Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ổn định và điều khiển hệ phương trình nơron có trễ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hệ mạng tế bào thần kinh (nơron) là các mô hình toán sinh học được mô tả trong nhiều lĩnh vực ứng dụng như xử lý tín hiệu, nhận dạng mẫu và liên kết tế bào thần kinh. Các mô hình nơron có trễ là phổ biến và có nhiều ứng dụng thực tế. Bởi vậy, việc nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa của hệ nơron có trễ là vấn đề quan trọng, cho đến nay đang được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước quan tâm, và đã thu được nhiều kết quả quan trọng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ổn định và điều khiển hệ phương trình nơron có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ THỊ NGỌC HOA ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƠRON CÓ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— LÊ THỊ NGỌC HOA ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƠRON CÓ TRỄ Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH VŨ NGỌC PHÁT Thái Nguyên - Năm 2017
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƠRON CÓ TRỄ " được hoàn thành bởi nhận thức của tôi, không trùng lặp với luận văn, luận án và các công trình đã công bố. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết Luận văn Lê Thị Ngọc Hoa i
Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS. TSKH Vũ Ngọc Phát, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Người viết luận văn Lê Thị Ngọc Hoa ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu 1 1 Cơ sở toán học 3 1.1 Hệ phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ. . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Lý thuyết ổn định Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Hệ phương trình vi phân điều khiển . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Mô hình mạng nơron có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Các bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 iii
2 Ổn định và ổn định hóa hệ nơron có trễ 16 2.1 Ổn định hệ phương trình nơron có trễ . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Ổn định hóa hệ phương trình nơron có trễ . . . . . . . . . . 24 2.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Kết luận chung 34 Tài liệu tham khảo 35 iv
Một số ký hiệu viết tắt R+ Tập hợp các số thực không âm. Rn Không gian Euclid n chiều. < x, y > hoặc xT y Tích vô hướng của 2 véctơ x, y . kxk Chuẩn véctơ Euclid của x. kxt k Chuẩn đoạn quĩ đạo trễ xt : kxt k = sup kx(t + s)k. t∈[−h,0] Rn×r Không gian các ma trận n × r chiều. AT Ma trận chuyển vị của A. I Ma trận đồng nhất. λ(A) Giá trị riêng của A. λmax (A) Giá trị riêng lớn nhất của A: λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}. λmin (A) Giá trị riêng nhỏ nhất của A: λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}. C([0, t], Rn ) Tập các hàm liên tục trên [0, t] giá trị trong Rn . C 1 ([0, t], Rn ) Tập các hàm khả vi liên tục trên [0, t] giá trị trong Rn . L2 ([0, t], Rn ) Tập các hàm khả tích bậc 2 trên [0, t] giá trị trong Rn . A≥0 Ma trận xác định không âm. A>0 Ma trận xác định dương. diag{x1 , ..., xn } Ma trận chỉ có số hạng đường chéo x1 , ..., xn . LM I Bất đẳng thức ma trận tuyến tính. v
Mở đầu Trong lý thuyết định tính các hệ động lực, bài toán ổn định và điều khiển có vai trò rất quan trọng. Nghiên cứu bài toán ổn định và bài toán điều khiển các hệ động lực đã trở thành một trong những hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Hệ mạng tế bào thần kinh (nơron) là các mô hình toán sinh học được mô tả trong nhiều lĩnh vực ứng dụng như xử lý tín hiệu, nhận dạng mẫu và liên kết tế bào thần kinh. Các mô hình nơron có trễ là phổ biến và có nhiều ứng dụng thực tế. Bởi vậy, việc nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa của hệ nơron có trễ là vấn đề quan trọng, cho đến nay đang được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước quan tâm, và đã thu được nhiều kết quả quan trọng. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu gần đây về tính ổn định và ổn định hóa cho một số lớp hệ nơron có trễ. Các hệ nơron xét trong luận văn là các hệ có trễ tổng quát, các hệ nơron với các hàm kích hoạt khác nhau, trong đó độ trễ là các hàm số liên tục và bị chặn trên khoảng hữu hạn. Phương pháp hàm Lyapunov kết hợp với các kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính được sử dụng linh hoạt để giải bài toán ổn định và ổn định hóa. 1
Nội dung của bản luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày cơ sở toán học: hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phương trình điều khiển, hệ phương trình nơron có trễ, bài toán ổn định và ổn định hóa. Chương 2 trình bày các điều kiện đủ về tính ổn định và ổn định hóa hệ nơron có trễ. 2
Chương 1 Cơ sở toán học Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở toán học về: hệ phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển, hệ phương trình nơron có trễ, bài toán ổn định hóa và các bổ đề bổ trợ. Nội dung chương này được trình bày từ tài liệu [1], [3]. 1.1 Hệ phương trình vi phân. Xét hệ phương trình vi phân:   x(t)  ˙ = f (t, x(t)), t ∈ I = [t0 − b, t0 + b] , (1.1) x ∈ Rn ,  x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0,  trong đó: f (. . . ) : I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : kx − x0 k ≤ a} . Nghiệm của hệ phương trình (1.1) là hàm x(t) khả vi liên tục thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1). Giả sử f (t, x) liên tục trên I × D. 3
Khi đó, nghiệm của x(t) của (1.1) cho bởi dạng tích phân: Zt x(t) = x0 + f (s, x(s))ds, t ≥ 0. t0 Định lý 1.1.1. (Định lý Picard-Lindeloff). Xét hệ phương trình vi phân (1.1), trong đó giả sử hàm f(.) liên tục theo t ∈ I và thoả mãn điều kiện Lipschitz theo biến x ∈ D tức là: ∃k > 0 : kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ k kx1 − x2 k , ∀t ≥ 0. Khi đó, với mỗi (t0 , x0 ) ∈ I × D sẽ tìm được số b > d > 0 sao cho hệ (1.1) luôn có duy nhất nghiệm x(t) trên khoảng [t0 − d, t0 + d]. Định lý 1.1.2. (Định lý Caratheodory) Giả sử là hàm f(t,x) đo được theo t ∈ I và liên tục theo x ∈ D. Nếu tồn tại hàm khả tích m(t) trên (t0 , t0 + β) sao cho kf (t, x(t))k ≤ m(t) mọi (t, x) ∈ I × D thì hệ (1.1) có nghiệm trên khoảng (t0 , t0 + β) , β > 0. Chú ý rằng, định lý Caratheodory chỉ khẳng định sự tồn tại nghiệm chứ không duy nhất. Định lý 1.1.3. (Định lý tồn tại nghiệm trên R+ ). Giả sử hàm f(.) là bị chặn kf (t, x)k ≤ M và thỏa mãn điều kiện Lipschitz: kf (t, x1 ) − f (t, x2 )k ≤ k kx1 − x2 k , ∀x1 , x2 ∈ Rn , ∀t ≥ 0. Khi đó, hệ (1.1) có nghiệm duy nhất x(t) xác định trên R+ 4
1.2 Hệ phương trình vi phân có trễ. Chúng ta nhận thấy rằng các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có liên quan đến quá khứ. Các hệ phương trình có phụ thuộc trễ thể hiện được đặc điểm phụ thuộc vào quá khứ này của hệ thống, phần dưới đây sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản cho hệ có trễ. Xét một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ h (0 ≤ h < +∞) . Với x(t) là một hàm liên tục, kí hiệu xt (δ) = x (t + δ) , ∀δ ∈ [−h, 0] là nghiệm trên đoạn trễ và khi đó chuẩn được xác định bởi công thức: kxt k = sup kx (t + δ)k . δ∈[−h,0] Khi đó, hệ phương trình vi phân có trễ được cho dưới dạng:  .  x(t) = f (t, xt ), t ≥ 0,  (1.2)  x(t) = ϕ (t) , t ∈ [−h, 0] .  trong đó: ϕ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) , kϕk = sup kϕ (t)k . t∈[−h,0] Hệ (1.2) được gọi là tuyến tính nếu f (t, ϕ) = L (t, ϕ) + h (t) , trong đó L (t, ϕ) là tuyến tính theo ϕ. Giả sử t0 = 0, ϕ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) cho trước và f (t, ϕ) liên tục. Khi đó, 5
nghiệm x(t) của hệ (1.2) cho bởi dạng tích phân: x (t) = ϕ (t) ,t ∈ [−h, 0] , Rt (1.3) x(t) = ϕ (0) + f (s, x(s))ds, t ≥ 0. 0 Trong luận văn này, chúng tôi luôn giả thiết hàm f (.) của hệ (1.2) thỏa mãn các điều kiện của định lý (1.1.3) về tồn tại nghiệm trên [0, +∞]. 1.3 Lý thuyết ổn định Lyapunov. Tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lý thuyết định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học, vật lý toán,... Nói một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc cấu trúc ban đầu của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân bằng đó. Sự nghiên cứu bài toán ổn định hệ thống được bắt đầu từ cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán học V. Lyapunov và đến nay đã trở thành một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân (1.1), giả thiết f(t,x) là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu luôn có nghiệm trên [0, +∞]. Khi đó, dạng tích phân của nghiệm được cho bởi: Zt x(t) = x0 + f (s, x(s))ds, t ≥ 0. t0 6
Định nghĩa 1.3.1. Nghiệm 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : kx0 k < δ thì ta đều có kx(t)k < ε, ∀t ≥ 0. Định nghĩa 1.3.2. Nghiệm 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và lim kx(t)k = 0. t→∞ Định nghĩa 1.3.3. Nghiệm 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu có các hằng số dương α, M, sao cho: kx(t)k ≤ M e−α(t−t0 ) kx0 k , ∀t ≥ t0 . Trong luận văn này, ta sẽ nói hệ là ổn định thay vì nói nghiệm 0 là ổn định. Xét hệ phương trình vi phân có trễ (1.2):  .  x(t) = f (t, xt ), t ≥ 0,   x(t) = ϕ (t) , t ∈ [−h, 0] .  Với hệ (1.2) ta luôn giả thiết f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ . Điều đó đảm bảo cho hệ (1.2) luôn có nghiệm 0. Các khái niệm ổn định cho phương trình vi phân có trễ (1.2) được định nghĩa tương tự cho hệ phương trình vi phân không có trễ. 7
Định nghĩa 1.3.4. Hệ (1.2) được gọi là ổn định nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi ϕ(.) mà kϕk < δ thì nghiệm x(t) của hệ (1.2) thỏa mãn kx (t)k < ε, ∀t ∈ R+ Định nghĩa 1.3.5. Hệ (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và lim kx (t)k = 0. t→∞ Định nghĩa 1.3.6. Cho α > 0. Hệ (1.2) là α−ổn định nếu tồn tại số N > 0, sao cho với mọi ϕ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) , thì nghiệm x (t, ϕ) của hệ thỏa mãn điều kiện: kx (t, ϕ)k ≤ N kϕke−αt , t ≥ 0. Để giải bài toán ổn định ta sử dụng phương pháp hàm Lyapunov Xét lớp hàm K là tập các hàm liên tục tăng chặt a(.) : R+ → R+ , a(0) = 0 . Định nghĩa 1.3.7. Hàm V (t, x) : R+ × Rn → R gọi là hàm Lyapunov của hệ phương trình vi phân (1.1) nếu: V (t, x), V (t, 0) = 0, là hàm khả vi, liên tục theo (t, x) và thỏa mãn các điều kiện sau: i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa: ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a(kxk), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . ∂V ∂V ii) Df V (t, x) = ∂t + ∂x f (t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . 8
Nếu hàm Lyapunov và thoả mãn thêm điều kiện: iii) ∃b(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b(kxk), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . iv) ∃γ(.) ∈ K : Df V (t, x) ≤ −γ(kxk), ∀t ∈ R+ , ∀x ∈ Rn \ {0} , thì ta gọi là hàm Lyapunov chặt. Định lý 1.3.8. Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov thì ổn định. Hơn nữa nếu hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận. Đối với hệ có trễ, hàm Lyapunov cũng được định nghĩa tương tự: Định nghĩa 1.3.9. Hàm V (t, xt ) : R+ × C([−h, 0], Rn ) → R gọi là hàm Lyapunov của hệ phương trình vi phân có trễ (1.2) nếu: V (t, xt ), V (t, 0) = 0, là hàm khả vi, liên tục theo (t, xt ) và thỏa mãn các điều kiện sau: i) V (t, xt ) là hàm xác định dương theo nghĩa: ∃a(.), b(.) ∈ K : a(kxk) ≥ V (t, xt ) ≥ b(kxt k), ∀(t, xt ) ∈ R+ × C([−h, 0], Rn ). Vt+h,xt+h −V (t,xt ) ii) Df V (t, xt ) := lim h ≤ 0. h→0 Nếu hàm Lyapunov và thoả mãn điều kiện: iii) ∃γ(.) ∈ K : Df V (t, xt ) ≤ −γ(kxt k), ∀t ∈ R+ , Với mọi nghiệm x(t) thì ta gọi là hàm Lyapunov chặt. Định lý 1.3.10. Giả sử tồn tại hàm: V (t, xt ) : R+ × C([−h, 0], Rn ) → R+ 9
sao cho: (i)λ1 kx(t)k2 ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 kxt k2 , (ii)Df V (t, xt ) ≤ 0, với mọi nghiệm của hệ là ổn định và bị chặn tức là: ∃N > 0 : kx(t, ϕ)k ≤ N kϕk , ∀t ≥ 0. Hơn nữa, nếu điều kiện (ii) được thay bởi điều kiện: iii) ∃λ3 > 0 : Df V (t, xt ) ≤ −2λ3 V (t, xt ), thì hệ (1.2) là ổn định mũ và nghiệm đó thỏa mãn đánh giá: ∃N > 0 : kx(t, ϕ)k ≤ N kϕk e−λ3 t , ∀t ≥ 0. 1.4 Hệ phương trình vi phân điều khiển Hệ phương trình điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, (1.4) trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái, u(t) ∈ Rm , n ≥ m, là véctơ điều khiển và hàm f (t, x, u) : R+ × Rn × Rm → Rn . Các đối tượng điều khiển trong các mô hình điều khiển hệ động lực được mô tả như những dữ liệu đầu vào có tác động quan trọng, ở mức độ này hoặc mức độ khác, có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệ thống. Như vậy, ta hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hình toán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự 10
liên hệ vào - ra : u(t) → x˙ = f (t, x, u) → x(t). Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điều khiển (đầu vào) sao cho hệ thống (đầu ra) có những tính chất mà ta mong muốn, như tính điều khiển được, tính ổn định hóa, tính tối ưu, vv... 1.5 Mô hình mạng nơron có trễ Xét mô hình hệ nơron điều khiển có trễ dạng: x(t) ˙ = − Ax(t) + W0 f (x(t)) + W1 g(x(t − h(t))) Zt + W2 c(x(s))ds + Bu(t) (1.5) t−k(t) x(t) =φ(t), t ∈ [−d, 0], d = max{h2 , k}, trong đó x(t) = [x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)]T ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(.) ∈ L2 ([0, t], Rn ) là véc tơ điều khiển, n là số nơron và f (x(t)) =[f1 (x1 (t)), f2 (x2 (t)), ..., fn (xn (t))]T , g(x(t)) =[g1 (x1 (t)), g2 (x2 (t)), ..., gn (xn (t))]T , c(x(t)) =[c1 (x1 (t)), c2 (x2 (t)), ..., cn (xn (t))]T , là các hàm kích hoạt; A = diag{a1 , a2 , ..., an }, ai > 0, i = 1, ..., n, là ma trận đường chéo dương và W0 , W1 , W2 , B là các ma trận hằng số cho trước có số chiều thích hợp, hàm trễ h(t), k(t) thỏa mãn điều kiện: 0 ≤ h1 ≤ h(t) ≤ h2 , 0 ≤ k(t) ≤ k, ∀t ≥ 0. (1.6) 11
Hàm ban đầu φ(t) ∈ C([−d, 0], Rn ), d = max{h2 , k}. Ta giả sử các hàm kích hoạt của hệ là f (.), g(.), c(.) thỏa mãn điều kiện: tồn tại các số dương ai , bi , ci > 0 sao cho | fi (ξ) |≤ ai | ξ |, i = 1, 2 . . . , n, ∀ξ ∈ R, | gi (ξ) |≤ bi | ξ |, i = 1, 2 . . . , n, ∀ξ ∈ R, (1.7) | ci (ξ) |≤ ci | ξ |, i = 1, 2 . . . , n, ∀ξ ∈ R. Xét hệ (1.5) với u(t) = 0 : x(t) ˙ = − Ax(t) + W0 f (x(t)) + W1 g(x(t − h(t))) Zt (1.8) + + W2 c(x(s))ds, t∈R . t−k(t) 1.6 Bài toán ổn định hóa Bài toán ổn định hóa là bài toán ổn định (ổn định Lyapunov) các hệ điều khiển. Do đó, cơ sở toán học của bài toán ổn định hóa là lý thuyết ổn định Lyapunov. Dựa trên những kết quả đã biết của tính ổn định Lyapunov người ta đã nghiên cứu, phát triển và ứng dụng vào giải bài toán ổn định hóa các hệ thống điều khiển. Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển (1.4) là tìm hàm điều khiển ngược (có thể phụ thuộc vào biến trạng thái mà người ta thường gọi là hàm điều khiển ngược): u(t) = h(x(t)) sao cho hệ đóng: x(t) ˙ = f (t, x(t), h(x(t))) = F (t, x(t)) 12
là ổn định tiệm cận (hoặc ổn định mũ). Như vậy, mục đích của vấn đề ổn định hóa hệ thống điều khiển là tìm các hàm điều khiển ngược sao cho hệ thống đã cho ứng với điều khiển đó trở thành hệ thống ổn định. Đối với hệ tuyến tính: . x (t) = Ax + Bu, t ≥ 0, (1.9) trong đó x ∈ Rn , u ∈ Rm . Bài toán ổn định hóa là tìm hàm điều khiển ngược u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng x(t) ˙ = (A + BK)x(t), t≥0 là ổn định tiệm cận. Trước tiên ta trình bày một số tiêu chuẩn cơ sở để hệ tuyến tính trên là ổn định hóa được. Ta nói ma trận A là ổn định nếu Reλ(A) < 0. Định lý 1.6.1. Hệ (1.9) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận K ∈ Rm×n sao cho ma trận A + BK là ma trận ổn định. Thí dụ 1.1: Xét hệ (1.9) trong đó     1 2  1 A= , B =  . 0 −1 2 Ta chọn K = (0, −3). Khi đó ta có   −2 −1 A + BK =   0 −1 13