Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về đường tròn Euler, đường thẳng Euler và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

Thêm vào BST

Báo xấu

45
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến đề tài, chúng tôi trình bày về định lý đường tròn Euler, đường thẳng Euler và các tính chất của đường tròn Euler, đường thẳng Euler. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về đường tròn Euler, đường thẳng Euler và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ HẢI BÌNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN EULER, ĐƯỜNG THẲNG EULER VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ HẢI BÌNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN EULER, ĐƯỜNG THẲNG EULER VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Trần Việt Cường THÁI NGUYÊN - 2019
i Lời cảm ơn Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Trần Việt Cường. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K11 (2018 - 2020) Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019. Người viết Luận văn Nguyễn Thị Hải Bình
ii Danh mục ký hiệu AB ∥ CD Đường thẳng AB song song với đường thẳng CD AH ⊥ BC Đường thẳng AH vuông góc với đường thẳng BC AB Cạnh có hướng từ A đến B d(L; AB) Khoảng cách từ điểm L tới đường thẳng AB 4ABC ∼ 4DEF Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF (ABCD) = −1 A, B, C, D là hàng điểm điều hòa
iii Danh sách hình vẽ 1.1 Z, Y, X thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Định lý Menelause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Đường tròn Apollonnius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 M P ∥ N Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Phép nghịch đảo tâm O, phương tích k. . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 Tứ giác AP BQ là tứ giác điều hòa. . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.7 Phép vị tự tâm I, tỉ số k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.8 AD, BE, CF đồng quy tại N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.10 Đường tròn Euler đi qua chín điểm D, E, F, M, N, P, S, R, Q. . . 10 1.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.12 Điểm O9 là trung điểm của HO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.13 AO = LE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.14 H, G, O9 và O thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.15 ABC, ABH, BCH và ACH có chung nhau đường tròn Euler. . 15 1.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1 O1 , K, H thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 D nằm trên OH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 G nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC, ADC, AP C 26
iv 2.4 J nằm trên đường thẳng Euler của tam giác AY Z . . . . . . . . 27 2.5 A0 nằm trên đường tròn (I, IO). . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 M, N, K thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.7 Đường thẳng qua Na song song P A đi qua N . . . . . . . . . . . 30 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.9 R, S, T thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.10 KI đi qua J là tâm Euler của tam giác IBC. . . . . . . . . . . 34 2.11 HK đi qua trung điểm I của AG. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.12 HK đi qua điểm cố định I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.13 Trung trực của AX, EY, CZ đồng quy tại trung điểm của OT . . 36 2.14 A, I, J thẳng hàng và KJ vuông góc với IJ. . . . . . . . . . . . 37 2.15 Các đường thẳng Euler của các tam giác ABC, AM N , BSR, CP Q đồng quy tại L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.17 OH ∥ P M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.18 M N ∥ BC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.19 IJ ∥ OA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.20 EF vuông góc với M O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.21 Đường tròn ngoại tiếp tam giác DM N luôn đi qua điểm cố định J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.22 Trung trực của P Q luôn đi qua một điểm cố định N . . . . . . . 47 2.23 Đường thẳng qua L, song song P K luôn đi qua điểm cố định J. 48 2.24 (P T S) đi qua một điểm cố định I. . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.25 XY đi qua P và điểm cố định M . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.26 S, M, P thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.27 X thuộc P LE, (P KF ) và (P ZY ). . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.28 O1 H1 và O2 H2 cắt nhau tại M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.29 (BPa C), (CPb A), (APc B) đồng quy tại Q. . . . . . . . . . . . . 53 2.30 Đường tròn Euler của các tam giác AP Q, BP Q, CP Q tiếp xúc với nhau tại Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
v 2.32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
vi Mục lục Danh mục ký hiệu ii Danh sách hình vẽ iii Mở đầu 1 Chương 1. Một số vấn đề về đường tròn Euler, đường thẳng Euler 2 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Đường tròn và đường thẳng Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Đường tròn và đường thẳng Euler . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Một số tính chất của đường tròn và đường thẳng Euler . 12 Chương 2. Một số ứng dụng của đường tròn Euler, đường thẳng Euler 23 2.1 Các bài toán về quan hệ thẳng hàng và đồng quy . . . . . . . . 23 2.2 Các bài toán về quan hệ song song và vuông góc . . . . . . . . . 40 2.3 Các bài toán về quan hệ điểm và đường cố định . . . . . . . . . 45 2.4 Các bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65
1 Mở đầu Đường tròn Euler, đường thẳng Euler là trong những vấn đề thú vị của hình học phẳng. Các bài toán liên quan đến đường tròn Euler, đường thẳng Euler là những bài toán hay và khó. Để giải quyết được những bài toán đó trước tiên là phải hiểu về đường tròn Euler, đường thẳng Euler. Tiếp đó, chúng tôi tìm hiểu việc vận dụng các tính chất của đường tròn Euler, đường thẳng Euler vào việc giải một số dạng toán cụ thể trong hình học phẳng. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề đường thẳng và đường tròn Euler tôi lựa chọn đề tài "Một số vấn đề về đường tròn Euler, đường thẳng Euler và ứng dụng" dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Việt Cường. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương. Chương 1. Một số vấn đề về đường tròn Euler, đường thẳng Euler. Trong chương này, ngoài trình bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến đề tài, chúng tôi trình bày về định lý đường tròn Euler, đường thẳng Euler và các tính chất của đường tròn Euler, đường thẳng Euler. Các nội dung của chương được tổng hợp từ các tài liệu [1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 15]. Chương 2. Một số ứng dụng của đường tròn Euler, đường thẳng Euler. Trong chương này, chúng tôi áp dụng các tính chất của đường tròn Euler, đường thẳng Euler vào giải một số dạng toán trong hình học phẳng như: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng minh song song, chứng minh vuông góc, chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định, chứng minh các đẳng thức hình học... Các nội dung của chương sẽ tham khảo từ các tài liệu [2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14].
2 Chương 1 Một số vấn đề về đường tròn Euler, đường thẳng Euler 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1.1 ([10]). Trung điểm các đoạn thẳng thuộc các đường cao kẻ từ đỉnh đến trực tâm của tam giác gọi là các điểm Euler. Định lý 1.1.2 (Định lí Thales, [4]). Nhiều đường thẳng song song cắt hai cát tuyến(đường thẳng) d, d0 thì tạo trên d, d0 các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Định lý 1.1.3 (Định lí Pascal, [5]). Cho sáu điểm bất kì A, B, C, A0 , B 0 , C 0 cùng thuộc một đường tròn. Khi đó giao điểm của các cặp đường (AB 0 , BA0 ), (AC 0 , CA0 ), (BC 0 , CB 0 ) thẳng hàng. Hình 1.1: Z, Y, X thẳng hàng.
3 Định lý 1.1.4 (Định lí Menelause, [4]). Cho tam giác ABC và ba điểm D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB. Khi đó, D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi F A DB EC . . = 1. F B DC EA Hình 1.2: Định lý Menelause Định lý 1.1.5 (Đường tròn Apollonnius, [5]). Cho hai điểm A, B. Tập hợp các PA điểm P sao cho tỉ số = k không đổi (k > 0) là một đường tròn, được gọi PB là đường tròn Apollonius của đoạn thẳng AB ứng với tỉ số k. Hình 1.3: Đường tròn Apollonnius.
4 Chứng minh. Gọi C, D là hai điểm nằm trong và ngoài đoạn thẳng AB sao CA DA PA CA DA cho = = k. Khi đó = = nên C, D lần lượt là chân CB DB PB CB DB đường phân giác trong và ngoài của AP [ B. Suy ra CP \ D = 90◦ . Vậy P nằm trên đường tròn đường kính CD. Ngược lại, giả sử P là điểm bất kỳ nằm trên đường tròn đường kính CD. Khi đó CP \ D = 90◦ . Mà (ABCD) = −1 nên suy ra C, D lần lượt là chân đường PA phân giác trong và ngoài của AP [ B. Từ đó = k. PB Như vậy, tập hợp các điểm P là đường tròn đường kính CD. Định lý 1.1.6 (Định lý Reim, [3]). Cho hai đường tròn (O1 ), (O2 ) cắt nhau tại A, B. Một đường thẳng qua A cắt (O1 ), (O2 ) tại M, N ; một đường thẳng qua B cắt (O1 ), (O2 ) tại P, Q. Khi đó M P ∥ N Q. Chứng minh. Hình 1.4: M P ∥ N Q. Ta có: (M P, M N ) ≡ (M P, M A) ≡ (BP, BA) ≡ (N Q, N A) ≡ (N Q, N M )(modπ). Suy ra, ta có M P ∥ N Q. Định nghĩa 1.1.7 (Phép nghịch đảo). Cho trước một điểm O và một số thực k 6= 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M khác O thành một điểm M 0 thuộc đường thẳng OM và OM .OM 0 = k, được gọi là phép nghịch đảo tâm O, phương tích k.
5 Hình 1.5: Phép nghịch đảo tâm O, phương tích k. Kí hiệu phép nghịch đảo tâm O, phương tích k là NOk . Vậy  M 0 ∈ OM NOk (M ) = M 0 ⇔ OM .OM 0 = k. Định nghĩa 1.1.8 (Tứ giác điều hòa, [7]). Tứ giác ABCD nội tiếp và thỏa AB CB mãn = được gọi là tứ giác điều hòa. AD CD Định lý 1.1.9 ([7]). Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài đường tròn. M A và M B là tiếp tuyến vẽ từ M đến (O). Một cát tuyến qua M cắt (O) tại P và Q. Khi đó AP BQ là tứ giác điều hòa. Hình 1.6: Tứ giác AP BQ là tứ giác điều hòa. AQ M Q Chứng minh. Do ∆M AQ v ∆M P A (g-g) nên = . AP MP BQ M Q Do ∆M BQ v ∆M P B (g-g) nên = . BP MP
6 AQ BQ Do đó = . AP BP Vậy AP BQ là tứ giác điều hòa. Tứ giác điều hòa có một số tính chất như sau: 1. ABCD là tứ giác điều hòa thì AC · BD = 2AB · CD = 2BC · AD. 2. Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), tiếp tuyến tại B và D cắt nhau tại M, I là giao điểm của AC và BD. Khi đó, (M IAC) = −1. 3. Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp O, gọi M là giao của hai tiếp tuyến của (O) tại B và D. Gọi I là giao điểm của OM và BD. Khi đó, IB là phân giác của góc AIC. Định nghĩa 1.1.10 (Phép vị tự,[7]). Cho điểm I và số thực k 6= 0. Phép biến −−→ −−→ hình biến mỗi điểm M thành điểm M 0 sao cho IM 0 = k IM được gọi là phép vị tự tâm I, tỉ số k. Phép vị tự tâm I, tỉ số k thường được kí hiệu là V(I,k) . Hình 1.7: Phép vị tự tâm I, tỉ số k. Định lý 1.1.11 (Định lý Ceva, [1]). Cho tam giác ABC và ba đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 xuất phát từ các đỉnh của tam giác và cắt đường thẳng chứa cạnh đối diện tại A0 , B 0 , C 0 sao cho: hoặc cả ba điểm A0 , B 0 , C 0 đều nằm trên ba cạnh của tam giác hoặc một trong ba điểm đó nằm trên một cạnh của tam giác còn hai điểm kia nằm trên phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Điều kiện cần và đủ để AA0 , BB 0 , CC 0 đồng quy hoặc song song với nhau là ta có hệ thức: AB 0 CA0 BC 0 · · = 1. B 0 C A0 B C 0 A
7 Người ta thường gọi ba đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 xuất phát từ các đỉnh của tam giác ABC và đồng quy tại một điểm là ba đường thẳng Ceva; Các đoạn thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 gọi là các đoạn thẳng Ceva; Giao điểm của các đường thẳng Ceva gọi là điểm Ceva. Từ định lý Ceva, có thể suy ra rằng: Trong một tam giác ABC: 1. Ba đường trung tuyến đồng quy (tại trọng tâm của tam giác). 2. Ba đường phân giác đồng quy (tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác). 3. Ba đường cao đồng quy (tại trực tâm của tam giác). 4. Ba đường trung trực đồng quy (tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác). Dạng lượng giác của định lý Ceva như sau: sin ∠ABB 0 sin ∠BCC 0 sin ∠CAA0 · · = 1. sin ∠CBB 0 sin ∠ACC 0 sin ∠BAA0 hoặc sin ∠ABB 0 · sin ∠BCC 0 · sin ∠CAA0 = sin ∠CBB 0 · sin ∠ACC 0 · sin ∠BAA0 . Định nghĩa 1.1.12 (Điểm Nagel, [3]). Cho tam giác ABC. Đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự ở D, E, F . Khi đó AD, BE, CF đồng quy tại một điểm, điểm đó được gọi là điểm Nagel. Chứng minh. Gọi H, K theo thứ tự là tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp trong góc A với AB, AC. Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC, BC = a, CA = b, AB = c. Ta có AH + AK = AB + BK + AC + CK = AB + AC + BC = 2p suy ra AH = AK = p. Do đó DB = BH = p − c, DC = CK = p − b. Chứng minh tương tự ta được EC = p − a, EA = p − c, F A = p − b, F B = p − a. Suy ra DB EC F A p−c p−a p−b · · = · · =1 DC EA F B p−b pc p−a
8 Hình 1.8: AD, BE, CF đồng quy tại N. Do đó AD, BE, CF đồng quy (theo định lý Ceva). Giao điểm N của ba đoạn AD, BE, CF được gọi là điểm Nagel. Định nghĩa 1.1.13 (Trục đẳng phương, [7]). Cho hai đường tròn không đồng tâm (O1 , r1 ) và (O2 , r2 ). Quỹ tích tất cả các điểm P sao cho phương tích của P đến hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) bằng nhau là một đường thẳng. Đường thẳng này được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1 ) và (O2 ). Trục đẳng phương vuông góc với đường thẳng nối tâm O1 O2 của hai đường tròn. Định nghĩa 1.1.14 (Hàng điểm điều hòa, [7]). Bốn điểm A, B, C, D đc gọi là CA DA hàng điểm điều hoà khi và chỉ khi =− . Kí hiệu là (ABCD) = −1. CB DB Lưu ý: Bốn điểm được gọi là hàng điểm điều hoà khi và chỉ khi 1 trong các hệ thức sau được thoả mãn: 2 1 1 1) = + (hệ thức Descarter) AB CA DA 2 2) IA = IC.ID (với I là trung điểm AB) (hệ thức Newton) 3) Gọi J là trung điểm CD, ta có AC.AD = AB.AJ (hệ thức Maclaurin)
9 Định lý 1.1.15 (Định lý Simson,[10]). Chân các đường thẳng góc hạ từ một điểm bất kỳ nằm trên một đường tròn xuống các đường thẳng chứa các cạnh của một tam giác nội tiếp nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng đó gọi là đường thẳng Simson. Chứng minh. Gọi A0 , B 0 , C 0 lần lượt là hình chiếu của điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA và AB. Hình 1.9: \ Do tứ giác M BAC nội tiếp nên ta có: M BC 0 = M \ CB 0 . Suy ra, các tam giác vuông M C 0 B và M B 0 C đồng dạng. Do đó, ta có BC 0 MB = . (1.1) B 0C MC _ \ Ta có M BA0 = M \ AB 0 vì cùng chắn cung M C. Suy ra AB 0 M và A0 BM là các tam giác đồng dạng. Do đó, ta có AB 0 MA = . (1.2) A0 B MB
10 _ Tương tự, ta có M \ CB = M \ AB vì cùng chắn cung M B. Suy ra M A0 C và M C 0 A là các tam giác đồng dạng. Do đó, ta có CA0 MC 0 = . (1.3) CA MA Từ (1.1), (1.2) và (1.3), ta có BC 0 AB 0 CA0 MB MA MC · · = · · = 1. B 0 C A0 B C 0 A MC MB MA Theo định lý Menelaus, ta có A0 , B 0 và C 0 là ba điểm thẳng hàng. Đường thẳng đi qua A0 , B 0 , C 0 được gọi là đường thẳng Simson. 1.2 Đường tròn và đường thẳng Euler 1.2.1 Đường tròn và đường thẳng Euler Định lý 1.2.1 (Định lý đường tròn Euler, [2]). Trong một tam giác, chân các trung tuyến, chân các đường cao và các điểm Euler nằm trên một đường tròn, gọi là đường tròn 9 điểm hay đường tròn Euler. Hình 1.10: Đường tròn Euler đi qua chín điểm D, E, F, M, N, P, S, R, Q.
11 Chứng minh. Gọi D, E, I lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB, các đường cao AM, CN và H là trực tâm ∆ABC suy ra IE ∥ BC, DI ∥ AC, AM ⊥ BC. 1 1 Suy ra M E = AC, DI = AC. Suy ra M E = DI. 2 2 Suy ra IEDM là hình thang cân Suy ra I, E, D, M thuộc một đường tròn, đó là đường tròn ngoại tiếp ∆DEI. Gọi K là trung điểm CH suy ra KE là đường trung bình của ∆ACH Suy ra EK ∥ AH suy ra IE ⊥ EK, KD ∥ HB suy ra KD ⊥ ID. Suy ra I, E, K, D, M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆DEI, tương tự chứng minh cho các điểm còn lại. Nhận xét. Đường thẳng IK là đường kính của đường tròn chín điểm, O0 là trung điểm của IK suy ra O0 là tâm đường tròn đó. Hình 1.11: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC. Suy ra OD ⊥ BC suy ra OD ∥ AH. Nối D với O0 cắt AH tại J suy ra JA = JH. Suy ra ∆O0 OD, ∆O0 HJ bằng nhau (g-c-g) Suy ra OD = JH = AJ suy ra AJDO là hình bình hành.
12 1 Suy ra OA = DJ suy ra O0 J = R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp). 2 AG AH Gọi giao điểm AD với OH tại G, theo định lý Thales ta có = =2 GD OD Suy ra G là trọng tâm ∆ABC Suy ra O, G, O0 , H nằm trên một đường thẳng và HG = 2GO, O0 H = O0 O. Đường thẳng đi qua trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có tên là đường thẳng Euler. 1.2.2 Một số tính chất của đường tròn và đường thẳng Euler Định lý 1.2.2 ([10]). Tâm của đường tròn Euler của một tam giác cho trước là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Hình 1.12: Điểm O9 là trung điểm của HO. Chứng minh. Cho tam giác ABC có các đường cao là AK, BM . Gọi H, O, O9 lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn Euler của tam giác ABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Ta có, tâm O9 của đường tròn Euler nằm tại giao điểm các đường thẳng góc dựng từ trung điểm các đoạn thẳng KE và M F . Vì các đường thẳng góc vừa dựng là các đường trung bình của hình thang vuông M HOF và KHOE nên tâm O9 của đường tròn cần tìm nằm tại trung điểm cạnh OH.