Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhóm Abel hỗn hợp là nhóm Abel mà trong đó có chứa các phần tử cấp vô hạnvà các phần tử khác 0 cấp hữu hạn. Nhóm Abel hỗn hợp có thể xem là lớp nhóm tổngquát nhất trong các nhóm Abel. Đề tài nghiên cứu và trình bày có hệ thống những kết quả quan trọng về nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _________________________ Lê Thái Sơn NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH _________________________ Lê Thái Sơn NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1 Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh – 2020
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “Nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1” là do cá nhân tôi thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Phạm Thị Thu Thủy, hoàn toàn không sao chép của bất cứ ai. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các bài báo, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin chịu hoàn toàn mọi trách nhiệm về luận văn của mình. TP. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2020. Học viên cao học Lê Thái Sơn
LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Phạm Thị Thu Thủy. Qua đây, tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến người cô của mình. Cảm ơn cô đã luôn giúp đỡ tận tình trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô khoa Toán – Tin, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Đại số đã tận tình chỉ dạy và trang bị cho tôi những kiến thức vô cùng quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Cảm ơn quý thầy cô Phòng sau đại học đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tại trường. Sau cùng, không thể không nhắc tới các bạn học viên lớp cao học Đại số khóa 27, những người đã cùng tôi học tập, nghiên cứu trong thời gian vừa qua. Sự giúp đỡ, động viên của các bạn là vô cùng quý báu đối với tôi. Xin chân thành cảm ơn. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Rất mong nhận được nhưng ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để tôi có thể hoàn thiện luận văn một cách tốt nhất. TP. Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2020. Học viên cao học Lê Thái Sơn
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................................1 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................................3 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM ABEL ..............................................3 1.2. MỘT SỐ NHÓM ABEL VÀ NHÓM CON ABEL QUAN TRỌNG ...............5 1.3. QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ TỰ SỐ ......................................................................8 CHƯƠNG 2. MA TRẬN CAO ĐỘ VÀ CẤU TRÚC CỦA NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1 ...................................................................................9 2.1. NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1......................................9 2.2. CAO ĐỘ VÀ MA TRẬN CAO ĐỘ CỦA NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1............................................................................................10 2.3. BẤT BIẾN ULM-KAPLANSKY CỦA MỘT NHÓM ABEL HỖN HỢP THU GỌN .................................................................................................................19 2.4. ĐỊNH LÝ VỀ CẤU TRÚC CỦA NHÓM ABEL HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1 ĐẾM ĐƯỢC.....................................................................................24 KẾT LUẬN ..................................................................................................................31 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................32
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa Tập hợp các số tự nhiên. * Tập hợp các số tự nhiên khác 0 . Tập hợp các số nguyên. Tập hợp các số hữu tỉ. n | a,  n | a  a chia hết (không chia hết) cho n .  m, n  Ước chung lớn nhất của hai số nguyên m và n . A B A là nhóm con của B . A B A là nhóm con thực sự của B . A Nhóm thương của A theo nhóm con B . B A B Nhóm A đẳng cấu với nhóm B . A B Tổng trực tiếp của nhóm A và nhóm B . A Cấp của nhóm A . oa Cấp của phần tử a . a1 , a2 ,... Nhóm sinh bởi các phần tử a1 , a2 ,... hp*  a  p-cao độ tổng quát của a .
1 LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Nhóm Abel hỗn hợp là nhóm Abel mà trong đó có chứa các phần tử cấp vô hạn và các phần tử khác 0 cấp hữu hạn. Nhóm Abel hỗn hợp có thể xem là lớp nhóm tổng quát nhất trong các nhóm Abel. Một trong những hướng tiếp cận khi nghiên cứu cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp G là xem nó như một mở rộng của phần xoắn T của chính nó bằng nhóm không xoắn G . Không khó để thấy trường hợp cơ bản nhất cần xem xét T là nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1, khi nhóm thương G là nhóm không xoắn T hạng 1. Rotman J. [1], Megibben C. [2], Myshkin V.I. [3] đã chứng minh rằng các nhóm đếm được trong lớp này, các bất biến của nhóm xoắn T cùng với lớp tương đương ma trận cao độ H(G) tạo thành một hệ bất biến, tạo điều kiện thuận lợi để xem xét các bài toán liên quan tới lớp nhóm này. 2. Mục đích của đề tài Nghiên cứu và trình bày có hệ thống những kết quả quan trọng về nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Một số tính chất cơ bản liên quan tới tính chia hết, cao độ trong lý thuyết nhóm Abel. - Các bất biến của nhóm Abel xoắn. - Ma trận cao độ của nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1. - Cấu trúc của nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1 đếm được. 4. Bố cục của luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
2 Trong chương này, các khái niệm cơ bản về nhóm Abel, một số lớp nhóm Abel quan trọng đã được trình bày sơ lược. Thêm vào đó là một số khái niệm về tự số và quan hệ thứ tự trên tập hợp. Chương 2: Ma trận cao độ và cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1. Đây là nội dung chính của luận văn bao gồm 4 phần. Phần 2.1 trình bày định nghĩa, tính chất và một số khái niệm liên quan của nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1. Phần 2.2 giới thiệu về cao độ và ma trận cao độ của nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1. Phần 2.3 trình bày khái niệm bất biến Ulm-Kaplansky của một nhóm Abel hỗn hợp thu gọn. Phần 2.4 tập trung chứng minh định lý về cấu trúc nhóm Abel hỗn hợp hạng không xoắn 1 đếm được.
3 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ NHÓM Định nghĩa 1.1.1. Tập hợp A   cùng với phép toán hai ngôi “+” được gọi là nhóm nếu: (1) Phép toán “+” có tính chất kết hợp, có nghĩa là x   y  z    x  y   z với mọi x, y, z  A . (2) Tồn tại phần tử 0  A sao cho x  0  0  x  x với mọi x  A . (3) Mọi phần tử x  A đều có phần tử đối, ký hiệu là  x có nghĩa là x  x  0 . Nếu phép toán “+” có tính giao hoán, có nghĩa là x  y  y  x với mọi x, y  A thì A được gọi là nhóm Abel. Trong luận văn này, mọi nhóm ta xét đều là nhóm Abel. Vì vậy để đơn giản, thay vì ghi “nhóm Abel” ta sẽ chỉ ghi “nhóm”. Định nghĩa 1.1.2. Cho A là một nhóm. Tập con G   của A được gọi là nhóm con của A nếu x  y  G với mọi x, y  G . Định nghĩa 1.1.3. Cho A là một nhóm và G là nhóm con của A . Với một phần tử a  A , đặt a  G  a  x | x  G , khi đó A  a  G | a  A cùng với phép toán G  a  G    b  G   a  b  G với b  A là một nhóm, gọi là nhóm thương của G trên A . Định nghĩa 1.1.4. Cho A là một nhóm, B và C là các nhóm con của A . Ta nói A là tổng trực tiếp của B và C nếu A  B  C và B  C  0 . Mệnh đề 1.1.5. Nhóm A là tổng trực tiếp của hai nhóm con B và C khi và chỉ khi với mỗi a  A , có và chỉ có một cách biểu diễn a  b  c với b  B và c  C . Định nghĩa 1.1.6. Cho A và B là các nhóm. Ta có các định nghĩa sau:
4 (1) Một ánh xạ f từ A đến B được gọi là một đồng cấu nhóm nếu f  x   f  y   f  x  y  với mọi x, y  A . Nếu A  B thì f được gọi là tự đồng cấu của A . (2) Nếu một đồng cấu là đơn ánh thì nó được gọi là đơn cấu. (3) Nếu một đồng cấu là toàn ánh thì nó được gọi là toàn cấu. (4) Một đồng cấu được gọi là đẳng cấu nếu vừa là đơn cấu, vừa là toàn cấu. (5) Nếu có một đẳng cấu từ A đến B thì ta nói A và B đẳng cấu với nhau. Định nghĩa 1.1.7. Cho A là một nhóm và phần tử x  A . Cấp của phần tử x ký hiệu là o  x  , là số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho nx  0 . Nếu không tồn tại số nguyên dương như vậy thì ta nói cấp của x là vô cùng và ký hiệu o  x    . Cấp của một nhóm A là lực lượng của tập hợp A , ký hiệu là A .
5 1.2. MỘT SỐ NHÓM VÀ NHÓM CON QUAN TRỌNG Nhóm xoắn, nhóm không xoắn, nhóm hỗn hợp Mệnh đề 1.2.1. Cho T là tập hợp tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của nhóm A , khi đó T là nhóm con của A và được gọi là nhóm con xoắn của A . Định nghĩa 1.2.2. (1) Nếu mọi phần tử của nhóm A đều có cấp hữu hạn thì A được gọi là nhóm xoắn. Nếu mọi phần tử khác 0 của A đều có cấp  thì A được gọi là nhóm không xoắn. (2) Nhóm hỗn hợp A là nhóm mà trong đó có chứa các phần tử cấp vô hạn và các phần tử khác 0 có cấp hữu hạn. Định nghĩa 1.2.3. (1) Cho số nguyên tố p và một nhóm A . Nếu mọi phần tử của A đều có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố p thì A được gọi là một p-nhóm. (2) Tập hợp các phần tử trong nhóm A có cấp là lũy thừa của số nguyên tố p là nhóm con của A và được gọi là thành phần p-nguyên sơ của A . Định lý 1.2.4. Trong một nhóm A , nhóm con xoắn của A là tổng trực tiếp của các thành phần nguyên sơ trong A . Định nghĩa 1.2.5. Cho A là một nhóm và U là một bộ phận của A , khi đó giao của họ các nhóm con của A chứa U là một nhóm con của A chứa U . Nó được gọi là nhóm con của A sinh ra bởi U , ký hiệu là U . Nếu U là tập hữu hạn thì khi đó U được gọi là nhóm con hữu hạn sinh của A . Nhóm cylic
6 Nhóm A được gọi là nhóm cyclic nếu nó được sinh ra bởi một phần tử x  A , có nghĩa là A  nx | n   , ký hiệu là x . Nếu nhóm x là nhóm có cấp m thì m được gọi là cấp của phần tử x . Định lý 1.2.6. [4] Mỗi nhóm hữu hạn sinh đẳng cấu với tổng trực tiếp của các nhóm cyclic cấp vô hạn và các nhóm cyclic cấp hữu hạn. Mệnh đề 1.2.7. Mỗi nhóm cyclic vô hạn đều đẳng cấu với . Nhóm chia được Định nghĩa 1.2.8. Cho A là nhóm. Ta có các định nghĩa sau: (1) Phần tử x  A được gọi là chia được cho số nguyên dương m trong A nếu tồn tại y  A sao cho x  my . (2) Nếu mọi phần tử của A đều chia được cho mọi số nguyên dương thì A gọi là nhóm chia được. Nếu mọi phần tử của A đều chia được cho mọi lũy thừa dương của số nguyên tố p thì ta nói A là nhóm p-chia được. (3) Một nhóm được gọi là nhóm thu gọn nếu nó không có nhóm con chia được không tầm thường. Mệnh đề 1.2.9. Cho A là nhóm và p là số nguyên tố cho trước. Các khẳng định sau là tương đương: (1) A là nhóm p-chia được. (2) pA  A . Mệnh đề 1.2.10. Cho A là nhóm. Ta có A là nhóm p-chia được với mọi số nguyên tố p khi và chỉ khi A là nhóm chia được. Mệnh đề 1.2.11. Nhóm con xoắn T  A  của một nhóm A chia được là nhóm chia được. Nhóm thương A cũng là nhóm chia được. T  A
7 Định lý 1.2.12. [5, 21.2] Cho A là nhóm và D là một nhóm con chia được của A . Khi đó A  D  C với C là một nhóm con của A . Hơn nữa C có thể được chọn để chứa một nhóm con B bất kỳ của A với D  B  0 . Định lý 1.2.13. [5, 21.3] Mỗi nhóm A đều là tổng trực tiếp của một nhóm con chia được và một nhóm thu gọn. Hơn nữa nhóm con chia được này là nhóm con chia được lớn nhất của A và chứa mọi nhóm con chia được của A .
8 1.3. QUAN HỆ THỨ TỰ VÀ TỰ SỐ Cho tập hợp X   . Nếu trên X xây dựng được quan hệ thứ tự "  " thì X được gọi là tập được sắp. Cho  X ,   là tập được sắp, ta nói X là tập được sắp toàn phần nếu với mọi x, y  X ta có x  y hoặc y  x . Định lý 1.3.1. (Bổ đề Zorn) Nếu một tập được sắp thứ tự X khác rỗng nào đó có tính chất mọi tập con sắp thứ tự toàn phần đều có chặn trên thuộc X thì tập X có ít nhất một phần tử tối đại. Hơn nữa, nếu mọi tập con khác rỗng của tập được sắp toàn phần X đều có phần tử nhỏ nhất thì ta nói X là tập được sắp tốt. Cho  X ,   và  Y ,   là hai tập được sắp tốt. Ánh xạ f : X  Y được gọi là ánh xạ tăng ngặt nếu thỏa điều kiện với mọi x1 , x2  X nếu x1  x2 thì f  x1   f  x2  . Ánh xạ f : X  Y được gọi là ánh xạ đồng dạng nếu f là song ánh và f tăng ngặt. Nếu tồn tại ánh xạ đồng dạng f : X  Y , khi đó ta nói X và Y là hai tập đồng dạng với nhau. Dễ dàng kiểm tra được quan hệ đồng dạng giữa các tập được sắp tốt là quan hệ tương đương. Do đó lớp các tập được sắp tốt sẽ được chia thành các lớp tương đương đôi một không giao nhau theo quan hệ đồng dạng. Định nghĩa 1.3.2. Mỗi lớp tương đương các tập được sắp tốt đồng dạng được gọi là một tự số. Các tự số hữu hạn chính là các số tự nhiên và tự số vô hạn đầu tiên là tự số được đại diện bởi tập số tự nhiên cùng với quan hệ thứ tự thông thường, ký hiệu là  . Mọi tự số  đều có tự số liền kế phía sau nó là   1 . Tuy nhiên không phải tự số nào cũng có tự số liền kề phía trước. Những tự số như vậy được gọi là tự số giới hạn, ví dụ như  là tự số giới hạn.
9 CHƯƠNG 2: MA TRẬN CAO ĐỘ VÀ CẤU TRÚC CỦA NHÓM HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1 2.1. NHÓM HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1 Định nghĩa 2.1.1. Cho A là một nhóm và S là tập con khác rỗng của A . Tập S được n gọi là hệ độc lập tuyến tính trong A nếu S  0 và từ điều kiện m s i 1 i i  0 với mi  ; si  S , ta suy ra mi si  0 với mọi i  1, n . Nếu S không độc lập tuyến tính thì ta nói nó phụ thuộc tuyến tính. Hệ độc lập tuyến tính S của nhóm A được gọi là hệ độc lập tuyến tính tối đại nếu S  a phụ thuộc tuyến tính với mọi a  A . Cho A là một nhóm. Hạng không xoắn của nhóm A là lực lượng của hệ độc lập tuyến tính tối đại trong A mà mỗi phần tử của hệ đó đều có cấp vô hạn. Đặc biệt nhóm hỗn hợp A có hạng không xoắn 1 khi và chỉ khi hai phần tử bất kỳ có cấp vô hạn của nó phụ thuộc tuyến tính với nhau. Có nghĩa là với hai phần tử bất kỳ có cấp vô hạn x, y , tồn tại hai số nguyên m, n khác 0 sao cho mx  ny  0 . Từ đó, ta dễ dàng suy ra được mệnh đề sau. Mệnh đề 2.1.2. Nhóm con hỗn hợp của một nhóm hỗn hợp hạng không xoắn 1 cũng là một nhóm hạng không xoắn 1.
10 2.2. CAO ĐỘ VÀ MA TRẬN CAO ĐỘ CỦA NHÓM HỖN HỢP HẠNG KHÔNG XOẮN 1 Định nghĩa 2.2.1. Cho A là nhóm hỗn hợp, p là số nguyên tố bất kỳ. Nhóm con p A với  là một tự số bất kỳ được định nghĩa bằng quy nạp như sau: pA   pa | a  A , p 1 A  p  p A , p A  p  A nếu  là tự số giới hạn.   Dễ thấy nếu tự số    ta có p A  p A . Định nghĩa 2.2.2. Cho số nguyên tố p và A là nhóm hỗn hợp, tự số  nhỏ nhất sao cho p 1 A  p A được gọi là p-độ dài của A . Có thể chứng minh được mọi nhóm A đều có p-độ dài, khi đó p A  p A với mọi    . Ta ký hiệu p A là p  A . Khi đó ta có chuỗi giảm các nhóm con: A  pA  ...  p n A  ...  p A  ...  p A  p  A . Dễ dàng nhận thấy p  A  p A .  Mệnh đề 2.2.3. p-độ dài của nhóm p-chia được bằng 0 . Chứng minh. Nếu A là một nhóm p-chia được, thì A  pA . Suy ra A có p-độ dài bằng 0. Do đó A  p  A . Với G là nhóm con của A , ta chứng minh được pG  p A .
11 Định nghĩa 2.2.4. Cho A là nhóm hỗn hợp, phần tử a  A và p là một số nguyên tố. Ta định nghĩa p-cao độ của a trong A , ký hiệu là h p *  a  như sau: Nếu a  p  A thì hp*  a    . Với phần tử a  A \ p  A thì h p *  a  là tự số  thỏa a  p A \ p 1 A . Nhận xét: Định nghĩa trên đúng vì p-cao độ của một phần tử a  A luôn tồn tại và duy nhất. Thật vậy, ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1: a  p A với mọi  . Khi đó hp*  a    . Trường hợp 2: Tồn tại tự số  sao cho a  p A , ta chọn   min  | a  p A . Khi đó: a  p A , a  p A với mọi    . 1  Giả sử  là tự số giới hạn, khi đó a  p  A  p A . Suy ra tồn tại  0   sao cho   a  p0 A . Điều này mâu thuẫn với cách chọn  nên trường hợp này không xảy ra. Vậy  không là tự số giới hạn, ta đặt     1 . Khi đó     1 và vì    nên từ 1 ta có a  p A \ p 1 A . Vậy luôn tồn tại một tự số  sao cho a  p A \ p 1 A .  2 Dễ thấy, ngoài  , không còn tự số nào thỏa mãn tính chất  2  nữa. Thật vậy, với    , ta được p A  p 1 A mà a  p 1 A nên a  p A . Suy ra a  p A \ p 1 A . Với    , ta được p A  p 1 A  p A mà a  p A nên a  p 1 A . Suy ra a  p A \ p 1 A . Vậy p-cao độ của phần tử bất kỳ a  A là tồn tại duy nhất. Mệnh đề 2.2.5. Cho A là nhóm hỗn hợp. Với a, b  A , ta luôn có hp*  a  b   min hp*  a  ; hp*  b  . Hơn nữa, nếu hp*  a   hp*  b  thì đẳng thức xảy ra. Chứng minh.
12 Đặt hp*  a    và hp*  b    . Suy ra a  p A và b  p  A . Không mất tính tổng quát ta có thể xem    . Khi đó p  A  p A . Suy ra b  p A và do đó a  b  p A . 1  Vì vậy hp*  a  b     min hp*  a  ; hp*  b  . Hơn nữa khi    thì     1 nên b  p 1 A . Giả sử a  b  p 1 A . Do b  p 1 A nên a  p 1 A , mâu thuẫn với giả thiết hp*  a    . Vì vậy a  b  p 1 A .  2 Từ 1 và  2  suy ra hp*  a  b     min hp*  a  ; hp*  b  . Mệnh đề 2.2.6. Cho A là nhóm hỗn hợp, a  A và p là một số nguyên tố. Khi đó: (1) hp*  a   hp*  a  . (2) Nếu m và  m, p   1 thì hp*  a   hp*  ma  . (3) Nếu  o  a  , p   1 thì hp*  a    . (4) hp*  a    khi và chỉ khi a thuộc một nhóm con p-chia được của A . (5) Với mọi số tự nhiên k , ta có p k | a khi và chỉ khi k  h p*  a  . Chứng minh. (1) Đặt   hp*  a  . Ta có a  p A \ p 1 A . Vì p A và p 1 A là nhóm, suy ra a  p A \ p 1 A . Vậy hp*  a     hp*  a  . (2) Đặt   hp*  a  . Ta có a  p A \ p 1 A nên ma  p A . Giả sử ma  p 1 A . Vì  p, m   1 nên tồn tại các số nguyên u, v sao cho up  vm  1 . Suy ra upa  vma  a . Vì upa  p 1 A và vma  p 1 A nên a  p 1 A , mâu thuẫn với cách chọn a . Vậy ma  p A \ p 1 A hay hp*  ma   hp*  a  .
13 (3) Ta sẽ chứng minh a  p A với mọi tự số  . Vì a  A nên a  p 0 A . Giả sử a  p A với mọi    . Ta sẽ chứng minh a  p A . Xét 2 trường hợp: Trường hợp 1:  không là tự số giới hạn. Khi đó tồn tại  1 nên từ giả thiết quy nạp ta có a  p 1 A , suy ra pa  p A . Vì  o  a  , p   1 nên tồn tại các số nguyên u, v sao cho o  a  u  pv  1 . Suy ra o  a  ua  pva  a . Do đó a  v  pa   p A .  Trường hợp 2:  là tự số giới hạn. Khi đó, theo định nghĩa ta có p A  p A .   Mà theo giả thiết quy nạp a  p A với mọi    nên ta có a  p A . Vậy a  p A với mọi tự số  nên hp*  a    . (4) Giả sử a được chứa trong một nhóm con p-chia được G của A . Vì G là nhóm p-chia được nên theo mệnh đề 2.2.3 ta có G  pG  p A . Vậy a  p  A nên hp*  a    . Ngược lại, nếu hp*  a    thì a  p  A . Suy ra a  p A với  là p-độ dài của A . Mặt khác p A  p 1 A nên p A là nhóm p-chia được. Vậy a được chứa trong một nhóm con p-chia được của A . (5) Đặt hp*  a    . Giả sử k   , khi đó a  p A  p k A . Suy ra p k | a . Ngược lại nếu k   thì k    1 . Suy ra p k A  p 1 A . Do đó a  p k A . Suy ra p k | a . Vậy p k | a khi và chỉ khi k  h p*  a  . Mệnh đề 2.2.7 Cho A là nhóm hỗn hợp và B , C là các nhóm con của A , p là một số nguyên tố. Nếu A  B  C và a  b  c với a  A , b  B và c  C thì khi đó hp*  a   min hp*  b  ; hp*  c  . Chứng minh. Đặt hp*  a    . Giả sử hp*  b   hp*  c  . Ta sẽ chứng minh hp*  b    .
14 Giả sử b  p 1 A . Vì hp*  b   hp*  c  nên c  p 1 A . Suy ra a  b  c  p 1 A . Điều này mâu thuẫn với định nghĩa p-cao độ của a . Vậy b  p 1 A . Để chứng minh b  p A , ta sẽ chứng minh b  p A với mọi    . Hiển nhiên ta có b  A  p 0 A . Giả sử b  p A với mọi    , ta sẽ chứng minh b  p A . Ta xét 2 trường hợp: Trường hợp 1:  là tự số giới hạn. Theo định nghĩa ta có p A  p A . Từ giả   thiết quy nạp ta có b  p A . Trường hợp 2:  không là tự số giới hạn, khi đó tồn tại     1 . Ta có a  p 1 A . Suy ra tồn tại a '  p A sao cho a  pa ' . Vì A  B C nên a  pa '  p  b ' c '   pb ' pc ' với b ' và c ' thuộc p A . Theo tính chất của tổng trực tiếp, ta suy ra b  pb '  p 1 A  p A . Như vậy, ta đã chứng minh được b  p A . Từ kết quả trên ta được b  p A \ p 1 A , có nghĩa là hp*  b    . Vậy hp*  a   hp*  b   min hp*  b  ; hp*  c  . Định nghĩa 2.2.8. Cho A là nhóm hỗn hợp. Với số nguyên tố p cho trước. Ta có các định nghĩa sau: (1) Với phần tử a  A , dãy tăng   u p  a   hp*  a  , hp*  pa  ,..., hp*  p n1a  , hp*  p n a  ,... được gọi là p-chỉ số của a trong A . Lưu ý rằng, đây là dãy tự số tăng nghiêm ngặt cho đến khi xuất hiện ký hiệu  (nếu có). (2) Với mỗi phần tử a  A , nếu có số i sao cho h p*  pi a   1  h p*  pi 1a  thì ta nói tồn tại bước nhảy giữa h p*  pi a  và h p*  pi 1a  . Hay đơn giản hơn là bước nhảy tại h p*  pi a  .