Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

152
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bài toán về hình học phẳng mặc dù đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng đến hiện nay vẫn luôn có sức hấp dẫn, là niềm đam mê của nhiều nhà toán học trên thế giới, thu hút được sự yêu thích của các thầy cô dạy toán và học sinh. Chúng thường xuyên xuất hiện trên các tạp chí toán học, blog toán học, trong các đề thi học sinh giỏi hay kì thi Olympic. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HẰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HẰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG TRÒN MIXTILINEAR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. TRẦN VIỆT CƯỜNG Thái Nguyên, 10/2017
i Mục lục Danh mục ký hiệu ii Danh sách hình vẽ iii Mở đầu 1 Chương 1. Đường tròn Mixtilinear 4 1.1 Một số kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đường tròn Mixtilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Định nghĩa và cách dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Một số tính chất của đường tròn Mixtilinear . . . . . . . 12 1.2.3 Ứng dụng của đường tròn Mixtilinear . . . . . . . . . . . 23 Chương 2. Đường tròn Thebault 33 2.1 Định nghĩa và cách dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Một số tính chất của đường tròn Thebault . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Ứng dụng của đường tròn Thebault . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57
ii Danh mục ký hiệu (O) Đường tròn tâm O (O, a) Đường tròn tâm (O) bán kính a (O, AB) Đường tròn tâm (O) bán kính AB (ABC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (ABCD) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD wa , wb , wc Đường tròn Mixtilinear ứng với góc A, B, C (ABCD) = −1 Tỉ số kép bằng −1 I(ABCD) = −1 Chùm điều hòa V(O,k) Phép vị tự tâm O, tỉ số k PA/(O) Phương tích của điểm A với đường tròn (O) rABC Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC SABC Diện tích tam giác ABC p(ABC) Nửa chu vi tam giác ABC
iii Danh sách hình vẽ 1.1 AP BQ là tứ giác điều hòa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hai đường tròn (I, R) và (I 0 , R0 ) có O1 là tâm vị tự ngoài, O2 là tâm vị tự trong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Các tâm vị tự A1 , A2 , A3 thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Phương tích của điểm P với đường tròn (O) là P A · P B. . . . . 7 1.5 Tâm đẳng phương P của 3 đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ). . . . . . 8 1.6 Định lý Menelaus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.7 Định lý Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 Ba đường tròn Mixtilinear (OA ), (OB ), (OC ) của tam giác ABC. 10 1.9 Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ nhất. . . . . . . . . . . . 11 1.10 Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ hai. . . . . . . . . . . . . 11 1.11 Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ ba. . . . . . . . . . . . . 12 1.12 Cách dựng đường tròn Mixtilinear thứ tư. . . . . . . . . . . . . 12 1.13 I là trung điểm của Ab Ac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.14 XI đi qua điểm chính giữa cung BAC. . . . . . . . . . . . . . . 13 1.15 Ab Ac , BC, XD, Ob Oc , Y Z đồng quy tại một điểm. . . . . . . . . 14 1.16 AL song song với BC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.17 AEKF là hình bình hành. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.18 AF XE là tứ giác điều hòa, (I1 ) và (I2 ) tiếp xúc nhau. . . . . . 16 1.19 M N k AI và (XIN ) tiếp xúc với (O). . . . . . . . . . . . . . . 18 1.20 AX, AP là hai đường đẳng giác trong góc BAC. . . . . . . . . . 19 1.21 XOb , XOc là hai đường đẳng giác trong góc BXC. . . . . . . . 19 1.22 Ba Ab Cb Bc Ac Ca là lục giác ngoại tiếp đường tròn (I). . . . . . . 20 1.23 RS là tiếp tuyến của wa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.24 U V là tiếp tuyến chung của (I) và (Ia ). . . . . . . . . . . . . . . 21 1.25 A4 D là trục đẳng phương của wb và wc . . . . . . . . . . . . . . 22 1.26 Z, Y, K, J thuộc cùng một đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . 24
iv 1.27 (QM N ) luôn đi qua điểm J. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.28 T E là phân giác góc AT B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.29 E, I, F thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.30 K, T, I thẳng hàng, K, Q, R thẳng hàng, Ma Q vuông góc BC. . 27 1.31 IQ luôn đi qua một điểm X cố định. . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.32 P, I, D thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.33 M N và P Q cắt nhau trên (O). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.34 M, T, X thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1 Đường tròn Thebault. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Cách dựng đường tròn Thebault. . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 I, E, F thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 I, O1 , O2 thẳng hàng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 (O1 ) tiếp xúc với (O2 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . 38 2.7 Đường tròn nội tiếp hai tam giác EDB và EDC bằng nhau. . . 39 2.8 G, E, L, X cùng thuộc một đường tròn. . . . . . . . . . . . . . . 40 2.9 A0 J là trục đẳng phương của (O1 ) và (O2 ). . . . . . . . . . . . . 41 2.10 (XY Z) tiếp xúc với (O). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.11 (XY Z) tiếp xúc với (O). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.12 ABCD là hình vuông. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.13 M là tâm ngoại tiếp tam giác BCN. . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.14 I là trung điểm HE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.15 LK là đường trung trực của AI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.16 M N đi qua tâm bàng tiếp ứng với đỉnh B của tam giác ABC. . 47 2.17 2EGF d = DAB d + DCB.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.18 Đường tròn đường kính M N luôn đi qua điểm J cố định. . . . . 49 2.19 R luôn nằm trên một đường tròn cố định. . . . . . . . . . . . . 50 2.20 Trục đẳng phương của (K) và (L) chia đôi các cung AB và CD của (O). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.21 SM và T N cắt nhau tại E thuộc (O). . . . . . . . . . . . . . . 52 2.22 P I là phân giác góc DP dC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.23 O1 O2 , I1 I2 , BC đồng quy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.24 R nằm trên phân giác BAC d khi và chỉ khi M P k BC. . . . . . . 55
1 Mở đầu Các bài toán về hình học phẳng mặc dù đã được nghiên cứu từ rất lâu nhưng đến hiện nay vẫn luôn có sức hấp dẫn, là niềm đam mê của nhiều nhà toán học trên thế giới, thu hút được sự yêu thích của các thầy cô dạy toán và học sinh. Chúng thường xuyên xuất hiện trên các tạp chí toán học, blog toán học, trong các đề thi học sinh giỏi hay kì thi Olympic. Trong các kỳ thi học sinh giỏi, thường xuất hiện các bài toán hình học có ứng dụng các tính chất của đường tròn Mixtilinear và đường tròn Thebault (đường tròn Mixtilinear mở rộng) để giải. Đường tròn Mixtilinear nội tiếp là đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác và tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Đường tròn Mixtilinear là một vấn đề trong hình học phẳng, nó bắt đầu được nghiên cứu bởi người Nhật Bản ngay từ thế kỷ XVII, trong các bài toán được khắc trên những ngôi đền cổ. Từ định nghĩa của đường tròn này tạo ra nhiều điều thú vị ẩn chứa bên trong. Đến năm 1983, Bankoff [7] là người giới thiệu thuật ngữ đường tròn Mix- tilinear và thiết lập công thức cơ bản để biểu diễn bán kính của đường tròn Mixtilinear theo bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác. Từ đó đến nay đã có nhiều công trình nghiên cứu về đường tròn Mixtilinear và phát triển thêm thành đường tròn Mixtilinear ngoại tiếp, đường tròn Thebault. Các bài toán về các đường tròn này rất đa dạng và luôn là những bài toán nâng cao đòi hỏi tư duy logic, sáng tạo, kỹ năng chứng minh khéo léo kết hợp với kiến thức nền rộng khắp để áp dụng với các kết quả khác của hình học phẳng. Nhắc đến đường tròn Mixtilinear và đường tròn Thebault không thể không nhắc đến định lý Thebault. Đây là một trong những định lý đẹp nhất của hình học phẳng. Nguyên liệu chủ yếu trong chứng minh định lý này là Bổ đề Sawayama. Vì vậy, chúng được gộp chung thành tên gọi là định lý Sawayama và Thebault. Định lý Sawayama và Thebault có thể coi là một bổ đề thông dụng trong các bài toán Olympic khó, đôi khi việc dùng nó thông dụng và hiển
2 nhiên tới mức khó nhận ra vai trò của nó [3]. Ở Việt Nam, bài toán về đường tròn Mixtilinear và ứng dụng của nó đã được nhiều quan tâm, chú ý của các thầy cô, các bạn học sinh yêu toán. Chúng xuất hiện rải rác trên các tạp chí toán học như tạp chí Toán học Tuổi trẻ, tạp chí Epsilon, tạp chí Mathley. Một số blog toán học nổi tiếng như blog của thầy Trần Quang Hùng, Nguyễn Văn Linh cũng dành nhiều chuyên đề về đề tài này. Trong các tài liệu ôn tập và đề thi tuyển chọn học sinh giỏi các tỉnh, các trường chuyên vẫn luôn có những bài tập liên quan đến đường tròn Mixtilinear và đường tròn Thebault. Với tầm quan trọng của đường tròn Mixtilinear, đường tròn Thebault và các ứng dụng, mục đích tìm hiểu về đường tròn Mixtilinear, chúng tôi đã chọn đề tài Một số vấn đề về đường tròn Mixtilinear để nghiên cứu, trình bày làm luận văn cao học. Luận văn là tài liệu tổng hợp các kiến thức cơ bản liên quan đến đường tròn Mixtilinear như định nghĩa, cách dựng, các tính chất. Luận văn cũng tổng hợp các bài toán ứng dụng liên quan nhằm cung cấp một tài liệu tham khảo đầy đủ, trọn vẹn cho học thầy cô, các em học sinh và những người yêu toán. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 2 chương. Chương 1: Đường tròn Mixtilinear Chương này trình bày một số khái niệm, một số định lý, kiến thức cơ sở của hình học phẳng mà chúng sẽ xuất hiện trong chứng minh các tính chất hay trong giải các bài toán liên đường tròn Mixtilinear. Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm, cách dựng, các tính chất của đường tròn Mixtilinear và một số ứng dụng. Chương 2: Đường tròn Thebault Chương này trình bày khái niệm đường tròn Thebault, cách dựng, các tính chất của đường trong Thebault. Dựa vào đó, chúng tôi trình bày một số bài toán khó mà thường xuất hiện trong các bài hình ở kì thi học sinh giỏi liên quan đến đường tròn Thebault. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS. TS. Trần Việt Cường, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn.
3 Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy cô, những người đã tận tâm giảng dạy và chỉ bảo tác giả trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết hơn chân thành tới phòng Sau Đại học, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Cuối cùng tôi xin gửi làm cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2017 Người viết luận văn Nguyễn Thị Hằng
4 Chương 1 Đường tròn Mixtilinear Trong chương này, đầu tiên chúng tôi trình bày một số khái niệm, một số định lý, kết quả cơ bản của hình học phẳng mà chúng sẽ xuất hiện trong chứng minh các tính chất hay trong giải các bài toán liên đường tròn Mixtilinear. Sau đó chúng tôi trình bày khái niệm, cách dựng, các tính chất của đường tròn Mixtilinear và một số ứng dụng. Các tài liệu tham khảo chính là [4, 6, 10, 11]. 1.1 Một số kiến thức liên quan Định nghĩa 1.1.1 ([1]). Bốn điểm A, B, C, D được gọi là hàng điểm điều hòa CA DA khi và chỉ khi =− . Ký hiệu là (ABCD) = −1. CB DE Tính chất 1.1.2 ([1]). Bốn điểm được gọi là hàng điểm điều hòa khi và chỉ khi một trong các hệ thức sau được thỏa mãn: 2 1 1 1. = + (hệ thức Descarter). AB CA DA 2 2. IA = IC · ID (với I là trung điểm AB) (hệ thức Newton). 3. Gọi J là trung điểm CD, ta có AC · AD = AB · AJ (hệ thức Maclaurin). AB CB Định nghĩa 1.1.3 ([1]). Tứ giác ABCD nội tiếp và thỏa mãn = AD CD được gọi là tứ giác điều hòa. Ví dụ, cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. M A và M B là tiếp tuyến vẽ từ M đến (O). Một cát tuyến qua M cắt (O) tại P và Q. Khi đó, AP BQ là tứ giác điều hòa (Hình 1.1).
5 Hình 1.1: AP BQ là tứ giác điều hòa. Tính chất 1.1.4 ([1]). 1. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) là tứ giác điều hòa khi và chỉ khi AC, tiếp tuyến tại B, tiếp tuyến tại D của (O) đồng quy (AC, BD khác đường kính). 2. Cho ABCD là tứ giác điều hòa thì AC · BD = 2AB · CD = 2BC · AD. 3. Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), tiếp tuyến tại B và D cắt nhau tại M, I là giao điểm của AC và BD. Khi đó, (M IAC) = −1. 4. Cho tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp O, gọi M là giao của hai tiếp tuyến của (O) tại B và D. Gọi I là giao điểm của OM và BD. Khi đó, IB là phân giác của góc AIC. Định nghĩa 1.1.5 ([1]). Cho một điểm O cố định và một số thực k không đổi, −−→ −−→ k 6= 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M 0 sao cho OM 0 = k OM được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k. Kí hiệu V(O,k) . Định nghĩa 1.1.6 ([1]). Nếu có phép vị tự tâm O biến đường tròn này thành đường tròn kia thì O được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn đó. Nếu phép vị tự đó có tỉ số dương thì điểm O gọi là tâm vị tự ngoài, nếu phép vị tự đó có tỉ số âm thì điểm O gọi là tâm vị tự trong.
6 Hình 1.2: Hai đường tròn (I, R) và (I 0 , R0 ) có O1 là tâm vị tự ngoài, O2 là tâm vị tự trong. Định lý 1.1.7 (Monge-D’Alembert, [1]). Cho ba đường tròn (O1 , R1 ), (O2 , R2 ), (O3 , R3 ) phân biệt trên mặt phẳng. Khi đó, tâm vị tự ngoài của các cặp đường tròn {(O1 ), (O2 )}, {(O2 ), (O3 )}, {(O3 ), (O1 )} cùng thuộc một đường thẳng. Hai tâm vị tự trong của hai trong ba cặp đường tròn trên và tâm vị tự ngoài của cặp đường tròn còn lại cùng thuộc một đường thẳng. Hình 1.3: Các tâm vị tự A1 , A2 , A3 thẳng hàng. Trên mặt phẳng cho một điểm P và một đường tròn (O). Kẻ đường thẳng qua điểm P cắt đường tròn tại hai điểm U và V . Vậy thì giá trị của P U × P V sẽ không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng.
7 Hình 1.4: Phương tích của điểm P với đường tròn (O) là P A · P B. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta vẽ một đường thẳng khác qua P và cắt đường tròn tại hai điểm A và B thì P A × P B = P U × P V. Giá trị không đổi này được gọi là phương tích của điểm P đối với (O). Định lý 1.1.8 (Định lý về trục đẳng phương, [1]). Cho hai đường tròn (O1 , r1 ) và (O2 , r2 ) có tâm là hai điểm khác nhau. Vậy thì quỹ tích tất cả các điểm P sao cho phương tích của P đến hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) bằng nhau và là một đường thẳng. Đường thẳng này gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn (O1 ) và (O2 ). Trục đẳng phương vuông góc với đường thẳng O1 O2 nối hai tâm của đường tròn. Định lý 1.1.9 (Định lý về tâm đẳng phương, [1]). Cho ba đường tròn (O1 ), (O2 ), và (O3 ) có tâm là ba điểm khác nhau. (i) Nếu ba điểm O1 , O2 , O3 thẳng hàng thì ba trục đẳng phương của các cặp đường tròn {(O1 ), (O2 )}, {(O1 ), (O3 )}, và {(O2 ), (O3 )} song song với nhau. (ii) Nếu ba điểm O1 , O2 , O3 không thẳng hàng thì ba trục đẳng phương của các cặp đường tròn {(O1 ), (O2 )}, {(O1 ), (O3 )}, và {(O2 ), (O3 )} đồng quy tại một điểm gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn. Tâm đẳng phương có phương tích đến ba đường tròn bằng nhau.
8 Hình 1.5: Tâm đẳng phương P của 3 đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ). Định lý 1.1.10 (Định lý Poncelet về đa giác lưỡng tâm, [4]). Cho hai đường tròn chứa nhau thỏa mãn: tồn tại một n-giác nội tiếp đường tròn lớn và ngoại tiếp đường tròn nhỏ. Khi đó, tồn tại vô số n-giác vừa nội tiếp đường tròn lớn vừa ngoại tiếp đường tròn nhỏ, đồng thời bất kì một điểm nào thuộc đường tròn lớn đều có thể lấy làm đỉnh cho những n-giác như thế. Định lý 1.1.11 (Định lý Poncelet, [4]). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (K) tiếp xúc AB, CD tại M, N . Đường tròn (L) tiếp xúc với AC, BD tại P, Q. Khi đó, nếu M, N, P, Q thẳng hàng thì (K), (L) và (O) đồng trục. Định lý 1.1.12 (Định lý Menelaus, [2]). Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho ba điểm có một số chẵn điểm thuộc cạnh tam giác ABC. Khi đó, định lý phát biểu rằng D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi F A DB EC · · = 1. F B DC EA Hình 1.6: Định lý Menelaus.
9 Định lý 1.1.13 (Định lý Pascal, [4]). Cho sáu điểm bất kỳ trên một conic (elip, parabol hoặc hyperbol) khi đó giao điểm của các cặp cạnh đối diện thẳng hàng. Đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal. Hình 1.7: Định lý Pascal. Định lý 1.1.14 (Định lý Thales, [1]). Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Định nghĩa 1.1.15 ([2]). Hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) được gọi là trực giao với nhau nếu chúng có điểm chung A và góc giữa 2 tiếp tuyến tại A của chúng bằng 90 độ hay O1 A ⊥ O2 A. Định nghĩa 1.1.16 (Đường thẳng đẳng giác, [5]). Đường thẳng đi qua một đỉnh của một góc và tạo với đường phân giác của góc đó những góc bằng nhau gọi là các đường thẳng đẳng giác. Định lý 1.1.17 (Steiner, [5]). Cho tam giác ABC và hai điểm D, E trên cạnh BC. Khi đó AD, AE đẳng giác trong góc BAC khi và chỉ khi BD BE AB 2 · = . DC EC AC 2 Định nghĩa 1.1.18 ([2]). Cho điểm O cố định và số thực k 6= 0. Phép nghịch đảo cực O, phương tích k, ký hiệu f = IOk , xác định bởi IOk : M 7→ M 0 ⇔ OM · OM 0 = k. Tính chất 1.1.19 ([2]). (i) IOk (M ) = M 0 ⇔ IOk (M 0 ) = M s. (ii) IOk (IOk (M )) = M nên IOk ◦ IOk là phép đồng nhất.
10 Tính chất 1.1.20 ([2]). (i) Phép nghịch đảo biến đường thẳng đi qua O thành chính nó. √ (ii) Phép nghịch đảo với k > 0 biến đường tròn (O, k) thành chính nó. Ta √ gọi (O, k) là đường tròn nghịch đảo. (iii) Phép nghịch đảo với k > 0 biến các đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo thành chính nó. |k|AB (iv) Cho IOk , nếu IOk (A) = A0 và IOk (B) = B 0 thì A0 B 0 = . OA · OB 1.2 Đường tròn Mixtilinear 1.2.1 Định nghĩa và cách dựng L. Bankoff [12] là người đưa ra thuật ngữ đường tròn Mixtilinear nội tiếp của một tam giác để đặt tên cho ba đường tròn mà mỗi đường tròn tiếp xúc với hai cạnh và tiếp xúc bên trong với đường tròn ngoại tiếp. Định nghĩa 1.2.1 ([12]). Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Khi đó, đường tròn wa tiếp xúc trong với (O) và tiếp xúc với hai cạnh AB, AC của tam giác ABC được gọi là đường tròn Mixtilinear nội tiếp ứng với góc A của tam giác ABC. Hình 1.8: Ba đường tròn Mixtilinear (OA ), (OB ), (OC ) của tam giác ABC.
11 Cách dựng 1 ([7]). Kí hiệu I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC, và cho đường thẳng qua I vuông góc với phân giác trong góc A giao với AB và AC tương ứng tại X1 và X2 . Hai đường thẳng trực giao với AB và AC tại X1 và X2 cùng cắt đường phân giác trong của góc A tại tâm KA của đường tròn Mixtilinear. Đường tròn tâm KA và đi qua X1 và X2 là đường tròn Mixtilinear ứng với góc A (xem Hình 1.9). Hình 1.9: Cách dựng đường tròn Hình 1.10: Cách dựng đường tròn Mixtilin- Mixtilinear thứ nhất. ear thứ hai. Cách dựng 2 ([7]). Cho tam giác ABC, gọi P là tâm vị tự ngoài của phép vị tự của đường tròn ngoại tiếp với tâm O và đường tròn nội tiếp với tâm I. Kéo dài AP để nó cắt đường tròn ngoại tiếp tại A0 . Giao của AI và A0 O là tâm KA của đường tròn Mixtilinear ứng với góc A. Đường tròn tâm KA và đi qua A0 là đường tròn Mixtilinear ứng với góc A (xem Hình 1.10). Cách dựng tiếp theo sử dụng ý tưởng tương tự như cách dựng thứ nhất nhưng nó không sử dụng công thức tính bán kính của Bankoff hay tính thẳng hàng của ba điểm X1 , I, X2 . Cách dựng 3 ([11]). Cho tam giác ABC, xác định điểm giữa N và P tương ứng của các cung đường tròn ngoại tiếp CA và AB không chứa điểm B và C. Gọi A1 là ảnh phản xạ của A qua trung điểm của N P . Vẽ đường ` qua A1 trực giao với phân giác góc A; đường này cắt AB và AC tương ứng tại X1 và X2 . Hai đường thẳng trực giao với AB và AC tại X1 và X2 giao nhau tại tâm KA của đường tròn Mixtilinear tương ứng với góc A.
12 Hình 1.11: Cách dựng đường tròn Hình 1.12: Cách dựng đường tròn Mixtilin- Mixtilinear thứ ba. ear thứ tư. Cách dựng 4 ([11]). Cho tam giác ABC, lấy D là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với cạnh BC. Gọi IA và M lần lượt là giao điểm của đường phần giác góc A với BC và với đường tròn ngoại tiếp. Giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp của tam giác DIA M và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trùng với A0 là điểm tiếp xúc của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường tròn Mixtilinear ứng với góc A. 1.2.2 Một số tính chất của đường tròn Mixtilinear Tiếp theo, chúng tôi xin trình bày một số tính chất liên quan đến đường tròn Mixtilinear nội tiếp. Phần phát biểu nội dung các tính chất cùng với các chứng minh chủ yếu được tổng hợp từ tài liệu [4, 10]. Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Kí hiệu wa , wb , wc với tâm tương ứng là Oa , Ob , Oc lần lượt là đường tròn Mixtilinear ứng với các góc A, B, C của tam giác ABC; X, Y, Z lần lượt là tiếp điểm của wa , wb , wc với (O); Ab , Ac lần lượt là tiếp điểm của wa với AB, AC. Tính chất 1.2.2 (Bổ đề Sawayama - Thebault, [10]). I là trung điểm của Ab Ac . Chứng minh. Hiển nhiên E, F lần lượt là giao điểm của XAc , XAb với (O).
13 Hình 1.13: I là trung điểm của Ab Ac . Suy ra BE giao CF tại I. Áp dụng định lý Pascal cho lục giác AF BXCE ta có AB ∩ XF , AC ∩ XE, BE ∩ CF thẳng hàng hay Ab , I, Ac thẳng hàng. Mặt khác tam giác AAb Ac cân tại A có AI là phân giác của tam giác Ab AAc nên I là trung điểm của Ab Ac . Tính chất 1.2.3 ([9]). XI đi qua điểm chính giữa cung BAC. Chứng minh. Do XAb giao CI tại F nằm trên (O) nên BXA \b = F \ CB = 1[ o [ − 90 = A 2ACB = BIA \ b IB. Hình 1.14: XI đi qua điểm chính giữa cung BAC. Suy ra tứ giác Ab IXB nội tiếp. Tương tự, tứ giác Ac IXC nội tiếp. Ta thu
14 được BXI [ = AA \ b I = AAc I = IXC, suy ra XI là phân giác BXC hay XI đi \ [ \ qua điểm chính giữa của cung BAC. Tính chất 1.2.4 ([4]). Ab Ac , BC, XD, Ob Oc , Y Z đồng quy tại một điểm. Hình 1.15: Ab Ac , BC, XD, Ob Oc , Y Z đồng quy tại một điểm. Chứng minh. Gọi A1 là giao của Ab Ac với BC. Theo phần chứng minh Tính 1[ 1[ chất 1.2.3 ta có Ab BXI nội tiếp. Do đó A \ b IB = Ab XB = 2 AXb = 2 ACB = \ [ Suy ra ∆A1 IB ∼ ∆A1 CI, nên A1 I 2 = A1 B · A1 C. Suy ra A1 nằm trên ICB. trục đẳng phương của (I, 0) và (O). Gọi Cb , Bc là tiếp điểm của (wc ), (wb ) trên BC. Ta có C \b BD = CBD = \ \ ⇒ ∆DBZ ∼ ∆DBCb ⇒ DB 2 = DCb · DZ. DZB Tương tự, ta có DC 2 = DBc · DY mà DC = DB nên DBc · DY = DCb · DZ ⇒ Bc Cb ZY nội tiếp. Như vậy PA1 /(Bc Cb ZY ) = A1 Bc · A1 Cb = A1 Y · A1 Z = A1 B · A1 C = PA1 /(O) . Suy ra A1 nằm trên trục đẳng phương của (O) và Bc Cb ZY . Tức A1 ∈ Y Z. Suy ra Ab Ac , BC, Y Z đồng quy. Tính chất 1.2.5 ([9]). Gọi A2 là tiếp điểm của (I) với BC. XA2 giao (O) tại L. Khi đó, AL k BC.