khác, do tổng của ba góc trong tam giác bằng 180◦ nên ta có A b+B b = 180◦ b+C Thay vào công thức (1.9) cho ta w b − 90◦ . b=A Sử dụng công thức (1.2), ta có c R= . (1.10) b − 90◦ ) 2 cos(A Đẳng thức (1.10) tương đương với c R= . (1.11) 2 sin A b Để tính A b, chúng ta sử dụng công thức sau: c2 = a2 + b2 − 2ab cos A. b Từ đó, ta có 2 2 2 a + b − c A b = arccos . 2xy Nếu sử dụng công thức (1.11) thì c R= h i . (1.12) a2 +b2 −c2 2 sin arccos 2ab Sử dụng công thức lượng giác, ta có p sin[arccos σ] = 1 − σ 2 , | σ |≤ 1. Do đó, phương trình (1.12) trở thành c R= q . a2 +b2 −c2 2 2 1 − ( 2ab )
6 Biến đổi đẳng thức trên, ta thu được điều phải chứng minh abc R=p . 4a2 b2 − (a2 + b2 − c2 )2 Bán kính đường tròn nội tiếp thường được ký hiệu là r. Giống như trường hợp đường tròn ngoại tiếp, ta tìm một công thức cho giá trị của r qua độ dài a, b, c của tam giác T . Mệnh đề 1.1.2. ([4, tr. 7-8]) Gọi T là tam giác với độ dài các cạnh thỏa mãn c ≥ b ≥ a. Khi đó bán kính nội tiếp r được biểu diễn bởi công thức s a + b − c c2 − (a − b)2 r= . (1.13) 2 (a + b)2 − c2 Công thức (1.13) được viết lại thành 2S r= , a+b+c với S là diện tích của tam giác T . Chứng minh. C t p b I a B A c q Hình 1.2: Tam giác ABC với các cạnh có độ dài c ≥ b ≥ a. Để chứng minh cho công thức trên, chúng ta chia T thành tổng của các phần nhỏ (xem Hình 1.2). Gọi A, B, C là các đỉnh của tam giác thỏa mãn AB = c, AC = b, BC = a, I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác T và p, t, q theo thứ tự là tiếp điểm ứng với ba cạnh a, b, c. Nối tâm của đường tròn nội tiếp với các đỉnh của tam giác T , ta thu được ba tam
7 giác AIB, AIC và CIB . Đặt S [T ] = S [ABC] là diện tích của tam giác T . Khi đó, ta có S [ABC] = S [AIB] + S [AIC] + S [BIC] (Iq)(AB) (It)(AC) (Ip)(BC) = + + 2 2 2 rc rb ra = + + 2 2 2 r(a + b + c) = . 2 Gọi K là hình chiếu của C trên AB, khi đó ta có b2 + c2 − a2 b2 + c2 − a2 AK = AC cos A = b = 2bc 2c Do đó, ta có độ dài của đường cao h như sau s 2 − a2 2 2 c + b h = b2 − . 2c C t p b I a h B A c q K Hình 1.3: Đường cao có độ dài h được kẻ từ C xuống cạnh AB. Suy ra, ta có s 2 ch c c 2 + b 2 − a2 S [T ] = = b2 − . 2 2 2c Do vậy, ta có s 2 r(a + b + c) c c c2 + b2 − a2 = h= b2 − . 2 2 2 2c
8 Biến đổi ta thu được, s c+b−a a2 − (c − b)2 r= . 2 (c + b)2 − a2 Công thức để tính bán kính nội tiếp r ở trên có thể được biểu diễn một cách đơn giản hơn khi chúng ta giới hạn T trong một số trường hợp đặc biệt, chẳng hạn như tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông. • Trường hợp T là tam giác cân thỏa mãn a = c. Ta có r b 2S − b r= , 2 2S + b với S là diện tích tam giác T . • Trường hợp tam giác T là tam giác đều. Khi đó, đặt a là độ dài của một cạnh, thì √ a 3 r= . 6 • Trường hợp tam giác T là tam giác vuông thỏa mãn a2 + b2 = c2 . Khi đó, a+b−c r= . 2 1.1.2 Khoảng cách giữa tâm của đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp Trong phần này, chúng ta quan tâm đến những mối liên hệ cơ bản, được nảy sinh một cách tự nhiên giữa tam giác T với đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ứng với nó. Định nghĩa 1.1.3. Gọi C0 và C1 là hai đường tròn lồng nhau có bán kính lần lượt là R và r. Giả sử C1 nằm trọn vẹn trong C0 , khi đó khoảng cách tâm, ký hiệu bởi d, được định nghĩa là khoảng cách giữa hai tâm của hai đường tròn C0 và C1 .
9 Định lý 1.1.4. ([4, tr. 11-16]) Giả sử C0 và C1 là hai đường tròn lồng nhau, có bán kính lần lượt là R và r thỏa mãn r ≤ 21 R. Khi đó, tồn tại một tam giác cân T (có độ dài các cạnh a, b, c trong đó a = c) với bán kính ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r, khi và chỉ khi d2 = R2 − 2Rr. Chứng minh. Giả sử rằng, tồn tại một tam giác cân T với bán kính ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r. Khi đó, ta chia tam giác cân T thành hai tam giác vuông như Hình 1.4, ta có 2 b (r + R + d)2 + = a2 . 2 R a c O d C0 I C1 r b Hình 1.4 Biến đổi đẳng thức trên, ta thu được √ −2(r + R) + 4a2 − b2 d= . 2 Với điều kiện cả hai vế đều dương, bình phương hai vế, ta có 4a2 − b2 p 2 d2 = − 4a − b2 (r + R) + (r + R)2 . 4 Thay thế R và r bởi các biểu thức phụ thuộc vào a và b ở vế phải của đẳng thức trên, ta có 2b2 b2 2a − b ab2 a4 d = − ab + + + . 4 4 2a + b 2a + b 4a2 − b2
10 Nhân cả hai vế với 4(4a2 − b2 ) rồi biến đổi, ta có 2 a4 − 2ba3 + b2 a2 d = 4a2 − b2 a4 ba2 (2a − b) = − 4a2 − b2 (2a − b)(2a + b) √ a4 ba2 2a − b = −√ √ 4a2 − b2 4a2 − b2 2a + b r a4 2a2 b 2a − b = −√ . 4a2 − b2 4a2 − b2 2 2a + b Viết lại đẳng thức trên bằng cách thay các biểu thức với các biến a và b trong công thức trên lần lượt bởi R và r, ta thu được d2 = R2 − 2Rr. Bây giờ ta xác định một tam giác cân T 0 như sau: Lấy T 0 có đáy b0 và cạnh bên a0 = c0 thỏa mãn, q 0 b = 2 r(2R − r − 2d) q 0 a = 2R(R + r − d) Do R > d với 0 < r < 12 R, cả b0 và a0 hoàn toàn xác định. Đặt ξ = R − d, thì b0 và a0 trở thành p ξ r(2ξ − r) q b0 = 2 r(2ξ − r), a0 = . ξ−r Ta giả sử rằng T 0 có bán kính ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R0 và r0 . Khi đó, R0 = R và r0 = r. Do đó, tồn tại tam giác cân có bán kính nội tiếp và bán kính ngoại tiếp lần lượt là R và r, như trong Hình 1.5.
11 R0 a0 c0 0 O d0 C0 I0 C1 r0 b0 Hình 1.5 Để chứng minh R0 = R, ta có công thức cho R0 như sau: 0 0 a2 R =√ 0 . 4a 2 − b0 2 Thay thế a0 và b0 trong đẳng thức trên, ta thu được 2R(R + r + d) R0 = p . 4(2R(R + r + d)) − 4r(2R − r − d) Mặt khác, ta lại có d = R2 − 2Rr, do đó, R0 có thể được viết lại thành R(R + r + d) R0 = p . (R + r + d)(R + r + d) Đơn giản hóa đẳng thức trên, ta thu được kết quả R0 = R. Bây giờ, ta đi chứng minh r0 = r. Bình phương hai vế cho công thức bán kính nội tiếp của tam giác T 0 , ta có 0 2 0 0 0 b 2a − b r2 = . 4 2a0 + b0 Thay thế a0 và b0 trong đẳng thức trên, ta thu được  √  2ξ r(2ξ−r) p 0 4(r(2ξ − r))  ξ−r − 2 r(2ξ − r)  r2 = √ 4   2ξ r(2ξ−r) p ξ−r + 2 r(2ξ − r)
12 p ! 2 r(2ξ − r)(ξ − ξ + r) = r(2ξ − r) p 2 r(2ξ − r)(ξ + ξ − r) r = r(2ξ − r) . 2ξ − r Do đó, ta có r0 = r. Vậy, ta đã chứng minh R0 = R và r0 = r. Định lý 1.1.5. ([4, tr. 18-20] Gọi T là tam giác có bán kính ngoại tiếp và nội tiếp theo thứ tự là R và r. Khi đó, d2 = R2 − 2Rr. Chứng minh. Chứng minh của Định lý 1.1.5 hoàn toàn tương tự như chứng minh Định lý 1.1.4. Với T là tùy ý, xem Hình 1.6. R d r T Hình 1.6 Ta mong muốn chứng minh rằng, tồn tại tam giác cân T 0 với bán kính ngoại tiếp và nội tiếp theo thứ tự là R0 và r0 , thỏa mãn R0 = R và r0 = r (Hình 1.7).
13 T0 R0 d0 r0 Hình 1.7 Ta định nghĩa T 0 như sau: Gọi T 0 là tam giác cân có đáy b0 và cạnh bên có độ dài a0 , thỏa mãn r q b0 = 2 r(2R − r − 2 R(2R − r)), q p p r(2R − r − 2 R(2R − r))(R − R(R − 2r)) a0 = p . R − r − R(R − 2r) Để chứng minh bán kính ngoại tiếp R0 = R, ta đặt q Φ = r + 2 R(R − 2r). Khi đó, b0 và a0 có thể được viết lại thành q 0 b = 2 r(2R − Φ), r(2R − Φ)(2R + r − Φ) a0 = . 2R − r − Φ Thế b0 và a0 vào công thức tính R0 trong trường hợp tam giác cân và biến đổi, ta thu được, 0 0 a2 (2R − Φ + r)2 R = √ = . 4S 0 2 − b0 2 4(2R − φ − r) p Thay ngược trở lại φ = r + 2 R(R − 2r), ta có điều cần phải chứng minh: R0 = R.
14 Tiếp theo, ta đi chứng minh r0 = r. Bình phương hai vế của công thức tính r0 , ta thu được 0 b 2 2a0 − b0 02 r = · . 4 2a0 + b0 Đặt q ϕ = R − R(R − 2R), thì b0 và a0 được viết lại thành q 0 b = 2 r(ϕ − r) p ϕ r(2ϕ − r) a0 = . ϕ−r Thế b0 và a0 vào công thức trên, ta có p p ! 4r(2ϕ − r) 2ϕ r(2ϕ − r) − 2 r(2ϕ − r) r02 = p p 4 2ϕ r(2ϕ − r) + 2 r(2ϕ − r) p ! 2 r(2ϕ − r)(ϕ − ϕ + r) = r(2ϕ − r) p 2 r(2ϕ − r)(ϕ + ϕ − r) = r2. Suy ra, theo Định lý 1.1.4, tồn tại tam giác cân với bán kính ngoại tiếp và nội tiếp lần lượt là R và r, thỏa mãn d2 = R2 − 2Rr. Vậy ta thu được điều phải chứng minh. Ngoài ra, ta có cách chứng minh định lí trên một cách đơn giản hơn như sau: Giả sử O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC ; DP là đường kính của đường tròn (O) và vuông góc với cạnh BC ; IL là đường vuông góc hạ từ I xuống DP và M là trung điểm cạnh BC (xem hình 1.8). _ _ Ta có, DIC [ bằng nửa tổng số đo các cung AE và DC . Mặt khác, ta có _ _ _ _ AE=BE và DC=BD .