Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm liên hợp đóng

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm liên hợp đóng giới thiệu tới các bạn những kiến thức mở đầu; nhóm liên hợp đóng (định nghĩa và ví dụ nhóm liên hợp đóng; các tính chất cơ bản của nhóm liên hợp đóng; nhóm liên hợp đóng và các tính chất liên quan đến tính lũy linh và giải được; nhóm liên hợp đóng hữu hạn).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm liên hợp đóng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phong Vũ NHÓM LIÊN HỢP ĐÓNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Phong Vũ NHÓM LIÊN HỢP ĐÓNG Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
1 Lời cảm ơn Trước tiên, tác giả luận văn xin gửi lời cảm ơn đến người thầy đáng kính, PSG.TS Mỵ Vinh Quang, người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập từ đại học cho đến cao học và làm luận văn. Xin cảm ơn các bạn học viên Cao học Đại Số khóa 21 trường ĐHSP Tp.HCM đã động viên giúp đỡ tác giả rất nhiều trong thời gian làm luận văn. Xin được gửi lời cảm ơn đến thầy giáo TS. Trần Huyên, người thầy đã dẫn dắt tác giả đến với những kiến thức đầu tiên của môn Đại số. Cuối cùng xin gửi lời tri ân đến gia đình, bạn bè, người thân và đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và công tác. TÁC GIẢ LUẬN VĂN
2 Mục Lục Lời cảm ơn ..................................................................................................................... 1 Bảng ký hiệu .................................................................................................................. 3 Mở đầu ........................................................................................................................... 4 CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU .................................................................. 6 1.1 Định lý Sylow .................................................................................................. 6 1.2 Nhóm lũy linh, nhóm giải được và các tính chất liên quan ........................ 8 1.3 Một số nhóm quan trọng .............................................................................. 13 1.4 Biểu diễn chính quy của một nhóm............................................................. 18 1.5 Nhóm tự do và một số tính chất liên quan ................................................. 20 CHƯƠNG II: NHÓM LIÊN HỢP ĐÓNG ................................................................... 23 2.1 Định nghĩa và ví dụ nhóm liên hợp đóng ................................................... 23 2.2 Các tính chất cơ bản của nhóm liên hợp đóng........................................... 23 2.3 Nhóm liên hợp đóng và các tính chất liên quan đến tính lũy linh và giải được ........................................................................................................................ 34 2.4 Nhóm liên hợp đóng hữu hạn ...................................................................... 40 Kết Luận ....................................................................................................................... 44 Đề xuất của luận văn .................................................................................................... 45 Tài Liệu Tham Khảo .................................................................................................... 46
3 Bảng ký hiệu xH Lớp liên hợp của x trong H H ≤G, H
4 Mở đầu Với G là một nhóm bất kỳ nếu A  B  G thì A chưa chắc là nhóm con chuẩn tắc của G. Tức là tính chuẩn tắc không bắc cầu. Vậy thì khi nào tính chuẩn tắc bắc cầu, và nhóm đó có những tính chất gì? Tính chất trên được lấy làm định nghĩa cho lớp các T – nhóm. Các tính chất của T – nhóm đã được khảo sát khá phong phú trong [3] còn trong luận văn này ta sẽ đưa ra định nghĩa và khảo sát một số tính chất của các nhóm liên hợp đóng – một lớp con của các T – nhóm. gọi x K {kxk −1 : k ∈ K } là lớp liên hợp của x trong K. Cho H  G , Với K ≤ G ,= nếu x H= xG , ∀x ∈ H thì H được gọi là liên hợp đóng. G được gọi là nhóm liên hợp đóng nếu mọi nhóm con chuẩn tắc đều liên hợp đóng. Hơn nữa, nếu A  B  G thì ∀x ∈ A : xG= x B= x A ⊂ A ⇒ A  G . Như vậy rõ ràng các nhóm liên hợp đóng là các T – nhóm. Nội dung chính trong luận văn dựa trên bài báo [7], nghiên cứu các tính chất của nhóm liên hợp đóng trong sự tương tác với các khái niệm, các tính chất khác như lũy linh, tích trực tiếp, nhóm hữu hạn… , đồng thời dựa trên ý tưởng các tính chất của T – nhóm ở [3] đưa ra một số tính chất tương tự, và một số các tính chất rất đặc biệt chỉ có nhóm liên hợp đóng . Nội dụng luận văn gồm các phần sau: Chương I: Các Kiến Thức Mở Đầu Trình bày lại các khái niệm, chứng minh lại một số các định lý, bổ đề để dùng trong luận văn. Chương II: Nhóm Liên Hợp Đóng 1. Định nghĩa và ví dụ nhóm liên hợp đóng
5 2. Các tính chất cơ bản của nhóm liên hợp đóng: Đây là phần trình bày các kết quả chính của luận văn, ta sẽ chứng minh = rằng: Nếu nhóm G Z (G ) × H thì G liên hợp đóng ⇔ H liên hợp đóng. Hơn nữa nhóm hữu hạn G là nửa đơn liên hợp đóng và hoàn thiện nếu và chỉ nếu nó là tích của các nhóm đơn không abel. 3. Nhóm liên hợp đóng và các tính chất liên quan đến tính lũy linh và giải được Trong lớp các nhóm liên hợp đóng thì tính chất lũy linh và giải được tương đương nhau. Đặc biệt liên hợp đóng mà lũy linh thì abel. Ta còn chỉ ra rằng nhóm đối xứng Sn với n ≥ 3 là không liên hợp đóng. 4. Nhóm liên hợp đóng hữu hạn Khảo sát các tính chất của nhóm liên hợp đóng hữu hạn.
6 CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC MỞ ĐẦU 1.1 Định lý Sylow Định nghĩa 1.1.1. Với p nguyên tố, một nhóm hữu hạn được gọi là p – nhóm nếu cấp của nó là lũy thừa của p. Định lý 1.1.2. ( Định lý Sylow) Cho p là số nguyên tố, G là nhóm hữu hạn, G = p n m với ( p, m ) = 1. Khi đó: a) Với mọi 1 ≤ k ≤ n , tồn tại trong G một p – nhóm con có cấp p k . Nói riêng, tồn tại trong p – nhóm con Sylow của G. ( G = p m nên p – nhóm n con Sylow của G có cấp là pn). b) Mọi p – nhóm con H của G đều nằm trong một p – nhóm con Sylow nào đó của G. c) Tất cả các p – nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau. ∎ Bổ đề 1.1.3. Cho G hữu hạn, P là p - nhóm con Sylow của G. Khi đó: i) NG ( NG ( P )) = NG ( P ) ii) Nếu N  G thì P ∩ N là p – nhóm con Sylow của N Chứng minh. i) Đặt H = NG ( P ) hiển nhiên H ≤ NG ( H )
7 Ta có: P  H , vì vậy P cũng là p – nhóm con Sylow của H. Suy ra số p – nhóm con Sylow là trong H là: ( H : NG ( P )) = 1 ⇒ P là p – nhóm con Sylow duy nhất trong H. H , nên g −1Pg cũng là p – nhóm con Lấy g ∈ NG ( H ) , ta có: g −1Pg ≤ g −1Hg = Sylow của H ⇒ g −1Pg = P ⇒ g ∈ NG ( P ) = H ⇒ NG ( H ) ≤ H Suy ra điều phải chứng minh. ii) Ta có do N  G nên PN là nhóm của G, thật vậy: Hiển nhiên PN ≠ ∅ PN : p1n1.( p2 n2 )−1 ( p1 p2 )−1 ( p2 n1 p2 )−1 ( p2 n2−1 p2−1 ) ∈ N ∀p1n1, p2 n2 ∈= Nên P là nhóm con của PN. Do đó ta có | N : P ∩= N | | PN = : P | | PN |:|= P | n với (n, p ) = 1 Mà P ∩ N ≤ P nên | P ∩ N |  p , do đó P ∩ N là p – nhóm con của G. Mặt khác, P ∩ N ≤ N nên P ∩ N là p – nhóm con của N Do | N |:| P ∩ N=| | N : P ∩ N=| n với (n, p) = 1 , nên P ∩ N là p – nhóm con Sylow của N. ∎ Bổ đề 1.1.4. ( Frattini Argument) Cho G là nhóm hữu hạn, N là nhóm con chuẩn tắc của G và P là p – nhóm con Sylow của N. Khi đó : G = NG ( P ) N Chứng minh. Lấy x ∈ G , vì N  G , ta có: x −1Px ≤ x −1Nx = N Do đó x −1Px là p – nhóm con Sylow của N Theo định lý Sylow x −1Px và P liên hợp với nhau trong N: x −1Px = n −1Pn với n∈ N
8 ⇒ ( xn −1 )−1 Pxn −1 = P ⇒ y = xn −1 ∈ NG ( P ) ⇒ x = yn ∈ NG ( P ) N ⇒ G ⊂ NG ( P ) N ⇒G= NG ( P) N . ∎ Định lý 1.1.5. Cho nhóm G có nhóm con H với [G : H ]= n < ∞ . Khi đó G có nhóm con chuẩn tắc N với N ≤ H và [G : N ] ≤ n ! Chứng minh. Cho nhóm G tác động vào tập = A {g1H ,… g n H } với phép nhân trái. Mỗi hoán vị trên A được xem như một phần tử của Sn : ϕ : G ⟶ Sn x ⟼ σ x :{g1H ,… g n H } ⟶ {g1H ,… g n H } gi H ⟼ xgi H Dễ dàng kiểm tra σ x như vậy là xác định Đặt N = kerϕ , ta có N  H (lấy n ∈ N , khi đó nH = H ⇒ n ∈ H ) Mặt khác G / N ≅ K ≤ Sn nên [G : N ] ≤ n ! ∎ 1.2 Nhóm lũy linh, nhóm giải được và các tính chất liên quan Định nghĩa 1.2.1. Cho G là một nhóm, x1, x2 ∈ G . Khi đó ký hiệu là [ x1, x2 ] là hoán tử của x1, x2 , xác định bởi [ x1, x2 ] = x1−1x2−1x1x2 Nhóm sinh bởi tất cả các hoán tử của G được gọi là nhóm con dẫn xuất của G. Kí hiệu là G ' hay [G,G].
9 Như vậy G ' = < [ x1, x2 ] | x1, x2 ∈ G > Một nhóm G mà nhóm con dẫn xuất của G trùng với nó (tức là G’ = G) thì G được gọi là nhóm hoàn thiện. Sau đây ta sẽ xét một tính chất về nhóm con dẫn xuất sẽ được sử dụng trong luận văn. Bổ đề 1.2.2. Cho G là nhóm, N  G , khi đó G/N abel ⇔ G ' ≤ N . Chứng minh. (⇒) giả sử G/N abel, khi đó: Nx.Ny = Ny.Nx ∀x, y ∈ G ⇒ N [ x, y ] =( Nx)−1.( Ny )−1 Nx.Ny =∀ 1 x, y ∈ G ⇒ [ x, y ] ∈ N ∀x, y ∈ G ⇒ G ' ≤ N (⇐) Nếu G′ ≤ N thì [ x, y ] ∈ N ∀x, y ∈ G , theo các bước trên ta có G/N abel. Hơn nữa G/G’ là abel và nó là nhóm thương lớn nhất abel. ∎ Tiếp theo ta sẽ định nghĩa nhóm lũy linh và nhóm giải được, đây là hai khái niệm rất quan trọng trong lý thuyết nhóm: Định nghĩa 1.2.3. Cho G là nhóm, ta đặt Z 0 (G ) = {1}, Z1 (G ) = Z (G ), Z 2 (G ) / Z1 (G ) = Z (G / Z1 (G ))…, Z n / Z n −1 = Z (G / Z n −1 (G ) … Gọi tắt Z i = Z i (G ) Khi đó dãy Z 0 ≤ Z1 ≤ Z 2 ≤  được gọi là dãy tâm trên của G Nhóm G được gọi là lũy linh nếu dãy tâm trên dừng hay Z m = G với m nguyên dương nào đó. Khi đó độ dài ngắn nhất của dãy tâm trên được gọi là lớp lũy linh của G. Định nghĩa 1.2.4. Cho nhóm G, ta đặt γ 1 (G ) = G , γ 2 (G ) = G′, , γ i (G ) = [G , G ] =… [G , γ i −1 (G )]… là dãy các nhóm con của G.
10 Khi đó dãy G = γ 1 (G ) ≥ γ 2 (G ) ≥ γ 3 (G ) ≥  được gọi là dãy tâm dưới của G. Người ta chứng minh được rằng nhóm G là lũy linh nếu và chỉ nếu dãy tâm dưới của G dừng hay γ m (G ) = 1 với số nguyên dương m nào đó. Hơn nữa độ dài ngắn nhất của dãy tâm dưới cũng bằng với lớp lũy linh của G. Định nghĩa 1.2.5. Cho nhóm G, ta đặt δ 0 (G ), δ1 (G ) = G= G′, , δ i (G ) = δ (G ) =… δ (δ i −1 (G )) = [δ i −1 (G ), δ i −1 (G )],… là dãy các nhóm con của G Khi đó dãy G = δ 0 (G ) ≥ δ1 (G ) ≥ δ 2 (G ) ≥  được gọi là dãy dẫn xuất của G. Nhóm G được gọi là giải được nếu dãy dẫn xuất dừng hay δ m (G ) = 1 với số nguyên dương m nào đó. Khi đó độ dài ngắn nhất của dãy dẫn xuất được gọi là độ dài dẫn xuất của G. Ta xét một vài tính chất của nhóm lũy linh và nhóm giải được hay sử dụng: Bổ đề 1.2.6. Cho G là nhóm , nếu φ : G → K là toàn cấu thì φ (γ i (G )) = γ i ( K ) ∀i Chứng minh. - Ta có φ (γ 1 (G ))= φ (G= ) K= γ 1 ( K ) - Giả sử φ (γ i (G )) = γ i ( K ) - Với x ∈ γ i (G ), y ∈ G : ⇒ φ ([ x, y ]) = [φ ( x), φ ( y )] ∈ [φ (γ i (G )), φ (G )]= [γ i ( K ), K ]= γ i +1 ( K ) ⇒ φ (γ i +1 (G )) = φ[γ i (G ), G ] ≤ γ i +1 ( K ) φ ( x) = a Mặt khác: nếu a ∈ γ i ( K ), b ∈ K ⇒ ∃x ∈ γ i (G ), y ∈ K :  φ ( y ) = b ⇒ [a, b] = [φ ( x), φ ( y )] = φ[ x, y ] ∈ φ[γ i (G ), G ] = φ (γ i +1 (G )) ⇒ γ i +1 ( K ) =[γ i ( K ), K ] ≤ φ (γ i +1 (G )) ⇒ φ (γ i (G )) =γ i ( K ), ∀i ∎
11 Định lý 1.2.7. Một p – nhóm hữu hạn thì lũy linh Chứng minh. Cho G là p-nhóm hữu hạn, giả sử | G |= p n Ta sẽ chứng minh quy nạp theo lực lượng của G: - Nếu |G|=1, hiển nhiên G lũy linh ( γ 1 (G= ) G= 1 ) - Giả sử |G|>1 ⇒ Z (G ) ≠ 1 Khi đó G/Z(G) là p-nhóm và |G/Z(G)| H ∎
12 Làm việc với nhóm lũy linh, ngoài sử dụng định nghĩa dãy tâm trên và dãy tâm dưới, ta cần có thêm công cụ là các tính chất tương đương với lũy linh. Định lý 1.2.9. Cho G hữu hạn, các tính chất sau tương đương: i) G lũy linh ii) Mọi nhóm con Sylow đều chuẩn tắc trong G iii) G là tích trực tiếp của những nhóm con Sylow của nó. Chứng minh. i ) ⇒ ii ) Cho G lũy linh, P là p-nhóm Sylow của G. Đặt H = NG ( H ) theo bổ đề 1.1.3: NG ( H ) = H Vì vậy theo định lý 1.2.8 : H = G, tức= là G NG ( P ) ⇒ P⊲G n n n ii ) ⇒ iii ) giả sử | G |= p1 1 p2 2 ... pk k , với p1, p2 ,… pk là các số nguyên tố phân biệt. Khi đó Pi là các pi - nhóm con Sylow trong G ⇒ Pi  G ∀i= 1, 2…, k Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: P1P2 … Pk ≅ P1 × P2 …× Pk - k=1: điều này hiển nhiên! - Giả sử mệnh đề đúng với k = k0 Ta có:= N P1P2 … Pk0  G , Pk0 +1  G . Khi đó: | N=| | P1 × P2 ×…× Pk0=| | P1 || P2 | … | Pk0=| p1n1 p2n2 ... pknk Do đó |N| nguyên tố cùng nhau với | Pk0 +1 | ⇒ N ∩ Pk0 +1 = 1 ⇒ NPk0 +1 ≅ N × Pk0 +1 ≅ P1 × P2 ×…× Pk0 +1 . Bổ đề được chứng minh xong. Trở lại với định lý 1.2.9:
13 Mặt khác | P1P2 … P= k | | P1 || P2 | … | P= k | | P1 || P2 | … | P= k | |G| ⇒= G P1P2 … Pk ≅ P1 × P2 ×…× Pk iii ) ⇒ i ) Ta chứng minh quy nạp theo lực lượng của G - Nếu |G|=1, hiển nhiên G lũy linh - Nếu |G|>1, giả sử G= P1 × P2 …× Pk là tích các p i -nhóm không tầm thường. Làm việc với phép toán theo thành phần ta được Z= (G ) Z ( P1 ) × Z ( P2 ) ×…× Z ( Pk ) Các Z ( Pi ) không tầm thường nên Z (G ) ≠ 1 Bằng cách xét đồng cấu tự nhiên ϕ : G= P1 × P2 ×…× Pk ⟶ P1 / Z ( P1 ) × P2 / Z ( P2 ) ×…× Pk / Z ( Pk ) , với kerϕ = Z (G ) . Ta được: G / Z (G ) ≅ P1 / Z ( P1 ) × P2 / Z ( P2 ) ×…× Pk / Z ( Pk ) . G / Z (G ) là tích trực tiếp của những p i - nhóm cấp nhỏ hơn, do đó theo giả thiết quy nạp G / Z (G ) lũy linh Tức là γ c (G / Z (G )) = 1 với c ∈ N nào đó. Xét toàn cấu: π : G → G / Z (G ) , theo bổ đề 1.2.6: π (γ c (G )) γ= = c (G / Z (G )) 1 ⇒ γ c (G ) ≤ kerπ = Z (G ) Do đó: γ c +1 (G ) = [γ c (G ), G ] ≤ [ Z (G ), G ] = 1 . Suy ra G lũy linh. ∎ Định lý 1.2.10. ( Định lý Schreier) Nhóm đẳng cấu ngoài của một nhóm đơn hữu hạn thì giải được. Xem [6] ∎ 1.3 Một số nhóm quan trọng
14 Định nghĩa 1.3.1. Nhóm G được gọi là T – nhóm nếu mọi nhóm con chuẩn tắc của nhóm con chuẩn tắc của G là chuẩn tắc trong G (tức là: G là T – nhóm và M  N, N  G ⇒ M  G ) Định nghĩa 1.3.2. Một nhóm G được gọi là F.C – nhóm nếu mọi lớp liên hợp của mỗi phần tử trong G là hữu hạn. Định nghĩa 1.3.3. Nhóm G được gọi là nửa đơn nếu G không có nhóm con chuẩn tắc abel không tầm thường. Định nghĩa 1.3.4. Nhóm con Frattini của một nhóm G là giao của tất cả các nhóm con tối đại của G. Kí hiệu là φ (G ) Nếu G không có nhóm con tối đại thì nhóm con Frattini của G bằng G. Sau đây ta xét một số tính chất của nhóm con Frattini: Định lý 1.3.5. Nhóm con Frattini của G là nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh. Thật vậy ta sẽ chứng minh giao của tất cả các nhóm con tối đại của G là nhóm con chuẩn tắc của G. Cho M là nhóm con tối đại của G. Khi đó g −1Mg vẫn là nhóm con tối đại của G. Vì nếu g −1Mg không tối đại thì nó sẽ được chứa trong một nhóm con thực sự H của G, nhưng khi đó M ≤ g −1Mg < H < G (vô lý với tính tối đại của M). Do đó g −1Mg = M Cho  M i là giao tất cả các nhóm con tối đại. i Khi đó tính chất của phép liên hợp cho ta: g ( = M i ) g −1 gM i g −1  M i = i i i
15 Vậy  M i là nhó con chuẩn tắc. Do đó φ (G)  G ∎ i Định lý 1.3.6. Nếu G hữu hạn thì φ (G ) lũy linh. Chứng minh. Ta sẽ dùng định lý 1.2.9 các tính chất tương đương với lũy linh để chứng minh nhóm con Frattini của một nhóm hữu hạn là lũy linh. Lấy P là p – nhóm con Sylow của φ (G ) Theo bổ đề 1.1.4 ta có: G = NG ( P )φ (G ) Nếu NG ( P ) ≠ G thì sẽ có một nhóm con tối đại thực sự M của G mà : NG ( P) ≤ M < G Theo định nghĩa φ (G ) ≤ M Do đó NG ( P )φ (G ) ≤ M < G (mâu thuẫn) Vậy NG ( P ) = G ⇒ P  G ⇒ P  φ (G ) Vì vậy theo ii ) ⇒ i ) định lý 1.2.9 ta được φ (G ) lũy linh. ∎ Định nghĩa 1.3.7. Một nhóm H của G gọi là có phần bù trong G nếu có một nhóm con không tầm thường K của G sao cho G = HK . Định lý 1.3.8. Một nhóm con chuẩn tắc N của một nhóm G hữu hạn có phần bù nếu và chỉ nếu N không chứa trong nhóm con Frattini của G. Chứng minh. ⇒) giả sử N là nhóm con chuẩn tắc có phần bù là H trong G. Khi đó H được chứa trong nhóm con tối đại M của G. Do G = NH nên G = NM. Nếu N ≤ φ (G ) thì N ≤ M (mâu thuẫn).
16 Do đó: N không chứa trong φ (G ) (⇐) giả sử N không chứa trong φ (G ) . Thì sẽ tồn tại một nhóm con tối đại M của G, mà N không chứa trong M. Do N  G , nên ta có G = NM, và do đó N có phần bù trong G. ∎ Định nghĩa 1.3.9. Một nhóm con H của G được gọi là nhóm á chuẩn tắc (subnormal) của G nếu tồn tại dãy: H  H1   H n = G Như vậy ta thấy rằng mọi nhóm á chuẩn tắc của T- nhóm đều là nhóm con chuẩn tắc. Ta có một tính chất khá thú vị sau về nhóm á chuẩn tắc: Định lý 1.3.10. G là lũy linh khi và chỉ khi mọi nhóm con của G đều là nhóm á chuẩn tắc của G. Chứng minh. (⇒) giả sử G lũy linh lớp n, khi đó G có dãy tâm trên Z 0 ≤ Z1 ≤  ≤ Z n = G. Nếu H ≤ G suy ra HZi (G )  HZi +1 (G ), ∀i Thật vậy xét toàn cấu tự nhiên: p : HZi +1 (G ) ⟶ HZi +1 (G ) / Zi (G ) , ta có Zi +1 (G ) / Zi (G ) = Z (G / Zi (G )) Dễ dàng suy ra: HZi (G ) / Zi (G )  HZi +1 (G ) / Zi (G ) ⇒ HZ i (G )  HZ i +1 (G ) . =Khi đó: H HZ = 0 (G )  HZ1 (G )    HZ n (G ) G Suy ra H là nhóm á chuẩn tắc của G. (⇐) giả sử mọi nhóm con của G đều là nhóm á chuẩn tắc của G. Lấy P là p – nhóm con Sylow của G, khi đó tồn tại dãy: P  P1    Pn = G
17 Ta sẽ dùng định lý 1.2.9 chứng minh P  G : Ta chứng minh quy nạp theo n: - n = 1 : theo bổ đề trên (Frattini Argument) ta có: = 1N G ( P ) N G ( P ) (do P1 ⊂ N G ( P ) ) ⇒ P  G G P= - giả sử P  Pk - ta= G ( P ) N G ( P ) ⇒ P  G . Vậy theo định lý 1.2.9 thì có G Pk N= G lũy linh. ∎ Từ kết quả này hiển nhiên ta có hệ quả sau: Hệ quả 1.3.11. Mọi nhóm lũy linh là T – nhóm khi và chỉ khi mọi nhóm con đều chuẩn tắc. ∎ Định nghĩa 1.3.12. Nhóm con Fitting là nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con lũy linh chuẩn tắc của nhóm G. Ký hiệu : F (G ) Từ định nghĩa ta có nhận xét: F (G ) là nhóm con lũy linh chuẩn tắc lớn nhất và duy nhất của G. Định lý 1.3.13. Nếu G là T – nhóm và C = CG (G′) thì C là nhóm Fitting của G (tức là F (G ) = CG (G′) ) Chứng minh. Trước hết ta có một nhận xét : nhóm các đẳng cấu của một nhóm cylcic thì abel. Thật vậy: Xét ϕ , φ ∈ Aut < x > xác định bởi = ϕ ( x) x= k , φ ( x) xl với số nguyên k, l nào đó. φ °ϕ ( x) nên ϕ °φ = φ °ϕ . Dễ thấy ϕ °φ ( x) = - Ta có C ≤ G nên C ′ ≤ G′ ⇒ [C ′, C ] ≤ [G′, C ] = 1
18 Do đó C lũy linh và do đó C ≤ F (G ) . - Lấy N là nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G. Lấy x ∈ N , do định lý 1.3.10 nên < x > N mà N  G ⇒< x > G (tính chất của T – nhóm) Theo chứng minh của định lý 2.2.5: G / CG ( x) ≅ K ≤ Aut < x > Do đó G / CG ( x) là abel, suy ra G′ ≤ CG ( x) ⇒ x= ∈ C CG (G′) ⇒ N ≤ C Do vậy CG (G′) = F (G ) . ∎ 1.4 Biểu diễn chính quy của một nhóm Định nghĩa 1.4.1. Xét tác động trái của G lên chính nó: ϕ : G → SG với g  g :G → G x  gx kerϕ Khi đó ta có=  = Gx 1(do Gx =∈ {g G : gx == x} 1 ) x∈G Do đó ϕ là đơn cấu, và đồng cấu này được gọi là biểu diễn chính quy (trái) của G Định lý 1.4.2. Cho G hữu hạn, lấy ϕ : G ⟶ SG là biểu diễn chính quy trái của G. Chứng minh rằng nếu có phần tử x ∈ G sao cho= ,| G | mn thì ϕ ( x) là tích của | x | n= m n – chu trình . |G| Từ đó suy ra: ϕ ( x) là hoán vị lẻ nếu và chỉ nếu |x| chẵn, và lẻ. |x| Chứng minh. Do ϕ đơn cấu nên G ≅ Imϕ .