Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về vành chính qui Von Neumann

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST

Báo xấu

63
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về vành chính qui Von Neumann tập trung tìm hiểu về các tính chất cơ bản của vành chính qui, môđun xạ ảnh trên vành chính qui, vành chính qui Abel, vành các ma trận vuông cấp n trên một vành chính qui, vành các toán tử bị chặn trong không gian Hilbert.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về vành chính qui Von Neumann

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đỗ Lư Công Minh LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009
1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đỗ Lư Công Minh Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN HUYÊN Thành phố Hồ Chí Minh – 2009
2 MỤC LỤC trang Trang phụ bìa ........................................................................................... 1 Mục lục ..................................................................................................... 2 Các qui ước và kí hiệu .............................................................................. 3 MỞ ĐẦU ................................................................................................. 5 Chương 1 - CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................................. 8 1.1. Phần tử chính qui trong vành .................................................... 8 1.1.1. Khái niệm về phần tử chính qui ...................................... 8 1.1.2. Vành Abel ...................................................................... 10 1.1.3. Phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một R - môđun ...................................................................... 12 1.2. Vành chính qui Von Neumann ................................................. 13 1.2.1. Định nghĩa và một số ví dụ ............................................ 13 1.2.2. Các điều kiện tương đương của vành chính qui ............ 15 Chương 2 - MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH CHÍNH QUI ................... 16 2.1. Các tính chất cơ bản của vành chính qui .................................. 16 2.2. Môđun xạ ảnh trên vành chính qui ........................................... 29 2.3. Vành chính qui Abel ................................................................. 48 Chương 3 - MỘT SỐ VÀNH CHÍNH QUI ĐẶC BIỆT ..................... 62 3.1. Vành các ma trận vuông cấp n trên một vành chính qui .......... 62 3.2. Vành các toán tử bị chặn trong không gian Hilbert ................. 69 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .............................................................. 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 79
3 CÁC QUI ƯỚC VÀ KÍ HIỆU Hầu hết các vành trong luận văn được giả sử rằng kết hợp và có đơn vị, các vành con và đồng cấu vành cũng được cho là có đơn vị. Ta hay kí hiệu R là vành với đơn vị 1. Phép chiếu tự nhiên từ vành R đến vành thương R/I được cho bởi qui luật x x= x+I . Đôi khi miền nguyên được hiểu là không cần giao hoán. Cho vành R và số nguyên dương n, M n ( R ) là vành các ma trận vuông cấp n trên R. Với vành R bất kì, ta dùng kí hiệu L2 ( R ) để chỉ dàn các iđêan hai phía của R (được sắp thứ tự bộ phận bởi quan hệ bao hàm) và ta sử dụng kí hiệu Mod - R để chỉ phạm trù tất cả R - môđun phải. Tất cả các môđun trong luận văn đều là môđun trên một vành có đơn vị. Hầu hết chúng là các môđun phải, và do đó các đồng cấu thường được viết về phía bên trái chúng. Cụ thể, môđun phải A trên vành R được xem như là một môđun trái trên End R ( A) - vành các tự đồng cấu của nó. Nếu A là R - môđun, kí hiệu B ≤ A nghĩa là B là môđun con của A, và kí hiệu B < A nghĩa là B là môđun con thực sự của A. Trong trường hợp đặc biệt, nếu R là vành thì: I ≤ RR : I là iđêan phải của R I ≤ R R : I là iđêan trái của R Với A, B là các môđun: A ≤ e B : A là môđun con cốt yếu của B, nghĩa là A ∩ C ≠ 0 với mọi môđun con C khác 0 của B.
4 A ≺ B : A đẳng cấu với một môđun con của B. Cho A là môđun và một số nguyên không âm n, nA là tổng trực tiếp n bản sao của A. Tương tự, nếu α là một bản số vô hạn, α A là tổng trực tiếp của α bản sao của A. Với môđun A tùy ý, E(A) là bao nội xạ của A, nghĩa là môđun nội xạ bé nhất sao cho A cốt yếu trong E(A). Một R - môđun phải không suy biến M được hiểu theo nghĩa M là môđun sao cho phần tử duy nhất của M bị linh hóa bởi một iđêan phải của R là phần tử không.
5 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài. Khái niệm vành chính qui Von Neumann xuất hiện năm 1936 khi John Von Neumann định nghĩa một vành chính qui là một vành R với tính chất: với mỗi phần tử a ∈ R luôn tồn tại b ∈ R sao cho a = aba . Để phân biệt với những vành chính qui khác như chính qui Noether trong đại số giao hoán, lí thuyết các vành không giao hoán đã sửa đổi tên gọi và đưa thêm “Von Neumann” vào tên gọi của loại vành đặc biệt này. Tuy nhiên thực sự có rất ít cơ hội nhầm lẫn hai khái niệm này bởi vì chúng rất hiếm khi được nghiên cứu chung. Ví dụ điển hình về vành chính qui (Von Neumann) là vành đầy đủ các phép biến đổi tuyến tính của một không gian vectơ trên một vành chia. Chuyển động theo hệ tọa độ trong hình học xạ ảnh được nghiên cứu lại trong thời gian này (1936) theo ngôn ngữ dàn, và Von Neumann giới thiệu vành chính qui như một công cụ đại số để nghiên cứu những dàn thuộc dạng này. Dàn được Von Neumann đặc biệt quan tâm được nảy sinh trong khi hợp tác làm việc với F.J.Murray để giải quyết các vấn đề về đại số các toán tử trên một không gian Hilbert, mà sau này được biết đến với tên gọi đại số Von Neumann hay W* - đại số. Mặc dầu W* - đại số A trở thành vành chính qui chỉ khi A hữu hạn chiều, một vành chính qui có thể gán với A bằng cách làm việc với tập P(A) các phép chiếu, mỗi một phép chiếu trên A trở thành một lũy đẳng tự liên hợp. Đối với W* - đại số hữu hạn A, Murray và Von Neumann sử dụng một vành chính qui R để “tọa độ hóa” P(A) theo nghĩa P(A) trở nên đẳng cấu tự
6 nhiên với dàn các iđêan phải chính của R. Chú ý rằng hữu hạn ở đây là hữu hạn trực tiếp, nghĩa là nếu t *t = 1 thì t t * = 1 với mọi t ∈ A . Mở rộng ý tưởng này, Von Neumann đã phát minh ra các vành chính qui sao cho có thể tọa độ hóa những dàn modular có phần bù, và một dàn L được tọa độ hóa bởi một vành chính qui R nếu nó đẳng cấu với dàn các iđêan phải chính của R. Như Von Neumann đã chỉ ra, hầu hết các dàn modular có phần bù có thể tọa độ hóa bởi một vành chính qui nào đó. Theo quan điểm lí thuyết các vành thuần túy, các vành chính qui được xem như một chủ đề nghiên cứu bị lãng quên trong một quãng thời gian dài. Trong quyển sách kinh điển của Nathan Jacobson về lí thuyết vành: “Structure of rings”, vành chính qui được đề cập đến chỉ trong một phần nhỏ. Tuy nhiên có thể nói rằng các vành chính qui có nhiều lợi ích xứng đáng để nghiên cứu, bởi vì chúng xuất hiện trong rất nhiều ngữ cảnh. Dùng những kiến thức đã học ở bậc Đại học và Sau đại học để tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác, với cách nhìn tổng quát hơn là một trong những mục tiêu quan trọng của học viên. Ngay từ thuở sinh viên, khi làm luận văn tốt nghiệp bậc đại học, tác giả đã có dịp tiếp xúc với vành chính qui Von Neumann với đề tài “Vành Chính Qui Von Neumann”. Thế nhưng, với những hạn chế của một sinh viên lúc bấy giờ về Đại số đồng điều và các kiến thức về Đại số giao hoán, Đại số không giao hoán, … tác giả đã gặp nhiều khó khăn và chưa thể có một cái nhìn thật sự tổng quan về vành chính qui Von Neumann. Do vậy, sau khi đã được trang bị một số kiến thức mới từ khóa học Sau đại học, tác giả quyết định tiếp tục nghiên cứu vành chính qui Von Neumann với mong muốn dùng những kiến thức vừa được học để tiếp tục nghiên cứu vấn đề.
7 2. Mục đích nghiên cứu. Mục đích của đề tài là tiếp tục xem xét các tính chất của vành chính qui Von Neumann trên cơ sở luận văn ở bậc đại học: “Vành chính qui Von Neumann”. Đồng thời chú trọng việc cụ thể hóa những khái niệm liên quan vào các vành cụ thể và tìm hiểu các tính chất đặc trưng của khái niệm đó. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Đối tượng nghiên cứu: Vành chính qui Von Neumann. Phạm vi nghiên cứu: Lí thuyết vành và môđun. 4. Ý nghĩa của việc nghiên cứu đề tài. Luận văn có thể xem như một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên hoặc những người mới bắt đầu quan tâm đến vành chính qui Von Neumann - một đối tượng rất hay gặp trong nhiều ngữ cảnh khác nhau của đại số.
8 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Mục đích của chương này là điểm lại một số khái niệm cơ bản và các kết quả đơn giản về vành chính qui Von Neumann. Hầu hết các kiến thức được trình bày trong chương này được trích chủ yếu từ [3] theo quan điểm tóm tắt lại những kết quả chính đã đạt được khi nghiên cứu về vành chính qui Von Neumann từ thuở luận văn sinh viên. Do đó, ở đa số mệnh đề, các chứng minh không được trình bày lại. 1.1. Phần tử chính qui trong vành. 1.1.1. Khái niệm về phần tử chính qui. Định nghĩa 1.1. Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử chính qui Von Neumann nếu tồn tại a ∈ R sao cho xax = x . Nếu x là phần tử chính qui Von Neumann, ta còn nói vắn tắt x là phần tử chính qui hay x chính qui. Ví dụ 1.2. a) Nếu R là vành chia thì mọi phần tử của R đều chính qui. b) Phần tử lũy đẳng là phần tử chính qui. Tiếp theo sau đây là các tính chất cơ bản nhất của phần tử chính qui trong một vành tùy ý. Mệnh đề 1.3. Phần tử x ∈ R là chính qui nếu và chỉ nếu iđêan phải (trái) chính của R sinh bởi x được sinh bởi một lũy đẳng e nào đó, tức là xR = eR . Ta kí hiệu tập tất cả các phần tử chính qui của vành R là Von(R). Với mỗi vành R, tập Von(R) có tính chất ổn định đối với việc chọn phần tử a cho mỗi phần tử chính qui x mà xax = x . Cụ thể hơn ta có: Mệnh đề 1.4. Cho vành R và x ∈ Von( R) . Khi đó tồn tại y ∈ Von( R) sao cho: xyx = y, yxy = y . Phần tử y được gọi là phần tử ngược của x.
9 Mệnh đề 1.4 cho ta thấy mỗi phần tử chính qui đều có phần tử ngược với nó, và phần tử ngược này cũng chính qui. Hiển nhiên một câu hỏi sẽ được đặt ra ngay tại đây là: Phần tử ngược của một phần tử chính qui có duy nhất không? Xét trong một vành chia R chẳng hạn, ta thấy mỗi phần tử chính qui có ngược là duy nhất. Trong lúc đó, đối với phần tử lũy đẳng e ∈ R , với R là một vành tùy ý, ngoài phần tử ngược với nó là chính nó chúng ta không thể kết luận nó còn có bao nhiêu phần tử ngược với nó. Như sẽ thấy trong những phần tiếp sau của luận văn, khi xem xét vấn đề này trong một số vành cụ thể, vấn đề duy nhất của phần tử ngược của một phần tử chính qui trong vành phụ thuộc khá nhiều vào các tính chất của vành đó. Trong trường hợp chung nhất, ta có một kết quả cho phép mô tả mối liên hệ cấu trúc các phần tử ngược của một phần tử chính qui như sau: Mệnh đề 1.5. Cho vành R và x ∈ Von( R) . Chọn y là phần tử ngược của x. Nếu y ' = y + s (1 − xy ) + (1 − yx)t với s, t ∈ R thì xy ' x = x . Ngược lại, nếu y ' thỏa xy ' x = x thì y ' có dạng: y ' = y + s (1 − xy ) + (1 − yx)t . Ngoài ra, nếu y ' có dạng y ' = y + s (1 − xy ) + (1 − yx)t thì điều kiện cần và đủ để y ' xy ' = y ' là (1 − yx)( s + t − txs)(1 − xy ) = 0 , với mọi s ∈ yRy, t ∈ Ry . Mệnh đề 1.5 mô tả cho ta một lớp đủ nhiều các phần tử ngược của một phần tử chính qui. Mối liên hệ giữa phần tử ngược y của phần tử chính qui x với phần tử chính qui x còn được thể hiện trong mệnh đề sau: Mệnh đề 1.6. Cho vành R và x ∈ Von( R) . Chọn y là phần tử ngược với x. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương: (a) x + (1 − xy ) R(1 − yx) ⊂ Von( R) . (b) (1 − xy ) R(1 − yx) ⊂ Von( R) . (c) x + R(1 − yx) ⊂ Von( R) . (d) x + (1 − xy ) R ⊂ Von( R) .
10 Mệnh đề sau đây cho ta một điều kiện khá hữu ích để nhận biết một phần tử chính qui. Nó sẽ được sử dụng như một bổ đề hữu dụng trong các phép chứng minh ở phần sau, cho nên ta tạm gọi nó là bổ đề 1.7. Bổ đề 1.7. Cho vành R và x, y ∈ R . Nếu x − xyx ∈ Von( R) thì x ∈ Von( R) . Về cấu trúc của Von(R), nói chung nếu không có thêm các điều kiện bổ sung cho vành R thì không có gì đáng nói. Tuy nhiên, ta cũng có thông tin khá lí thú sau: Bằng cách áp dụng bổ đề 1.7 và bổ đề Zorn (về tập sắp thứ tự), ta có thể chứng minh được rằng trong Von(R) có chứa một iđêan I reg ( R) và iđêan này “lớn nhất” theo nghĩa: vành thương R / I reg ( R) không chứa iđêan khác 0 nằm trong Von( R / I reg ( R)) . Mệnh đề 1.8. Mỗi vành R đều có một iđêan “lớn nhất” I reg ( R) sao cho: I reg ( R) ⊂ Von( R) , I reg ( R) + Von( R) ⊂ Von( R) và vành thương R / I reg ( R) không chứa iđêan khác 0 nằm trong Von( R / I reg ( R)) . 1.1.2. Vành Abel. Như đã nhận xét trong mục trước, nếu không có các điều kiện bổ sung cho vành R thì nói chung trên Von(R) không có một cấu trúc nào cả. Mục này dành cho việc xét tới cấu trúc của Von(R), khi R được bổ sung thêm các điều kiện mới để trở thành một vành Abel. Khái niệm về vành Abel được xác định như sau: Định nghĩa 1.9. Vành R được gọi là Abel nếu mọi phần tử lũy đẳng của R đều thuộc tâm của R. Ví dụ 1.10. a) Vành chia là vành Abel. b) Vành giao hoán là vành Abel. c) Tâm của vành R là vành Abel.
11 d) Nếu R là vành không có phần tử lũy linh khác 0 thì mỗi lũy đẳng của R giao hoán với mọi phần tử của R, nói cách khác, R là vành Abel. Ngoài ra còn có một số ví dụ khác về vành Abel khi ta thêm vào điều kiện chính qui để chúng trở thành vành chính qui Abel - một đối tượng đáng quan tâm ở chương 2. Ta tạm dừng việc lấy các ví dụ về vành Abel để đưa ra một điều kiện tương đương của nó: Mệnh đề 1.11. Vành R là Abel nếu và chỉ nếu hai phần tử lũy đẳng bất kì của R giao hoán được với nhau. Theo mệnh đề 1.11, khi làm việc với vành Abel, ta tập trung chủ yếu vào các phần tử lũy đẳng. Kết nối nhận xét này với mệnh đề 1.3 và các lưu ý ở mệnh đề 1.4 ta trả lời được câu hỏi đặt ra trong phần nhận xét ngay sau mệnh đề 1.4. Nếu R là vành bất kì, Von(R) chưa chắc là một nửa nhóm. Chẳng hạn như trong vành các số nguyên môđulô n, ta khó mà mô tả nhiều về Von( n ). Nhưng trong trường hợp R là vành Abel thì ta có kết quả sau: Mệnh đề 1.12. Nếu R là vành Abel thì Von(R) là một vị nhóm. Hơn nữa mỗi phần tử chính qui có một và chỉ một phần tử ngược với nó. Khi đó Von(R) được gọi là vị nhóm ngược. Ngược lại, nếu Von(R) là vị nhóm ngược thì R là vành Abel. Nhận xét 1.13. Nếu trong vành R mỗi phần tử chính qui đều có một phần tử ngược duy nhất tương ứng thì ta cũng không thể kết luận được phần tử ngược đó là phần tử nghịch đảo của phần tử chính qui. Để lấy ví dụ chứng tỏ nhận xét trên, ta chỉ cần R là vành giao hoán (hay chỉ cần R Abel là đủ, vì theo mệnh đề 1.12, phần tử ngược của phần tử chính qui trong vành Abel là duy nhất) nhưng không là miền nguyên (nghĩa là không thỏa luật giản ước). Chẳng hạn, trong 10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ta có:
12 0.0.0 = 0, 1.1.1 = 1, 4.4.4 = 4, 5.5.5 = 5, 6.6.6 = 6, 9.9.9 = 9 , 2.8.2 = 2, 8.2.8 = 8, 3.7.3 = 3, 7.3.7 = 7. Trong 10 , mỗi phần tử đều chính qui và có duy nhất một phần tử ngược với nó. Tuy nhiên: 2.8 = 8.2 = 6 ≠ 1 nên 2 và 8 không phải là nghịch đảo của nhau, mặc dù 2 và 8 ngược nhau, duy nhất. Do đó ta thấy khái niệm phần tử ngược tuy là mở rộng của khái niệm phần tử nghịch đảo nhưng không dễ thu hẹp khái niệm ngược về nghịch đảo. Trong [3], phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một nhóm Abel được xem xét khá cẩn thận. Ta đã biết mỗi nhóm Abel có thể xem như một - môđun, vậy liệu các kết quả về phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một nhóm Abel có thể nào được chuyển sang vô điều kiện cho vành các tự đồng cấu của một R - môđun, trong đó R là vành có đơn vị tùy ý? Khi ra soát lại các phép chứng minh ở [3], tuyệt nhiên không cần sử dụng đến bất kì một tính chất đặc biệt nào của các - môđun mà R - môđun tổng quát không có. Điều này cho phép ta đưa ra câu trả lời khẳng định, nghĩa là: 1.1.3. Phần tử chính qui trong vành các tự đồng cấu của một R - môđun. Cho M là R - môđun phải. Xét vành các tự đồng cấu của M : End R ( M ) = { f : M → M | f là R - đồng cấu} Mục này dành cho việc xét các phần tử chính qui trong End R ( M ) . Trước hết, về đặc trưng của các phần tử lũy đẳng, là các phần tử chính qui đặc biệt trong End R ( M ) , ta có: Mệnh đề 1.14. Phần tử f ∈ End R ( M ) là phần tử lũy đẳng nếu và chỉ nếu M = Im f ⊕ Kerf , f |Im f ≡ Id .
13 Từ đặc trưng cơ bản của phần tử lũy đẳng được xét tới trong mệnh đề 1.14, ta có thể chứng minh được đặc trưng của một phần tử chính qui trong End R ( M ) , thể hiện trong mệnh đề sau: Mệnh đề 1.15. Phần tử f ∈ End R ( M ) là chính qui nếu và chỉ nếu tồn tại sự phân tích M thành các tổng trực tiếp: M = M1 ⊕ M 2 = M1' ⊕ M 2' sao cho f |M1 : M 1 → M 1' là một đẳng cấu và f |M 2 : M 2 → M 2' là đồng cấu không. Mệnh đề 1.15 về đặc trưng của các phần tử chính qui trong End R ( M ) cho ta các hệ quả đáng chú ý sau: Hệ quả 1.16. Nếu f ∈ End R ( M ) là phần tử chính qui thì M ≅ Im f ⊕ Kerf . Hệ quả 1.17. Phần tử f ∈ End R ( M ) là chính qui nếu và chỉ nếu Im f và Kerf là các hạng tử trực tiếp của M. Đáng lẽ, để kết thúc mục này, ta đưa thêm một ví dụ nữa về các phần tử chính qui, chẳng hạn khảo sát tính chính qui đối với các toán tử bị chặn trong không gian Hilbert nhưng vì những lí do nhất định, ta sẽ bàn luận về chúng trong chương 3. Ở mục tiếp theo, ta nhắc lại một vài khái niệm cơ bản cùng các đặc trưng đơn giản nhất về vành chính qui Von Neumann. 1.2. Vành chính qui Von Neumann. 1.2.1. Định nghĩa và một số ví dụ. Định nghĩa 1.18. Vành R được gọi là vành chính qui (Von Neumann) nếu mọi phần tử của nó là phần tử chính qui. Nghĩa là: R chính qui nếu và chỉ nếu R = Von( R) . Từ định nghĩa vành chính qui, ta dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau: Mệnh đề 1.19. Trong một vành chính qui, mỗi phần tử khác 0 hoặc khả nghịch hoặc là ước của 0.
14 Hệ quả 1.20. Nếu vành chính qui đồng thời là miền nguyên thì nó là trường. Mệnh đề 1.21. Vành chính qui R là vành chia nếu và chỉ nếu R chỉ có hai phần tử lũy đẳng tầm thường. Mệnh đề 1.22. Tích trực tiếp của một họ khác rỗng các vành chính qui là vành chính qui. Mệnh đề 1.23. Ảnh đồng cấu của vành chính qui là vành chính qui. Suy ra tính chính qui được bảo toàn qua phép đẳng cấu và vành thương của vành chính qui cũng là vành chính qui. Ta đưa ra ba ví dụ về vành chính qui, trong đó hai ví dụ đầu tiên được trích dẫn trong [3], ví dụ cuối thuộc về kinh điển. Ví dụ 1.25. Vành các ma trận vuông thực cấp n là vành chính qui. Ví dụ 1.26. Cho K là trường và S1 , ... , S n là các tập con hữu hạn khác rỗng của K. Cho X 1 , ... , X n là n biến và đặt Pi ( X i ) = ∏ ( X i − k ) với mỗi k∈Si i = 1, ... , n . Khi đó vành thương K [ X 1 , ... , X n ] / P1 ( X 1 ), ... , Pn ( X n ) là vành chính qui giao hoán. Ví dụ 1.27. Vành các phép biến đổi tuyến tính của một không gian vectơ trên một vành chia là vành chính qui. Thật vậy, gọi End D (V ) là vành các phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ V trên vành chia D. Lấy f ∈ End D (V ) . Khi đó Im f là một không gian con của V nên ta có thể chọn một cơ sở (ei )i∈J của nó và bổ sung vào đó (ei )i∈J ' để được cơ sở của V. Với i ∈ J chọn bi sao cho f (bi ) = ei và đặt f '(ei ) = bi . Với i ∈ J ' đặt f '(ei ) = 0 . Do mỗi phép biến đổi tuyến tính hoàn toàn xác định nếu biết ảnh của một cơ sở nên f ' ∈ End D (V ) . Bây giờ, với mọi x ∈V : f ( x) ∈ Im f nên f ( x) = ∑ ei . yi . Khi đó: i∈J
15 ⎛ ⎞ ( ff ' f )( x ) = f f ' ⎜ ∑ ei . yi ⎟ = ∑ ff '(ei ). yi = ∑ f (bi ). yi = ∑ ei . yi = f ( x) ⎝ i∈J ⎠ i∈J i∈J i∈J Do đó ff ' f = f . □ 1.2.2. Các điều kiện tương đương của vành chính qui. Mệnh đề 1.28. Cho vành R. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương: (a) R là vành chính qui. (b) Mỗi iđêan phải (trái) chính của R đều sinh bởi một lũy đẳng. (c) Mỗi iđêan phải (trái) hữu hạn sinh của R đều sinh bởi một lũy đẳng. Mệnh đề 1.28 cho ta một chú ý sáng giá khi nghiên cứu các vành chính qui: tập trung vào các phần tử lũy đẳng của chúng. Để phát biểu điều kiện tương đương tiếp theo, ta cần các phần tử lũy đẳng với tính chất đặc biệt hơn - tính trực giao. Mệnh đề 1.29. Cho {ei }i∈1, n là họ các lũy đẳng trực giao trong vành R (nghĩa n là ei .e j = 0, ∀i ≠ j ) thỏa ∑ e = 1. Khi đó R là vành chính qui nếu và chỉ nếu i =1 i với mỗi x ∈ ei Re j tồn tại y ∈ e j Rei sao cho xyx = x . Sử dụng mệnh đề trên, ta có thể chứng minh được vành các ma trận vuông cấp n trên một vành chính qui là vành chính qui. Sau đó, bằng suy luận khá đơn giản, từ các điều kiện tương đương của vành chính qui, ta thu được các tính chất của vành con, iđêan, vành các thương của vành chính qui như đã trình bày trong [3]. Thế nhưng, các tính chất này chưa thực sự đầy đủ. Cho nên, ta kết thúc mục này ở đây để chuyển sang khảo sát một cách tổng quát và tỉ mỉ hơn các tính chất của vành chính qui trong chương 2.
16 Chương 2. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ VÀNH CHÍNH QUI Chương này dành cho việc mô tả các tính chất của vành chính qui và một lớp các vành chính qui đặc biệt là vành chính qui Abel. Thêm vào đó, các môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên vành chính qui và chính qui Abel cũng được xem xét khá kĩ để làm nổi bậc lên vai trò của các phần tử lũy đẳng trong vành chính qui. 2.1. Các tính chất cơ bản của vành chính qui. Mục đích của mục này là giới thiệu vài tính chất cơ bản của vành chính qui. Điểm nhấn quan trọng là đưa ra những điều kiện cần thiết để vành là vành chính qui. Trong mệnh đề 1.28 ta đã chỉ ra tính chất cơ bản nhất và có nhiều ứng dụng rộng rãi của vành chính qui, bằng cách chỉ ra các lũy đẳng trong vành chính qui. Ở mục này, ta thường xuyên và hầu như liên tục phải sử dụng các phần tử lũy đẳng trong vành chính qui, chẳng hạn: Mệnh đề 2.1. Cho R là vành chính qui. Khi đó: (a) Tất cả iđêan một phía đều lũy đẳng. (b) Tất cả iđêan hai phía đều nửa nguyên tố. (c) J ( R) = 0 với J ( R) là căn Jacobson của R. (d) R là (phải và trái) nửa di truyền. (e) R là (phải và trái) không suy biến. Chứng minh. (a) Lấy J là iđêan phải của R. Với x ∈ J , ∃y ∈ R : xyx = x và do đó x = ( xy) x ∈ J 2 . Suy ra J = J 2 . (b) Dễ dàng suy ra từ (a) theo tính chất của iđêan nửa nguyên tố. (c) Căn Jacobson không chứa các lũy đẳng khác 0.
17 (d) Theo mệnh đề 1.28 mọi iđêan một phía hữu hạn sinh của R đều là hạng tử trực tiếp của R nên xạ ảnh. (e) Giả sử xJ = 0 với x ∈ R và J ≤ e RR . Tồn tại lũy đẳng e ∈ R sao cho Re = Rx và do đó: ReJ = RxJ = 0 . Suy ra J ≤ (1 − e) R . Khi đó: J ∩ eR = 0 . Do vậy eR = 0 và x = xe = 0 . Vậy RR không suy biến. □ Trước khi nghiên cứu tính chất của iđêan trong vành chính qui ta cần định nghĩa iđêan chính qui. Định nghĩa 2.2. Một iđêan hai phía J của vành R được gọi là chính qui nếu với mỗi x ∈ J , tồn tại y ∈ J sao cho xyx = x . Mệnh đề 2.3. Cho J ≤ K là các iđêan hai phía của vành R. Khi đó: K chính qui nếu và chỉ nếu J và K / J đều chính qui. Chứng minh. ■ Nếu K chính qui thì K / J chính qui. Lấy x ∈ J , ∃y ∈ K : xyx = x . Khi đó: z = yxy ∈ J và xzx = x . Vì vậy, J chính qui. ■ Ngược lại, giả sử J và K / J chính qui. Lấy x ∈ K , x + J là phần tử chính qui của K / J nên tồn tại y + J ∈ K / J : x + J = ( x + J )( y + J )( x + J ) . Suy ra x − xyx ∈ J là phần tử chính qui. Do đó ∃z ∈ J : x − xyx = ( x − xyx) z ( x − xyx) . Vì vậy x = x[(1 − yx) z (1 − xy ) + y ]x = xwx , với w = (1 − yx) z (1 − xy ) + y ∈ K . Vậy K chính qui. □ Trong trường hợp đặc biệt, mệnh đề 2.3 chứng tỏ rằng mọi iđêan hai phía trong một vành chính qui là chính qui. Nhìn nhận theo lối khác, nếu J là một iđêan hai phía trong vành R sao cho J và R / J chính qui thì R chính qui.
18 Phương pháp này tỏ ra hữu ích khi xây dựng các ví dụ về vành chính qui, chẳng hạn: Mệnh đề 2.4. Tích trực tiếp con hữu hạn của các vành chính qui là chính qui. Chứng minh. Ta chỉ cần xem xét trường hợp vành R là tích trực tiếp con của hai vành chính qui. Khi đó R có các iđêan hai phía J và K sao cho J ∩ K = 0 và R / J , R / K đều chính qui. Do J ≅ ( J + K ) / K trong vành chính qui R / K , mệnh đề 2.3 chứng tỏ rằng J chính qui. Lại theo 2.3, R / J chính qui nên R chính qui. □ Chú ý. Tích trực tiếp con của vô hạn vành chính qui, chẳng hạn , không chính qui. Trong mệnh đề 1.8, ta đã áp dụng bổ đề Zorn để chỉ ra trong vành R có iđêan I reg ( R) “lớn nhất” theo nghĩa: I reg ( R) chính qui và vành thương R / I reg ( R) không chứa iđêan chính qui khác 0. Bây giờ, bằng một ít nhận xét về I reg ( R) kết hợp với tiêu chuẩn chính qui của iđêan được phát biểu trong mệnh đề 2.3 ta có thể chỉ ra được hình ảnh cụ thể của I reg ( R) mà trong mệnh đề tiếp theo gọi là M. Mệnh đề 2.5. Cho vành R và M = {x ∈ R | RxR là iđêan chính qui}. Ta có: (a) M là iđêan hai phía chính qui của R. (b) M chứa tất cả iđêan hai phía chính qui của R. (c) Vành thương R / M không chứa iđêan hai phía chính qui khác 0. Chứng minh. (a) Lấy x, y ∈ M . Ta có RyR và ( RxR + RyR) / RyR ≅ RxR / ( RxR ∩ RyR) đều chính qui. Do đó, theo mệnh đề 2.3, RxR + RyR chính qui.
19 Vì vậy RxR + RyR ⊂ M với mọi x, y ∈ M . Do vậy M là iđêan hai phía. Dĩ nhiên M chính qui. (b) Lấy A là iđêan hai phía chính qui của R và xét x ∈ A . Khi đó RxR là iđêan hai phía của A nên chính qui. Suy ra x ∈ M và A ⊂ M . (c) Nếu A / M là iđêan hai phía chính qui trong R / M thì theo mệnh đề 2.3, A chính qui do M chính qui. Suy ra A ⊂ M và A / M = 0 . □ Theo mệnh đề 2.3, iđêan của vành chính qui là chính qui. Một câu hỏi được đặt ra là vành con của vành chính qui có là vành chính qui không? Ta xét trường các số hữu tỉ . Vì trường là vành chính qui nên là vành chính qui nhưng một vành con của là vành các số nguyên không là vành chính qui (phần tử 2 ∈ không phải là phần tử chính qui vì iđêan 2 không được sinh bởi lũy đẳng nào: chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1). Ví dụ trên cho ta thấy một vành con của vành chính qui chưa chắc là vành chính qui. Tuy nhiên, đối với các vành con đặc biệt, ta có: Mệnh đề 2.6. Góc của vành chính qui là vành chính qui. Chứng minh. Với mỗi phần tử lũy đẳng e ∈ R , góc của vành R được định nghĩa là vành con eRe . Ta cần chứng minh nếu R là vành chính qui thì eRe cũng là vành chính qui với mọi lũy đẳng e. Thật vậy, lấy x ∈ eRe , chọn y ∈ R : x = xyx . Vì e là lũy đẳng nên ta có: xe = ex = x . Suy ra: x = ( xe) y (ex) = x(eye) x . Đặt a = eye ∈ eRe ta có xax = x . Vậy eRe là vành chính qui. □ Mệnh đề 2.7. Tâm của vành chính qui là chính qui. Chứng minh. Lấy R là một vành chính qui với tâm S và chọn x ∈ S .