Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc k

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc k tập trung tìm hiểu về chuẩn của ideal nguyên tố, phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc k, phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc 3, phân tích thành nhân tử trên trường vòng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc k

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ------------------------- NHAN QUỐC MINH PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2011
2 LỜI CẢM ƠN B 0 Tôi xin chân thành tỏ lòng biết ơn đối với quý Thầy Cô trong khoa Toán - tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và Thầy Cô tổ đại số trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh đã trực tiếp giảng dạy và trang bị cho tôi đầy đủ kiến thức làm nền tản cho quá trình viết luận văn này. Đặc biệt tôi xin chân thành tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS Mỵ Vinh Quang người đã trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô trong phòng Khoa học Công nghệ và Sau Đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, trường Trung học phổ thông Trung An, huyện Cờ Đỏ, Thành phố Cần Thơ đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập. Tôi tỏ lòng biết ơn đến gia đình, anh em và bạn bè đã hỗ trợ và giúp đỡ tôi về tinh thân cũng như vật chất để tôi hoàn thành luận văn này.
3 MỤC LỤC B 1 LỜI CẢM ƠN ............................................................................................... 2 T 0 T 0 MỤC LỤC .................................................................................................... 3 T 0 T 0 BẢNG KÍ HIỆU ........................................................................................... 5 T 0 T 0 LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................... 6 T 0 T 0 Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN .................................................... 7 T 0 T 0 1.1.Các khái niệm cơ bản về mở rộng trường ................................................................ 7 T 0 T 0 1.1.1.Định nghĩa: ...................................................................................................... 7 T 0 T 0 1.1.2 Khái niệm mở rộng bởi 1 tập, mở rộng đơn và mở rộng lặp ............................. 7 T 0 T 0 1.1.3 Phần tử đại số .................................................................................................. 8 T 0 T 0 1.1.4 Mở rộng đại số ................................................................................................ 8 T 0 T 0 1.2.Phần tử nguyên ....................................................................................................... 9 T 0 T 0 1.2.1.Định nghĩa ....................................................................................................... 9 T 0 T 0 1.2.2 Định lý: ........................................................................................................... 9 T 0 T 0 1.3.Bao đóng nguyên của một vành............................................................................. 10 T 0 T 0 1.3.1 Các khái niệm cơ bản..................................................................................... 10 T 0 T 0 1.3.2 Các tính chất .................................................................................................. 10 T 0 T 0 1.4.Các phần tử liên hợp đầy đủ .................................................................................. 12 T 0 T 0 1.5.Các ideal trong O K ................................................................................................ 13 T 0 R R0 T 1.5.1 Định thức của một hệ phần tử ........................................................................ 13 T 0 T 0 1.5.2 Định thức của một phần tử ............................................................................. 13 T 0 T 0 1.5.3 Tính chất ....................................................................................................... 14 T 0 T 0 1.6.Miền Dedekind ..................................................................................................... 17 T 0 T 0 1.7.Hàm chuẩn và hàm Euler ...................................................................................... 22 T 0 T 0
4 Chương 2: PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRÊN VÀNH CÁC SỐ T 0 NGUYÊN ĐẠI SỐ BẬC K ......................................................................... 27 T 0 2.1 Chuẩn của ideal nguyên tố .................................................................................... 27 T 0 T 0 2.2 Phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc k ................................ 30 T 0 T 0 2.3 Phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc 3................................ 36 T 0 T 0 2.4 Phân tích thành nhân tử trên trường vòng .............................................................. 41 T 0 T 0 KẾT LUẬN ................................................................................................. 50 T 0 T 0 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 52 T 0 T 0
5 BẢNG KÍ HIỆU B 2 £ - tập số phức ¤ - tập số hữu tỉ ¢ - tập số nguyên [ E : F ] - bậc của mở rộng AB - bao đóng nguyên của A trong B P P Ω - vành đóng nguyên của ¢ trong £ OK - vành các số nguyên đại số của trường K irr (α , F ) - đa thức tối tiểu của α trên F Fl (α , ¤ ) - đa thức trường của α trên ¤ D (α ) - định thức của phần tử α D ( I ) - định thức của ideal I N ( I ) - chuẩn của ideal I ∅ - tập rỗng ord P ( A ) - số mũ của P trong sự phân tích của A N (α ) - chuẩn của phần tử α Tr (α ) - vết của phần tử α I - số phần tử của tập I indθ - chỉ số của θ p a - p | a, p 2 /| a ζ m - căn nguyên thuỷ bậc m của 1 M n ( ¢ ) - vành các ma trận vuông cấp n trên ¢ ■ - kết thúc phép chứng minh
6 LỜI MỞ ĐẦU B 3 Cho K là một trường mở rộng hữu hạn ¤ và O K là vành các số nguyên đại R R số trong K. Ta biết rằng O K nói chung không phải là miền nhân tử hoá. Cụ thể trong R R O K định lý cơ bản của số học có thể sẽ không còn đúng nữa, một số có thể phân tích R R thành tích các số nguyên tố theo nhiều cách khác nhau. Bởi vậy số học trong O K là R R khó nghiên cứu. Tuy nhiên, dựa theo ý tưởng của Dedekind “mỗi iđean của O K đều R R phân tích được thành tích duy nhất của các iđean nguyên tố”, chúng ta vẫn có thể xây dựng được số học trên vành các số nguyên đại số. Bởi vậy chúng tôi quyết định chọn đề tài “Phân tích thành nhân tử trên vành số nguyên đại số bậc k” và áp dụng của nó trên một số trường mở rộng bậc cao và số học trên các vành này. Bố cục của luận văn được chia thành 2 chường : • Chương 1: Các kiến thức cơ bản Trong chương này chúng tôi tình bài các kiến thức cơ bản liên quan đến đề tài: Các khái niệm cơ bản về mở rộng trường, phần tử nguyên, bao đóng nguyên của một vành, các phần tử liên hợp đầy đủ, các ideal trong O K , miền Dedekind, hàm R R chuẩn và hàm Euler. • Chương 2 : phân tích thành nhân tử trên vành các số nguyên đại số bậc k Trong chương này chúng tôi phân tích ideal thành tích nhân tử nguyên tố trên vành các số nguyên đại số bậc k và áp dụng sự phân tích dó trên vành các số nguyên đại số bậc 3 và trên trường vòng. Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong qúy Thầy Cô và các bạn đóng góp ý kiến bổ sung để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
7 Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN B 4 Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về mở rộng trường, vành số nguyên đại số, miền Dedekind, và các tính chất của chúng. Chúng ta đi chứng minh mỗi ideal trong vành các số nguyên đại số đều được phân tích thành tích các ideal nguyên tố từ đó xây dựng số học trên vành các số nguyên đại số. 1.1.Các khái niệm cơ bản về mở rộng trường B 8 1.1.1.Định nghĩa: B 9 1 Cho F, E là các trường, nếu F là trường con của E thì E được gọi là mở rộng của F. Khi đó E là không gian vectơ trên F, dim F E = [ E : F ] bậc của mở rộng E trên F. • Nếu [ E : F ] = ∞ thì E là mở rộng vô hạn của F. • Nếu [ E : F ] = n thì E là mở rộng hữu hạn (bậc n) của F. Cho tháp mở rộng trường F ⊂ E ⊂ G . Ta có [ G : F ] = [ G : E ] .[ E : F ] Hơn nữa nếu { xi }i =1,n là cơ sở của E trên F và {y }j j =1, n là cơ sở của G trên E thì {x y } i j i =1, n là cơ sở của G trên F. j =1, m 1.1.2 Khái niệm mở rộng bởi 1 tập, mở rộng đơn và mở rộng lặp B 0 2 Cho E là mở rộng của F, X là tập con của E. F ( X ) là giao tất cả trường con của E vừa chứa F và X, F ( X ) được gọi là mở rộng của F bởi X. F ( X ) là trường con nhỏ nhất trong các trường con của E chứa F và X. Đặc biệt
8  f (a)  • X = {a} khi đó F ( X ) =F (a) = f , g ∈ F [ x ] , g ≠ 0  và được gọi  g (a)  là mở rộng đơn. =• X {a1 , a2 ,..., an } , n ≥ 2 khi đó  f (a1 , a2 ,..., an )  • F(X ) =F (a1 , a2 ,..., an ) =  f , g ∈ F [ x1 , x2 ,..., xn ] , g ≠ 0   g (a1 , a2 ,..., an )  và được gọi là mở rộng lặp. 1.1.3 Phần tử đại số B 1 2 Định nghĩa Cho E là mở rộng của trường F. Lấy α ∈ E , α được gọi là đại số trên F nếu tồn tại f ( x) ∈ F [ x ] , deg f ≥ 1 sao cho f (α ) = 0 . • Số phức đại số trên ¤ được gọi là số đại số. • Cho α là phần tử đại số trên F, khi đó tồn tại duy nhất f ( x) ∈ F [ x ] , f ( x) đơn khởi, bất khả quy trong F [ x ] và nhận α làm nghiệm. Đa thức f ( x) được gọi là đa thức tối tiểu của α trên F và được kí hiệu là irr (α , F ) . • Nếu α đại số bậc n trên F thì  F (α ) : F  =n và 1, α , α 2 ,..., α n −1 là cơ sở của F (α ) trên F và F (α ) = {a 0 + a1α + ... + an−1α n−1 ai ∈ F } 1.1.4 Mở rộng đại số B 2 a Các định nghĩa • Cho E là mở rộng của F, E là mở rộng đại số của F nếu mọi phần tử α ∈ E đều đại số trên F. Mở rộng không đại số gọi là mở rộng siêu việt. • Mở rộng chuẩn tắc Cho E là mở rộng của F, E là mở rộng chuẩn tắc của F nếu đa thức p ( x) ∈ F [ x ] bất khả quy trong F [ x ] , có nghiệm α ∈ E thì p ( x) được phân tích thành tích các đa thức bậc nhất trong E [ x ] (E chứa tất cả các nghiệm của p ( x) ). Từ khái niệm trên ta được kết quả sau ∀α ∈ E , irr (α , F ) phân rã được trên E.
9 • Mở rộng tách được.  p ( x) ∈ F [ x ] tách được trên F nếu nó không có nghiệm bội trên F.  F ⊂ E , α ∈ E gọi là tách được trên F nếu irr (α , F ) tách được.  F ⊂ E , E là mở rộng tách được nếu ∀α ∈ E , α đều tách được trên F.  Nếu charF = 0 thì mọi đa thức bất khả quy trong F [ x ] đều tách được. Suy ra mọi mở rộng E của F đều tách được. b Định lý về phần tử nguyên thuỷ Định lý F ⊂ E , E là mở rộng hữu hạn và tách được của F thì E là mở rộng đơn. Nghĩa là tồn tại α ∈ E sao cho F (α ) = E . Phần chứng minh của định lý trên độc giả sẻ tìm thấy ở Saban Alaca and Kenneth S. Williams [2, định lý 5.6.1, định lý 5.6.2, pp. 102 – 104]. 1.2.Phần tử nguyên B 9 1.2.1.Định nghĩa B 3 2  Cho A và B là các miền nguyên và A ⊂ B . Phần tử b ∈ B gọi là nguyên trên A nếu b là nghiệm của đa thức đơn khởi, hệ số thuộc A.  Một số phức nguyên trên ¢ được gọi là nguyên đại số.  ∀b ∈ B, b nguyên trên A thì B được gọi là nguyên trên A . 1.2.2 Định lý: B 4 2 Cho A, B là các miền nguyên, A ⊂ B . Nếu B là A_môđun hữu hạn sinh thì B nguyên trên A. 1.2.3 Định lý Cho A, B là các miền nguyên, A ⊂ B, b ∈ B , b nguyên trên A khi và chỉ khi A [b ] là A_môđun hữu hạn sinh. 1.2.4 Định lý Cho A, B là các miền nguyên, A ⊂ B, b1 , ..., bn ∈ B . b1 , ..., bn nguyên trên A khi và chỉ khi A [b1 , ..., bn ] là A_môđun hữu hạn sinh. Chứng minh của các định lý 1.2.4, 1.2.5, 1.2.6 độc giả tìm thấy ở Saban Alaca and Kenneth S. Williams [3, định lý 4.1.3, định lý 4.1.9, pp. 77 – 80].
10 1.2.5 Định lý Cho A, B, C là các miền nguyên và A ⊂ B ⊂ C . Nếu B nguyên trên A và C nguyên trên B thì C nguyên trên A. Chứng minh Lấy c ∈ C suy ra c nguyên trên B, do đó tồn tại b0 ,..., bn −1 ∈ B sao cho 0 . Suy ra c nguyên trên A [b0 ,..., bn−1 ] , do đó A [b0 ,..., bn−1 , c ] c n + bn−1c n−1 + ... + b0 = là A [b0 ,..., bn −1 ] _môđun hữu hạn sinh. Mặt khác b0 ,..., bn −1 ∈ B nên A [b0 ,..., bn −1 ] là A_môđun hữu hạn sinh. Suy ra A [b0 ,..., bn−1 , c ] là A_môđun hữu hạn sinh. Vậy C nguyên trên A. ■ 1.3.Bao đóng nguyên của một vành B 0 1 1.3.1 Các khái niệm cơ bản B 5 2 • Cho A, B là các miền nguyên, A ⊂ B . AB = {b ∈B| b nguyên trên A} P PR R là vành con của B chứa A và được gọi là bao đóng nguyên của A trong B. • Cho A là miền nguyên, K là trường các thương của A. Bao đóng nguyên của A trong K gọi là bao đóng nguyên của A. Kí hiệu là AK. P P • Miền nguyên A được gọi là vành đóng nguyên nếu AK = A. P P Cho tháp mở rộng trường ¤ ⊂ K ⊂ £ , [ K : ¤ ] = n • Ω = ¢= £ { α ∈ £ α nguyên trên ¢ } được gọi là bao đóng nguyên của ¢ trong £ . • α ∈ Ω gọi là số nguyên đại số. • a ∈ ¢ gọi là số nguyên hữu tỉ. • O= K ¢= K { α ∈ K | α nguyên trên ¢ } gọi là vành các số nguyên đại số của trường K. Chú ý: ¢ = Ω ∩ ¤ và OK = Ω ∩ K 1.3.2 Các tính chất B 6 2 u i) Mỗi số đại số đều được viếc dưới dạng α = trong đó u là số nguyên đại a số và a là số nguyên hữu tỉ.
11 Chứng minh Giả sử α n + an−1α n−1 + ... + a1α + a0 a= n 0, ai ∈ ¤ . Gọi a là mẫu số chung của ( aα ) + an−1a ( aα ) + ... + a1a n−1 ( aα ) + a0 a n = n −1 0 suy ra aα nguyên n các ai ta có aα u α trên ¢ và do đó = = , u ∈ Ω, a ∈ ¢ . ■ a a ii) K là trường các thương của O K. R R Giả sử K’ là trường các thương của O K. ta chứng minh K = K’. R R u thì α Thật vậy với mọi α ∈ K ' = (u , v ∈ OK ) suy ra α ∈ K . Ngược lại với α ∈ K v aα thì α đại số trên ¤ theo tính chất (i) tồn tại a ∈ ¢ sao cho α = trong đó a aα aα ∈ Ω mà aα ∈ K suy ra aα ∈ Ω ∩ K = OK . Do đó = α ∈ K '. ■ a iii) OK là vành đóng nguyên ( OKK = OK ) Chứng minh Với α ∈ OKK ta có α ∈ K và α nguyên trên OK nên OK [α ] nguyên trên OK , mà OK nguyên trên ¢ nên OK [α ] nguyên trên ¢ . Do đó α nguyên trên ¢ hay α ∈ OK . ■ iv) Nếu α ∈ Ω thì mọi liên hợp với α trên ¤ cũng thuộc Ω . Do đó, ∀α ∈ K , α ∈ OK khi và chỉ khi irr (α , ¤ ) ∈ ¢ [ x ] . Chứng minh Lấy α ∈ Ω ta có α là nghiệm của f ( x ) = x n + an −1 x n −1 + ...a1 x + a0 ∈ ¢ [ x ] . Giả sử irr (α , ¤ , x) = p ( x) khi đó p ( x ) | f ( x ) . Do đó mọi nghiệm của p(x) đều là nghiệm của f(x) nên chúng đều là số nguyên đại số. Vậy mọi liên hợp với α trên ¤ đều thuộc Ω . Tiếp theo ta chứng minh ∀α ∈ K , α ∈ OK khi và chỉ khi irr (α , ¤ ) ∈ ¢ [ x ] . Thật vậy do irr (α , ¤ ) ∈ ¢ [ x ] nên α ∈ OK . Ngược lại với α ∈ OK ta có irr (α , ¤ ) = x n + an −1 x n −1 + ...a1 x + a0 ∈ ¤ [ x ] ( x α1 )( x − α 2 )...( x − α n ) =−
12 trong đó α1 , α 2 ,..., α n là các liên hợp của α trên ¤ . Theo định lý Vi-ét ta có α1 + α 2 + ... + α n = − an −1 α1α 2 + ... + α1α n + ... + α n−1α n =an − 2 ... α1α 2 ... α n = ( −1) n a0 vì α i ∈ Ω nên a0 , a1 ,..., an −1 ∈ Ω do đó ai ∈ Ω I ¤ = ¢ suy ra irr (α , ¤ ) ∈ ¢ [ x ] .■ 1.4.Các phần tử liên hợp đầy đủ B 1 1.4.1 Định lý Cho ¤ ⊂ K ⊂ £ , K là mở rộng hữu hạn bậc n của ¤ . Khi đó có đúng n đơn cấu trường từ K vào £ , kí hiệu là σ 1, σ 2 ,..., σ n . Chứng minh: K là mở rộng hữu hạn bậc n của ¤ , K tách được trên ¤ (do char ¤ = 0). Suy ra tồn tại θ ∈ K sao cho K = ¤ (θ ) . Do irr (θ , ¤ ) bậc n nên irr (θ , ¤ ) có n nghiệm trong £ là θ1 = θ , θ 2 , ..., θ n . Nếu σ :K →£ là đơn cấu trường thì σ ( r ) = r , ∀r ∈ ¤ . Ta có 0 nên (σ (θ ) ) + ... + a1σ (θ ) + a0 = 0 điếu đó cho ta biết σ (θ ) là n θ n + ... + a1θ + a0 = (θ ) θ k , θ k ∈ {θ1 , θ 2 , ..., θ n } . Với α ∈ K thì nghiệm của irr (θ , ¤ ) , từ đó suy ra σ= ta có α = b0 + b1θ + ... + bn −1θ n −1 , bi ∈ ¤ khi đó σ (α ) = b0 + b1θ k + ... + bn −1θ k n −1 (*) . Suy ra có tối đa n đơn cấu trường từ K vào £ . Ngược lại, với k = 1, n , công thức (*) là 1 đơn cấu trường từ K vào £ . Vậy có đúng n đơn cấu trường từ K vào £ xác định bởi công thức (*). ■ 1.4.2 Định nghĩa Cho α ∈ K , ta định nghĩa dãy σ 1 (α ) , σ 2 (α ) ,..., σ n (α ) là dãy các phần tử liên hợp đầy đủ của α . n Kí hiệu Fl (α= ,¤ ) ∏ ( x − σ (α ) ) là đa thức trường của α i =1 i trên ¤ . 1.4.3 Định lý 1) Nếu α ∈ K thì Fl (α , ¤ ) ∈ ¤ [ x ] 2) ∃ s ∈ ¥ * : Fl (α , ¤ ) =( irr (α , ¤ ) ) s
13 3) Nếu α ∈ OK thì Fl (α , ¤ ) ∈ ¢ [ x ] 1.4.4 Hệ quả α là phần tử sinh của K khi và chỉ khi σ 1 (α ) ,..., σ n (α ) đôi một khác nhau. Chứng minh của các định lý và hệ quả trên độc giả tìm thấy ở Saban Alaca and Kenneth S. Williams [3, pp. 118 – 122]. 1.5.Các ideal trong O K B 2 1 R 1.5.1 Định thức của một hệ phần tử B 7 2 Cho K là trường con của £ , [ K : ¤ ] = n và O K vành các số nguyên đại số R R của K. Xét n số α1 , ..., α n ∈ K . Ta định nghĩa α1 α2 αn 2 L σ 2 ( α1 ) σ 2 ( α 2 ) L σ 2 (α n ) D (α1 , ..., α n ) = M M L M σ n (α1 ) σ n (α 2 ) ... σ n (α n ) D (α1 , ..., α n ) gọi là định thức của hệ phần tử α1 , ..., α n . 1.5.2 Định thức của một phần tử B 8 2 ( ) Cho α ∈ K , D (α ) = D 1, α 1 , ..., α n −1 là định thức của phần tử α . 2 1 α L α n−1 (σ (α ) ) n −1 1 σ 2 (α ) L D (α ) ∏ (σ (α ) − σ (α ) ) 2 = = 2 j i M M L M 1≤i < j ≤ n (σ (α ) ) n −1 1 σ n (α ) ... n Nếu α là phần tử sinh của K thì ta có σ 1 (α ) , σ 2 (α ) ,..., σ n (α ) đôi một khác nhau, do đó D (α ) ≠ 0 . Nhận xét Cho β1 , β 2 , ..., β n ∈ K và
14 β= 1 c11α1 + ... + c1nα n β= c21α1 + ... + c2 nα n 2 , cij ∈ ¤ L β= n cn1α1 + ... + cnnα n Khi đó D ( β1 , ..., β n ) = ( det C ) D (α1 , ..., α n ) trong đó C = cij( ) 2 nxn 1.5.3 Tính chất B 9 2 i) Nếu α1 , α 2 , ..., α n ∈ K thì D (α1 , ..., α n ) ∈ ¤ ii) Nếu α1 , α 2 , ..., α n ∈ OK thì D (α1 , ..., α n ) ∈ ¢ iii) α1 , α 2 , ..., α n độc lập tuyến tính trên ¤ khi và chỉ khi D (α1 , ..., α n ) ≠ 0 . Độc giả sẻ tìm thấy chứng minh của tính chất trên ở Saban Alaca and Kenneth S. Williams [3, pp. 127 – 128] 1.5.4 Bổ đề Cho I < Ok , I ≠ 0 khi đó tồn tại c ≠ 0 thuộc vào I ∩ ¢ . Chứng minh Do I ≠ 0 nên tồn tại α ∈ I sao cho α ≠ 0 và do α ∈ OK nên irr (α , ¤ ) = x k + ... + c1 x + c0 ∈ ¢ [ x ] . Vì α ≠ 0 và irr (α , ¤ ) bất khả qui trong nên c0 ≠ 0 mà α k + ... + c1α + c0 = 0 suy ra c0 =−α k − ... − c1α ∈ ¢ ∩ I . ■ 1.5.5 Bổ đề Cho I < Ok , I ≠ 0 khi đó tồn tại α1 ,...,α n ∈ I để D (α1 ,..., α n ) ≠ 0 . Chứng minh β Ta có K = ¤ (θ ) và D (θ ) ≠ 0 . Theo tính chất 1.3.2 ta có=θ , a ∈ ¢ *, a β ∈ Ω và theo bổ đề 1.5.4 tồn tại b ≠ 0 và b ∈ I ∩ ¢ . Đặt α = bβ ∈ I khi đó ¤ (α ) ¤= = ( abθ ) ¤ (θ ) . Từ đó suy ra D (α ) ≠ 0 nên = D ( b, bα ,..., bα n−1 ) b2n D (1, α ,..., α n−1 ) ≠ 0 Đặt = α i bα = i −1 , i 1, n thì ta có D (α1 ,..., α n ) ≠ 0 . ■
15 1.5.6 Định lý Cho I < Ok , I ≠ 0 , khi đó tồn tại α1 ,..., α n ∈ I sao cho x ∈ I thì x được viết duy nhất dươi dạng x= c1α1 + c2α 2 + ... + cnα n , ci ∈ ¢ . Chứng minh { } Kí hiệu S =( x1 ,..., xn ) xi ∈ I , D ( x1 ,..., xn ) > 0 . Theo bổ đề 1.5.5 thì S ≠∅ nên tồn tại (α1 ,..., α n ) ∈ S sao cho D (α1 ,..., α n ) bé nhất. Vì D (α1 ,..., α n ) ≠ 0 nên α1 ,..., α n độc lập tuyến tính trên ¤ , do đó α1 ,..., α n là cơ sở của K. Vì vậy với x ∈ I ta có x= c1α1 + ... + c2α n , ci ∈ ¤ . Ta chứng minh ci ∈ ¢ , ∀i =1, n . Thật vậy giả sử tồn tại ci ∉ ¢ , chẳng hạn là c1 ∉ ¢ . Do c1 ∉ ¢ nên ∃k ∈ ¢ : k < c1 < k + 1 . Xét y = x − kα1 = ( c1 − k ) α1 + c2α 2 + ... + cnα n và ta có σi ( y) = ( c1 − k )σ i (α1 ) + c2σ i (α 2 ) + ... + cnσ i (α n ) , i = 1, n Xét hệ phương trình sau α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn = y  σ 2 (α1 ) x1 + σ 2 (α 2 ) x2 + ... + σ 2 (α n ) xn = σ2 ( y)   L σ (α ) x + σ (α ) x + ... + σ (α ) x = σn ( y)  n 1 1 n 2 2 n n n Vì D (α1 ,..., α n ) ≠ 0 nên hệ có nghiệm duy nhất là ( c1 − k , c2 ..., cn ) . Từ đó ta có D ( y, α 2 ,..., α n ) ( c1 − k ) suy ra D ( y, α 2 ,..., α n= ) ( c1 − k ) D (α1 , α 2 ,..., α n ) . 2 = 2 D (α1 , α 2 ,..., α n ) Vì 0 < ( c1 − k ) < 1 nên D ( y, α 2 ,..., α n ) < D (α1 , α 2 ,..., α n ) (!). ■ 2 1.5.7 Hệ quả Mọi ideal khác 0 của OK đều hữu hạn sinh nên OK là vành Noether. 1.5.8 Định nghĩa Cho I là ideal khác 0 của OK khi đó tồn tại α1 ,..., α n ∈ I sao cho x ∈ I thì x được viết duy nhất dươi dạng x= c1α1 + c2α 2 + ... + cnα n , ci ∈ ¢ . Hệ α1 ,..., α n được gọi là cơ sở của I. Một cơ sở của OK gọi là cơ sở nguyên của K. Vậy theo định lý 1.56 thì mọi ideal khác 0 của O K đều có cơ sở. R R
16 1.5.9 Định lý Cho I là ideal khác 0 của OK . i) Nếu α1 ,..., α n và β1 ,..., β n là 2 cơ sở của I thì D (α1 ,..., α n ) = D ( β1 ,..., β n ) ii) Nếu α1 ,..., α n là cơ sở của I và β1 ,..., β n ∈ I sao cho D (α1 ,..., α n ) = D ( β1 ,..., β n ) thì β1 ,..., β n cũng là cơ sở của I. Chứng minh n i) β1 ,..., β n là cơ sở nên α i ∑b β , b ∈ ¢ do đó D (α1 ,..., α n ) = ( det B ) D ( β1 ,..., β n ) . 2 = ij j ij j =1 n Mặt khác vì α1 ,..., α n là cơ sở của I nên= ta có β j ∑c α , c i =1 ij i ij ∈ ¢ , cij ∈ ¢ do đó D ( β1 ,..., β n ) = det C ) D (α1 ,..., α n ) ( det B ) ( det C ) (= D ( β1 ,..., β n ) . Từ đó suy ra 2 2 2 ( det B ) ( det C ) = 1 cho nên (= det B ) (= det C ) 1 (det B, det C ∈ ¢ ) . 2 2 2 2 Vậy D (α1 ,..., α n ) = D ( β1 ,..., β n ) . n ii) α1 ,..., α n là cơ sở nên β j ∑c α , c ∈ ¢ do đó D ( β1 ,..., β n ) = ( det C ) D (α1 ,..., α n ) 2 = ij i ij i =1 mà D (α1 ,..., α n ) = D ( β1 ,..., β n ) nên det C = ±1 hay C khả nghịch và C −1 ∈ M n ( ¢ ) . Ta lại có ta có [ β1 ,K , β1 ] = C [α1 ,K ,α1 ] nên [α1 ,K ,α1 ] = C −1 [ β1 ,K , β1 ] hay α1 ,..., α n biểu thị tuyến tích được qua β1 ,..., β n với hệ số thuộc ¢ . Vậy β1 ,..., β n là cơ sở của I. ■ 1.5.10 Định nghĩa Cho I < Ok , I ≠ 0 , ta định nghĩa D ( I ) = D (α1 ,..., α n ) với α1 ,..., α n là một cở sở bất kỳ của I. Đặt biệt khi I = Ok thì D ( OK ) = d K . Nhận xét N ( I ) ∈ ¥ * 1.5.11 Định lý Trong vành OK mọi ideal nguyên tố khác 0 đều tối đại. Chứng minh Giả sử tồn tại ideal nguyên tố khác 0 nhưng không tối đại. Gọi S là tập tất cả các ideal nguyên tố khác 0, không tối đại, S ≠ ∅ . Vì OK là vành Noether nên S có
17 phần tử tối đại. Gọi P 1 là phần tử tối đại của S. Vì P 1 ∈ S nên P1 không là ideal tối R R R R R R đại trong OK , do đó tồn tại P2 là ideal tối đại của OK sao cho P1 ⊂ P2 ⊂ OK . Suy ra R R tồn tại α ∈ P2 \ P1 mà α ∈ OK nên ∃bk −1 ,..., b0 ∈ ¢ để α k + bk −1α k −1 + ... + b0 = 0 ∈ P1 . Gọi l là số tự nhiên bé nhất có tính chất : ∃cl −1 ,..., c0 ∈ ¢ để α l + cl −1α l −1 + ... + c0 ∈ P1 Vì α ∈ P2 nên c0 ∈ P2 suy ra c0 ∈ P2 ∩ ¢ . Ta lại có 0 ≠ ( P1 ∩ ¢ ) ⊂ ( P2 ∩ ¢ ) ⊂ ¢ và P1 ∩ ¢ , P2 ∩ ¢ là các ideal nguyên tố của ¢ nên cũng là ideal tối đại của ¢ , do đó P1 ∩ ¢ = P2 ∩ ¢ . Từ đó ta có c0 ∈ P1 ∩ ¢ cho nên c0 ∈ P1 hay α l + cl −1α l −1 + ... + c1α ∈ P1 . Suy ra α (α l −1 + cl −1α l −2 + ... + c1 ) ∈ P1 mà α ∉ P1 nên α l −1 + cl −1α l −2 + ... + c1 ∈ P1 (mâu thuẫn với cách chọn l). ■ 1.6.Miền Dedekind B 3 1 1.6.1 Định nghĩa Một miền nguyên D được gọi là miền Dedekind nếu i) D đóng nguyên. ii) D là miền Noether. iii) Mọi ideal nguyên tố khác 0 của D đều là ideal tối đại. Ví dụ • Miền các ideal chính là miền Dedekind. • D = OK là miền Dedekind. 1.6.2 Định lý Trong miền Noether D, mọi ideal khác 0 đều chứa tích của một hoặc nhiều ideal nguyên tố. Chứng minh Giả sử tồn tại ideal khác 0, không chứa tích của một hoặc nhiều ideal nguyên tố. Kí hiệu S là tập tất cả các ideal như vậy, S ≠ ∅ . Suy ra S có phần tử tối đại là A. Do A không là ideal nguyên tố của D nên tồn tại các ideal B, C của D sao cho BC là con của A nhưng B, C không là con của A. Vì A ⊂ A + B nên A + B ∉ S suy ra 1 2 ...Pk ⊂ A + B ( k ≥ 1) trong đó ∀i , Pi là ideal nguyên tố. Tương tự ta có PP Q1Q2 ...Ql ⊂ A + C (l ≥ 1) trong đó ∀j , Q j là ideal nguyên tố. Từ đó ta suy ra 1 2 ...Pk .Q1Q2 ...Ql ⊂ ( A + B )( A + C ) ⊂ A (!). PP ■
18 1.6.3 Định nghĩa Cho D là miền nguyên, K là trường các thương của D. Tập con khác rông I của K được gọi là ideal phân của D nếu: i) ∀α , β ∈ I , α + β ∈ I . ii) ∀α ∈ I , ∀β ∈ D, αβ ∈ I . iii) ∀θ ∈ D, θ ≠ 0 sao cho θ I ⊂ D . {α K α P ⊂ D} . Ta ° =∈ Cho P là ideal nguyên tố của D. Ta định nghĩa P ° là ideal phân của D. chứng minh được P 1.6.4 Bổ đề Cho D là vành Dedekind, P là ideal nguyên tố của D. Khi đó ° = D. PP Chứng minh ° = P hoặc PP Ta chứng minh PP ° = D. ° là ideal phân của D. Với α ∈ P Thật vậy ta có PP °, β ∈ P ta có αβ ∈ α P ⊂ D do ° ⊂ D , từ đó suy ra PP đó PP ° là ideal của D. Vì 1.P= P ⊂ D nên 1 ∈ P ° hay ° . Mặt khác do P là ideal nguyên tố nên P là ideal tối đại, do đó PP P ⊂ PP ° =P ° = D . Với α ∈ D , ta có α P ⊂ P ⊂ D cho nên α ∈ P hoặc PP °. ° suy ra D ⊂ P Ta chứng minh ∃θ ∈ P ° \ D. Lấy β ∈ P \ {0} khi đó 0 ≠ β ⊂ P và theo 1.6.2 ta có β ⊃ P1...Pk (k ≥ 1) (*) , trong đó P1 , ..., Pk là các ideal nguyên tố. Không mất tính tổng quát, giả sử k là số dương bé nhất có tính chất (*). Vì P1...Pk ⊂ β ⊂ P nên tồn tại Pi ⊂ P . Do Pi nguyên tố nên Pi tối đại suy ra Pi = P , giả sử P1 = P . Ta xét 2 trường hợp sau i) k = 1 1 1 1 Khi k = 1 thì P= P= β . Với θ = θP ta có = = P β ⊂ D nên θ ∈ P °. β β β 1 1 Nếu θ ⊂ D thì ⊂ D , suy ra β khả nghịch trong D suy ra= P β D (!). = β Suy ra θ ∈ P ° \ D. ii) k > 1
19 Do k bé nhất có tính chất (*) nên P2 ...Pk ⊄ β suy ra ∃δ ∈ P2 ...Pk \ β . Chọn δ δ δ P ...P β θ= ∈ K ta cos θ P = P1 = P1 ⊂ 1 k ⊂ ⊂ D suy ra θ ∈ P °. β β β β β δ Giả sử θ ∈ D khi đó ∈ D suy ra δ ∈ β D = β (trái với cách chọn δ ). β Suy ra θ ∈ P °\ D. ° ≠ D. Vây từ chứng minh trên ta có P ° = D. Tiếp theo ta chứng minh PP ° ≠ D suy ra PP Giả sử PP ° = P . Khi đó ta chứng minh P ° là một miền nguyên. Lấy α , β ∈ P ° ta có (α + β ) P ⊂ α P + β P ⊂ D ⇒ α + β ∈ P° (αβ= ) P α ( β P ) ⊂ α P ⊂ P ⊂ D ⇒ αβ ∈ P° (vì β P ⊂ PP ° =P) ° là một miền nguyên. Vì D là miền Noether nên P suy ra P ° là D_moodun hữu hạn ° nguyên trên D mà D là miền Dedekind nên sinh. Do đó theo định lý 1.2.1 suy ra P ° ⊂ D . (!) D đóng nguyên nên P ° = D. Vậy PP ■ 1.6.5 Định lý Trong miền Dedekind, mọi ideal khác 0 của D đều phân tích được duy nhất thành tích các ideal nguyên tố. Chứng minh Giả sử tồn tại ideal I khác 0 của D, I không phân tích được thành các ideal nguyên tố. Kí hiệu S là tập tất cả các ideal như vậy, suy ra S ≠ ∅ . Do D là miền Dedekind nên S có phần tử tối đại A. Do A không là ideal nguyên tố nên A không là ideal tối đại, suy ra tồn tại ideal tối đại P sao cho A ⊂ P . Mặt khác theo định lý 1.6.2 A ⊃ P1...Pk ⇒ P ⊃ P1...Pk (k ≥ 1) (*) . Do P là ideal nguyên tố nên tồn tại Pi sao cho Pi ⊂ P , giả sử P1 ⊂ P suy ra P1 = P . Nếu k = 1 thì P1 = P ⊃ A ⊃ P1 do đó A = P1 (trái với cách chọn A). Vậy k ≥ 2 . Gọi k là số bé nhất thoả mãn (*). ° nên A ⊆ P Vì 1 ∈ P ° A . Nếu A = P ° A thì A = ° A ⊃ PP P ° ...P =P2 ...Pk (trái với cách 1 1 1 1 1 1 k ° A . Ta lại có P= P ⊃ A nên P chọn k) suy ra A ⊂ P ° A ⊂ PP ° = ° A là ideal D hay P 1 1 1 1 1
20 ° A nên P của D. Do A ⊂ P ° A ∉ S suy ra P ° A phân tích được như sau P ° A = Q ...Q , 1 1 1 1 1 h Qi nguyên tố. Do đó A = PQ 1 1...Ql hay A ∉ S (!) . Vậy mọi ideal khác 0 và D đều phân tích được thành tích các ideal nguyên tố. • Chứng minh sự duy nhất Giả sử = A P= 1...Pk Q1...Ql , trong đó Pi , Q j nguyên tố. Ta chứng k = l và bằng cách đánh số lại ta có= Pi Q= i, i 1, k . Thật vậy P1 ⊃ P= 1...Pk Q1...Ql ⇒ ∃Qi : Qi ⊂ P1 ⇒ = Qi P1 Không mất tính tổng quát ta có Q1 = P1 suy ra P2 ...Pk = Q2 ...Ql . Lập luận tương tự như trên ta suy ra= Q2 P= 2 , Q3 P3 ,... . Nếu k < l, sau k lần ta có D = Qk +1...Ql (!) . Vậy k = l và= Pi Q= i, i 1, k . ■ 1.6.6 Hệ quả Cho A là ideal phân của D khác 0 và khác D. Khi đó ta có =A P1k1 ...Pmkm , km ∈ ¢ * , Pi là các ideal nguyên tố đôi một khác nhau. 1.6.7 Định nghĩa • Cho A là ideal (ideal phân) của D, P là ideal nguyên tố. Chỉ số của P trong A được kí hiệu là ord P ( A ) , ord P ( A ) là số mũ của P trong sự phân tích của A. • Cho A, B là hai ideal (ideal phân) của D. Ta nói B là ước của A được kí hiệu là B|A nếu tồn tại ideal C sao cho A = BC. Nhận xét Cho A, B là hai ideal (ideal phân) của D. Khi đó B A ⇔ A ⊂ B ⇔ ord P ( A ) ≥ ord P ( B ) , ∀P nguyên tố. 1.6.8 Tính chất P ( AB ) 1) ord= ord P ( A ) + ord P ( B ) min {ord P ( A ) , ord P ( B )} 2) ord P ( A + B ) = Chứng minh 1) hiển nhiên. 2) Ta có A ⊂ A + B nên ord P ( A ) ≥ ord P ( A + B ) . Tương tự ta cũng có ord P ( B ) ≥ ord P ( A + B ) . Suy ra ord P ( A + B ) ≤ min {ord P ( A ) , ord P ( B )} (1).