Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp cho những điểm bất động của ánh xạ không giãn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Võ Thanh Thảo<br /> <br /> PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO NHỮNG ĐIỂM BẤT<br /> ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh - 2011<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Võ Thanh Thảo<br /> <br /> PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO NHỮNG ĐIỂM BẤT<br /> ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN<br /> <br /> Chuyên ngành: Toán Giải tích<br /> Mã số: 60 46 01<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC<br /> <br /> PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh - 2011<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> LỜI CÁM ƠN ....................................................................................................................... 4<br /> LỜI MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 5<br /> CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................................ 7<br /> 1.1 Không gian lồi đều ..................................................................................................... 7<br /> 1.2 Không gian lồi chặt .................................................................................................... 8<br /> 1.3 Môđun lồi của không gian Banach ........................................................................... 8<br /> 1.4 Không gian trơn ....................................................................................................... 10<br /> 1.5 Ánh xạ đối ngẫu trong không gian Banach ........................................................... 10<br /> 1.6 Các định nghĩa.......................................................................................................... 12<br /> 1.6.1 Dãy chấp nhận được ......................................................................................... 12<br /> 1.6.2 Nửa compact ...................................................................................................... 12<br /> 1.6.3 Nửa đóng ............................................................................................................ 12<br /> 1.6.4 Không gian Opial .............................................................................................. 12<br /> CHƯƠNG 2:MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 13<br /> CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG<br /> GIÃN ................................................................................................................................... 19<br /> 3.1 Tiệm Cận Đều ........................................................................................................... 19<br /> 3.2 Các định lý điều kiện đủ để ..................................................................................... 26<br /> 3.3 Các định lý về sự hội tụ của dãy lặp về điểm bất động......................................... 32<br /> 3.4 Hai định lý hội tụ yếu............................................................................................... 37<br /> 3.5 Phương pháp lặp kiểu Halpern .............................................................................. 39<br /> 3.5.1 Giới thiệu về phương pháp lặp kiểu Halpern ........................................ …….40<br /> 3.5.2 Các định lý hội tụ theo điều kiện Halpern ...................................................... 40<br /> 3.5.2.1 Định lý của Shioji và Takahashi ............................................................... 40<br /> 3.5.2.2 Định lý của Xu ............................................................................................ 45<br /> 3.5.2.3 Định lý 3.21 ................................................................................................. 48<br /> 3.5.2.4 Định lý hội tụ trong trường hợp ánh xạ không đi vào chính tập nền ... 56<br /> KẾT LUẬN ......................................................................................................................... 60<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 61<br /> <br /> LỜI CÁM ƠN<br /> <br /> Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Hoàn Hóa, người đã<br /> nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.<br /> Tôi xin trân trọng cám ơn PGS.TS Đậu Thế Cấp, PGS.TS Nguyễn Bích Huy, TS<br /> Trần Huyên, PGS.TS Đặng Đức Trọng, PGS.TS Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Nguyễn Anh<br /> Tuấn, TS Trịnh Công Diệu đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho tôi những kiến thức quý<br /> báu làm công cụ để thực hiện việc nghiên cứu.<br /> Tôi cũng xin chân thành cám ơn:<br /> -<br /> <br /> Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm TP.HCM<br /> đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.<br /> <br /> -<br /> <br /> Các thành viên trong lớp giải tích khóa 20 đã cùng tôi vượt qua những khó khăn<br /> trong thời gian học tại trường.<br /> <br /> -<br /> <br /> Các bạn trong lớp Toán Tin K31(2005-2009) - Đại học Cần Thơ đã thường xuyên<br /> hỏi thăm, động viên cho tôi.<br /> <br /> Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, anh chị và những người thân<br /> trong gia đình đã luôn động viên, nâng đỡ cho tôi về mọi mặt.<br /> <br /> Võ Thanh Thảo<br /> <br /> LỜI MỞ ĐẦU<br /> <br /> Lý thuyết điểm bất động đã ra đời từ những năm đầu tiên của thế kỷ XX. Từ khi ra<br /> đời đến nay nó có nhiều ứng dụng trong toán học nói riêng và trong khoa học kỹ thuật nói<br /> chung. Trong rất nhiều trường hợp, việc giải một phương trình được quy về việc tìm điểm<br /> bất động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, f là một<br /> ánh xạ trong X , y là một phần tử cố định của X thì nghiệm của phương trình f (x ) = y chính<br /> là điểm bất động của ánh xạ T xác định bởi: Tx = f (x ) + x − y với mọi x ∈ X .<br /> Cho (M , d ) là không gian mêtric. Ánh xạ T : M → M được gọi là ánh xạ không giãn<br /> nếu với mọi x, y ∈ X ta có d (Tx, Ty ) ≤ d (x, y ) . Các kết quả cơ bản về điểm bất động của ánh<br /> xạ không giãn chỉ xuất hiện cách đây vài chục năm, và kể từ đó đến nay lĩnh vực này là một<br /> mảnh đất màu mỡ thu hút rất nhiều nhà toán học lao vào nghiên cứu. Chính vì sự mới mẽ<br /> của vấn đề này nên việc nghiên cứu về điểm bất động của ánh xạ không giãn chắc chắn sẽ<br /> hứa hẹn nhiều điều thú vị.<br /> Mục đích của luận văn này là nghiên cứu về phương pháp lặp cho điểm bất động của<br /> ánh xạ không giãn, các định lý hội tụ của dãy về điểm bất động, đồng thời cũng nghiên cứu<br /> về phương pháp lặp kiểu Hapern, một phương pháp mà dãy lặp<br /> <br /> {x }<br /> <br /> ∞<br /> <br /> n<br /> <br /> n =0<br /> <br /> ⊂ K được định<br /> <br /> nghĩa như sau:<br /> <br />  x0 ∈ K<br /> <br />  xn +1 = α nu + (1 − α n ) Txn , n ≥ 0<br /> với K là tập con lồi, đóng của không gian Banach E, dãy {α n } ⊂ [ 0,1] và u tùy ý thuộc K .<br /> Luận văn gồm có 3 chương:<br /> Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trình bày một số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc<br /> nghiên cứu luận văn được rõ ràng, dễ hiểu.<br /> Chương 2: Một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn. Trong chương<br /> này chúng tôi trình bày một số kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn và được<br /> chứng minh rõ ràng, chi tiết.<br /> Chương 3: Phương pháp lặp cho điểm bất động của ánh xạ không giãn. Trong<br /> chương này chúng tôi trình bày về tiệm cận đều, sự hội tụ của dãy lặp về điểm bất động, các<br /> <br />