Luận văn Thạc sĩ Toán học: Năng lượng đa phức có trọng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên cứu về lớp năng lượng có trọng ( Ex) và nghiên cứu toán tử MongeAmpere trên lớp năng lượng đa phức hữu hạn trong trường hợp tổng quát. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Năng lượng đa phức có trọng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ THANH HƢƠNG NĂNG LƢỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TRẦN THỊ THANH HƢƠNG NĂNG LƢỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2015
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chƣa từng đƣợc công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Trần Thị Thanh Hương
ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn đƣợc hoàn thành tại Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hƣớng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Phổ thông Dân tộc nội trú THPT Tỉnh Hoà Bình cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này đƣợc hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 7 năm 2015 Tác giả Trần Thị Thanh Hương
iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii MỤC LỤC ..........................................................................................................iii MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ......................................................................................... 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................. 2 3. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................. 2 4. Bố cục của luận văn ..................................................................................... 2 Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................... 3 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới............................................................................... 3 1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại .................................................................. 5 1.3. Hàm cực trị tƣơng đối............................................................................... 6 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức ................................................................ 10 Chƣơng 2. NĂNG LƢỢNG ĐA PHỨC CÓ TRỌNG .................................. 16 2.1. Lớp Cegrell ( ) ................................................................................ 16 2.2. Dung lƣợng của tập mức dƣới ................................................................ 20 2.3. Các lớp năng lƣợng có trọng. ................................................................. 25 2.4. Miền giá trị của toán tử Monge-Ampere phức ....................................... 37 KẾT LUẬN....................................................................................................... 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 42
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết đa thế vị phức đƣợc hình thành và phát triển dựa trên các công trình cơ bản của Bedford-Taylor, Siciak, Zahaziuta và nhiều tác giả khác. Tuy nhiên lý thuyết này chỉ thực sự phát triển mạnh mẽ sau khi E. Berfod và B. A.Taylor, xây dựng thành công toán tử Monge-Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa dƣới bị chặn địa phƣơng và đƣa ra khái niệm dung lƣợng của n một tập Borel trong một tập mở của . Có thể xem toán tử Monge-Ampere là công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa thế vị. Các kết quả đạt đƣợc liên quan đến toán tử Monge - Ampère phức đã đóng một vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế vị. Năm 1998, U. Cegrell đã giới thiệu và nghiên cứu toán tử Monge- Ampere phức (dd c .)n trên các lớp đặc biệt các hàm đa điều hòa dƣới không bị chặn trong , gọi là các lớp năng lƣợng. Năm 2004, Cegrell đã cho một định nghĩa tổng quát của toán tử Monge-Ampere và đạt đƣợc nhiều kết quả đẹp đẽ. Năm 2005, Cegrell đã đƣa ra lớp hàm ( ) mà trên mỗi compact , nó trùng với một hàm trong lớp ( ). Tiếp tục mở rộng lớp năng lƣợng ( ), năm 2009, S. Benelkourchi đã đƣa ra lớp năng lƣợng có trọng ( ) và nghiên cứu toán tử Monge-Ampere trên lớp năng lƣơng đa phức hữu hạn trong trƣờng hợp tổng quát. Đồng thời giải thích các lớp này theo nghĩa tốc độ giảm của dung lƣợng của tập mức dƣới và mô tả đầy đủ miền giá trị của toán tử Monge- Ampere (dd c .)n trong các lớp ( ). Theo hƣớng nghiên cứu này chúng tôi chọn đề tài: "Năng lượng đa phức có trọng".
2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc nghiên cứu về lớp năng lƣợng có trọng ( ) và nghiên cứu toán tử Monge- Ampere trên lớp năng lƣợng đa phức hữu hạn trong trƣờng hợp tổng quát. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: - Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, hàm cực trị tƣơng đối, toán tử Monge-Ampère và một vài tính chất của nó. - Trình bày các kết quả gần đây của Slimane Benelkourchi về một số tính n chất của các lớp năng lƣợng U.Cegrell trong , dung lƣợng của tập mức dƣới và một số kết quả về lớp năng lƣợng có trọng ( ) , miền giá trị của toán tử Monge-Ampere phức. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các phƣơng pháp của giải tích phức kết hợp với các phƣơng pháp của giải tích hàm hiện đại, các phƣơng pháp của lý thuyết đa thế vị phức. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chƣơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dƣới, hàm đa điều hoà dƣới cực đại, hàm cực trị tƣơng đối, toán tử Monge-Ampère và một vài tính chất của nó. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả gần đây của Slimane Benelkourchi về một số tính chất của các lớp năng lƣợng n U.Cegrell trong , dung lƣợng của tập mức dƣới và một số kết quả về lớp năng lƣợng có trọng ( ) , miền giá trị của toán tử Monge-Ampere phức. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt đƣợc.
3 Chƣơng 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dƣới 1.1.1. Định nghĩa. Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X , được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi tập hợp x X : u(x ) là mở trong X. n 1.1.2. Định nghĩa. Cho là một tập con mở của và u : , là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên thông nào của . Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a và n b , hàm u(a b) là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành phần của tập hợp :a b . Trong trường hợp này, ta viết u ( ) . (Ở đây kí hiệu ( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong ). Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dƣới: 1.1.3. Mệnh đề. Nếu u, v ( ) và u v hầu khắp nơi trong , thì u v. 1.1.4. Mệnh đề. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền n bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của và u PSH ( ), thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z , u(z ) sup lim sup u(y ) . y y n 1.1.5. Định nghĩa. Tập hợp E được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm a E đều có một lân cận V của a và một hàm u (V ) sao cho E V z V : u(z ) .
4 1.1.6. Hệ quả. Các tập đa cực có độ đo (Lebesgue) không. n 1.1.7. Định lý. Cho là một tập con mở trong . Khi đó (i) Họ ( ) là nón lồi, tức là nếu , là các số không âm và u, v ( ) , thì u v ( ). (ii) Nếu là liên thông và uj ( ) là dãy giảm, thì j u lim u j ( ) hoặc u . j (iii) Nếu u : , và nếu u j ( ) hội tụ đều tới u trên các j tập con compact của , thì u ( ). (iv) Giả sử u ( ) sao cho bao trên của nó u sup u là bị A A chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều hoà dưới trong . n 1.1.8. Hệ quả. Cho là một tập mở trong và là một tập con mở thực sự khác rỗng của . Nếu u ( ), v ( ), và lim v(x ) u(y ) với x y mỗi y , thì công thức max u, v trong u trong \ xác định một hàm đa điều hoà dưới trong . n 1.1.9. Định lý. Cho là một tập con mở của . (i) Cho u, v là các hàm đa điều hoà trong và v 0 . Nếu : là lồi, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong .
5 (ii) Cho u ( ), v ( ), và v 0 trong . Nếu : là lồi và tăng dần, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong . (iii) Cho u, v ( ), u 0 trong , và v 0 trong . Nếu : 0, 0, là lồi và (0) 0 , thì v (u / v) ( ). n 1.1.10. Định lý. Cho là một tập con mở của và F z : v(z ) là một tập con đóng của  ở đây v ( ). Nếu u ( \ F ) là bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi u(z ) (z \ F) u (z ) lim sup u(y ) (z F) y z y F là đa điều hoà dưới trong . n 1.1.11. Định nghĩa. Một miền bị chặn được gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại hàm đa điều hòa dưới liên tục : ( , 0) sao cho c z : (z ) c với mọi c 0. 1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại n 1.2.1. Định nghĩa. Cho là một tập con mở của và u : là hàm đa điều hoà dưới. Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của , và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho v (G) và v u trên G , đều có v u trong G. Một số tính chất tƣơng đƣơng của tính cực đại.
6 n 1.2.2. Mệnh đề. Cho là mở và u : là hàm đa điều hoà dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của và với mỗi hàm v ( ), nếu lim inf(u(z ) v(z )) 0, với mọi G , thì u v z trong G; (ii) Nếu v ( ) và với mỗi 0 tồn tại một tập compact K sao cho u v trong \ K , thì u v trong . (iii) Nếu v ( ), G là một tập con mở compact tương đối của , và u v trên G thì u v trong G; (iv) Nếu v ( ), G là một tập con mở compact tương đối của , và lim inf(u(z ) v(z )) 0, với mỗi G , thì u v trong G; z (v ) u là hàm cực đại. 1.3. Hàm cực trị tƣơng đối n 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử là một tập con mở của và E là tập con của . Hàm cực trị tương đối đối với E trong được định nghĩa là: uE , (z ) sup v(z ) : v ( ), v 1, v 0 (z ). E * Hàm uE , là đa điều hoà dƣới trong . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tƣơng đối. 1.3.2. Mệnh đề Nếu E1 E2 1 2 thì uE , uE , uE , 1 1 2 1 2 2
7 1.3.3. Mệnh đề Nếu là siêu lồi và E là một tập con compact tương đối của , thì tại điểm bất kỳ ta có lim uE , (z ) 0. z Chứng minh. Nếu < 0 là một hàm vét cạn đối với , thì với số M 0 nào đó, M 1 trên E . Nhƣ vậy M uE , trong . Rõ ràng, lim (z ) 0 z và nhƣ vậy chúng ta thu đƣợc kết quả cần tìm. ‚ n 1.3.4. Mệnh đề. Nếu là siêu lồi và K là một tập compact sao cho uK* , 1 thì uK , là hàm liên tục. K Chứng minh. Lấy u uE , và ký hiệu F  ( ) là họ các hàm u . Giả sử là hàm xác định của sao cho 1 trên K. Khi đó u trong . Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi (0,1) tồn tại v C( ) F. Sao cho u v u trong . Thật vậy, lấy (0,1) tồn tại 0 sao cho u trong \ và K , trong đó z : dist (z , ) . Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dƣới và định lý Dini có thể tìm đƣợc 0 sao cho u trên và u 1 trên K . Đặt trong \ v . max u , trong
8 Khi đó v C( ) F và nhƣ vậy u max u , v u tại mỗi điểm trong . ‚ n 1.3.5. Mệnh đề. Cho là tập mở liên thông, và E . Khi đó các điều kiện sau tương đương: (i) uE* , 0; (ii) Tồn tại hàm v ( ) âm sao cho E z : v(z ) Chứng minh. (ii) (i) là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v nhƣ ở trên (ii) , thì v uE , với mọi 0 , từ đó uE , 0 hầu khắp nơi trong . Nhƣ vậy uE* , 0 . Bây giờ giả sử uE* , 0 . Khi đó tồn tại a sao cho uE , (a ) 0 . Bởi vậy, với mỗi j , có thể chọn một v j ( ) sao cho vj 0, v j 1 và v j (a ) 2 j. E Đặt v(z ) v j (z ), z . j 1 Chú ý rằng v(a) 1 , v âm trong , và v . E Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều hoà dƣới. Vì v nên ta kết luận v ( ). ‚
9 n 1.3.6. Mệnh đề. Cho là tập con mở liên thông của . Giả sử E Ej , j trong đó E j với j 1, 2,... . Nếu uE* , 0 với mỗi j , thì uE* , 0. j Chứng minh. Chọn v j ( ) sao cho v j 0 và v j . Lấy Ej điểm a \ v j 1( ) . Bằng cách mở rộng mỗi hàm v j bởi một hằng j số dƣơng thích hợp, ta có thể giả thiết v j (a ) 2 j . Khi đó v vj ( ), v 0 và v . Suy ra uE* , 0. ‚ E j n 1.3.7. Mệnh đề. Cho là tập con siêu lồi của và K là một tập con compact của . Giả thiết rằng j là một dãy tăng những tập con mở của sao cho j và K 1 . Khi đó j 1 lim uK , (z ) uK , (z ), z . j j Chứng minh. Lấy điểm z 0 . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng K z0 1 . Giả sử 0 là một hàm vét cạn đối với sao cho 1 trên K. Lấy (0,1) sao cho (z 0 ) . Khi đó tồn tại j 0 1 sao cho tập mở (( , )) là tập compact tƣơng đối trong j0 . Lấy u ( j0 ) sao cho u 0 trên j0 và u 1 trên K . Khi đó max u(z ) , (z ) , z v(z ) (z ), z \
10 xác định một hàm đa điều hoà dƣới; hơn nữa v 1 và v 0 . Nhƣ vậy K v(z 0 ) uK , (z 0 ) . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ uK , , nên ta có j0 uK , (z 0 ) uK , (z 0 ) j0 Do đó ta có uK , (z 0 ) uK , (z 0 ) uK , (z 0 ) với mọi j j0 và nhỏ j j tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh. ‚ 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức Cho u là đa điều hoà dƣới trên miền n . Nếu u C2 thì toán tử: 2 c n c c n u dd u : dd u ... dd u 4 n ! det dV , z j zk n 1 j ,k n n với dV là yếu tố thể tích trong gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này có thể xem nhƣ độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên n C0 dd cu . Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dƣới bị chặn địa phƣơng trên thì tồn tại dãy un C sao cho n 1 n un u và dd cun hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là: n lim dd cun d , C0 . n
11 Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy un nhƣ trên, ta ký hiệu: (dd cu)n và gọi là toán tử Monge-Ampe của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe. n 1.4.1. Mệnh đề. Nếu C p,p là p, p -dạng lớp C trên tập mở và T là q, q -dòng với p q n 1 thì n dd cT dd c T d d cT dc T . Chứng minh. Ta có: d d cT dc T d d cT dd cT dd c T dc dT . Nhƣng p q 1 n nên d d cT i T T i T T T T . i T T dc dT Do đó d d cT dc T dd cT dd c T. Từ mệnh đề trên và dùng công thức Stokes đối với dòng ta có: nếu T là n (q, q) dòng trên tập mở và C 0, n q 1,n q 1 là n q 1, n q 1 -dạng lớp C với hệ số trong D( ) thì dd cT dd c T d d cT dc T d cT dc T 0.
12 Vậy dd cT , dd cT dd c T T , dd c . (1.1) n Giả sử T là dòng dƣơng có bậc q, q trên tập mở và q i u ( ) Lloc . Khi đó T TJK dzJ dz K với TJK là J ,K 2 các độ đo phức trên . Vậy từ u ( ) Lloc nên u là hàm khả tích q i đối với các TJK . Do đó uT uTJK dzJ dz K là q, q -dòng với J ,K 2 hệ số độ đo. Ta đƣa ra định nghĩa sau: dd cu T dd c uT . Từ (1.1) ta có dd cu T dd cu T , dd c uT , uT , dd c uT dd c , đúng cho mọi C 0, n q 1,n q 1 . ‚ n 1.4.2. Mệnh đề. Giả sử j là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó a) Nếu G là tập mở thì G lim inf j G . j b) Nếu K là tập compact thì K lim sup j K . j
13 c) Nếu E compact tương đối trong sao cho E 0 thì E lim j E . j Chứng minh. a) Ta có G sup K :K G . Giả sử K G là tập compact. Lấy C0 G , 0 1 và 1 trên K . Khi đó K lim j lim inf j G . j j Từ đó G lim inf j G . j b) Ta có K inf V :V K ,V ,V=V0 . Giả sử V là một lân cận mở của K và C0 V , 0 1 và 1 trên K . Khi đó V lim j lim sup j K . j j Từ đó K lim sup j K . j c) Viết E IntE E . Khi đó E int E lim inf j int E lim inf j E . j j Mặt khác E lim sup j E lim sup j E . j j Từ đó E lim sup j E . j Vậy E lim j E . ‚ j
14 n 1.4.3. Mệnh đề. Giả sử là miền bị chặn và u, v ( ) Lloc sao cho u, v 0 trên và lim u z 0 . Giả sử T là n 1, n 1 -dòng z dương, đóng trên . Khi đó vdd cu T udd cv T . Đặc biệt, nếu lim v z 0 thì vdd cu T udd cv T . z Chứng minh. Chú ý rằng dd cu T và ddcv T là các độ đo Borel dƣơng trên . Với 0 , đặt u max u, . Khi đó u 0 và là hàm đa điều hòa dƣới trên và u tăng tới 0 khi giảm về 0. Từ định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue ta có udd cv T lim u u dd cv T 0 và u u dd cv T lim u u 1 dd cv T . 0 j Do lim u z 0 nên u u 0 là tập compact tƣơng đối trong . Lấy z ' ' miền sao cho u u 0 . Khi đó với j đủ lớn, u u 1 C0 và do giả thiết T là n 1, n 1 dòng dƣơng, j đóng trên nên dd cu T là (n, n) dòng dƣơng, đóng với mọi u ( ) Lloc ( ) , suy ra
15 u u 1/ j dd cv T vdd c u u 1/ j T vdd c u u 1/ j T vdd c u u 1/ j T ' ' \ vdd c u 1/ j T vdd c u 1/ j T ' ' vdd c u 1/ j T. ' Nhƣng dd c u 1/ j T dd c u 1/ j T hội tụ yếu tới dd cu T . Khi đó vdd c u 1/ j T hội tụ yếu tới vddcu T . Vậy vdd cu T lim inf vdd c u 1/ j T u u dd cv T . j ' ' ' Từ đó cho 0 suy ra vdd cu T vdd cu T. ' Cho ta đƣợc bất đẳng thức cần chứng minh. ‚