Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

96
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn tập trung tìm hiểu về định nghĩa và một số nhận xét về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm; một số tính chất về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn; các định lý quan trọng về nhóm con chuẩn tắc yếu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Tạ Thị Huyền NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU CỦA NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Tạ Thị Huyền NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
3 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn tôi đã gặp không ít khó khăn do hạn chế về thời gian và kiến thức. Tuy nhiên tôi luôn nhận đươc sự quan tâm, giúp đỡ nhiệt tình, sự động viên kịp thời từ phía gia đình, thầy cô và bạn bè. Bởi vậy mà tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất của mình đến: Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Phó Giáo Sư - Tiến sĩ Mỵ Vinh Quang người thầy đáng kính đã trực tiếp giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy trong tổ Đại số như: TS. Trần Huyên, TS. Trần Tuấn Nam, PGS. TS. Bùi Tường Trí, PGS. TS. Bùi Xuân Hải, các Thầy đã trực tiếp giảng dạy cung cấp cho tôi những bài giảng hay, những kiến thức cơ bản và bổ ích của Đại số để tôi có nền tảng và cơ sở hoàn thành luận văn này. Xin gửi lời cảm ơn đến 16 thành viên trong lớp Đại số & lý thuyết số K21, những người anh, người chị và những người bạn tốt đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn này. Cuối cùng tôi xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình thân yêu của tôi: ông bà và ba mẹ …đã luôn bên tôi, tạo điều kiện tốt nhất để tôi có điều kiện học tập và công tác, là chỗ dựa vững chắc tiếp thêm sức mạnh và là nguồn động lực lớn để tôi có thể hoàn thành được luận văn này. Tp. HCM, ngày 20 tháng 09 năm 2012 Tác giả Tạ Thị Huyền
4 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................3 MỤC LỤC ..................................................................................................................4 MỘT SỐ KÝ HIỆU ...................................................................................................5 MỞ ĐẦU ....................................................................................................................6 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................................8 1.1. Một số định lý cơ bản về đẳng cấu .............................................................8 1.2. Định lý Sylow .............................................................................................10 1.3. Nhóm con á chuẩn tắc ...............................................................................12 1.4. Nhóm con đặc trưng ..................................................................................12 1.5. Nhóm con Frattini .....................................................................................14 1.6. Nhóm siêu giải được ..................................................................................15 1.7. Nhóm luỹ linh .............................................................................................20 1.8. Nhóm con pronormal ................................................................................21 1.9. Nhóm con Fitting .......................................................................................22 1.10. Nhóm con Fitting suy rộng ....................................................................23 1.11. H –nhóm con ...........................................................................................27 1.12. Lớp bão hoà F .........................................................................................27 Chương 2: NHÓM CON CHUẨN TẮC YẾU CỦA NHÓM HỮU HẠN ........29 2.1. Định nghĩa và một số nhận xét về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm ...29 2.2. Một số tính chất về nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn. ...........30 2.3. Các định lý quan trọng về nhóm con chuẩn tắc yếu. ................................33 KẾT LUẬN ..............................................................................................................42 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................43
5 MỘT SỐ KÝ HIỆU • H ≤G : H là nhóm con của G • H
6 MỞ ĐẦU Lý thuyết nhóm là một nhánh cơ bản của đại số, nghiên cứu các tính chất của nhóm, nó được hình thành vào khoảng thế kỷ thứ XIX. Nhiều khái niệm của đại số đã được xây dựng lại từ khái niệm nhóm và đã có nhiều kết quả mới đóng góp cho sự phát triển của một ngành quan trọng trong toán học. Nhắc tới lý thuyết nhóm hữu hạn, thì chúng ta không thể bỏ qua những khái niệm cơ bản và nền tảng như: Định lý Sylow và ứng dụng, một nhóm được hình thành bởi một dãy siêu giải được, đó là nhóm siêu giải được, hay nhóm được hình thành từ một dãy tâm đó là nhóm luỹ linh và một số tính chất cơ bản của chúng… Khi được đọc bài báo viết về “Nhóm con chuẩn tắc yếu của một nhóm hữu hạn” đã làm cho tôi có một cách nhìn mới hơn, được hiểu rõ hơn về tính siêu giải được và tính luỹ linh của một nhóm hữu hạn G khi nghiên cứu nó thông qua nhóm con chuẩn tắc yếu. Đây là một kiến thức mới đối với tôi ngoài những tính chất mà tôi đã được học và đọc về nhóm siêu giải được và nhóm luỹ linh. Và đó cũng chính là lý do khiến tôi chọn đề tài: “Nhóm con chuẩn tắc yếu của một nhóm hữu hạn” Nội dung luận văn tham khảo một số kết quả các bài báo [8], [17] và một số bài báo khác. Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương
7 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết nhóm như: nhóm con Fitting, nhóm con Fitting suy rộng, nhóm con á chuẩn tắc, nhóm con Frattini, nhóm siêu giải được, nhóm luỹ linh, và một số tính chất đặc trưng đã biết của nhóm siêu giải được và nhóm luỹ linh. Chương 2: Nhóm con chuẩn tắc yếu của nhóm hữu hạn Chương này sẽ trình bày định nghĩa, các tính chất của nhóm con chuẩn tắc yếu và những tính chất đặc trưng khác của nhóm siêu giải được và nhóm luỹ linh thông qua việc nghiên cứu nhóm con chuẩn tắc yếu. Tuy có nhiếu cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn học viên.
8 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này sẽ trình bày những kiến thức cơ bản, có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết nhóm hữu hạn như: Định lý được xem là nền tảng của lý thuyết nhóm hữu hạn là lớp p-nhóm và định lý Sylow. Trình bày lại một số định lý về đẳng cấu trong đại số, định nghĩa và những tính chất cơ bản nhất của nhóm siêu giải được, nhóm luỹ linh, nhóm con Frattini, nhóm con pronormal, nhóm con á chuẩn tắc…là cơ sở lôgic để trình bày những kết quả chính trong chương 2. Vì phần chính là trong chương 2 nên bên cạnh một số kết quả trình bày lại chi tiết chứng minh, thì một số kết quả chỉ nêu ra chứ không đi vào chứng minh chi tiết cụ thể. Nhóm được đề cập đến trong luận văn này đều là nhóm hữu hạn. 1.1. Một số định lý cơ bản về đẳng cấu 1.1.1. Định lý. Cho H, K là các nhóm con của G với H , K  G . Khi đó (1) K ∩ H ≤ H , K ∩ H  K , KH ≤ G và K / ( K ∩ H )  KH / H (2) Tồn tại một đơn cấu ϕ : G / ( K ∩ H ) → G / K × G / H Chứng minh (1) Dễ dàng chứng minh được K ∩ H ≤ H , K ∩ H  K , KH ≤ G Xét ánh xạ ϕ : K KH → /H k k.e.H = kH ϕ là đồng cấu: ϕ = (k1.k2 ) k= 1 .k 2 .e.H k1= = e.k2 e.H k1eH .k2 eH ϕ (k1 ).ϕ (k2 ) ϕ là toàn cấu: ∀k h H ∈ KH / H ta có ∃k ∈ K thoả ϕ= = khH vì h ∈ H (k ) keH
9 Theo định lý Nơte ta có K / Kerϕ  KH / H Lấy k ∈ Kerϕ ⇒ ϕ (k ) = keH = H ⇒ k ∈ H ⇒ k ∈ K ∩ H ⇒ Kerϕ ⊂ K ∩ H Lấy k ∈ K ∩ H ⇒ ϕ (k ) = H ⇒ k ∈ Kerϕ ⇒ K ∩ H ⊂ Kerϕ Từ đó suy ra Kerϕ= K ∩ H Vậy K / K ∩ H  KH / H ■ Xét ánh xạ ϕ : G → G / K × G / H g  ( gK , gH ) ϕ là một đồng cấu vì với mọi g1 , g 2 ∈ G ta có ϕ ( g1 g 2 ) (= = = g1 g 2 K , g1 g 2 H ) ( g1 Kg 2 K , g1 Hg 2 H ) H )( g 2 K , g 2 H ) ϕ ( g1 )ϕ ( g 2 ) ( g1 K , g1= g ∈ K Kerϕ= K ∩ H vì với mọi g ∈ K ∩ H ⇒  nên gK=K và gH=H, do đó g ∈ H gK , gH ) ( K , H ) là phần tử đơn vị của G/K×G/H, suy ra g ∈ Kerϕ ϕ ( g ) (= = g ∈ K Ngược lại với mọi g ∈ Kerϕ ⇒ ϕ= ( g ) ( K ,= H ) ( gK , gH ) ⇒  ⇒ g∈K ∩H g ∈ H Vậy ta có một đơn ánh ϕ : G / K ∩ H → G / K × G / H ■ 1.1.2. Định lý. Giả sử H, K là các nhóm con chuẩn tắc của G và H  K . Khi đó: K / H  G / H và G / K  (G / H ) / ( K / H ) Chứng minh Xét tương ứng: ϕ :G / H → G / K gH  gK Tương ứng trên là một ánh xạ vì nếu có xH = yH ( x, y ∈ G ) thì suy ra x −1 y ∈ H ≤ K ⇒ x −1 y ∈ K do đó xK = yK Hiển nhiên ϕ là một toàn ánh ϕ là một đồng cấu vì ϕ ( xH . yH = ) ϕ ( xy.= yK ϕ ( xH )ϕ ( yH ) = xK .= H ) xyK
10 Mặt khác ta có: { gH ∈ G / H / ϕ ( gH ) = Kerϕ = eK } = { gH ∈ G / H / gK = eK } = { gH ∈ G / H / g ∈ K } = K/H Vậy ta có Kerϕ  G / H hay K / H  G / H và G / H / Kerϕ  G / K hay (G / H ) / ( K / H )  G / K ■ 1.1.3. Định lý. Giả sử H, K là các nhóm con chuẩn tắc của G và H∩K=1. Khi đó: HK  H × K Chứng minh Do H, K là các nhóm con chuẩn tắc của G nên với mọi (h, k ) ∈ H × K ta có (h −1k −1h)k ∈ K và h −1 (k −1hk ) ∈ H từ đó suy ra h −1k −1hk ∈ H ∩ K = 1 Suy ra hk = kh với mọi h ∈ H , k ∈ K Xét ánh xạ ϕ : H × K → HK (h, k )  hk Dễ thấy ϕ là một toàn ánh. Hơn nữa với mọi (h, k ), (h ', k ') ∈ H × K ta có ϕ (hh= = ', kk ') hh = ' kk ' hkh ' k ' ϕ (h, k )ϕ (h ', k ') . Suy ra ϕ là một đồng cấu Mặt khác: (h, k ) ∈ K e r ϕ ⇔ ϕ (h, k ) =1 ⇔ hk =1 ⇔ k = h −1 ∈ H ∩ K =1 ⇒ h = k =1 Suy ra ϕ là đơn cấu. Vậy ϕ là một đẳng cấu. ■ 1.2. Định lý Sylow 1.2.1. Định nghĩa. Cho G là một nhóm và p là một số nguyên tố. Khi đó • Nhóm G được gọi là p-nhóm nếu mọi phần tử của G đều có cấp là luỹ thừa của số nguyên tố p. • Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con của G nếu H là một p-nhóm.
11 • p-nhóm con Sylow của G chính là phần tử tối đại trong tập các p-nhóm con của G theo quan hệ bao hàm. 1.2.2. Định lý Sylow Cho p là một số nguyên tố, G là một nhóm hữu hạn, G = p n m với (m, p) = 1. Khi đó: i) Với mọi 1 ≤ k ≤ n , tồn tại trong G một p-nhóm con có cấp p k . Nói riêng, tồn tại trong G các p-nhóm con Sylow. ii) Mọi p-nhóm con H của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G. iii) Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau. iv) Nếu r là số các p-nhóm con Sylow của G thì r m và r ≡ 1(mod p) 1.2.3. Bổ đề Frattini Cho G là một nhóm hữu hạn, và H  G . Khi đó nếu P là một p-nhóm con Sylow của H thì G = HN G ( P) . Chứng minh Với mọi x ∈ G ta có P x ≤ H x nên P và P x liên hợp nhau trong H, do đó tồn tại h ∈ H sao cho P x = P h . Suy ra h −1 x ∈ N G ( P) đó x h(h −1 x) ∈ HN G ( P) Do= Như vậy G ⊆ HN G ( P) , kết hợp với HN G ( P) ⊆ G Vậy G = HN G ( P) . ■
12 1.2.4. Định lý Cho G là một nhóm hữu hạn. Nếu G có đúng một p-nhóm con Sylow với mỗi p là ước nguyên tố của G thì G là tích trực tiếp của các p-nhóm con Sylow của nó. 1.3. Nhóm con á chuẩn tắc Nhóm con H của G được gọi là á chuẩn tắc (subnormal) nếu tồn tại dãy = các nhóm con H G= 0  G1  G2  .... Gn G và được ký hiệu là H  G. 1.4. Nhóm con đặc trưng 1.4.1. Định nghĩa Một nhóm con H của G được gọi là nhóm con đặc trưng của G, ký hiệu là H char G nếu ϕ ( H ) = H với ∀ϕ ∈ Aut (G ) trong đó Aut(G) là tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của G. 1.4.2. Mệnh đề i) Nếu ϕ ( H ) ≤ H , ∀ϕ ∈ Aut (G ) thì H char G. ii) Nếu H char G thì H  G . iii) Nếu H char K và K char G thì H char G. iv) Nếu H char K và K  G thì H  G . v) Nếu H ≤ K ≤ G và H char G, K/H char G/H thì K char G. Chứng minh i) Với mọi ϕ ∈ Aut (G ) ta có ϕ −1 ∈ Aut (G ) vì ϕ là một tự đẳng cấu của G Ta có ϕ ( H ) ≤ H và ϕ −1 ( H ) ≤ H Do đó = H ϕ (ϕ −1 ( H )) ≤ ϕ ( H ) ≤ H Từ đó suy ra ϕ ( H= ) H (∀ϕ ∈ Aut (G )) Vậy H char G.
13 ii) Giả sử H char G và lấy x là một phẩn tử bất kỳ trong G. Xét ánh xạ ϕx : G → G a  a x = x −1ax Rõ ràng ϕ x là một tự đẳng cấu của G. Thật vậy với mọi a, b ∈ G ta có ϕ= x ( a.b) −1 x= abx x −1a( xx= −1 )bx ( x −1ax)( x= −1 bx) ϕ x (a )ϕ x (b) ϕ x là đơn ánh vì với mọi a, b ∈ G, ϕ x (a ) = ϕ x (b) ⇔ x −1ax = x −1bx ⇔ a=b (do trong nhóm có luật giản ước) ϕ x là toàn ánh vì với mọi b ∈ G , xét phần tử a = xbx −1 khi đó ϕ= x (a) −1 x= ax x −1 (xbx= −1 )x b = ϕ x ( H= Từ đó suy ra ϕ x ∈ Aut (G ) nên H ) H x (∀x ∈ G ) suy ra H  G. iii) Giả sử ϕ là một tự đẳng cấu bất kỳ của G Vì K char G nên ϕ ( K ) = K , do đó ϕ K : K → K là một tự đẳng cấu của K. nên H ϕ= Mà H char K = K (H ) ϕ (H ) Vậy H char G. iv) Lấy a ∈ G , xét ánh xạ ϕ :G → G x  xa Rõ ràng ϕ ∈ Aut (G ) Vì K  G nên ϕ ( K ) = K do đó ϕ K :K → K là một tự đẳng cấu của K . = Mà H char K nên H ϕ= ( H ) ϕ ( H ) . Suy ra h= a ϕ (h) ∈ H (∀h ∈ H ) K có nghĩa là H a ≤ H . Vậy H  G . v) Với mọi ϕ ∈ Aut (G ) ta có ϕ ( H ) = H vì H char G Do đó ta có thể định nghĩa ánh xạ ϕ ' trên G / H như sau ϕ ': G / H → G / H xH  ϕ ( x) H
14 Khi đó dễ dàng chứng minh ϕ ' xác định và là một đẳng cấu, nghĩa là ϕ ' ∈ Aut (G / H ). Mà theo giả thiết K / H char G / H , suy ra ϕ '( K / H ) = K / H . Nghĩa là với mọi x ∈ K ta có ϕ = '( xH ) ϕ ( x) H ∈ K / H . Do đó ϕ ( x) ∈ K hay ϕ ( K ) ≤ K (∀ϕ ∈ Aut (G )) nên theo i) suy ra K char G . 1.5. Nhóm con Frattini 1.5.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm. Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G (nếu có) được gọi là nhóm con Frattini của G, ký hiệu là Φ (G ) . Nhóm con Frattini luôn tồn tại trong một nhóm hữu hạn bất kỳ. Nếu G không có các nhóm con tối đại thì ta quy ước Φ (G ) = G. 1.5.2. Mệnh đề. Cho G là một nhóm. Khi đó Φ (G ) char G, và Φ (G ) G Chứng minh Nếu G không có nhóm con tối đại thì Φ (G ) = G , mệnh đề hiển nhiên đúng. Giả sử trong G có ( M i )i∈I là họ tất cả các nhóm con tối đại của G . Khi đó với mọi ϕ ∈ Aut (G ) , ϕ −1 ( M i ) cũng là nhóm con tối đại của G với mọi i ∈ I , do Φ (G ) là giao của tất cả các nhóm con tối đại của G nên ta có Φ (G ) ⊆ ϕ −1 ( M i ), ∀i ∈ I Suy ra Φ (G ) ⊆ ϕ −1 ( M i ) = ϕ −1 (Φ (G )). i∈I Hay ϕ (Φ (G )) ⊆ Φ (G ), ∀ϕ ∈ Aut (G ) . Suy ra Φ (G )  G . ■ 1.5.3. Định lý Frattini. Nếu G là một nhóm hữu hạn thì Φ (G ) là nhóm con luỹ linh của G. 1.5.4. Định lý. Cho G là nhóm hữu hạn, N  G . Khi đó Φ ( N ) ≤ Φ (G ) . Chứng minh Giả sử Φ ( N ) không là nhóm con của Φ (G )
15 ⇒ ∃M là nhóm con tối đại của G sao cho M không chứa Φ ( N ) (*) Do tính tối đại của M nên ta có M Φ ( N ) = G. ⇒ N = N ∩ G = N ∩ M Φ ( N ) = N Φ ( N ) ∩ M Φ ( N ) = Φ ( N )( N ∩ M ) ⇒N ∩M ≤ N Nếu N ∩ M = N thì Φ ( N ) ≤ N ≤ M (mâu thuẫn (*)). Nếu N ∩ M < N thì ∃N1 là nhóm con tối đại của N và chứa N ∩ M ⇒ N = N1Φ ( N ) Mà Φ ( N ) ≤ N1 nên N = N 1 (vô lý) Vậy Φ ( N ) ≤ Φ (G ) . ■ 1.5.5. Định lý. Cho G là một nhóm. Khi đó Φ (G ) chính là tập tất cả các phần tử không sinh của G . Chứng minh Giả sử x  G là phần tử không sinh của G, và M là một nhóm con tối đại bất kỳ của G. Khi đó nếu x  M thì G  M , x  M (mâu thuẫn). Do đó x  M, với mọi nhóm con tối đại M. Suy ra, x ∈ Φ (G ) . Ngược lại, lấy z ∈ Φ (G ) và giả sử rằng G  z ,Y . Nếu Y  G thì tồn tại nhóm con tối đại M sao cho Y  M , nhưng z cũng thuộc M, do đó z ,Y  M (mâu thuẫn). Vậy z là phần tử không sinh của G . ∎ 1.5.6. Mệnh đề. Cho nhóm G, H là nhóm con của G, Φ (G ) hữu hạn sinh nếu G = Φ (G ) H thì H = G . 1.6. Nhóm siêu giải được 1.6.1. Định nghĩa Cho G là một nhóm, dãy các nhóm con chuẩn tắc của G =1 G= 0  G1  G2  .....  Gn −1  Gn G được gọi là một dãy siêu giải được của G nếu Gi +1 / Gi là nhóm cyclic với mọi 0 ≤ i ≤ n .
16 G được gọi là nhóm siêu giải được nếu G có một dãy siêu giải được. Ví dụ: Mọi nhóm cyclic G là nhóm siêu giải được với dãy siêu giải được là 1 G 1.6.2. Định lý Mọi nhóm con của nhóm siêu giải được là nhóm siêu giải được. Chứng minh Giả sử G là nhóm siêu giải được và H là nhóm con của G. Do G là nhóm siêu giải được nên tồn tại một dãy siêu giải được của G. =1 G= 0  G1  G2  ......  Gn −1  Gn G Xét dãy các nhóm con của H 1 = H ∩ G0 ≤ H ∩ G1 ≤ ...... ≤ H ∩ Gn = H ∩ G = H (*) Ta có H ∩ Gi  H ∩ Gi +1 (∀= i 0, n − 1) do Gi  Gi +1 H ∩ Gi  H ( ∀=i 0, n − 1 ) theo 1.1.1.(1) Suy ra (*) là dãy các nhóm con chuẩn tắc của H Mặt khác ta lại có: ( H ∩ Gi +1 ) / ( H ∩ Gi ) = ( H ∩ Gi +1 ) / (( H ∩ Gi +1 ) ∩ Gi ) Theo 1.1.1. (1) ta có ( H ∩ Gi +1 ) / (( H ∩ Gi +1 ) ∩ Gi )  ( H ∩ Gi +1 )Gi / Gi Mà ( H ∩ Gi +1 )Gi / Gi ≤ Gi +1 / Gi là nhóm cyclic nên ( H ∩ Gi +1 )Gi / Gi là nhóm cyclic. Do đó (*) là dãy siêu giải được của H Vậy H là nhóm siêu giải được. ■ 1.6.3. Định lý Mọi nhóm thương của nhóm siêu giải được là nhóm siêu giải được. Chứng minh Giả sử G là nhóm siêu giải được và H  G , cần chứng minh G / H là nhóm siêu giải được. Thật vậy Do G là nhóm siêu giải được nên tồn tại một dãy siêu giải được của G.
17 =1 G= 0  G1  G2  ......  Gn −1  Gn G Ta có H , Gi  G ⇒ Gi .H  G và Gi H  Gi +1 H Suy ra (Gi H ) / H  G / H (∀i =0, n) và (Gi H ) / H  (Gi +1 H ) / H (∀=i 0, n − 1) Do đó ta có dãy các nhóm con chuẩn tắc của G / H H /H = (G0 H ) / H  (G1 H ) / H ......(Gn −1 H ) / H  (Gn H ) / H G / H (**) Theo định lý 1.1.2 ta có ((Gi +1 H ) / H ) / ((Gi H ) / H )  (Gi +1 H ) / (Gi H ) = (Gi +1 (Gi H )) / (Gi H ) Theo 1.1.1. (1) có (Gi +1 (Gi H )) / (Gi H )  Gi +1 / (Gi H ∩ Gi +1 ) Lại có Gi +1 / (Gi H ∩ Gi +1 )  (Gi +1 / Gi ) / ((Gi H ∩ Gi +1 ) / Gi ) . Do Gi +1 / Gi là nhóm cyclic, suy ra (G i +1 / Gi ) / (Gi H ∩ G i +1 / Gi ) là nhóm cyclic. Suy ra ((Gi +1 H ) / H ) / ((Gi H ) / H ) là nhóm cyclic. Do đó (**) là dãy siêu giải được của G / H Vậy G / H là nhóm siêu giải được. ■ 1.6.4. Định lý Nếu mọi nhóm con tối đại của G đều có chỉ số trong G là một số nguyên tố thì G là nhóm siêu giải được. 1.6.5. Mệnh đề Cho G là một nhóm hữu hạn, G / Φ (G ) là nhóm siêu giải được. Khi đó G là nhóm siêu giải được. Chứng minh Với mọi M là nhóm con tối đại của G ta có Φ (G ) ⊂ M Mà Φ (G )  G ⇒ Φ (G )  M và M / Φ (G ) là nhóm con tối đại của G / Φ (G ) . Vì G / Φ (G ) là nhóm siêu giải được nên [G / Φ (G ) : M / Φ (G )] là một số nguyên tố. Mà [G : M ] =Φ [G / (G ) : M / Φ (G )]
18 ⇒ [G : M ] là một số nguyên tố với mọi M là nhóm con tối đại của G. Vậy theo Định lý 1.6.4, ta có G là nhóm siêu giải được. ■ 1.6.6. Mệnh đề. Nếu G/Z(G) siêu giải được thì G siêu giải được. Chứng minh Do G/Z(G) siêu giải được nên ta có một dãy siêu giải được =1 G= 1  G2 .... Gn −1  Gn G / Z (G ) Khi đó G = G / Z (G ) và Gi +1 / Gi  Gi +1 / Gi (vì Gi +1 / Gi = (Gi +1 / Z (G )) / (Gi / Z (G )) Xét đồng cấu tự nhiên ϕ : G → G / Z (G ) Đặt Gi = ϕ −1 (Gi ) . Khi đó Gi  G Xét dãy Z (G ) ≤ G1 ≤ G2 ≤ ... ≤ Gn = G Do Z(G) là Aben nên 1 ≤ Z (G ) có thể làm mịn thành dãy cyclic Z 0 =1 ≤ Z1 ≤ ..... ≤ Z m =Z (G ) Vậy ta có một dãy siêu giải được Z 0 =1 ≤ Z1 ≤ .... ≤ Z m =Z (G ) ≤ G1 ≤ G2 ≤ ..... ≤ Gn =G Do vậy G là siêu giải được. ■ 1.6.7. Định lý Cho H, K là hai nhóm siêu giải được. Khi đó H×K là nhóm siêu giải được. Chứng minh Do H là nhóm siêu giải được nên H có một dãy siêu giải được =1 H= 0  H1  H 2  .... H n H Do K là nhóm siêu giải được nên K có một dãy siêu giải được =1 K= 0  K1  ...... K m −1  K m K Ta có H i  H (∀i= 0, n) ⇒ H i ×1= H i × K 0  H × K K j  K (= ∀j 0, m) ⇒ H × K j  H × K Mà ( H i +1 ×1) / ( H i ×1)  ( H i +1 / H i ) × (1/1)  H i +1 / H i (∀=i 0, n − 1)
19 ( H × K j +1 ) / ( H × K j )  ( H / H ) × ( K j +1 / K j )  K j +1 / K j (∀= j 0, m − 1) Do H i +1 / H i , K j +1 / K j là nhóm cyclic, suy ra ( H i +1 ×1) / ( H i ×1), ( H × K j +1 ) / ( H × K j ) là nhóm cyclic. Do đó 1×1 = H 0 ×1 H1 ×1 ...... H n ×1 = H ×1 = H × K 0  H × K1  ..... H × K m = H × K là một dãy siêu giải được của H × K . Vậy H × K là nhóm siêu giải được. ■ 1.6.8. Định lý Cho H1 , H 2 , H 3 .....H n là các nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. Khi đó ta có n G / H1 , G / H 2 , G / H 3 ,...., G / H n là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi G / (∩ H i ) là i =1 nhóm siêu giải được. Chứng minh (⇒) Xét đồng cấu nhóm ϕ : G → G / H1 × G / H 2 × .... × G / H n g  ( gH1 ,...., gH n ) n { g ∈ G / ( gH1 ,...., gH n ) = Ta có Ker ϕ = 0} =  Hi i =1 n Theo định lý Nơte ta có G / Kerϕ  Imϕ ⇒ G / ( H i )  Imϕ i =1 n Theo 1.6.7 thì × G / H i là nhóm siêu giải được i =1 n Mà Im ϕ ≤ × G / H i nên Im ϕ là nhóm siêu giải được. i =1 n Vậy G / ( H i ) là nhóm siêu giải được. i =1 n (⇐) Ta có H H i =1 i j với mỗi j = 0, n n n Suy ra H j /  H i  G /  H i =i 1 =i 1 n n Mà (G /  H ) / ( H /  H i )  G / H j i j (theo định lý 1.1.2) =i 1 =i 1
20 n Mà G / ( H i ) là nhóm siêu giải được nên theo định lý 1.6.3 thì i =1 n n (G /  H i ) / ( H j /  H i ) là nhóm siêu giải được. Do đó G / H j (∀j =0, n) là =i 1 =i 1 nhóm siêu giải được. ■ 1.6.9. Định lý Giả sử G là một nhóm không siêu giải được nhưng mọi nhóm con thực sự của G là siêu giải được. Khi đó i) G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P với p là số nguyên tố. ii) P / Φ ( P ) là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G / Φ ( P) . iii) Nếu p ≠ 2 thì exp( P) = p . iv) Nếu P không Aben và p = 2 thì exp( P) = 4 v) Nếu P là Aben thì exp( P) = p . 1.7. Nhóm luỹ linh 1.7.1. Định nghĩa dãy tâm trên, dãy tâm dưới. • Dãy G = γ 1 (G ) ≥ γ 2 (G ) ≥ .... , trong đó= G ] (∀n 0,1, 2...) được γ n +1 (G ) [γ n (G ),= gọi là dãy tâm dưới của G. • Dãy 1 = Z 0 (G ) ≤ Z1 (G ) ≤ Z 2 (G ) ≤ ... trong đó Z n += 1 (G ) / Z n (G ) = Z (G / Z n (G )) (∀n 0,1, 2....) gọi là dãy tâm trên của G. Nếu G hữu hạn, số hạng cuối cùng của dãy tâm trên được gọi là siêu tâm ∞ (hypercenter) của G. Ký hiệu là Z ∞ (G ) ( Z ∞ (G ) =  Z i (G )) i =0 Nhận xét: Với mọi i ∈  , thì i) Z i (G ) char G ii) [Z i +1 (G ), G ] ≤ Z i (G )