Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân phối giá trị cho các siêu mặt trong Pn(Cp)

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

59
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân phối giá trị cho các siêu mặt trong Pn(Cp) sau đây tập trung tìm hiểu về công thức Poisson-Jensen của hàm nhiều biến trong trường p-adic; phân phối giá trị trên các siêu mặt p-adic và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân phối giá trị cho các siêu mặt trong Pn(Cp)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Vũ Đức Phú PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CHO CÁC SIÊU MẶT TRONG  n ( p ) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Vũ Đức Phú PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ CHO CÁC SIÊU MẶT TRONG  n ( p ) Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN TRỌNG HÒA Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi trên cơ sở các công trình của Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chính xác. Thành phố Hồ Chí Minh tháng 9 năm 2012. Vũ Đức Phú
ii LỜI CẢM ƠN Tôi vô cùng biết ơn Tiến sĩ NGUYỄN TRỌNG HÒA đã định hướng tôi nghiên cứu phân phối giá trị của các siêu mặt trong  n ( p ) , một vấn đề đang được quan tâm do những ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực của Toán học; thầy là người trực tiếp hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này. Tôi xin gửi lời tri ân đến các thầy cô giáo trong khoa Toán-Tin đã hướng dẫn tôi nghiên cứu Toán học trong những năm học tại trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh; Tôi xin gửi lời tri ân đến gia đình và bạn bè đã hiểu, chia sẻ và động viên tôi trong quá trình tôi thực hiện đề tài. Vũ Đức Phú
iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................................i LỜI CẢM ƠN .......................................................................................................ii MỞ ĐẦU............................................................................................................... 1 Những ký hiệu dùng trong luận văn ..................................................................... 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị .............................................................................. 8 1.1. Trường các số phức p-adic......................................................................... 8 1.1.1 Trường định chuẩn không Acsimet ..................................................... 8 1.1.2 Trường số phức p-adic ......................................................................... 9 1.2. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p-adic. ....... 14 1.2.1 Hàm phân hình và Hàm chỉnh hình ................................................... 14 1.2.2 Các hàm đặc trưng Nevanlinna của hàm chỉnh hình ......................... 20 1.2.3 Các hàm đặc trưng Nevanlinna của hàm phân hình .......................... 22 1.2.4 Hai định lý cơ bản Nevanlinna trong trường p-adic .......................... 25 1.3. Độ cao của hàm chỉnh hình trên  n ( p ) ................................................ 28 1.3.1 Độ cao của hàm chỉnh hình một biến trên  p .................................. 28 1.3.2 Độ cao của hàm chỉnh hình nhiều biến trên  mp ................................ 29 1.3.3 Độ cao của ánh xạ chỉnh hình nhiều biến trên  n ( p ) ..................... 32 1.3.4 Đường cong chỉnh hình...................................................................... 34 1.4. Các siêu mặt p-adic .................................................................................. 34 Kết luận chương 1 ........................................................................................... 36 Chương 2. Phân phối giá trị trên các siêu mặt trong  n ( p ) ............................ 37
iv 2.1. Công thức Poisson-Jensen của hàm nhiều biến trong trường p-adic....... 37 Định nghĩa 2.1.1 .......................................................................................... 37 Bổ đề 2.1.2 .................................................................................................. 38 Bổ đề 2.1.3 .................................................................................................. 40 Hệ quả 2.1.4 ................................................................................................ 41 Ký hiệu 2.1.5 ............................................................................................... 42 Định lý 2.1.6................................................................................................ 44 Định nghĩa 2.1.7 .......................................................................................... 46 Định lý 2.1.8 (Công thức Poisson-Jensen p-adic theo nhiều biến)............. 47 2.2. Phân phối giá trị trên các siêu mặt p-adic ................................................ 55 Ký hiệu 2.2.1 ............................................................................................... 55 Định lý 2.2.2 (định lý cơ bản thứ nhất)....................................................... 56 Định lý 2.2.3 (định lý cơ bản thứ hai)......................................................... 57 Định nghĩa 2.2.4 .......................................................................................... 59 Định lý 2.2.5 (mối quan hệ số khuyết) ....................................................... 60 Định lý 2.2.6................................................................................................ 61 Ví dụ 2.2.7 ................................................................................................... 61 Kết luận chương 2 ........................................................................................... 62 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 65
MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. Lý thuyết phân bố giá trị do Nevanlinna xây dựng là thành tựu toán học đẹp đẽ nhất của thế kỷ XX mà ngày nay được gọi là Lý thuyết phân bố giá trị trên mặt phẳng phức hay là Lý thuyết Nevanlinna. Nội dung chính của Lý thuyết phân bố giá trị là hai định lý cơ bản. Định lý cơ bản thứ nhất là mở rộng của Định lý cơ bản của đại số, mô tả sự phân bố đều giá trị của hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức. Định lý cơ bản thứ hai là mở rộng của Định lý Picard, mô tả ảnh hưởng của đạo hàm đến sự phân bố giá trị của hàm phân hình. Lý thuyết Nevanlinna p-adic một chiều được xây dựng bởi Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang và được phát triển bởi W. Cherry, A. Boutabaa, P. Hu, C.C. Yang,… Nhu cầu xây dựng lý thuyết Nevanlinna nhiều chiều xuất phát từ sự xem xét các định lý Nevanlinna trong trường hợp nhiều biến. Năm 1991, Hà Huy Khoái đã xây dựng các khái niệm độ cao và điểm tới hạn của hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến trên cơ sở liên hệ lý thuyết hàm không Acsimet với hình học tổ hợp, bằng các ý tưởng hình học nhưng chưa được chứng minh chi tiết. Ý tưởng chính là dùng khái niệm điểm tới hạn để nghiên cứu không điểm của hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến và nhát cắt được xác định bởi họ các siêu phẳng để chuyển việc nghiên cứu hàm chỉnh hình p-adic nhiểu biến về nghiên cứu họ các hàm chỉnh hình p-adic một biến tương ứng cảm sinh từ hàm đã cho. Trong [8], Hà Huy Khoái đưa ra một phiên bản p- adic của công thức Poisson-Jensen cho các hàm nhiều biến. Trong [2] Cherry và Ye xét một hàm phân hình nhiều biến và hạn chế trên một đường thẳng chung qua gốc tọa độ, và chứng minh rằng hàm đếm cho hàm một biến này không phụ thuộc vào việc chọn đường thẳng qua gốc tọa độ. Đây là chìa khóa để Cherry-Ye xây dựng Định lý cơ bản và Quan hệ số khuyết của ánh xạ
2 chỉnh hình p-adic đối với họ các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh  n ( p ) . Họ dùng nhận xét này để định nghĩa các hàm đếm như trong định lý đối với hàm một biến, và rồi dẫn đến một công thức Poisson- Jensen cho các hàm nhiều biến. Công thức của họ đưa ra mối quan hệ giữa modun của một hàm trên biên của một hình cầu và không tập trong hình cầu, trong khi công thức [7] liên quan đến không tập trên biên của một hình hộp. Đó là các kết quả quan trọng trong lý thuyết phân phối giá trị p-adic nhiều biến. Tiếp tục hướng nghiên cứu của Hà Huy Khoái và Cherry, bằng cách sử dụng ý tưởng trong [7] và một số lập luận trong [2], [8], [10], Vũ Hoài An đưa ra một phiên bản p-adic của công thức Poisson-Jensen cho các hàm nhiều biến. Công thức của Vũ Hoài An cho phép tính toán modun của một hàm trên biên của một hình hộp bằng cách sử dụng thông tin về các không tập. Công thức này cho phép chúng ta đưa ra một số kết quả về phân phối giá trị cho trường hợp các siêu mặt. Chú ý rằng, trong một bài báo mới đây ([10]) Min Ru cũng thu được các kết quả tương tự, nhưng trong trường hợp các đường cong chỉnh hình. Việc nghiên cứu phân phối giá trị cho các siêu mặt p-adic là vấn đề đang được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Vì vậy, chúng tôi chọn việc nghiên cứu Phân phối giá trị cho các siêu mặt trong  n ( p ) làm đề tài của mình trên cơ sở các kết quả của Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An ([9]). 2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI. Nghiên cứu Phân phối giá trị cho các siêu mặt p-adic. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
3 - Công thức Poisson-Jensen của các hàm nhiều biến trong trường p- adic. - Định lý phân phối giá trị trên các siêu mặt p-adic. - Cụ thể hóa các kết quả trong một số trường hợp đặc biệt. 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. Tổng hợp và hoàn thiện những kết quả đã có từ những bài báo, tài liệu khoa học có liên quan đế vấn đề cần nghiên cứu. Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả đã trình bày. Sử dụng phương pháp Nevanlinna p-adic. 5. CẤU TRÚC LUẬN VĂN. Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. 1. Trường các số phức p-adic. 2. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p- adic. 3. Độ cao của hàm chỉnh hình trên  n ( p ) . 4. Các siêu mặt p-adic. Chương 2: PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ TRÊN CÁC SIÊU MẶT TRONG  n ( p ). 1. Công thức Poisson-Jensen của hàm nhiều biến trong trường p- adic. 2. Phân phối giá trị trên các siêu mặt p-adic.
4 Những ký hiệu dùng trong luận văn  ∞  • r ( K ) =  f ( z) = ∑ an z n an ∈ K ,lim an r n = 0  : vành các hàm chỉnh  n =0  hình trên K [0; r ] ,  ∞  • ( r ( K ) =  f ( z ) ∑ = an z n an ∈ K , baùn kính hoäi tuï ρ ≥ r  : vành các  n =0  hàm chỉnh hình trên K (0; r ) , •  ( K ) = ( ∞ ( K ) : vành các hàm nguyên trên K , •  p : trường các số phức p-adic, •  mp : không gian vectơ phức p-adic m-chiều, • D(r1 ,...,= rm ) K (0; r1 ) ×  × K (0; rm ) , • D r1 ,...,= rm K 0; r1 ×  × K 0; rm , = • D m K (0;1) ×  × K (0;1) : đa đĩa đơn vị trong  mp , m ( r , f 1−a ) N ( r , f 1−a ) • δ f (a ) = liminf = 1 − limsup : số khuyết của f tại a , r →∞ T (r , f ) r →∞ T (r , f )  N ( X , t ,..., tm )  δ f ( X ) lim inf 1 − f + 1 •=  : số khuyết của f đối với siêu T →−∞  dH (t f 1 ,..., t m )  mặt X , • f = max aγ r γ : Chuẩn của hàm chỉnh hình f ( z1 ,..., zm ) , ( r1 ,...,rm ) 0≤ γ ≤∞ ∞ a  • fˆ : xác định bởi fˆ ( z ) = ∑ γ z γ , γ =0 a y ∞ • zi ) : xác định bởi f ( z1 ,..., zm ) = ∑ fi ,k ( fi ,k ( zi )zik , k =0 ∞ • fi ,u ( z )= ∑f i ,k ( ui )zik , z= zi ∈ D(0; ri ) , k =0 • H ( D) : tập các hàm giải tích toàn cục trên D, • Hol ( D ) : tập các hàm giải tích địa phương trên D ,
5 • ( D) : tập các hàm giải tích (tại mọi điểm) trên D , • H f (t ) min {v(an ) + nt} : độ cao của hàm chỉnh hình f ( z ) , = 0≤ n
6 •= ( m f ( X , t1 ,..., tm ) max H +f d (t1 ,..., tm ) − H Q+ f (t1 ,..., tm ) , 1≤i < n +1 i )  1  • n  r,  : hàm đếm của f tại a , đếm số không điểm kể cả bội của  f − a  f − a mà giá trị tuyệt đối không vượt quá r ,  1  • n  r,  : hàm đếm số các không điểm phân biệt của f tại a trong  f − a  K [0; r ] ,  1 • n(r , f ) = n  r ,  : hàm đếm số các cực điểm kể cả bội của hàm phân  f0  hình f = 1 trên K [ 0; r ] , f f0  1 • n (r , f ) = n  r ,  : hàm đếm số các cực điểm phân biệt của hàm phân  f0  hình f = 1 trên K [ 0; r ] , f f0 { min γ i : ∃(γ 1 ,..., γ i ,..., γ m ) ∈ I f (t1 ,..., tm ) , • ni+, f (t1 ,..., tm ) = } • ni−, f (t1 ,..., tm max {γ )= i : ∃(γ 1 ,..., γ i ,..., γ m ) ∈ I f (t1 ,..., tm )} , • ni , f (0,0) min k : fi ,k ( = { zi ) ≡/ 0 , } • ni , f (0, r1 ,..., rm ) : số các không điểm với giá trị tuyệt đối không vượt quá ri của hàm một biến fi ,u ( z ) , • ni , f (a, r1 ,..., rm ) = ni , f −a (0, r1 ,..., rm ) , • ni , f (a,0) = ni , f −a (0,0) ,  1  • N  r, −  : hàm giá trị của f tại a ,  f a   1  • N  r,  : hàm giá trị (phân biệt) của f tại a ,  f −a  1 f • N (r , f ) = N  r ,  với f = 1 ,  f0  f0
7  1 f • N (r , f ) = N  r ,  với f = 1 ,  f0  f0  1   1  r n  t, − n  0,  f − a   f − a    1  • N ( r,=f a= ): ∫ dt + n  0,  log r , ρ0 t  f − a  1 m rk nk , f (a, Ak ( x)) • N f (a, t1 ,..., tm ) = ∑ ln p k =1 ∫ρk x dx : hàm giá trị của f tại a, • N f (t1 ,..., tm ) := N f (0, t1 ,..., tm ) , • N f ( X , t1 ,..., tm ) = N Q f (t1 ,..., tm ) , •  n ( p ) : không gian xạ ảnh phức p-adic n-chiều, •  p : đầy đủ hóa của trường các số hữu tỷ  được trang bị chuẩn p- adic, •  p : trường đóng đại số của  p , • R ( D) : tập các hàm hữu tỷ h không có cực điểm trong D, (r , f ) m(r , f ) + N (r , f ) : hàm đặc trưng của hàm f trên K [ 0; r ] , • T= • T= f ( X , t1 ,..., tm ) N f ( X , t1 ,..., tm ) + m f ( X , t1 ,..., tm ) , • υ (r , f ) max = = {n | an r n µ (r , f )} : chỉ số tâm ứng với số hạng lớn nhất µ (r , f ) , ∑(n (t1 ,..., tm ) − ni+, f (t1 ,..., tm ) ) , m − • v f (t1 ,..., tm ) = i, f i =1
8 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày những khái niệm và tính chất cơ bản, cần thiết cho việc nghiên cứu phân phối giá trị cho các siêu mặt trong  n ( p ) ở chương 2, cụ thể là trường các số phức p-adic; hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p-adic; độ cao của hàm chỉnh hình trên  n ( p ) và các siêu mặt p-adic. 1.1. Trường các số phức p-adic. Chi tiết về trường các số phức p-adic có thể xem trong [5]. Cho η là một tập con của  , trong tiểu luận này ta ký hiệu η+ ={x ∈η | x ≥ 0} , η + ={x ∈η | x > 0} , η* ={x ∈η | x ≠ 0} . Trước hết, ta sẽ nhắc lại một số khái niệm về trường định chuẩn không Acsimet và cách xây dựng trường số phức p-adic. 1.1.1. Trường định chuẩn không Acsimet. Giả sử K là trường, chuẩn (giá trị tuyệt đối) trên K là hàm | .|: K →  + thỏa mãn: i) x = 0 ⇔ x = 0, = x . y , ∀x, y ∈ K , ii) xy iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ K . Nếu thay (iii) bởi điều kiện mạnh hơn iv) x + y ≤ max { x , y } , ∀x, y ∈ K
9 thì ta được chuẩn không Acsimet trên K . Chuẩn thỏa mãn các điều kiện (i), (ii), (iii) gọi là chuẩn Acsimet. Ví dụ. Chuẩn tầm thường trên K xác định bởi 1 x≠0 x = 0 x = 0. Chuẩn | .| được gọi là trù mật nếu tồn tại= K { x | x ∈ K } là tập trù mật trong + . Một chuẩn | .| trên K cảm sinh một hàm khoảng cách (metric) d định nghĩa bởi d ( x, y ) =| x − y |, ∀x, y ∈ K . Metric ứng với chuẩn không Acsimet được gọi là siêu metric. Giả sử K là trường, trên đó xác định một metric d cảm sinh bởi chuẩn không Acsimet. Ta định nghĩa đĩa mở, đĩa đóng và đường tròn trên K lần lượt bởi K ( x; r ) = { y ∈ K | d ( x, y ) < r}, K [ x; r ] = { y ∈ K | d ( x, y ) ≤ r}, K x; r = { y ∈ K | d ( x, y ) = r}. Tôpô sinh bởi họ các đĩa mở K ( x; r ) được gọi là tôpô không Acsimet trên K . 1.1.2. Trường số phức p-adic. Một ví dụ cho trường không Acsimet là trường các số phức p-adic. Trong phần này chúng tôi sẽ nhắc lại cách xây dựng trường số phức p-adic  p với p là số nguyên tố.
10 Cho p là số nguyên tố, khi đó, mọi số nguyên a ≠ 0 có thể biểu diễn dạng: a = p v a′ , với p không chia hết a′ ∈  \ {0} . trong đó, v ∈  là duy nhất cho mỗi a và p . Đặt v = v p (a ) . Khi đó, ta có hàm: v p :  \ {0} →  a  v p (a ). a Mở rộng hàm v với x= ∈  như sau. Đặt b v (a) − v p (b), neáu x ≠ 0 vp ( x) =  p +∞, neáu x = 0 Khi đó, v p ( x ) là một hàm trên  . Do vậy, chúng ta có thể định nghĩa chuẩn p-adic, ký hiệu là | .| p , trên  như sau:  p − vp ( x ) , neáu x ≠ 0 xp = 0, neáu x = 0 Hai chuẩn trên K được gọi là tương đương nếu chúng cảm sinh cùng một tôpô trên K . Mệnh đề 1.1.2.1. (Ostrowski). Mọi chuẩn không tầm thường trên  đều tương đương với một chuẩn | . | p với p là số nguyên tố hay p = ∞ (Ở đây chuẩn | .|∞ là giá trị tuyệt đối thông thường).
11 Từ định lý này, các chuẩn Acsimet hoặc không Acsimet trên các trường số còn được gọi là nguyên tố (hữu hạn hoặc vô hạn). Từ đó với mỗi x ∈ * , ta có công thức: ∏x p ≤∞ p =1 được thỏa mãn, trong đó p ≤ ∞ nghĩa là ta lấy tích này trên tất cả các số nguyên tố trong  , bao gồm cả “số nguyên tố ở vô cực”. Đầy đủ hóa của  được tạo bởi tôpô cảm sinh từ | . | p là một trường, được ký hiệu là  p , và chuẩn | . | p trên  được mở rộng thành một chuẩn không Acsimet trên  p , vẫn ký hiệu là | .| p và thỏa: i) Tồn tại phép nhúng  ⊂→  p và chuẩn cảm sinh bởi | . | p trên  qua phép nhúng là p-adic. Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất  với ảnh của nó qua phép nhúng trong  p . ii)  trù mật trong  p . iii)  p đầy đủ. Trường  p thỏa (i), (ii), (iii) là duy nhất sai khác một đẳng cấu bảo toàn chuẩn và được gọi là trường các số p-adic.  p còn có tính chất sau: −vp ( x) iv) Với mỗi x ∈ p* , tồn tại một số nguyên v p ( x) sao cho x p = p , tức là giá trị p-adic v p trong  được mở rộng lên  p . Nói cách khác, tập tất cả các giá trị của  và  p qua | . | p là trùng nhau và đó là tập { p n | n ∈ } ∪ {0} .
12 Từ (iv) dễ thấy  r ( x; r )  p  x;  , x ∈  p , r ∈  +  p=  p Như thế vành =  p = p [0;1]  p (0; p ) vừa mở vừa đóng và được gọi là vành các số nguyên p-adic, ký hiệu là  p . Ta chứng minh được không gian  p là hoàn toàn không liên thông (tức là thành phần liên thông của mỗi điểm là tập chứa 1 điểm duy nhất là chính nó), và là không gian tôpô Hausdorff. Bây giờ xét mở rộng chuẩn tắc  p ⊂ K và nhóm Galois G ( K  p ) . Đặt: NK p : K →  p α  N K  (α ) = p ∏ σ ∈G ( K  p ) σ (α ), với σ là tự đẳng cấu trên K giữ nguyên các phần tử của  p . Chú ý rằng nếu bậc của mở rộng trường [ K :  p ] = n thì N K  p (α )= α n , ∀α ∈  p . Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.2.2. Giả sử K  p là mở rộng chuẩn tắc bậc n. Khi đó tồn tại duy nhất một chuẩn không Acsimet | .|K trên K mở rộng chuẩn p-adic trên và được xác định như sau: xK = n N K  p ( x) , p
13 và trường K đầy đủ với chuẩn | .|K . Chuẩn không Acsimet duy nhất trên K trong mệnh đề trên được gọi là chuẩn (giá trị tuyệt đối) p-adic trên K và ta cũng sẽ ký hiệu nó bằng | . | p . Đặt  p là trường đóng đại số của  p . Trên  p ta trang bị một chuẩn không Acsimet như sau: Với mọi x ∈  p , tồn tại một mở rộng chuẩn tắc bậc n sao cho x ∈ K , khi đó đặt x= n N K  p ( x) . p Ta có chuẩn x không phụ thuộc vào sự tồn tại của K và nó là chuẩn không Acsimet trên  p . Ta cũng sẽ gọi chuẩn này là chuẩn p-adic và cũng ký hiệu là | . | p . Tuy nhiên,  p không đầy đủ theo chuẩn | . | p . Đầy đủ hóa của  p ứng với tôpô sinh bởi | . | p là một trường được ký hiệu là  p , và được gọi là trường các số phức p-adic. Chuẩn | . | p trên  p được mở rộng thành một chuẩn không Acsimet trên  p mà ta vẫn ký hiệu chuẩn này là | . | p . Chuẩn | . | p trên  p thỏa: i) Tồn tại phép nhúng  p ⊂→  p và chuẩn sinh bởi | . | p trên  p qua phép nhúng là p-adic. Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất  p với ảnh của nó qua phép nhúng trong  p . ii)  p trù mật trong  p .
14 iii)  p đầy đủ. Trường  p thỏa (i), (ii) và (iii) là duy nhất sai khác một đẳng cấu bảo toàn chuẩn và có tính chất sau: −vp ( x) iv) Với mỗi x ∈  p* , tồn tại một số hữu tỉ v p ( x) sao cho x p = p , tức là giá trị p-adic v p trong  p được mở rộng lên  p . Và ảnh của  p* qua v p là  . v)  p đóng đại số nhưng không compắc địa phương. 1.2. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p-adic. Chi tiết về hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p-adic có thể tham khảo trong [5]. Ta sẽ xây dựng khái niệm hàm phân hình và hàm chỉnh hình trên một trường tổng quát K có đặc số khác 0, đóng đại số, đầy đủ với chuẩn không Acsimet | .| không tầm thường. 1.2.1. Hàm phân hình và Hàm chỉnh hình. Các khái niệm về dãy, về chuỗi và sự hội tụ của dãy, của chuỗi giống như trong trường định chuẩn Acsimet. Tuy nhiên với chuẩn không Acsimet ta có một số tính chất đặc biệt. Mệnh đề 1.2.1.1. ∞ Chuỗi ∑a n =0 n , an ∈ K hội tụ khi và chỉ khi lim an = 0 . n→∞ Khi đó ta có: