Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ta có một nhịp cầu nối Đại số (phương trình và hàm số) với Lượng giác (các hệ thức của hàm số lượng giác có liên quan đặc biệt). Đây chính là điểm mới và khác biệt của luận văn này so với các luận văn đã có về hệ thức lượng giác. Ý tưởng sử dụng các tính chất nghiệm của phương trình đại số để phát hiện và chứng minh các hệ thức lượng giác có lẽ lần đầu tiên được trình bày một cách hệ thống trong bài báo "Phát hiện và chứng minh các đẳng thức lượng giác nhờ phương trình đại số".

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ KIM ANH PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ KIM ANH PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƢỢNG GIÁC Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Tạ Duy Phƣợng THÁI NGUYÊN - 2018
3 Mục lục Mở đầu 5 Chương 1 Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh các hệ thức lượng giác 9 1.1. Các tính chất nghiệm của phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . 9 1.2. Xây dựng phương trình bậc hai mới từ phương trình bậc hai đã biết 11 2π 4π 1.3. Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị lượng giác của , . 12 5 5 2π 4π 1.3.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của , . 12 5 5 2π 4π 1.3.2. Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác của , . . . 14 5 5 π 1.4. Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị lượng giác của góc . 20 π 12 1.4.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của góc . 20 12 π 1.4.2. Các hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác của góc . . 21 12 Chương 2 Phương pháp phương trình bậc ba chứng minh các hệ thức lượng giác 23 2.1. Các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . 23 2.2. Xây dựng phương trình bậc ba mới từ phương trình bậc ba đã biết 26 2.3. Phương trình bậc ba liên quan đến các giá trị lượng giác của các π 5π 7π góc , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 18 18 18 2.3.1. Các mệnh đề liên qua đến giá trị lượng giác của các góc π 5π 7π , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 18 18 18
4 2.3.2. Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác của các góc π 5π 7π , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 18 18 18 2.4. Phương trình bậc ba liên quan đến các giá trị lượng giác của các π 3π 5π góc , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7 7 7 2.4.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của các góc π 3π 5π , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 7 7 7 2.4.2. Các đẳng thức liên quan đến giá trị lượng giác của các góc π 3π 5π , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7 7 7 Chương 3 Phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh các hệ thức lượng giác 51 3.1. Các tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn . . . . . . . . . . 51 3.2. Xây dựng phương trình bậc bốn mới từ phương trình bậc bốn đã có 53 3.3. Phương trình bậc bốn liên quan đến các giá trị lượng giác của các π 3π 5π 7π góc , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 8 8 8 8 3.3.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của các góc π 3π 5π 7π , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 8 8 8 8 3.3.2. Các hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác của các góc π 3π 5π 7π , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8 8 8 8 3.4. Phương trình bậc bốn liên quan đến các giá trị lượng giác của các π 5π 9π 13π góc , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 16 16 16 16 3.4.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của các góc π 5π 9π 13π , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 16 16 16 16 3.4.2. Các đẳng thức liên quan đến giá trị lượng giác của các góc π 5π 9π 13π , , , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 16 16 16 16 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74
5 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Xét ba bài toán sau đây. Bài toán 1 (Olympic Moskva, 1939, vòng 1) Chứng minh rằng 2π 4π 1 cos + cos =− . (1) 5 5 2 Bài toán 2 (Vô địch Quốc tế lần thứ 5, 1963) Chứng minh rằng π 2π 3π 1 cos − cos + cos = . (2) 7 7 7 2 π 3π 5π 7π Bài toán 3 (THTT, tháng 10, số 232, năm 1996) tan , tan , tan , tan 8 8 8 8 là các nghiệm của phương trình t4 − 6t2 + 1 = 0. (3) Hai hệ thức (1) và (2) có thể dễ dàng chứng minh nhờ phép biến đổi lượng giác. Tuy nhiên, từ hai hệ thức này ta khó có thể phát hiện thêm những hệ thức tương tự. Mặt khác, có thể dễ dàng chứng minh rằng (xem Mệnh đề 1.3.1) 2π 4π 1 1 cos , cos là các nghiệm của phương trình t2 + t − = 0. Tương tự (xem 5 5 2 4 π 3π 5π 1 1 Mệnh đề 2.4.1), cos , cos , cos là nghiệm của phương trình t3 − t2 − t + 7 7 7 2 2 1 = 0 và bài toán 3 đã được chứng minh trong Mệnh đề 3.3.1. Từ tính chất 8 nghiệm của phương trình bậc hai và bậc ba, ta suy ra ngay các hệ thức (1) và (2) (xem các Hệ thức 1.3.1 và 2.4.1b). Từ tính chất nghiệm của phương trình bậc hai, bậc ba và bậc bốn, ta có thể dễ dàng phát hiện và chứng minh khá
6 2π 4π π 3π 5π π 3π 5π 7π nhiều hệ thức lượng giác chứa các góc , hoặc , , hay , , , 5 5 7 7 7 8 8 8 8 mà không cần sử dụng các phép biến đổi lượng giác. Đó chính là ý tưởng cơ bản và chủ đạo của luận văn này. Sử dụng các tính chất nghiệm của phương trình bậc ba để phát hiện và chứng minh các hệ thức (hình học và lượng giác) trong tam giác có lẽ lần đầu tiên được trình bày trong [6] và được phát triển trong [1]. Phát hiện và chứng minh các hệ thức lượng giác nhờ sử dụng các tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn có lẽ lần đầu tiên được trình bày một cách hệ thống trong [2] và [3]. Như vậy, ta có một nhịp cầu nối Đại số (phương trình và hàm số) với Lượng giác (các hệ thức của hàm số lượng giác có liên quan đặc biệt). Đây chính là điểm mới và khác biệt của luận văn này so với các luận văn đã có về hệ thức lượng giác. Ý tưởng sử dụng các tính chất nghiệm của phương trình đại số để phát hiện và chứng minh các hệ thức lượng giác có lẽ lần đầu tiên được trình bày một cách hệ thống trong [3]. 2. Lịch sử nghiên cứu Chủ đề hệ thức lượng giác có vị trí và vai trò quan trọng trong chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông. Đã có khá nhiều tài liệu viết về chủ đề hệ thức lượng giác. Tuy nhiên theo quan sát của chúng tôi chưa có nhiều tài liệu hay đề tài luận văn cao học phân tích sâu về hệ thức lượng giác. 3. Mục đích, đối tượng, phạm vi nguyên cứu Luận văn có mục đích trình bày phương pháp phương trình đại số chứng minh các hệ thức lượng giác. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu là hệ thức lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.
7 4. Mục tiêu của luận văn Trình bày phương pháp phương trình đại số để phát hiện và chứng minh các hệ thức lượng giác mới. Ngoài ra nhằm so sánh phương pháp phương trình đại số với phương pháp chứng minh thông thường (nhờ biến đổi lượng giác), ở một số bài, luận văn cũng trình bày cả các kĩ thuật chứng minh truyền thống. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng công cụ phương trình đại số để nghiên cứu hệ thức lượng giác. 6. Nội dung của luận văn Ngoài phần mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Luận văn gồm ba chương. Chương 1. Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh các hệ thức lượng giác. Đầu Chương 1 trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình bậc hai, sau đó xây dựng các phương trình bậc hai mới từ các phương trình bậc hai đã có. Từ đó đưa ra các phương trình bậc hai có nghiệm liên quan đến giá trị lượng giác của các góc đặc biệt rồi đưa ra rất nhiều hệ thức lượng giác. Chương 2. Phương pháp phương trình bậc ba chứng minh các hệ thức lượng giác. Đầu Chương 2 trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình bậc ba, sau đó xây dựng các phương trình bậc ba mới từ các phương trình bậc ba đã có. Từ đó đưa ra các phương trình bậc ba có nghiệm liên quan đến giá trị lượng giác của các góc đặc biệt rồi đưa ra rất nhiều hệ thức lượng giác. Chương 3. Phương pháp phương trình bậc bốn chứng minh các hệ thức lượng giác.
8 Đầu Chương 3 trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình bậc bốn, sau đó xây dựng các phương trình bậc bốn mới từ các phương trình bậc bốn đã có. Từ đó đưa ra các phương trình bậc bốn có nghiệm liên quan đến giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, từ đó phát biểu và chứng minh rất nhiều hệ thức lượng giác mới. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Lời đầu tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sau sắc đến thầy giáo PGS. TS. Tạ Duy Phượng. Thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn cũng như giải đáp mọi thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn để tôi hoàn thành luận văn này. Tác giả xin chân thành cám ơn toàn thể thầy cô trong khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn. Xin được cám ơn nhà trường THPT Quế Võ Số 1, tỉnh Bắc Ninh. Xin được cám ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người thân và các đồng nghiệp trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Kim Anh
9 Chương 1 Phương pháp phương trình bậc hai chứng minh các hệ thức lượng giác Chương này trình bày một số tính chất nghiệm của phương trình bậc hai và ứng dụng trong phát hiện, chứng minh các hệ thức lượng giác mới. 1.1. Các tính chất nghiệm của phương trình bậc hai Mọi phương trình bậc hai đều đưa được về dạng x2 + ax + b = 0. (1.1) Phương trình (1.1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn các tính chất sau. Tính chất 1.1.1. σ1 = x1 + x2 = −a. Tính chất 1.1.2. σ2 = x1 x2 = b. Từ hai tính chất cơ bản trên và sử dụng các tính chất đối xứng của nghiệm, ta suy ra rất nhiều tính chất khác của nghiệm phương trình bậc hai, rất có lợi cho nghiên cứu phương trình bậc hai và trong chứng minh các hệ thức lượng giác. Tính chất 1.1.3. x21 + x22 = a2 − 2b.
10 Tính chất 1.1.4. x31 + x32 = −a3 + 3ab. Tính chất 1.1.5. x41 + x42 = a4 − 4a2 b + 2b2 . Tính chất 1.1.6. 1 1 a + =− . x1 x2 b Tính chất 1.1.7. 1 1 a2 − 2b + = . x21 x22 b2 Tính chất 1.1.8. 1 1 −a3 + 3ab + = . x31 x32 b3 Tính chất 1.1.9. 1 1 a4 − 4a2 b + 2b2 + = . x41 x42 b4 Bổ đề (Công thức Newton) Tổng lũy thừa Sk = xk1 + xk2 được tính theo công thức truy hồi Sk = σ1 Sk−1 − σ2 Sk−2 . Tính chất 1.1.10. (Công thức Waring) Tổng lũy thừa Sk = xk1 + xk2 được tính theo công thức   k   2 X (−1)m (k − m − 1)! Sk = k σ1k−2m σ2m , m=0 m!(k − 2m)! trong đó theo định nghĩa 0! = 1! = 1 và [x] là phần nguyên của x. Các trường hợp riêng: 1 2 S2 = 2 σ1 − σ2 = σ12 − 2σ2 . 2 1 3 S3 = 3 σ1 − σ1 σ2 = σ1 σ12 − 3σ2 . 3 1 4 1 2 S4 = 4 σ − σ1 σ2 + σ2 = σ14 − 4σ12 σ2 + 2σ22 . 2 4 1 2
11 Chứng minh các tính chất này đã được trình bày ở chương 2 trong [3]. 1.2. Xây dựng phương trình bậc hai mới từ phương trình bậc hai đã biết Mệnh đề 1.2.1. Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình (1.1) với (b 6= 0) thì 1 1 , là nghiệm của phương trình x1 x2 a 1 bt2 + at + 1 = 0 ⇔ t2 + t + = 0. (1.2) b b Mệnh đề 1.2.2. Nếu x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1.1) thì x21 , x22 là nghiệm của phương trình t2 − (2b − a2 )t + b2 = 0. (1.3) Mệnh đề 1.2.3. Nếu x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1.1) thì x31 , x32 là nghiệm của phương trình t2 + (a3 − 3ab)t + b3 = 0. (1.4) Mệnh đề 1.2.4. Nếu x1 , x2 là các nghiệm của phương trình (1.1) thì x41 , x42 là nghiệm của phương trình t2 + (−a4 + 4a2 b − 2b2 )t + b4 = 0. (1.5) Chứng minh các Mệnh đề trên có thể xem mục 2.2 Chương 2 trong [3]. Nhận xét Từ Mệnh đề 1.2.1 đến 1.2.4 và các tính chất trong 1.1, ta có thể tiếp tục xây dựng nhiều phương trình bậc hai mới và từ đó có thể chứng minh được rất nhiều đẳng thức lượng giác mới.
12 1.3. Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị 2π 4π lượng giác của , 5 5 2π 4π 1.3.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của , 5 5 2π 4π Mệnh đề 1.3.1. cos , cos là các nghiệm của phương trình 5 5 1 1 t2 + t − = 0. (1.6) 2 4 Chứng minh 1. Sử dụng công thức biến tích thành tổng và công thức góc nhân đôi, ta có. π 2π 4π π 2π π 4π •2 sin cos + cos = 2 sin cos + 2 sin cos 5 5 5 5 5 5 5 3π π 5π 3π = sin − sin + sin − sin 5 5 5 5 π = − sin . 5 2π 4π 1 Do đó cos + cos =− . 5 5 2 2π 2π 4π 2π 2π 4π •4 sin . cos cos = 4 sin cos cos 5 5 5 5 5 5 4π 4π = 2 sin cos 5 5 8π = sin 5 2π = − sin . 5 2π 4π 1 Suy ra cos cos =− . 5 5 4 2π 4π Theo định lí Viète đảo, cos , cos là các nghiệm của (1.6). 5π 5 Chứng minh 2. Đặt t = sin . 10 π π 3π π π Do cos = 1 − 2 sin2 ; sin = 3 sin − 4 sin3 , nên ta có 5 10 10 10 10 3π π 3π π sin = cos − = cos ⇒ 1 − 2t2 = 3t − 4t3 10 2 10 5
13 ⇔ (t − 1) 4t2 + 2t − 1 != 0 √ √ ! 1+ 5 1− 5 ⇔ (t − 1) t + t+ = 0. 4 4 √ π π −1 + 5 Mà sin > 0. Vậy sin = 10 √ 10 4 √ π 1+ 5 3π π π 1 − 5 ⇒ cos = , cos = 4 cos3 − 3 cos = . 5 4 5 5 5 4 Sử dụng công thức√ cos α = − cos (π√ − α), ta được 2π −1 + 5 4π −1 − 5 cos = ; cos = 5 4 5 4 2π 4π 1 2π 4π 1 ⇒ cos + cos = − ; cos cos =− . 5 5 2 5 5 4 2π 4π Theo định lí Viète đảo, cos , cos là các nghiệm của (1.6). 5 5 1 1 Mệnh đề 1.3.2. , là các nghiệm của phương trình 2π 4π cos cos 5 5 t2 − 2t − 4 = 0. (1.7) Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.1 vào (1.6) ta được điều phải chứng minh. 2π 4π Mệnh đề 1.3.3. cos2 , cos2 là các nghiệm của phương trình 5 5 3 1 t2 − t + = 0. (1.8) 4 16 Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.2 vào (1.6) ta được Mệnh đề 1.3.3. 2π 4π Mệnh đề 1.3.4. cos3 , cos3 là các nghiệm của phương trình 5 5 1 1 t2 + t − = 0. (1.9) 2 64 Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.3 vào (1.6) ta được Mệnh đề 1.3.4. 2π 4π Mệnh đề 1.3.5. cos4 , cos4 là các nghiệm của phương trình 5 5 7 1 t2 − t − = 0. (1.10) 16 256 Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.4 vào (1.6) ta được Mệnh đề 1.3.5. 2π 4π Mệnh đề 1.3.6. sin2 , sin2 là các nghiệm của phương trình 5 5 5 5 t2 − t + = 0. (1.11) 4 16
14 Chứng minh. Vì sin2 α = 1 − cos2 α nên trong (1.8) thay t bởi 1 − t ta được Mệnh đề 1.3.6. 2π 4π Mệnh đề 1.3.7. sin4 , sin4 là các nghiệm của phương trình 5 5 15 25 t2 − t + = 0. (1.12) 16 256 Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.2 vào (1.11) ta được Mệnh đề 1.3.7. 1 1 Mệnh đề 1.3.8. , là các nghiệm của phương trình 2 2π 2 4π cos cos 5 5 t2 − 12t + 16 = 0. (1.13) Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.2.1 vào (1.8) ta được Mệnh đề 1.3.8. 2π 4π Mệnh đề 1.3.9. tan2 , tan2 là các nghiệm của phương trình 5 5 15 25 t2 − t + = 0. (1.14) 16 256 1 Chứng minh. Vì = 1 + tan2 α nên thay t bằng t + 1 vào (1.13) ta được cos2 α Mệnh đề 1.3.9. 2π 4π 1.3.2. Các hệ thức liên qua đến giá trị lượng giác của , 5 5 Từ các phương trình trên và các tính chất nghiệm của phương trình bậc hai ta 2π 4π có thể suy ra nhiều hệ thức liên quan đến giá trị lượng giác của các góc , 5 5 Hệ thức 1.3.1. (Olympic Moskva, 1939, vòng 1) 2π 4π 1 cos + cos =− . 5 5 2 Chứng minh Xem chứng minh Mệnh đề 1.3.1. Hệ thức 1.3.2. 2π 4π 1 cos cos =− . 5 5 4 Chứng minh Xem chứng minh Mệnh đề 1.3.1. Hệ thức 1.3.3. 2π 4π 3 cos2 + cos2 = . 5 5 4
15 Chứng minh 1. Áp dụng tính chất 1.1.3 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.3. Chứng minh 2. Áp dụngcông thức hạ bậcvà Hệ thức 1.3.1 ta có 2π 4π 1 4π 8π cos2 + cos2 =1+ cos + cos 5 5 2 5 5 1 4π 2π 1 1 3 =1+ cos + cos =1− . = . 2 5 5 2 2 4 1 1 Chứng minh 3. Theo công thức Waring với σ1 = − , σ2 = − và k = 2 ta có 2 2 4 1 1 3 S2 = σ12 − 2σ2 = − −2 − = . 2 4 4 Hệ thức 1.3.4. 2π 4π 1 cos3 + cos3 =− . 5 5 2 Chứng minh 1. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.4. Chứng minh 2. Theo công thức góc nhân ba và Hệ thức 1.3.1 ta có 2π 4π 1 6π 12π 2π 4π cos3 + cos3 = cos + cos + 3 cos + 3 cos 5 5 4 5 5 5 5 2π 4π = cos + cos 5 5 1 =− . 2 1 1 Chứng minh 3. Theo công thức Waring với σ1 = − , σ2 = − và k = 2 ta có 2 4 1 2 1 1 1 1 1 S3 = 3σ1 σ1 − σ2 = 3. − . + =− . 3 2 3 4 4 2 Nhận xét Một đẳng thức có thể chứng minh theo nhiều cách khác nhau. Hệ thức 1.3.5. 2π 4π 7 cos4 + cos4 = . 5 5 16 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.5. Hệ thức 1.3.6. 1 1 + = 2. 2π 4π cos cos 5 5
16 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.6 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.6. Hệ thức 1.3.7. 1 1 + = 12. 2π 4π cos2 cos2 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.7 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.7. Hệ thức 1.3.8. 1 1 + = 32. 2π 4π cos3 cos3 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.8. Hệ thức 1.3.9. 1 1 + = 112. 2π 4π cos4 cos4 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.6) ta có Hệ thức 1.3.9. Hệ thức 1.3.10. 2π 4π 9 cos6 + cos6 = . 5 5 32 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.8) ta có Hệ thức 1.3.10. Hệ thức 1.3.11. 2π 4π 47 cos8 + cos8 = . 5 5 256 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.8) ta có Hệ thức 1.3.11. Hệ thức 1.3.12. 1 1 + = 1152. 2π 4π cos6 cos6 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.8) ta có Hệ thức 1.3.12. Hệ thức 1.3.13. 1 1 + = 12032. 2π 4π cos8 cos8 5 5
17 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.8) ta có Hệ thức 1.3.13. Hệ thức 1.3.14. 2π 4π 19 cos9 + cos9 =− . 5 5 128 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.9) ta có Hệ thức 1.3.14. Hệ thức 1.3.15. 2π 4π 161 cos12 + cos12 = . 5 5 2048 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.9) ta có Hệ thức 1.3.15. Hệ thức 1.3.16. 1 1 + = 38912. 2π 4π cos9 cos9 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.9) ta có Hệ thức 1.3.16. Hệ thức 1.3.17. 1 1 + = 1318912. 2π 4π cos12 cos12 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.9) ta có Hệ thức 1.3.17. Hệ thức 1.3.18. 2π 4π 2207 cos16 + cos16 = . 5 5 65536 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.10) ta có Hệ thức 1.3.18. Hệ thức 1.3.19. 1 1 + = 144637952. 2π 4π cos16 cos16 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.10) ta có Hệ thức 1.3.19. Hệ thức 1.3.20. 2π 4π 5 sin2 + sin2 = . 5 5 4 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.1 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.20. Hệ thức 1.3.21. 2π 2 4π 5 sin2 sin = . 5 5 16
18 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.2 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.21. Hệ thức 1.3.22. 2π 4π 15 sin4+ sin4 = . 5 5 16 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.3 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.22. Hệ thức 1.3.23. 2π 4π 25 sin6+ sin6 = . 5 5 32 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.23. Hệ thức 1.3.24. 2π 4π 175 sin8 + sin8 = . 5 5 256 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.24. Hệ thức 1.3.25. 1 1 + = 4. 2π 2 4π 2 sin sin 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.6 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.25. Hệ thức 1.3.26. 1 1 48 + = . 2π 4π 5 sin4 sin4 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.7 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.26. Hệ thức 1.3.27. 1 1 128 + = . 2π 4π 5 sin6 sin6 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.27. Hệ thức 1.3.28. 1 1 1792 + = . 2π 4π 25 sin8 sin8 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.11) ta có Hệ thức 1.3.28. Hệ thức 1.3.29. 2π 4π 1125 sin12 + sin12 = . 5 5 2048
19 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.12) ta có Hệ thức 1.3.29. Hệ thức 1.3.30. 1 1 73728 + = . 2π 4π 125 sin12 sin12 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.12) ta có Hệ thức 1.3.30. Hệ thức 1.3.31. 2π 4π tan2 + tan2 = 10. 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.1 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.31. Hệ thức 1.3.32. 2π 4π tan2 tan2 = 5. 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.2 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.32. Hệ thức 1.3.33. 2π 4π tan4 + tan4 = 90. 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.3 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.33. Hệ thức 1.3.34. 2π 4π tan6 + tan6 = 850. 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.4 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.34. Hệ thức 1.3.35. 2π 4π tan8 + tan8 = 8050. 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.5 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.35. Hệ thức 1.3.36. 2π 4π 1 1 cot2 + cot2 = + = 2. 5 5 2π2 24π tan tan 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.6 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.36. Hệ thức 1.3.37. 2π 4π 1 1 18 cot4 + cot4 = + = . 5 5 2π 4π 5 tan4 tan4 5 5
20 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.7 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.37. Hệ thức 1.3.38. 2π 4π 1 1 34 cot6 + cot6 = + = . 5 5 2π 4π 5 tan6 tan6 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.8 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.38. Hệ thức 1.3.39. 2π 4π 1 1 322 cot8 + cot8 = + = . 5 5 2π 4π 25 tan8 tan8 5 5 Chứng minh. Áp dụng tính chất 1.1.9 vào (1.14) ta có Hệ thức 1.3.39. 1.4. Phương trình bậc hai liên quan đến giá trị π lượng giác của góc 12 1.4.1. Các mệnh đề liên quan đến giá trị lượng giác của góc π 12 π π Mệnh đề 1.4.1. cos , sin là các nghiệm của phương trình 12 12 √ 2 6 1 t − t + = 0. (1.15) 2 4 Chứng minh. Sử dụng công thức góc nhân đôi và hằng đẳng thức, ta có. π π 1 π 1 • sin cos = sin = . 12π 12 π 22 6 4 2 π π π π 3 • sin + cos = sin + 2 sin cos + cos2 = 12 12 √ 12 12 12 12 2 π π 6 ⇔ sin + cos = . 12 12 2 π π Theo định lí Viète đảo, sin , cos là các nghiệm của phương trình (1.15). 12 12 1 1 Mệnh đề 1.4.2. π , π là các nghiệm của phương trình sin cos 12 12 √ t2 − 2 6t + 4 = 0. (1.16)