Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình cặp tích phân đối với phép biến đổi Fourier với biểu trưng tăng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn có cấu trúc gồm 2 chương trình bày một số kiến thức cơ sở về biến đổi Fourier,không gian Sobolev, toán tử giả vi phân, đa thức Chebyshev loại 1, đa thức chebyshev loại 2; tính giải được của phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình cặp tích phân đối với phép biến đổi Fourier với biểu trưng tăng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LĂNG THỊ AN PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VỚI BIỂU TRƯNG TĂNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– LĂNG THỊ AN PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN ĐỐI VỚI PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VỚI BIỂU TRƯNG TĂNG Ngành: Giải Tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊ NGÂN THÁI NGUYÊN - 2019
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của riêng bản thân tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thị Ngân. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây. Ngoài ra, trong luận văn tôi có sử dụng một số kết quả của các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình. Thái Nguyên, ngày 6 tháng 09 năm 2019 Tác giả Lăng Thị An Xác nhận Xác nhận của khoa chuyên môn của người hướng dẫn TS. Nguyễn Thị Ngân i
Lời cảm ơn Trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn tôi đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của người hướng dẫn, TS. Nguyễn Thị Ngân. Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn bộ môn Giải tích, Khoa Toán, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, hướng dẫn, phản biện để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này. Do thời gian có hạn, bản thân tác giả còn hạn chế nên luận văn có thể có những thiếu sót. Tác giả mong muốn nhận được ý kiến phản hồi, đóng góp và xây dựng của các thầy cô, và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 6 tháng 09 năm 2019 Tác giả Lăng Thị An ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Lời mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh . . 3 1.1.2 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm . . 5 1.1.3 Biến đổi Fourier của tích chập . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Không gian Sobolev cấp nguyên dương . . . . . . . . 7 1.2.1.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev . . . 7 1.2.1.2 Không gian Sobolev H k (Q) . . . . . . . . . 8 1.2.1.3 Vết của hàm trên một mặt . . . . . . . . . 8 1.2.1.4 Không gian Hok (Q) . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Không gian Sobolev cấp thực . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2.1 Không gian H s (Rn ) . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2.2 Không gian Hos (Ω) và không gian H s (Ω) . 12 1.2.2.3 Các không gian đối ngẫu . . . . . . . . . . 13 1.3 Toán tử giả vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Các đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 iii
1.4.1 Đa thức Chebyshev loại một . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2 Đa thức Chebyshev loại hai . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Tính giải được của phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng 25 2.1 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) 26 2.1.1 Tính giải được của phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) 30 2.2.1 Tính giải được của phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m+1 A(ξ) . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Kết luận 38 iv
Lời mở đầu Phương trình cặp tích phân xuất hiện khi giải một số các bài toán biên hỗn hợp của phương trình vật lý toán. Các bài toán liên quan đến lý thuyết đàn hồi, vết nứt, dị tật trong môi trường..., có thể đưa đến việc giải các phương trình cặp khác nhau. Tính giải được của phương trình cặp tích phân đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đến như Nguyễn Văn Ngọc, G. Ia. Popov,... Với mong muốn được nghiên cứu về vấn đề này, chúng tôi đã chọn đề tài "Phương trình cặp tích phân đối với phép biến đổi Fourier với biểu trưng tăng" làm đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình. Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ sở về biến đổi Fourier,không gian Sobolev, toán tử giả vi phân, đa thức Chebyshev loại 1, đa thức chebyshev loại 2. Chương 2: Tính giải được của phương trình cặp tích phân với biểu trưng tăng. Trong chương này đã trình bày tính giải được của phương trình cặp tích phân với biểu trưng có dạng |ξ|2m A(ξ) và |ξ|2m+1 A(ξ). Trong từng trường hợp có nêu các ví dụ minh họa. Thái Nguyên, ngày 6 tháng 09 năm 2019 Tác giả 1
Lăng Thị An 2
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về biến đổi Fourier, không gian Sobolev, toán tử giả vi phân và các đa thức Chebysev. Những kiến thức này được tham khảo từ các tài liệu [1], [2], [3], [4]. 1.1 Biến đổi Fourier 1.1.1 Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh Vì hàm cơ bản trong S là những hàm khả tổng trong Rn , nên biến đổi Fourier được xác định theo công thức Z F [ϕ](ξ) = ϕ(x)eix.ξ dx, ϕ ∈ S. Rn Sau đây là các tính chất quan trọng của biến đổi Fourier trong S . 1) Có thể lấy đạo hàm số lần tùy ý dưới dấu tích phân Fourier Dα F [ϕ](ξ) = F [(ix)α ϕ](ξ). 2) Biến đổi Fourier của đạo hàm F [Dα ϕ](ξ) = (−iξ)α F [ϕ](ξ). 3
3) Đẳng thức Paserval. Giả sử f ∈ L1 (Rn ). Khi đó F [f ] là hàm liên tục và bị chặn trong Rn nên là hàm suy rộng chính quy trong S 0 . Khi đó ta có đẳng thức Z Z F [f ](ξ)ϕ(ξ)dξ = f (x)F [ϕ](x)dx. (1.1) Rn Rn 4) Công thức biến đổi Fourier ngược 1 ϕ = F −1 [F [ϕ]] = F [F −1 [ϕ]], F −1 [ϕ(ξ)](x) = F [ϕ(ξ)](x). (2π)n Định lý 1.1.1. Biến đổi Fourier F từ S sang S là tương ứng một-một và liên tục vào chính nó, nghĩa là một đẳng cấu tuyến tính. Chứng minh. Theo các tính chất 1) và 2), ta có Z Dα ϕ(ξ) b = eix.ξ (i)|α| xα ϕ(x)dx. Rn Z |β| β (−i) ξ ψ(ξ) b = eixξ Dβ ψ(x)dx. (1.2) Rn Trong (1.2) thay ψb = Dα ϕ(ξ) b và vận dụng tính chất 1), ta được Z |α|+|β| β α (−i) ξ Dξ ϕ(ξ) b = eixξ Dxβ (xα ϕ(x))dx. (1.3) Rn Sử dụng công thức (1.1), ta được m Xm Z Cm ||ϕ||m+n+1 Z 0 X ||ϕ|| b m6 |Dβ (xα ϕ(x))|dx 6 dx = C m ||ϕ||m+n+1 . Rn Rn (1 + |x|)n+1 |β|=0 α=0 Như vậy, nếu ϕ ∈ S , thì ϕ b cũng thuộc S , ngoài ra theo (1.1), nếu ϕi → ϕ trong S , thì ϕ b trong S . Làm tương tự đối với toán tử F −1 , bi → ϕ ta có kết quả là toán tử F ánh xạ đơn trị và liên tục từ S vào S . Định lý được chứng minh. 4
1.1.2 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm Công thức (1.1) có thể viết lại ở dạng < F [f ], ϕ >=< f, F [ϕ] >, ϕ ∈ S. Công thức này là cơ sở của định nghĩa như sau đây. Định nghĩa 1.1.2. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm f là hàm suy rộng tăng chậm F [f ] được xác định theo công thức 0 < F [f ], ϕ >=< f, F [ϕ] >, ,f ∈ S , ϕ ∈ S. (1.4) Vì phép toán ϕ → F [ϕ] là liên tục từ S vào S , nên phiếm hàm F [f ] xác định theo công thức (1.4) được hiểu theo nghĩa S 0 , hơn nữa, phép toán f → F [f ] là tuyến tính và liên tục từ S 0 vào S 0 . Định nghĩa 1.1.3. Phép biến đổi Fourier F −1 được xác định trong S 0 theo công thức 1 F −1 [f ] = F [f (−x)], f ∈ S 0, (1.5) (2π)n trong đó f (−x) là hàm suy rộng phản xạ của hàm suy rộng f (x): < f (−x), ϕ(x) >=< f, ϕ(−x) >, ϕ ∈ S. Rõ ràng là F −1 là toán tử tuyến tính liên tục từ S 0 vào S 0 . Ta sẽ chứng tỏ rằng, toán tử F −1 là biến đổi Fourier ngược của F , nghĩa là: F −1 [F [f ]] = f, F [F −1 [f ]], f ∈ S 0. (1.6) Thật vậy, theo tính chất của biến đổi Fourier trong S , thì các công thức trong (1.6) đúng trong S trù mật trong S 0 , do đó (1.6) cũng đúng trong S 0 . Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier. 5
1) Đạo hàm của biến đổi Dα F [f ] = F [(ix)α f ], f ∈ S 0. (1.7) Thật vậy, ta có < Dα F [f ], ϕ >=< F [f ], (−1)|α| Dα ϕ >=< f, (−1)|α| F [Dα ϕ] > =< f, (−1)|α| (−ix)α F [ϕ] >=< f, (ix)α F [ϕ] >=< (ix)α f, F [ϕ] >= =< F [(ix)α f ], ϕ > . Suy ra điều phải chứng minh. 2) Biến đổi Fourier của đạo hàm F [Dα f ] = (−iξ)α F [f ], f ∈ S 0. (1.8) Chứng minh hoàn toàn tương tự công thức (1.7). 3) Đẳng thức Parseval < F [f ], F [ϕ] >= (2π)n < f (−x), ϕ(x) >, f ∈ S 0 , ϕ ∈ S. (1.9) 4) Biến đổi Fourier của dịch chuyển F [f (x − x0 )] = eiξx0 F [f ], f ∈ S 0. (1.10) Thật vậy, công thức (1.10) đúng trong S trù mật trong S 0 , nên (1.10) cũng đúng trong S 0 . 5) Biến đổi Fourier của hàm suy rộng có giá compact (Định lý Winer- Palay): Nếu f ∈ S0 và có giá compact, thì F [f ] ∈ C ∞ và tăng chậm ở vô cực, nghĩa là |Dα F [f ](ξ)| 6 Cmα (1 + |ξ|2 )mα /2 . 6
1.1.3 Biến đổi Fourier của tích chập Định nghĩa 1.1.4. (i) Nếu f ∈ S 0 ,η ∈ S thì f ∗ η được xác định theo công thức f ∗ η =< f (y), η(x − y) > . Khi đó F [f ∗ η](ξ) = F [f ](ξ)F [η](ξ). (ii) Nếu f, g ∈ S 0 , suppg là compact, thì f ∗ g ∈ S 0 và được xác định theo công thức < f ∗ g, ϕ >=< f (y), < g(x), ϕ(x + y) >> . Khi đó F [f ∗ g] = F [f ].F [g]. 1.2 Không gian Sobolev 1.2.1 Không gian Sobolev cấp nguyên dương 1.2.1.1 Đạo hàm suy rộng theo nghĩa Sobolev Định nghĩa 1.2.1. Giả sử Q là miền bị chặn trong Rn với biên trơn từng mảnh ∂Q và α = (α1 , α2 , . . . , αn ) là bộ đa chỉ số. Hàm f (α) ∈ L1loc (Q) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm f ∈ L1loc (Q), nếu 7
Z α < f, D g >: = f (x)Dα g(x)dx Q Z |α| = (−1) f (α) (x)g(x)dx Q =< f (α) , g, >, ∀g ∈ Co|α| (Q). Nếu f ∈ C |α| (Q), thì đạo hàm suy rộng f (α) tồn tại và f (α) = Dα f (x) hầu khắp, nên chúng ta cũng sẽ ký hiệu đạo hàm suy rộng cấp α của hàm f là Dα f . 1.2.1.2 Không gian Sobolev H k (Q) Định nghĩa 1.2.2. Tập hợp của các hàm f ∈ L2 (Q) có đạo hàm suy rộng cho đến cấp k thuộc L2 (Q) được gọi là không gian Sobolev cấp k và được ký hiệu là H k (Q). H k (Q) là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được xác định bởi: Z X (f, g) = ( Dα f Dα g)dx, Q |α|6k hZ X ||f || = ( |Dα f |2 )dx]1/2 . Q |α|6k Rõ ràng là H 0 (Q) = L2 (Q). 1.2.1.3 Vết của hàm trên một mặt Định nghĩa 1.2.3. Giả sử Q là miền giới nội trong Rn và S là một mặt n − 1 chiều được chứa trong Q. Nếu trong Q cho hàm f (x) xác định tại từng điểm của Q, thì ta có thể xem giá trị của hàm này trên S như là một hàm f |x∈S được xác định tại mỗi điểm của S . Nếu chúng ta xét trong Q hàm được xác định hầu khắp nơi, thì giá trị của 8
f trên mặt S được xác định không đơn trị vì meS = 0. Tuy nhiên, trong một nghĩa hoàn toàn xác định chúng ta có thể nói đến giá trị của hàm số trên một mặt n − 1 chiều khi nó được xác định hầu khắp nơi. Giả sử f ∈ H 1 (Q) và fk ∈ C 1 (Q), (k = 1, 2, . . .) hội tụ đến f trong H 1 (Q). Đối với mọi mặt trơn từng mảnh(mỗi một mảnh được chiếu đơn trị xuống các mặt phẳng tọa độ) trong Q tồn tại C = const > 0, sao cho Z |fk − fm |2 dx 6 C||fk − fm ||H 1 (Q) . S Vì L2 (S) là không gian định chuẩn đầy đủ, nên tồn tại phần tử fS ∈ L2 (S) là giới hạn trong L2 (S) của dãy fk (xS ), xS = x ∈ S . Hàm fS không phụ thuộc vào việc chọn dãy fk hội tụ đến f trong H 1 (Q) và được gọi là vết của hàm f trên mặt S . 1.2.1.4 Không gian Hok (Q) Định nghĩa 1.2.4. Tập hợp của các hàm trong H k (Q) có vết trên biên Γ bằng không được ký hiệu là Hok (Q). Chuẩn trong Hok (Q) được sinh bởi chuẩn trong H k (Q). Khi đó Hok (Q) là không gian con đóng của H k (Q). 1.2.2 Không gian Sobolev cấp thực 1.2.2.1 Không gian H s (Rn ) Định nghĩa 1.2.5. Giả sử s là số thực tùy ý. Không gian Sobolev-Slobodeski H s (Rn ) theo định nghĩa gồm tất cả các hàm suy rộng u ∈ S 0 = S 0 (Rn ), có biến đổi Fourier u b(ξ) thỏa mãn điều kiện: 9
Z ||u||2s = (1 + |ξ|)2s |u b(ξ)|2 dξ < ∞. (1.11) Rn Ảnh Fourier của H s được ký hiệu là H cs . Công thức (1.11) xác định chuẩn cả trong H s lẫn trong H cs . cs và do đó H s là các không gian Hilbert với tích vô hướng Nhận xét là H Z (u, v)s = (1 + |ξ|)2s u b(ξ)vb(ξ)dξ. (1.12) Rn Các không gian H s , H cs là những không gian đầy đủ. Với u ∈ H s , ϕ ∈ S , ta có ∞ ∞ 1 Z Z (u, ϕ) = u(x)ϕ(x)dx = u b(ξ)ϕ(ξ)dξ. (1.13) (2π)n b −∞ −∞ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Buniakovski vào (1.13), ta được 1 |(u, ϕ)| ≤ ||u||s ||ϕ||−s . (1.14) (2π)n Rõ ràng là tôpô trong S mạnh hơn hội tụ theo chuẩn của H s , nghĩa là nếu ϕk → ϕ, trong S thì hiển nhiên ||ϕk − ϕ||s → 0. Mặt khác, vì có (1.14), nên nếu ||uk − u||s → 0, thì (uk , ϕ) → (u, ϕ), ∀ϕ ∈ S , nghĩa là uk → k trong S 0 . Các trường hợp riêng của H s (Rn ) cs (Rn ). Theo Định lý Planchel, ta có H 0 (Rn ) = F −1 [H 1) s = 0. Khi đó H b s] = L2 (Rn ). 2) s = m > 0, m là số nguyên. Khi đó thì (−iξ)k u b(ξ) ∈ L2 (Rn ), 0 6 |k| 6 m. Suy ra Dk u − F −1 [(−iξ)k u b(ξ)](x) ∈ L2 (Rn ), 0 6 |k| 6 m. Như vậy không gian H m = H m (Rn ). Khi đó chuẩn (1.11) tương đương với chuẩn 10
sau đây ∞ XZ 1 X ∞ k Z ||u||02 m = k |D u(x)| dx = n 2 b(ξ)|2 dξ. |ξ u (1.15) k 6m −∞ (2π) k6m −∞ Như ta đã biết không gian H m là không gian Sobolev cấp m và thường được ký hiệu là W2m (Rn ). 3) Trường hợp s = −m, m > 0, m là số nguyên. Đặt vb(ξ) = (1 + |ξ|)−m u b(ξ). Vì u ∈ Hm , nên vb(ξ) ∈ L2 . Vậy ta có u b(ξ) = (1 + |ξ|)m vb(ξ). Ta có thể biểu diễn u b(ξ) ở dạng X b(ξ) = (1 + |ξ|)m vb(ξ) = u (−iξ)k vbk (ξ), vbk (ξ) ∈ L2 . (1.16) k 6m Lấy biến đổi Fourier ngược hai vế của (1.16), ta được X u(x) = Dk vk (x), vk (x) ∈ L2 . (1.17) k 6m Như vậy H −m (Rn ) bao gồm các hàm suy rộng là đạo hàm theo nghĩa hàm suy rộng của các hàm trong L2 với cấp không vượt quá m. Dễ thấy rằng S ⊂ H s1 ⊂ H s2 ⊂ S 0 , s1 > s2 . Định lý 1.2.6. Tập hợp C0∞ (Rn ) trù mật trong H s theo chuẩn của H s . Chứng minh. Giả sử α(x) ∈ C0∞ (Rn ), α(x) ≥ 0 , α(x) = 0(|x| ≥ 1), R 1 x Rn α(x)dx = 1. Ký hiệu αε (x) = n α . Hàm αε (x) thường được gọi là ε ε hạch làm đều. Giả sử u− là hàm tùy ý của H s . Đặt uε = u ∗ αε . Ta có uε ∈ C ∞ , ngoài ra u bε = u b.α bε . Do đó x ξ.x dx Z Z α bε = α e εn = α(y)eiy.εξ dy = α b(εξ), Rn ε Rn ngoài ra Z |α bε | 6 α(y)dy = α b(0) = 1 (1.18) Rn 11
bε ∈ H Do đó u b s và khi ε → 0, thì Z ||u − uε ||2s 6 b(ξ)|2 (1 + |ξ|)2s |1 − α |u b(εξ)|2 dξ → 0. (1.19) Rn Thật vậy, 1 − α b(εξ) → 0 khi ε → 0 với mọi ξ cố định và |1 − α b(εξ)| 6 2, nên theo Định lý Lebesgue ta có thể chuyển qua giới hạn ε → 0 trong (1.19). Như vậy, với mọi δ > 0, tìm được ε1 > 0, sao cho ||u − uε ||s < δ/2. (1.20) b(ε1 ξ) ∈ S(Rn ), nên α Vì α b N với mọi N . Giả sử χ(x) ∈ b(ξ) ∈ H b(ε1 ξ) u C0∞ (Rn ), χ(x) = 1, khi |x| 6 1. Ký hiệu υε (x) = χ(εx)uε1 (x). Khi đó vε (x) ∈ C0∞ (Rn ), vì uε1 (x) ∈ C ∞ (Rn ).Ta sẽ chứng tỏ rằng với mọi N và ε → 0, ||uε1 − vε ||N → 0, ta có XZ ||uε1 − vε ||02 N = |Dk [(1 − χ(εx)uε1 (x)]|2 dx → 0. k 6N |x|≥1/ε Vậy, nếu N ≥ s, thì tìm được ε2 sao cho ||vε2 (x) − uε1 (x)||s 6 ||vε2 (x) − uε1 (x)||N < δ/2. (1.21) Từ (1.20) và (1.21), suy ra tồn tại hàm vε2 ∈ C0∞ (Rn ), sao cho ||u−vε2 ||s < δ . Định lý (1.2.6) được chứng minh. 1.2.2.2 Không gian Hos (Ω) và không gian H s (Ω) Định nghĩa 1.2.7. Giả sử Ω là một miền mở trong Rn . Ký hiệu Hos (Ω) là không gian con của H s (Ω), được định nghĩa như bao đóng của C0∞ (Ω) theo chuẩn của H s (Rn ). Như vậy, chuẩn trong Hos (Ω) cũng được xác định bởi công thức (1.11) và mọi hàm u ∈ Hos (Ω) có giá suppu ⊂ Ω. Thật vậy, giả sử u ∈ Hos (Ω). 12
Theo định nghĩa, tồn tại dãy uk ∈ C0∞ (Ω) hội tụ đến u theo chuẩn H s (Rn ). Ký hiệu Ω0 = Rn Ω. Như vậy, ta có (uk , ϕ), ∀ϕ ∈ Co∞ (Ω0 ). Do tính liên tục, suy ra (u, ϕ) = 0, ∀ϕ ∈ Co∞ (Ω0 ). Điều đó chứng tỏ suppu ⊂ Ω. Bằng cách tương tự , dễ dàng chứng tỏ rằng Hos (Ω) là không gian con đóng của H s (Rn ). Ta chuyển sang định nghĩa không gian H s (Ω). Định nghĩa 1.2.8. Giả sử f ∈ H s (Rn ). Ký hiệu fΩ là hạn chế của f trên Ω, nghĩa là (fΩ , ϕ) = (f, ϕ), ϕ ∈ C0∞ (Ω). Ký hiệu r, l tương ứng là các toán tử hạn chế và toán tử thác triển trên Ω. Như vậy fΩ = rf, f = lfΩ . Tập hợp các hạn chế trên Ω của các hàm thuộc H s (Rn ) được ký hiệu là H s (Rn ) được ký hiệu là H s (Ω).Chuẩn trong H s (Ω) được xác định theo công thức ||f ||H s (Ω) = inf||ls||s , (1.22) l trong đó inf lấy theo tất cả các thác triển lf ∈ H s (Rn ) của f ∈ H s (Ω). 1.2.2.3 Các không gian đối ngẫu Ký hiệu (H s )∗ là không gian đối ngẫu của H s , nghĩa là không gian của các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H s . Như trong trường hợp của không gian Banach bất kỳ, không gian (H s )∗ được xác định một cách chính xác đến đẳng cấu. Nói riêng, vì không gian (H s )(Rn ) đẳng cấu với không gian Hilbert với tích vô hướng (1.12), nên (H s )∗ đẳng cấu với chính H s . Khi đó theo định lý Riesz về dạng tổng quát của phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert, mọi phiếm hàm Φ(u), u ∈ H s , được cho bởi phần 13
p tử v ∈ Hs , sao cho chuẩn ||Φ|| = sup||u||s =1 = (v, v)s = ||v||s . Ký hiệu w(ξ) b = (1 + |ξ|2s vb(ξ)), w = F −1 w. b (1.23) √ Khi đó w ∈ Hs , ||w||−s = v, v s , (u, v)s = (u, w)0 , trong đó Z (u, w)0 = b(ξ)wξdξ, u b u ∈ Hs , w ∈ H−s . (1.24) Rn Như vậy (1.23) thiết lập sự đẳng cấu giữa (H s )∗ và H s , ngoài ra giá trị của phiếm hàm w ∈ H −s trên phần tử u ∈ H −s được cho bởi công thức (1.24). Sau này chúng ta luôn luôn hiểu (H s )∗ ' H −s . Ta chuyển sang xét không gian đối ngẫu của Hos (Ω). Ký hiệu Ω0 = Rn \Ω. Bổ đề 1.2.9. Giả sử u ∈ Hos (Ω), v ∈ Ho−s (Ω0 ). Khi đó 1 (u, v) = (u, v)0 = 0, (1.25) (2π)n trong đó (u, v) là cặp đối ngẫu, còn (u, v)0 được cho bởi công thức (1.24). Ngược lại, nếu v ∈ H −s và (u, v) = 0, đối với mọi u ∈ Hos (Ω), thì v ∈ Ho−s (Ω0 ). Chứng minh. Ta có (u, ϕ) = 0, ϕ ∈ C0∞ (Ω0 ). Theo định nghĩa thì C0∞ (Ω0 ) trù mật trong Ho−s (Ω0 ), suy ra (u, v) = 0, u ∈ Hos (Ω), v ∈ Ho−s (Ω0 ). (1.26) 14