Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân tích vành thương của vành các số nguyên Gauss

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các số phức có dạng a + bi với a, b ∈ Z được gọi là các số nguyên Gauss. Tập các số nguyên Gauss làm thành một vành với phép cộng và nhân các số phức. Vành này được kí hiệu là Z, và được gọi là vành các số nguyên Gauss. Chú ý rằng mỗi vành thương của Z có dạng Z/mZ với m > 0. Luận văn sẽ nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phân tích vành thương của vành các số nguyên Gauss

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHẠM XUÂN HÙNG PHÂN TÍCH VÀNH THƯƠNG CỦA VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHẠM XUÂN HÙNG PHÂN TÍCH VÀNH THƯƠNG CỦA VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN GAUSS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - 2017
Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Vành các số nguyên Gauss 5 1.1 Miền phân tích duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Phân tích vành thương của vành Z các số nguyên . . . . 13 1.3 Vành Z[i] các số nguyên Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Một số ứng dụng 23 2.1 Phân tích vành thương của vành Z[i] . . . . . . . . . . . 23 2.2 Phân tích số nguyên thành tổng hai số chính phương . . 34 2.3 Xác định các bộ số Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1
2 Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời biết ơn chân thành đến GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn đã hướng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn này. Khi bắt đầu nhận đề tài thực sự tôi cảm nhận đề tài mang nhiều nội dung mới mẻ. Hơn nữa với vốn kiến thức ít ỏi cùng với kinh nghiệm làm đề tài lớn không nhiều nên tôi chưa thực sự tự tin để tiếp cận đề tài. Mặc dù rất bận rộn trong công việc nhưng Cô vẫn dành nhiều thời gian và tâm huyết trong việc hướng dẫn, động viên khuyến khích tôi trong suốt thời gian tôi thực hiện đề tài . Trong quá trình tiếp cận đề tài đến quá trình hoàn thiện luận văn Cô luân tận tình chỉ bảo và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi. Cho đến bây giờ luận văn thạc sĩ của tôi đã được hoàn thành, xin cảm ơn Cô đã đôn đốc nhắc nhở tôi. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa toán-Tin và Phòng Đào tạo của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy, Cô đã tận tình truyền đạt những kiến thức quí báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, những người đã không ngừng động viên, hỗ trợ tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
3 Lời nói đầu Các số phức có dạng a + bi với a, b ∈ Z được gọi là các số nguyên Gauss. Tập các số nguyên Gauss làm thành một vành với phép cộng và nhân các số phức. Vành này được kí hiệu là Z[i], và được gọi là vành các số nguyên Gauss. Chú ý rằng mỗi vành thương của Z có dạng Z/mZ với m > 0. Vành thương này có thể đồng nhất với vành Zm . Một kết quả quen biết về phân tích vành Zm thành tổng trực tiếp như sau: Nếu m = pt11 . . . ptkk là phân tích tiêu chuẩn của m thì Zm ∼ = Z t1 ⊕ . . . ⊕ Z tk . Mục tiêu của luận p1 pk văn là phát triển kết quả trên cho vành thương của vành các số nguyên Gauss. Chúng tôi trình bày lại chi tiết các kết quả trong bài báo của G. Dresden, W. Dymacek (2005), “Finding factors of factor rings over the Gaussian Integers" đăng trên tạp chí “American Math. Monthly" về phân tích vành thương của vành Z[i]. Chúng tôi cũng quan tâm khai thác các ứng dụng của vành các số nguyên Gauss để giải những bài toán sơ cấp cổ điển như bài toán tìm điều kiện để một số tự nhiên là tổng của hai số chính phương, bài toán tìm các bộ số Pythagore. Luận văn gồm 2 Chương. Trong Chương 1, Tiết 1.1 dành để nhắc lại một số khái niệm về miền phân tích duy nhất, miền iđêan chính và miền Euclid. Tiết tiếp theo trình bày sự phân tích vành thương của vành Z các số nguyên thành tổng trực tiếp của những vành đơn giản hơn (Mệnh đề 1.2.5). Phần cuối Chương 1 trình bày một số kết quả về vành Z[i] các số nguyên Gauss, trong đó quan tâm đặc biệt đến việc xác định các phần tử khả nghịch (Bổ đề 1.3.2), chứng minh Z[i] là miền Euclid (Định lí 1.3.4), và đặc trưng phần tử nguyên tố trong vành các số nguyên Gauss (Định lí 1.3.5).
4 Trong Chương 2, phần đầu Chương trình bày bài toán phân tích vành thương của vành Z[i] thành tổng trực tiếp của những vành đơn giản hơn. Hai tiết còn lại (Tiết 2.2 và Tiết 2.3) dành để khai thác các kết quả của vành Z[i] để giải quyết hai bài toán sơ cấp kinh điển: tìm điều kiện để một số tự nhiên là tổng của hai số chính phương (Định lí 2.2.1, Định lí 2.2.5), bài toán tìm các bộ số Pythagore (Định lí 2.3.4).
Chương 1 Vành các số nguyên Gauss Các số phức có dạng a + bi với a, b ∈ Z được gọi là các số nguyên Gauss (Carl Friedrich Gauss là người đầu tiên nghiên cứu các số phức này). Tập các số nguyên Gauss làm thành một vành, được kí hiệu là Z[i], và được gọi là vành các số nguyên Gauss. Mục tiêu của Chương 1 là trình bày các tính chất cơ sở của vành các số nguyên Gauss. Phần đầu Chương nhắc lại một số khái niệm về miền phân tích duy nhất, miền iđêan chính và miền Euclid. Phần tiếp theo trình bày sự phân tích vành thương của vành Z các số nguyên thành tổng trực tiếp của những vành đơn giản hơn. Phần cuối trình bày về vành Z[i] các số nguyên Gauss, trong đó quan tâm đặc biệt đến việc xác định các phần tử khả nghịch, việc chứng minh Z[i] là miền Euclid, và việc đặc trưng các số nguyên tố Gauss. Carl Friedrich Gauss (sinh ngày 30 tháng 4 năm 1777, mất ngày 23 tháng 2 năm 1855) là một nhà Toán học và là nhà Khoa học thiên tài người Đức. Ông có những đóng góp lớn cho Khoa học, đặc biệt là trong Lí thuyết số, Giải tích, Hình học vi phân, Khoa học trắc địa, Từ học, Tĩnh điện học, Thiên văn học và Quang học. Với những ảnh hưởng sâu sắc trong Khoa học, đặc biệt là trong Toán học, Carl Friedrich Gauss được xếp ngang với những thiên tài Leonhard Euler, Isaac Newton và 5
6 Archimedes - những nhà Toán học vĩ đại nhất của lịch sử. 1.1 Miền phân tích duy nhất Chúng ta đều biết rằng, trong miền nguyên Z, mỗi số nguyên dương n > 1 đều có một phân tích tiêu chuẩn n = pr11 . . . prkk , trong đó p1 , . . . , pk là những số nguyên tố đôi một phân biệt và r1 , . . . , rk là những số nguyên dương. Sự phân tích tiêu chuẩn của n là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của các nhân tử. Vấn đề đặt ra là những miền nguyên nào có tính chất phân tích duy nhất tương tự như vành các số nguyên Z? Mục đích của tiết này là giải quyết vấn đề trên. Những miền nguyên có tính chất này được gọi là miền phân tích duy nhất - Unique Factorization Domain (UFD) hay miền nhân tử hóa. Đôi khi miền phân tích duy nhất còn được gọi là miền Gauss, vì Carl Friedrich Gauss là người đầu tiên nghiên cứu loại miền nguyên này. Ông cũng là người có đóng góp rất quan trọng trong việc phát triển lí thuyết chia hết từ vành các số nguyên Z sang các miền phân tích duy nhất. Trong Chương I, luôn giả thiết D là một miền nguyên, tức D là vành giao hoán khác {0} và nếu a, b 6= 0 là hai phần tử của D thì ab 6= 0. Trước khi trình bày khái niệm miền phân tích duy nhất, chúng ta nhắc lại một số khái niệm về ước, bội, phần tử nguyên tố, phần tử bất khả quy. 1.1.1 Định nghĩa. Cho a, b ∈ D, b 6= 0. Ta nói b là ước của a (hay a là bội của b), nếu tồn tại q ∈ D sao cho a = bq. Nếu tồn tại q ∈ D để 1 = bq thì ta nói b là phần tử khả nghịch hay b là ước của đơn vị. Ta nói a và b là liên kết, viết là a ∼ b, nếu đồng thời a là ước của b và b là ước của a. Nếu b là ước của a và a không là ước của b thì ta nói b là ước thực sự của a.
7 Chú ý rằng a và b liên kết với nhau nếu và chỉ nếu chúng chỉ khác nhau một nhân tử là ước của đơn vị, tức là tồn tại một phần tử khả nghịch u ∈ D sao cho a = bu. 1.1.2 Định nghĩa. Cho p ∈ D. Ta nói p là phần tử bất khả quy nếu p khác 0, không khả nghịch và có ước thực sự. Ta nói p là phần tử nguyên tố nếu p khác 0, không khả nghịch và nếu p là ước của tích ab thì p là ước của a hoặc p là ước của b với mọi a, b ∈ D. Trong miền nguyên Z, các phần tử bất khả quy là và chỉ là các số nguyên tố. Trong miền nguyên D bất kì, nếu p là phần từ nguyên tố thì p là bất khả quy. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn, xét miền nguyên √ D = {a + bi 5 | a, b ∈ Z}. √ √ Các phần tử 2, 3, 1 + i 5 và 1 − i 5 là bất khả quy nhưng không là phần tử nguyên tố, vì ta có phân tích √ √ 6 = 2.3 = (1 + i 5)(1 − i 5), √ √ trong đó 2, 3 là ước của tích (1 + i 5)(1 − i 5) nhưng 2 và 3 không là √ √ √ ước của 1 + i 5 và cũng không là ước của 1 − i 5. Tương tự, 1 + i 5 √ √ √ và 1 − i 5 là ước của tích 2.3, nhưng 1 + i 5 và 1 − i 5 không là ước của 2 và cũng không là ước của 3. 1.1.3 Định nghĩa. Miền nguyên D được gọi là miền phân tích duy nhất nếu mỗi phần tử khác 0 và không khả nghịch đều phân tích được thành tích những phần tử bất khả quy và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử và cũng không kể đến các nhân tử là ước của đơn vị. Miền phân tích duy nhất (Unique Factorization Domain) còn được gọi là miền nhân tử hoá hay miền Gauss.
8 Ví dụ đơn giản cho miền phân tích duy nhất là miền nguyên Z. Miền phân tích duy nhất tiếp theo là vành các số nguyên Gauss Z[i] (sẽ được nghiên cứu trong Tiết 2.3), được giới thiệu và khám phá bởi nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauss trong bài báo năm 1828 của ông nói về các thặng dư bậc hai. Để trình bày đặc trưng của miền phân tích duy nhất, chúng ta cần đến điều kiện dãy dừng các ước thực sự và điều kiện có ước chung lớn nhất. 1.1.4 Định nghĩa. Cho a1 , a2 , a3 , . . . là dãy các phần tử của D sao cho ai+1 là ước của ai với mọi i ≥ 1. Ta nói a1 , a2 , a3 , . . . là dãy dừng nếu tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho an liên kết với an0 với mọi n ≥ n0 . Miền nguyên D được gọi là thoả mãn điều kiện dãy dừng những ước thực sự nếu mọi dãy a1 , a2 , a3 , . . . những phần tử của D thỏa mãn tính chất ai+1 là ước của ai với mọi i đều là dãy dừng. Miền nguyên Z thoả mãn điều kiện dãy dừng những ước thực sự. Giả sử D là miền nguyên thoả mãn điều kiện dãy dừng những ước thực sự. Khi đó mỗi phần tử khác 0 và không khả nghịch của D đều có ít nhất một ước bất khả quy. Hơn nữa, mỗi phần tử khác 0 và không khả nghịch của D đều phân tích được thành tích những nhân tử bất khả quy. 1.1.5 Định nghĩa. Cho a1 , . . . , an ∈ D. Một ước chung d ∈ D của a1 , . . . , an được gọi là một ước chung lớn nhất nếu nó là bội của mọi ước chung khác của a1 , . . . , an . Nếu 1 là một ước chung lớn nhất của a1 , . . . , an thì ta nói a1 , . . . , an là nguyên tố cùng nhau. Một bội chung m ∈ D của a1 , . . . , an được gọi là một bội chung nhỏ nhất nếu m là ước của mọi bội chung khác của a1 , . . . , an . Chú ý rằng nếu d, d0 ∈ D là hai ước chung lớn nhất của a1 , . . . , an , thì d và d0 là liên kết với nhau, tức là tồn tại một phần tử khả nghịch
9 u ∈ D sao cho d = ud0 . Tương tự, nếu m, m0 là hai bội chung nhỏ nhất của a1 , . . . , an , thì m, m0 là liên kết với nhau. Nhìn chung, ước chung lớn nhất không xác định duy nhất. Trong trường hợp a1 , . . . , an có nhiều ước chung lớn nhất, người ta thường chọn ra một ước chung lớn nhất xác định theo cách nào đó và kí hiệu nó là gcd(a1 , . . . , an ). Chẳng hạn, trong miền nguyên Z, nếu a, b là hai số nguyên không đồng thời bằng 0, thì a, b có hai ước chung lớn nhất là hai số nguyên đối nhau d và −d. Nếu d > 0, thì ta viết d = gcd(a, b). Tương tự, bội chung nhỏ nhất cũng không xác định duy nhất. Trong trường hợp a1 , . . . , an có nhiều bội chung nhỏ nhất, người ta thường chọn ra một bội chung nhỏ nhất xác định theo cách nào đó và kí hiệu nó là lcm(a1 , . . . , an ). Chú ý rằng gcd và lcm lần lượt là viết tắt của “greatest common divisor" và “least common multiple". 1.1.6 Định nghĩa. Miền nguyên D được gọi là thoả mãn điều kiện có ước chung lớn nhất nếu hai phần tử bất kì không đồng thời bằng 0 trong D đều có ước chung lớn nhất. Miền nguyên Z thoả mãn điều kiện có ước chung lớn nhất. Thuật toán Euclid cho phép chúng ta tìm ước chung lớn nhất trong miền nguyên Z. Cụ thể, cho a, b là hai số tự nhiên khác 0. Để tìm ước chung lớn nhất của a và b ta thực hiện các phép chia liên tiếp, sau k bước nào đó ta có a = bq0 + r0 , trong đó 0 < r0 < b b = r0 q1 + r1 , trong đó 0 < r1 < r0 r0 = r1 q2 + r2 , trong đó 0 < r2 < r1 ..................... rk−2 = rk−1 qk + rk trong đó 0 < rk < b rk−1 = rk qk+1 .
10 Số dư khác 0 cuối cùng trong phép chia liên tiếp là rk . Khi đó rk = gcd(a, b). Cho a, b ∈ Z. Nếu a hoặc b là số âm thì theo thuật toán trên ta có thể tìm ước chung lớn nhất của |a| và |b|. Khi đó ta có gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|). Vì thế ta có thể tìm ước chug lớn nhất cho hai số nguyên bất kì không đồng thời bằng 0. Cho D là miền nguyên thoả mãn điều kiện có ước chung lớn nhất. Khi đó các phần tử bất khả quy trong D là và chỉ là các phần tử nguyên tố. Hơn nữa, nếu phần tử a ∈ D có hai phân tích thành nhân tử bất khả quy a = p1 p2 . . . pn = q1 q2 . . . qm thì n = m và tồn tại một hoán vị δ sao cho pi liên kết với qδ(i) với mọi i = 1, 2, . . . , n. Định lí sau đây cho ta đặc trưng của miền phân tích duy nhất. 1.1.7 Định lý. (Xem [1]). Cho D là miền nguyên. Các phát biểu sau là tương đương. (i) D là miền phân tích duy nhất. (ii) D thoả mãn điều kiện dãy dừng những ước thực sự và điều kiện có ước chung lớn nhất. iii) Mỗi phần tử khác 0 và không khả nghịch của D đều phân tích được thành tích của những nhân tử bất khả quy và mọi phần tử bất khả quy của D đều là phần tử nguyên tố. Có nhiều miền nguyên quen biết trong số học không phải là miền phân tích duy nhất. Chẳng hạn, trong miền nguyên √ √ Z[i 3] = {a + bi 3 | a, b ∈ Z},
11 số 4 có hai sự phân tích bất khả quy là √ √ 4 = 2.2 = (1 + i 3)(1 − i 3). √ √ Chú ý rằng các phần tử 2, 1 + i 3, 1 − i 3 là bất khả quy nhưng không √ nguyên tố. Do đó Z[i 3] không là miền phân tích duy nhất. 1.1.8 Định nghĩa. Cho D là một miền nguyên. Một tập con I của D được gọi là một iđêan của D nếu 0 ∈ I và a − b, ax ∈ I với mọi a, b ∈ I, x ∈ D. Một iđêan I của D được gọi là iđêan chính nếu tồn tại một phần tử a ∈ I sao cho I = {ax | x ∈ D}, khi đó ta viết I = (a) và ta nói I là iđêan chính sinh bởi a. Miền nguyên D được gọi là miền iđêan chính nếu mọi iđêan của D đều là iđêan chính. Miền iđêan chính được viết tắt là PID (Principal Ideal Domain). Miền nguyên Z là miền iđêan chính vì các iđêan của Z đều có dạng mZ := (m) = {mx | x ∈ Z}. 1.1.9 Định lý. Nếu D là miền iđêan chính thì D thoả mãn điều kiện dãy dừng những ước thực sự và điều kiện có ước chung lớn nhất. Đặc biệt, mỗi miền iđêan chính đều là miền phân tích duy nhất. Chứng minh. Giả sử a1 , a2 , a3 , . . . là một dãy các phần tử của D sao cho ai+1 là ước của ai với mọi i. Khi đó ta có một dãy tăng (a1 ) ⊆ (a2 ) ⊆ ∞ [ (a3 ) ⊆ . . . các iđêan chính của D. Đặt I = (ai ). Khi đó I là iđêan i=1 của D. Vì D là miền iđêan chính nên tồn tại a ∈ D sao cho I = (a). Do a ∈ I nên tồn tại số n0 sao cho a ∈ (an0 ). Suy ra I ⊆ (an0 ) và do đó I =⊆ (an ) = (an0 ) với mọi n ≥ n0 . Suy ra an liên kết với an0 với mọi n ≥ n0 .
12 Cho a, b ∈ D là hai phần tử không đồng thời bằng 0. Đặt I = {ax + by | x, y ∈ D}. Khi đó I là iđêan của D. Do D là miền iđêan chính nên tồn tại d ∈ D sao cho I = (d). Do a = a.1 + b.0 nên a ∈ I, tức là a ∈ (d). Suy ra d là ước của a. Tương tự, d là ước của b. Giả sử t là ước chung của a và b. Vì d ∈ (d) = I nên tồn tại x, y ∈ D sao cho d = ax + by. Suy ra t là ước của d. Vậy d là ước chung lớn nhất của a và b. Từ đây đến hết tiết này, đặt D∗ = D \ {0}. 1.1.10 Định nghĩa. Miền nguyên D được gọi là miền Euclid nếu có một ánh xạ g : D∗ → N thoả mãn các điều kiện: (i) g(ab) ≥ g(a) với mọi a, b ∈ D∗ . (ii) Với a ∈ D, b ∈ D∗ , tồn tại q, r ∈ D sao cho a = bq + r trong đó r = 0 hoặc g(r) < g(b). Miền nguyên Z là miền Euclid với ánh xạ g : Z∗ → N cho bởi g(a) = |a|, với mọi a ∈ Z∗ . 1.1.11 Định lý. Nếu D là miền Euclid thì D là miền iđêan chính và do đó D là miền phân tích duy nhất. Chứng minh. Cho I là iđêan của D. Nếu I = {0} thì I là iđêan chính sinh bởi phần tử 0. Giả sử I 6= {0}. Khi đó tồn tại những phần tử khác 0 trong I. Gọi a là phần tử khác 0 trong I sao cho g(a) bé nhất. Ta sẽ chứng minh I = (a). Vì a ∈ I nên (a) ⊆ I. Giả sử b ∈ I. Chia b cho a ta được b = aq + r với r = 0 hoặc g(r) < g(a). Nếu r 6= 0 thì g(r) < g(a). Vì r = b − aq ∈ I, nên điều này là mâu thuẫn với cách chọn phần tử a. Do đó r = 0 và do đó b = aq ∈ (a). Vì thế, I là iđêan chính sinh bởi a.
13 Chú ý rằng miền phân tích duy nhất luôn thoả mãn điều kiện có ước chung lớn nhất. Vì thế, miền Euclid thoả mãn điều kiện có ước chung lớn nhất. Dưới đây chúng ta trình bày thuật toán tìm ước chung lớn nhất của hai phần tử tuỳ ý trong miền Euclid. 1.1.12 Chú ý. Cho D là vành Euclid và a, b ∈ D là hai phần tử không đồng thời bằng 0. Ta có thể giả thiết b 6= 0. Chia a cho b ta được a = bq0 + r1 , với r1 = 0 hoặc g(r1 ) < g(b). Nếu r1 6= 0 thì tiếp tục chia b cho r1 ta được b = r1 q1 + r2 với r2 = 0 hoặc g(r2 ) < g(b). Nếu r2 6= 0 thì tiếp tục chia r1 cho r2 ta được r1 = r2 q2 + r3 với r3 = 0 hoặc g(r3 ) < g(r2 ). Cứ tiếp tục quá trình trên, quá trình này phải dừng sau một số hữu hạn bước vì dãy giảm các số tự nhiên sau đây g(b) > g(r1 ) > g(r2 ) > g(r3 ) > . . . không thể kéo dài vô hạn. Vì vậy đến bước thứ n nào đó ta phải có rn−2 = rn−1 qn−1 + rn với rn 6= 0, g(rn ) < g(rn−1 ) và rn−1 = rn qn . Khi đó phần tử dư khác 0 cuối cùng là rn và rn chính là một ước chung lớn nhất của a và b. 1.2 Phân tích vành thương của vành Z các số nguyên Tiết này trình bày khái niệm tổng trực tiếp của hai vành và sự phân tích vành thương của Z thành tổng trực tiếp.
14 1.2.1 Định nghĩa. Cho V, V 0 là hai vành giao hoán. Ta kí hiệu V ⊕ V 0 = {(x, y) | x ∈ V, y ∈ V 0 }. Khi đó V ⊕ V 0 là một vành với hai phép toán cộng và nhân (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b); (x, y)(a, b) = (xa, yb). Ta gọi vành V ⊕ V 0 là tổng trực tiếp của V và V 0 . Tiếp theo, chúng ta nhắc lại một sô khái niệm và tính chất liên quan đến vành thương của một vành giao hoán ứng với một iđêan. Khái niệm iđêan đã được nếu trong Định nghĩa 1.1.8. 1.2.2 Định nghĩa. Giả sử V là vành giao hoán và I là iđêan của V . Đặt V /I = {x + I | x ∈ V }. Chú ý rằng x + I = y + I nếu và chỉ nếu x − y ∈ I. Khi đó V /I là một vành với phép cộng và phép nhân định nghĩa như sau: (x + I) + (y + I) = (x + y) + I; (x + I)(y + I) = xy + I. Phần tử không của V /I là 0 + I, phần tử 1 + I là đơn vị của V /I. Vành V /I được gọi là vành thương của V ứng với iđêan I. 1.2.3 Ví dụ. Chú ý rằng Z là vành Euclid với anh xạ g : Z∗ → N cho bởi g(n) = |n|, trong đó Z∗ = Z \ {0}. Hơn nữa, Z là miền iđêan chính và nếu I là iđêan của Z thì tồn tại số nguyên m ≥ 0 sao cho I = mZ = {mx | x ∈ Z}.
15 Trong vành thương Z/mZ = {x + mZ | x ∈ Z}, các phần tử x + mZ và y + mZ bằng nhau khi và chỉ khi x − y là bội của m. Phép cộng và nhân trong Z/mZ cho bởi (x + mZ) + (y + mZ) = (x + y) + mZ; (x + mZ)(y + mZ) = xy + mZ. Kí hiệu Zm là vành các số nguyên modulo m. Nếu ta đồng nhất phần tử x + mZ ∈ Z/mZ với phần tử m ∈ Zn , thì các phép toán cộng và nhân trong Z/mZ và trong Zm là như nhau. Vì thế ta có thể đồng nhất Z/mZ ≡ Zm . Cho U, V là hai vành (có đơn vị). Một ánh xạ f : U → V được gọi là một đồng cấu vành nếu f (1) = 1, f (a+b) = f (a)+f (b), f (ab) = f (a)f (b) với mọi a, b ∈ U. Đồng cấu f được gọi là đơn cấu (tương ứng: toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (tương ứng: toàn ánh, song ánh). Hai vành U và V được gọi là đẳng cấu với nhau nếu có một đẳng cấu giữa U và V . Trong trường hợp đó ta viết U ∼ = V. Chú ý rằng hợp thành của hai đẳng cấu là một đẳng cấu, ánh xạ ngược của một đẳng cấu là một đẳng cấu. 1.2.4 Chú ý. Giả sử f : U → V là một đồng cấu vành. Đặt Im f = f (U ) và Ker f = {x ∈ U | f (x) = 0}. Khi đó Im f là vành con của V và Ker f là iđêan của U . Hơn nữa, Định lí đồng cấu vành cho ta đẳng cấu U/ Ker f ∼ = Im f. Định lí sau đây cho ta phân tích vành thương của vành Z thành tổng trực tiếp của những vành không phân tích được. 1.2.5 Mệnh đề. Nếu m = pt11 pt22 . . . ptkk là phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên n thì vành thương Zm = Z/mZ của Z có phân tích Zm ∼ = Zpt11 ⊕ Zpt22 ⊕ . . . ⊕ Zptk . k
16 Chứng minh. Bằng quy nạp, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu m, n > 1 là các số nguyên sao cho gcd(m, n) = 1 thì Zmn ∼ = Zm ⊕ Zn . Xét ánh xạ g : Zmn → Zm ⊕ Zn cho bởi g(¯ a) = (¯ a, a ¯). ¯ = ¯b ∈ Zmn . Khi đó a − b là bội của mn. Do đó a − b là bội Cho a ¯ = ¯b ∈ Zm và a của m và cũng là bội của n. Vì thế a ¯ = ¯b ∈ Zn . Điều này chứng tỏ quy tắc g không phụ thuộc vào việc chọn đại diện của phần tử trong Zmn . Do đó g là ánh xạ. Ta có thể kiểm tra được g là một đồng cấu. Giả sử g(¯ a) = g(¯b). Khi đó (¯ ¯) = (¯b, ¯b) ∈ Zm ⊕ Zn . Suy ra a a, a ¯ = ¯b ∈ Zm và a ¯ = ¯b ∈ Zn . Do đó a − b là bội của m và cũng là bội của n. Vì gcd(m, n) = 1 nên a − b là ¯ = ¯b ∈ Zmn . Do vậy, g là đơn cấu. bội của mn. Vì thế a a, ¯b) ∈ Zm ⊕ Zn . Vì gcd(m, n) = 1 nên tồn tại x, y ∈ Z sao Cho (¯ cho 1 = mx + ny. Suy ra a = amx + any và b = bmx + bny. Chọn c = mxb + nya. Ta có c − a = mxb + nya − a = mxb + nya − (amx + any) = mxb − amx. ¯ ∈ Zm . Tương tự, c¯ = ¯b ∈ Zn . Vì Do đó c − a là bội của m. Suy ra c¯ = a thế ta có g(¯ c) = (¯ a, ¯b) ∈ Zm ⊕ Zn . c, c¯) = (¯ Do đó g là toàn cấu. Vì thế g là đẳng cấu. Một vành giao hoán V được gọi là phân tích được nếu tồn tại hai iđêan I, J 6= {0} của V sao cho I + J = V và I ∩ J = {0}. 1.2.6 Bổ đề. Nếu n > 1 là một lũy thừa của một số nguyên tố thì Zn là vành không phân tích được. Chứng minh. Giả sử Zn phân tích được. Khi đó tồn tại hai iđêan I, J 6= {0} của Zn sao cho I + J = Zn và I ∩ J = {0}. Vì n là lũy thừa của
17 số một nguyên tố nên n = pk với p nguyên tố và k là số nguyên dương. ¯ ∈ I, ¯b ∈ J sao cho a Chọn a ¯, ¯b 6= ¯0. Khi đó a, b đều không là bội của pk . Viết a = pu a0 , b = pv b0 , trong đó a0 , b0 không là bội của p. Vì a, b không là bội của pk nên u, v < k. Chọn t = max{u, v} và c = pt a0 b0 . Khi đó t < k và vì thế c không là bội của pk , tức là trong vành Zn ta có c¯ 6= ¯0. Rõ ràng c¯ ∈ I ∩ J. Điều này là mâu thuẫn với cách chọn I ∩ J = {0}. Do đó Zn không phân tích được. Mệnh đề 1.2.5 và Bổ đề 1.2.6 cho ta cấu trúc của vành thương của vành Z: Mọi vành thương của vành các số nguyên Z đều phân tích được thành tổng trực tiếp của hữu hạn vành không phân tích được dạng Zn với n là lũy thừa của một số nguyên tố. 1.3 Vành Z[i] các số nguyên Gauss Vành các số nguyên Gauss, lần đầu tiên nghiên cứu bởi Gauss, là loại vành liên quan mật thiết đến bài toán về điều kiện để một số tự nhiên là tổng của hai số chính phương và bài toán xác định các bộ ba Pythagore (xem Chương 2, Tiết 2.2 và Tiết 2.3). 1.3.1 Định nghĩa. Một số phức có dạng a + bi với a, b ∈ Z, được gọi là một số nguyên Gauss. Tập các số nguyên Gauss Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z}, trong đó i2 = −1, là một vành với phép cộng và nhân các số phức. Ta gọi Z[i] là vành các số nguyên Gauss. Chuẩn của số nguyên Gauss được định nghĩa như chuẩn của số phức. Cụ thể, nếu z = a + bi là một số phức, thì chuẩn của z được cho bởi N (z) = z z¯ = a2 + b2 , trong đó z¯ = a − bi là liên hợp của z. Chú ý rằng
18 liên hợp của một tổng (tích, thương) hai số phức là tổng (tích, thương) của các liên hợp. Do đó ta có N (zz 0 ) = N (z)N (z 0 ), ∀z, z 0 ∈ C. Trước hết chúng ta quan tâm đến các phần tử khả nghịch trong Z[i]. 1.3.2 Bổ đề. Các phát biểu sau là đúng. (i) Phần tử z ∈ Z[i] là khả nghịch khi và chỉ khi N (z) = 1; (ii) Các phần tử khả nghịch của Z[i] là ±1, ±i. Chứng minh. (i). Cho z ∈ Z[i] là khả nghịch. Khi đó tồn tại z 0 ∈ Z[i] sao cho zz 0 = 1. Suy ra 1 = N (1) = N (zz 0 ) = N (z)N (z 0 ). Vì thế N (z) = 1. Ngược lại, cho N (z) = 1. Viết z = a + bi với a, b ∈ Z. Khi đó a2 + b2 = 1. Suy ra a = ±1, b = 0 hoặc a = 0, b = ±1. Do đó z = ±1 hoặc z = ±i. Vì thế z khả nghịch trong Z[i]. Phát biểu (ii) suy ra ngay từ chứng minh của phát biểu (i). Mối quan hệ giữa tính chia hết trong Z[i] và tính chia hết trong Z được thể hiện trong bổ đề sau. 1.3.3 Bổ đề. Cho z, z 0 ∈ Z[i]. Nếu z là ước của z 0 trong Z[i] thì N (z) là ước của N (z 0 ) trong vành Z. Chứng minh. Nếu z là ước của z 0 thì z 0 = zu với u ∈ Z[i]. Do đó N (z 0 ) = N (zu) = N (z)N (u). Suy ra N (z) là ước của N (z 0 ). Đặt Z[i]∗ = Z[i] \ {0}. Thông qua chuẩn của số nguyên Gauss, chúng ta sẽ chứng minh Z[i] là miền Euclid.