Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

Chia sẻ: Tri Tâm | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu có cấu trúc gồm 2 chương trình bày bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng; phương pháp lai nghiệm chung của bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ HIỂN PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG, BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN THỊ HIỂN PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG, BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2019
iii Mục lục Bảng ký hiệu và các chữ viết tắt 1 Mở đầu 2 Chương 1. Bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng 5 1.1 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Toán tử chiếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . 6 1.1.3 Bài toán điểm bất động (FP) . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) . . . . . . . . . 10 1.3 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Song hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Bài toán cân bằng (EP) . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng 19 2.1 Phương pháp lai ghép trong không gian Hilbert . . . . . . . . 19 2.1.1 Nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 Phương pháp lai ghép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Định lý hội tụ mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iv 2.2.2 Một số hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37
1 Bảng ký hiệu và các chữ viết tắt R Tập hợp các số thực R+ Tập hợp các số thực không âm Rn Không gian vec tơ thực Euclide n chiều N∗ Tập hợp các số tự nhiên khác không H Không gian Hilbert thực ∅ Tập rỗng D(A) Miền xác định của toán tử A R(A) Miền ảnh của toán tử A A−1 Toán tử ngược của toán tử A I Toán tử đồng nhất C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên đoạn [a, b] lim supn→∞ xn Giới hạn trên của dãy số {xn } lim inf n→∞ xn Giới hạn dưới của dãy số {xn } xn → x0 Dãy {xn } hội tụ mạnh tới x0 xn * x0 Dãy {xn } hội tụ yếu tới x0 arg min{f (x) : x ∈ C} Phần tử cực tiểu hàm f trên C Fix(T ) Tập điểm bất động của ánh xạ T EP Bài toán cân bằng (Equilibrium Problem) VI Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) FP Bài toán điểm bất động (Fixed Point Problem)
2 Mở đầu Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H, G : C × C → R là song hàm thỏa mãn tính chất cân bằng G(x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Xét bài toán Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho G(x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, (1) ký hiệu là EP(G, C). Bài toán (1) được Nikaido và Isoda đề xuất lần đầu tiên vào năm 1955 nhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash (xem [14]). Năm 1972 nó được Ky Fan nghiên cứu dưới dạng bất đẳng thức minimax (xem [8]). Tên gọi bài toán cân bằng được các tác giả Muu và Oettli đưa ra vào năm 1992 (xem [13]). Điểm lý thú của bài toán cân bằng EP(G, C) là nó bao hàm nhiều bài toán riêng lẻ khác nhau, chẳng hạn bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động v.v. . . Chẳng hạn, nếu ta chọn G(x, y) := hA(x), y − xi, A : C → C là một ánh xạ (2) thì bài toán cân bằng (1) sẽ trở thành bài toán Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho hA(x∗ ), y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C. (3) Đây là bài toán bất đẳng thức biến phân, với ánh xạ giá A và tập ràng buộc C, ký hiệu là VI(A, C). Nếu ánh xạ A : C → C được xác định bởi A(x) := x − T (x), (4) ở đây T : C → C là một ánh xạ thì bài toán bất đẳng thức biến phân VI(A, C) được đưa về bài toán điểm bất động FP(T, C): Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho x∗ = T (x∗ ). (5)
3 Các phương pháp giải và các kết quả nghiên cứu của bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân v.v. . . có thể được mở rộng và tổng quát hóa để áp dụng trở lại giải bài toán cân bằng. Các nghiên cứu chính về bài toán cân bằng EP(G, C) được chia làm hai hướng (a) Các nghiên cứu định tính: nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, sự ổn định nghiệm; (b) Các nghiên cứu định lượng: các phương pháp, thuật toán giải, tốc độ hội tụ, áp dụng vào thực tế. Ngoài ra, việc kết hợp bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động luôn là một đề tài lý thú. Bằng việc kết hợp các bài toán này, ta tận dụng được các kỹ thuật đã có trong lý thuyết điểm bất động để đề xuất và chứng minh sự hội tụ của các thuật toán mới cho bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân. Một trong những chủ đề nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học là bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động. Mục tiêu của đề tài luận văn là trình bày một số phương pháp lai ghép tìm nghiệm (nghiệm chung) của bài toán cân bằng (EP - Equilibrium Problem), bài toán bất đẳng thức biến phân (VI - Variational Inequality Problem) và bài toán điểm bất động (FP - Fixed Point Problem) trong không gian Hilbert thực H trong bài báo [17] công bố năm 2015. Nội dung của đề tài được trình bày trong hai chương. Chương 1 với tiêu đề "Bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng", giới thiệu về bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng cùng mối liên hệ giữa các bài toán này. Chương 2 "Phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung của các bài toán EP, VI, FP" trình bày một số phương pháp kết hợp tìm nghiệm chung của các bài toán EP, VI, FP. Nội dung của chương này được viết trên cơ sở bài báo
4 [17] công bố năm 2015. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên. Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, Trường Đại học Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập, nghiên cứu và làm luận văn. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy, cô trong khoa Toán – Tin, trong Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Phó Giáo sư, Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy đã giúp đỡ và chỉ bảo em tận tình. Cô không chỉ truyền đạt tri thức, kĩ năng cần thiết mà còn dạy em phương pháp làm việc khoa học đồng thời cô cũng là người truyền lửa đam mê, nhiệt huyết và sự tận tụy trong công việc. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu trường Trung Học Phổ Thông Gia Bình số 1 - Bắc Ninh đã động viên, khích lệ và tạo mọi điều kiện để em hoàn thành việc học chương trình thạc sĩ. Mặc dù đã rất cố gắng xong bản luận văn này không thể tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn học viên. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hiển
5 Chương 1 Bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng Chương này giới thiệu về bài toán điểm bất động, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng trong không gian Hilbert thực H và trình bày mối liên hệ giữa chúng. Nội dung của chương gồm ba phần. Phần đầu tiên trình bày về khái niệm ánh xạ không giãn, toán tử chiếu trong không gian Hilbert và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn. Phần thứ hai giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. Phần cuối của chương giới thiệu về bài toán cân bằng với song hàm đơn điệu và trình bày mối liên hệ giữa bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động. Nội dung của chương được viết trên cơ sở tổng hợp kiến thức từ các tài liệu [2], [3], [10] và [12]. 1.1 Bài toán điểm bất động Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h., .i và chuẩn k.k, tương ứng. Cho {xn } là một dãy trong không gian H. Ta ký hiệu xn * x nghĩa là dãy {xn } hội tụ yếu đến x và xn → x nghĩa là dãy {xn } hội tụ mạnh đến x.
6 1.1.1 Ánh xạ không giãn Định nghĩa 1.1.1 (xem [3]) Cho C là một tập con khác rỗng của không gian Hilbert thực H. (i) Ánh xạ T : C → H được gọi là ánh xạ L-liên tục Lipschitz trên C nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho kT (x) − T (y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ C. (1.1) (ii) Trong (1.1), nếu L ∈ [0, 1) thì T được gọi là ánh xạ co; nếu L = 1 thì T được gọi là ánh xạ không giãn. (iii) Ánh xạ T được gọi là không giãn vững trên C nếu với mọi x, y ∈ C, kT (x) − T (y)k2 ≤ hT (x) − T (y), x − yi. Ta thấy nếu T là ánh xạ không giãn vững trên C thì T là ánh xạ không giãn trên C. 1.1.2 Toán tử chiếu trong không gian Hilbert Ta xét hình chiếu của một phần tử x ∈ H lên C. Định lý 1.1.2 (xem [2]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Khi đó với mọi x ∈ H, tồn tại duy nhất phần tử y ∈ C sao cho kx − yk = min kx − zk. (1.2) z∈C Điểm y ∈ C thỏa mãn (1.2) được gọi là hình chiếu của x trên C, ký hiệu là PC (x). Định nghĩa 1.1.3 (xem [2]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Ánh xạ PC : H → C xác định bởi kx − PC (x)k = min kx − zk z∈C được gọi là toán tử chiếu (phép chiếu mêtric) lên C.
7 Sau đây là một vài ví dụ về toán tử chiếu. Ví dụ 1.1.4 Giả sử a, b ∈ Rn , a 6= 0. Xét nửa không gian C ⊂ Rn và mặt phẳng Q ⊂ Rn cho bởi C = {x ∈ Rn : ha, x − bi ≤ 0}, Q = {x ∈ Rn : ha, x − bi = 0}. Khi đó toán tử chiếu lên C và Q lần lượt cho bởi  x,  nếu ha, x − bi ≤ 0 PC (x) = ha, x − bia x −  , nếu ha, x − bi > 0. kak2  x,  nếu ha, x − bi = 0 PQ (x) = ha, x − bia x −  , nếu ha, x − bi = 6 0. kak2 Ví dụ 1.1.5 Giả sử a ∈ Rn , R > 0 và hình cầu D được xác định bởi D = {x ∈ Rn : kx − ak ≤ R}. Khi đó, toán tử chiếu lên D được cho bởi  x,  nếu kx − ak ≤ R PD (x) = R(x − a) a +  , nếu kx − ak > R. kx − ak Một số tính chất của toán tử chiếu lên tập lồi đóng khác rỗng C trong không gian Hilbert thực H được trình bày trong các bổ đề dưới đây. Bổ đề 1.1.6 (xem [11]) Cho H không gian Hilbert thực. Khi đó: (i) kx + yk2 = kxk2 + kyk2 + 2hx, yi với mọi x, y ∈ H; (ii) kx − yk2 = kxk2 + kyk2 − 2hx, yi với mọi x, y ∈ H; (iii) ktx + (1 − t)yk2 = tkxk2 + (1 − t)kyk2 − t(1 − t)kx − yk2 với mọi t ∈ [0, 1] và mọi x, y ∈ H; (iv) kx − yk2 ≥ kx − PC (x)k2 + ky − PC (x)k2 với x ∈ H và mọi y ∈ C, với C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H.
8 Bổ đề 1.1.7 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Cho toán tử chiếu PC : H → C với x ∈ H và y ∈ C, khi đó: (i) y = PC (x) khi và chỉ khi hx − y, z − yi ≤ 0, ∀z ∈ C; (ii) kPC (x) − PC (y)k2 ≤ hPC (x) − PC (y), x − yi, ∀x, y ∈ H. Do đó ánh xạ PC (x) là ánh xạ không giãn, tức là: kPC (x) − PC (y)k ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ H. trong đó PC là phép chiếu mêtric chiếu H lên C. 1.1.3 Bài toán điểm bất động (FP) Trong mục này ta xét bài toán trong không gian Hilbert thực H. Định nghĩa 1.1.8 (xem [3]) Cho C là tập con khác rỗng của H và ánh xạ T : C → C. Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của ánh xạ T nếu T (x) = x. Ký hiệu tập điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ), nghĩa là Fix(T ) := x ∈ C : T (x) = x . Định nghĩa 1.1.9 (xem [3]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H, ánh xạ T : C → C được gọi là (i) Ánh xạ tựa không giãn trên C nếu Fix(T ) 6= ∅ và kT (x) − x∗ k ≤ kx − x∗ k, ∀x ∈ C, ∀x∗ ∈ Fix(T ); (ii) Ánh xạ thỏa mãn nguyên lý đóng nếu với mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ yếu đến x và k(T (xk ) − xk k → 0 thì x ∈ Fix(T ). Bổ đề 1.1.10 (xem [3]) Giả sử C là tập con lồi đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và ánh xạ T : C → C là ánh xạ không giãn. Nếu T có điểm bất động thì Fix(T ) là tập lồi đóng.
9 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.2.1 (xem [4]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H. Toán tử A : C → H được gọi là (i) đơn điệu trên C nếu hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ C; đơn điệu chặt trên C nếu dấu "=" của bất đẳng thức trên chỉ xảy ra khi x = y; (ii) giả đơn điệu trên C nếu hA(x), y − xi ≥ 0 ⇒ hA(y), y − xi ≥ 0, ∀x, y ∈ C; (iii) đơn điệu đều trên C nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và thỏa mãn tính chất hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk , ∀x, y ∈ C; nếu δ(t) = βt2 , β là hằng số dương, thì A được gọi là toán tử đơn điệu mạnh trên C (hay β-đơn điệu mạnh trên C); (iv) đơn điệu mạnh ngược trên C với hệ số η > 0 (hay η-đơn điệu mạnh ngược trên C) nếu hA(x) − A(y), x − yi ≥ ηkA(x) − A(y)k2 , ∀x, y ∈ C. Khái niệm toán tử đơn điệu được trình bày trong Định nghĩa 1.2.1 còn được mô tả dựa trên đồ thị như sau. Định nghĩa 1.2.2 (xem [4]) Toán tử đa trị A : H → 2H được gọi là đơn điệu nếu hf − g, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ H, f ∈ A(x), g ∈ A(y). Đồ thị Gr(A) của toán tử A được định nghĩa như sau: Gr(A) = {(x, y) : y = A(x) ∀x ∈ H}. Toán tử A : H → 2H được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị Gr(A) của A không bị chứa thực sự trong đồ thị của bất kỳ một toán tử đơn điệu nào khác.
10 Chú ý 1.2.3 Toán tử A là đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu với (x, f ) ∈ H×H, hf − g, x − yi ≥ 0 với (y, g) ∈ Gr(A) suy ra f ∈ A(x). 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân (VI) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ đi từ C vào H. Bài toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ giá A và tập ràng buộc C, ký hiệu là VI(A, C), được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho hA(x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. (1.3) Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(A, C) với ánh xạ giá A được ký hiệu là ΩA . Trong trường hợp ánh xạ giá A có dạng A(x) = x − x+ với mọi x ∈ C, x+ ∈ H cho trước, theo Bổ đề 1.1.7 hA(x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C ⇔ hx∗ − x+ , x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C ⇔ hx+ − x∗ , x − x∗ i ≤ 0, ∀x ∈ C ⇔ x∗ = PC (x+ ). Do đó, ΩA = {PC (x+ )}. Cho A là ánh xạ λ-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipschitz từ C vào H và NC x là nón pháp tuyến từ C đến x ∈ C, nghĩa là NC x = y ∈ H : hy, x − ui ≥ 0, ∀u ∈ C . Ta ký hiệu  Ax + NC x, nếu x ∈ C Bx = ∅, nếu x ∈ / C. Khi đó B là toán tử đơn điệu cực đại và 0 ∈ Bx nếu và chỉ nếu x ∈ ΩA (xem [15]). Sau đây là một số bài toán quen thuộc có thể mô tả dưới dạng bài toán bất đẳng thức biến phân.
11 Bài toán giải hệ phương trình Xét H = Rn , C = Ω = Rn và ánh xạ A : Rn → Rn . Khi đó, x∗ ∈ Rn là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(A, C) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của hệ phương trình A(x∗ ) = 0. Thật vậy, nếu A(x∗ ) = 0 thì bất đẳng thức (1.3) xảy ra dấu bằng. Do đó, ta có x∗ ∈ ΩA . Ngược lại, nếu x∗ ∈ ΩA thì hA(x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ Rn . Chọn x = x∗ − A(x∗ ), ta được hA(x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 hay − kA(x∗ )k2 ≥ 0. Do đó A(x∗ ) = 0. Bài toán điểm bất động Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực và ánh xạ T : C → C. Bài toán điểm bất động đó là bài toán tìm x∗ ∈ C sao cho T (x∗ ) = x∗ (xem Mục 1.1.3). Xét ánh xạ T : C → H được cho bởi A(x) = x − T (x), ∀x ∈ C. Khi đó, bài toán VI(A, C) trùng với bài toán tìm điểm bất động Fix(T ) của ánh xạ T. Thật vậy, nếu x∗ là điểm bất động của ánh xạ T thì T (x∗ ) = x∗ , khi đó A(x∗ ) = 0 và bất đẳng thức (1.3) xảy ra dấu bằng. Do đó x∗ ∈ ΩA . Ngược lại, nếu x∗ ∈ ΩA khi đó hA(x∗ ), x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C. Chọn x = T (x∗ ), ta được hx∗ − T (x∗ ), T (x∗ ) − x∗ i ≥ 0 hay − kT (x∗ ) − x∗ k2 ≥ 0. Mặt khác, ta luôn có kT (x∗ ) − x∗ k2 ≥ 0. Do đó T (x∗ ) = x∗ . Tức là x∗ ∈ Fix(T ).
12 Mối liên hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động được nêu trong bổ đề dưới đây. Bổ đề 1.2.4 (xem [5]) Cho x∗ ∈ C và λ > 0, ánh xạ T (x) = PC (x − λA(x)): C → C. Khi đó, x∗ ∈ ΩA khi và chỉ khi x∗ ∈ Fix(T ). Chứng minh. Theo Bổ đề 1.1.7, ta có x∗ ∈ Fix(T ) ⇔ x∗ = T (x∗ ) ⇔ x∗ = PC (x∗ − λA(x∗ )) ⇔ hx∗ − λA(x∗ ) − x∗ , z − x∗ i ≤ 0, ∀z ∈ C ⇔ hλA(x∗ ), z − x∗ i ≥ 0, ∀z ∈ C ⇔ hA(x∗ ), z − x∗ i ≥ 0, ∀z ∈ C ⇔ x∗ ∈ ΩA . Nếu ánh xạ giá A đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C thì bài toán VI(A, C) có nghiệm duy nhất. Định lý 1.2.5 (xem [10]) Nếu A : C → H là β-đơn điệu mạnh trên C và L-liên tục Lipschitz trên C thì bài toán VI(A, C) có nghiệm duy nhất. 2β Chứng minh. Chọn 0 < µ < và xét ánh xạ T : C → C cho bởi L2 T (x) = PC (x − µA(x)) với mọi x ∈ C. Khi đó, với mọi x, y ∈ C ta có kT (x) − T (y)k2 = kPC (x − µA(x)) − PC (y − µA(y))k2 ≤ kx − µA(x) − (y − µA(y))k2 = kx − yk2 − 2µhA(x) − A(y), x − yi + µ2 kA(x) − A(y)k2 . Sử dụng tính β-đơn điệu mạnh trên C và L-liên tục Lipschitz trên C của A, ta có kT (x) − T (y)k2 ≤ kx − yk2 − 2µβkx − yk2 + µ2 L2 kx − yk2 = (1 − 2µβ + µ2 L2 )kx − yk2 . Do đó p kT (x) − T (y)k ≤ 1 − µ(2β − µL2 )kx − yk = ρkx − yk.
13 Trong đó p ρ= 1 − µ(2β − µL2 ) ∈ [0, 1). Vậy T : C → C là ánh xạ co. Theo nguyên lí ánh xạ co, tồn tại duy nhất x∗ ∈ C sao cho T (x∗ ) = x∗ . Do đó theo Bổ đề 1.2.4 ta có x∗ ∈ ΩA . Bổ đề 1.2.6 (xem [5]) Cho ánh xạ A : C → H là η-đơn điệu mạnh ngược trên C và µ ∈ (0, 2η]. Xét ánh xạ T : C → C được cho bởi T (x) = PC (x − µA(x)), ∀x ∈ C. Khi đó ánh xạ T không giãn và Fix(T ) = ΩA . Chứng minh. Từ tính chất η-đơn điệu mạnh ngược trên C của A và µ ∈ (0, 2η], với mọi x, y ∈ C ta có kT (x) − T (y)k2 = kPC (x − µA(x)) − PC (y − µA(y))k2 ≤ kx − µA(x) − (y − µA(y))k2 = kx − y − µ(A(x) − A(y))k2 = kx − yk2 − 2µhA(x) − A(y), x − yi + µ2 kA(x) − A(y)k2 ≤ kx − yk2 − 2µηkA(x) − A(y)k2 + µ2 kA(x) − A(y)k2 ≤ kx − yk2 + µ(µ − 2η)kA(x) − A(y)k2 ≤ kx − yk2 . Do đó kT (x) − T (y)k ≤ kx − yk. Vậy T là ánh xạ không giãn. Từ Bổ đề 1.2.4 ta suy ra Fix(T ) = ΩA . Tính chất lồi đóng của tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân được trình bày trong bổ đề dưới đây. Bổ đề 1.2.7 (xem [5]) Giả sử C là một tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và D là một tập trong H chứa C. Cho ánh xạ A : D → H giả đơn điệu trên C và một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:
14 (i) lim supk→∞ hA(xk ), yi ≤ hA(x), yi với mọi y ∈ H và mọi dãy {xk } ⊂ C hội tụ yếu đến x. (ii) A liên tục Lipschitz trên C với hệ số L > 0. Giả sử tập nghiệm ΩA của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(C, A) khác rỗng, khi đó ΩA là tập lồi đóng. Chứng minh. Đặt Sd (C, A) = {x∗ ∈ C : hA(y), y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C}. Ta luôn có ΩA ⊂ Sd (C, A) Thật vậy, giả sử x ∈ ΩA . Khi đó, hA(x∗ ), y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C Mặt khác, từ tính giả đơn điệu của A, ta suy ra hA(y), y − x∗ i ≥ 0, ∀y ∈ C Tức là x ∈ Sd (C, A). Do đó ΩA ⊂ Sd (C, A). Ta chứng minh Sd (C, A) ⊂ ΩA . Trường hợp 1. A thỏa mãn điều kiện (i). Giả sử ngược lại tồn tại x∗ ∈ Sd (C, A) sao cho x∗ ∈ / ΩA , tức là tồn tại y ∗ ∈ C sao cho hA(x∗ ), y ∗ − x∗ i < 0. Với mỗi k ∈ N∗ , đặt 1 1 xk := (1 − )x∗ + y ∗ . k k ∗ ∗ k Vì C lồi và x , y ∈ C nên x ∈ C với mọi k. Mặt khác, ta có 1 kxk − x∗ k = ky ∗ − x∗ k k nên xk → x∗ khi k → ∞. Từ x∗ ∈ Sd (C, A), ta suy ra hA(y), y − x∗ i ≥ 0 với mọi y ∈ C. Đặc biệt khi y = xk , ta có hA(xk ), xk − x∗ i ≥ 0
15 Hay 1 hA(xk ), (y ∗ − x∗ )i ≥ 0. k Từ đó với mọi k ∈ N∗ , ta có hA(xk ), y ∗ − x∗ i ≥ 0. Vì dãy {xk } hội tụ yếu đến x∗ nên lim suphA(xk ), y ∗ − x∗ i ≤ hA(x∗ ), y ∗ − x∗ i, k→∞ điều này trái với giả sử ban đầu hA(x∗ ), y ∗ − x∗ i < 0. VậySd (C, A) ⊂ ΩA . Trường hợp 2. A thỏa mãn điều kiện (ii). Lấy x∗ ∈ Sd (C, A) bất kì, ta chứng minh x∗ ∈ ΩA . Xét x ∈ C tùy ý và đặt xt := (1 − t)x∗ + tx với t ∈ [0; 1] nên 0 ≤ hA(xt ), xt − x∗ i = hA(xt ), (1 − t)x∗ + tx − x∗ i = thA(xt ), x − x∗ i. Do đó với mọi t ∈ (0; 1] 0 ≤ hA(xt ), x − x∗ i = hA(xt ) − A(x∗ ), x − x∗ i + hA(x∗ ), x − x∗ i ≤ Lkxt − x∗ kkx − x∗ k + hA(x∗ ), x − x∗ i = Lk(1 − t)x∗ + tx − x∗ kkx − x∗ k + hA(x∗ ), x − x∗ i = Ltkx − x∗ k2 + hA(x∗ ), x − x∗ i. Lấy giới hạn của biểu thức cuối khi cho t → 0+ , ta được hA(x∗ ), x − x∗ i ≥ 0. Vì x ∈ C là bất kì nên ta suy ra x∗ ∈ ΩA . Do đó Sd (C, A) ⊂ ΩA . Vậy với một trong hai điều kiện (i) và (ii), ta đều có Sd (C, A) ⊂ ΩA . Kết hợp với ΩA ⊂ Sd (C, A), ta suy ra Sd (C, A) = ΩA . Ta thấy Sd (C, A) = C ∩ y∈C Py với Py = {x∗ ∈ H : hA(y), y −x∗ i ≥ 0}. Vì T Py là lồi đóng với mọi y ∈ C nên Sd (C, A) là lồi đóng. Do đó ΩA = Sd (C, A) cũng là lồi đóng.
16 1.3 Bài toán cân bằng 1.3.1 Song hàm đơn điệu Định nghĩa 1.3.1 (xem [12]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Song hàm G : C × C → R ∪ {+∞} được gọi là: (i) đơn điệu trên C nếu G(x, y) + G(y, x) ≤ 0 với ∀x, y ∈ C; (ii) giả đơn điệu trên C nếu G(x, y) ≤ 0, ta suy ra G(y, x) ≥ 0 với ∀x, y ∈ C; (iii) liên tục kiểu Lipschitz trên C với hằng số c1 > 0 và c2 > 0 nếu G(x, y) + G(y, z) ≥ G(x, z) − c1 kx − yk2 − c2 ky − zk2 , ∀x, y, z ∈ C; (iv) liên tục yếu đồng thời trên C × C nếu với hai dãy {xk }, {y k } ⊂ C hội tụ yếu lần lượt đến x, y ∈ C thì G(xk , y k ) → G(x, y) khi k → ∞. Nhận xét 1.3.2 Nếu đặt G(x, y) := hA(x), y − xi thì song hàm G đơn điệu (đơn điệu mạnh) khi và chỉ khi toán tử A đơn điệu (đơn điệu mạnh). 1.3.2 Bài toán cân bằng (EP) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, G : C × C → R ∪ {+∞} là một song hàm sao cho G(x, x) = 0 với mọi x ∈ C. Bài toán cân bằng EP(G, C) cho song hàm G trên C được phát biểu như sau: Tìm phần tử x∗ ∈ C sao cho G(x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C. (1.4) Ký hiệu tập nghiệm của bài toán cân bằng (1.4) là SG . Bài toán cân bằng bao hàm nhiều bài toán quan trọng trong tối ưu chẳng hạn hai bài toán dưới đây: Bài toán bất đẳng thức biến phân Đặt G(x, y) := hA(x), y − xi, ta nhận được bài toán VI(A, C) là trường hợp đặc biệt của bài toán EP(G, C).