Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình Diophantine dạng x2−Dy2 = ±4

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

50
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các bài toán về phương trình Diophantine không có quy tắc giải tổng quát, hoặc nếu có cũng chỉ là đối với các dạng đơn giản. Mỗi phương trình với dạng riêng của nó đòi hỏi một cách giải đặc trưng phù hợp. Chính vì vậy, phương trình Diophantine vẫn thường xuyên xuất hiện dưới các hình thức khác nhau và luôn được đánh giá là khó do tính không mẫu mực của nó. Luận văn sẽ nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình Diophantine dạng x2−Dy2 = ±4

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ PHÚ BÌNH PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANTINE DẠNG x2 − Dy2 = ±4 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ PHÚ BÌNH PHƢƠNG TRÌNH DIOPHANTINE DẠNG x2 − Dy2 = ±4 Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nông Quốc Chinh THÁI NGUYÊN - 2018
i Mục lục Lời nói đầu 1 Chương 1 Phương trình Diophantine x2 − Dy 2 = ±1 2 1.1 Liên phân số và giản phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Liên phân số hữu hạn và giản phân . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Liên phân số vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Phương trình Diophantine x2 − Dy 2 = ±1 . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Phương trình Pell dạng x2 − dy 2 = 1 . . . . . . . . . . . 14 √ 1.2.2 Ứng dụng liên phân số D vào phương trình Pell x2 − Dy 2 = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.3 Phương trình Pell dạng x2 − dy 2 = −1 . . . . . . . . . . 27 Chương 2 Phương trình Diophantine dạng x2 − Dy 2 = ±4 37 2.1 Cấu trúc nghiệm của họ phương trình x2 − Dy 2 = ±4 . . . . . . 37 2.2 Phương trình Diophantine dạng x2 − Dy 2 = 4 . . . . . . . . . . 42 2.3 Phương trình Diophantine dạng x2 − Dy 2 = −4 . . . . . . . . . 45 2.4 Một số ứng dụng trong toán phổ thông . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.1 Tìm số nguyên từ hệ thức ràng buộc . . . . . . . . . . . 48 2.4.2 Xấp xỉ hữu tỷ của căn bậc 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4.3 Tổng của những số nguyên liên tiếp nhau . . . . . . . . . 49 2.4.4 Tam giác Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4.5 Tam giác Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53
ii Lời nói đầu Xét phương trình có dạng f (x1 , x2 , ..., xn ) = 0 (1) với n ≥ 2 và f (x1 , x2 , ..., xn ) là một đa thức nguyên một hoặc nhiều biến được gọi là phương trình nghiệm nguyên hay phương trình Diophantine, nó được gọi theo tên nhà toán học Hy Lạp ở thế kỉ thứ 3 sau công nguyên. Phương trình Diophantine là một trong những dạng toán lâu đời nhất của Toán học và nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học. Từ Euclid, Dio- phantus, qua Fibonacci, Pell rồi đến Fermat, Euler, Lebesgue... và thời hiện đại là Gelfold, Matiasevic, Shenzel, Serpinsky... Phương trình Diophantine đã trải qua một lịch sử phát triển lâu dài. Thông qua việc giải các phương trình Diophantine, các nhà toán học đã tìm ra được những tính chất thú vị của số nguyên, số hữu tỷ, số đại số. Giải phương trình Diophantine đã đưa đến sự ra đời của Liên phân số, Lý thuyết đường cong elliptic, Lý thuyết xấp xỉ Diophantine, Thặng dư bình phương, Số học modular... Các bài toán về phương trình Diophantine không có quy tắc giải tổng quát, hoặc nếu có cũng chỉ là đối với các dạng đơn giản. Mỗi phương trình với dạng riêng của nó đòi hỏi một cách giải đặc trưng phù hợp. Chính vì vậy, phương trình Diophantine vẫn thường xuyên xuất hiện dưới các hình thức khác nhau và luôn được đánh giá là khó do tính không mẫu mực của nó. Một dạng đặc biệt của phương trình Diophante là x2 − Dy 2 = N rất được quan tâm và có rất nhiều kết quả xung quanh dạng phương trình này. Gần đây một kết quả thú vị của A. Tekcan về phương trình x2 − Dy 2 = ±1 và x2 − Dy 2 = ±4 đã được công bố. Mục đích của luận văn là trình bày lại các kết quả về cấu trúc
1 2 2 2 2 nghiệm của các phương trình x − Dy = ±1 và x − Dy = ±4. Luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Chúng tôi giới thiệu các kết quả về liên phân số, giản phân và cấu trúc nghiệm của phương trình Diophantine x2 − Dy 2 = ±1. Chương 2: Chúng tôi trình bày lại cấu trúc nghiệm của phương trình Diophan- tine x2 − Dy 2 = ±4 và một số ứng dụng trong toán phổ thông. Luận văn này được thực hiện và hoàn thành vào tháng 5 năm 2018 tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nông Quốc Chinh, người đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm việc để hoàn thành luận văn này. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện để giúp tác giả học tập và hoàn thành luận văn cũng như chương trình thạc sĩ. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học, khóa 05/2016 - 05/2018 đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, các đồng nghiệp tại trường THPT Nguyễn Khuyến, huyện Vĩnh Bảo, Hải Phòng và gia đình bạn bè đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tác giả Vũ Phú Bình
2 Chương 1 Phương trình Diophantine x2 − Dy 2 = ±1 Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về liên phân số, một số cách giải phương trình Diophantine dạng x2 − Dy 2 = ±1 và ứng dụng của nó. Các kết quả trong chương này được viết theo các tài liệu [1] và [2]. 1.1 Liên phân số và giản phân 1.1.1 Liên phân số hữu hạn và giản phân Định nghĩa 1.1.1. Cho {ai }∞ ∞ i=0 và {bi }i=0 là dãy các số thực. (i) Biểu thức có dạng b0 a0 + (1.1) b1 a1 + a2 + ... được gọi là một liên phân số của hai dãy số {ai }∞ ∞ i=0 và {bi }i=0 . b0 b0 (ii) Dãy các biểu thức u0 = a0 , u1 = a0 + , u2 = a0 + , . . . , được a1 b1 a1 + a2 gọi là các giản phân của hai dãy số {ai }∞ i=0 và {b } ∞ i i=0 . (iii) Phần tử un xác định như trên được gọi là giản phân thứ n của hai dãy số {ai }∞ ∞ i=0 và {bi }i=0 . Chú ý 1.1.2. (i) Nếu n là hữu hạn và b0 = b1 = . . . = bn = 1 ta kí hiệu liên phân số của hai dãy số {ai }ni=0 và {bi }ni=0 là [a0 ; a1 , . . . , an ] . (ii) Nếu a0 ∈ Z và a1 , ..., an là các số nguyên dương thì ta nói [a0 ; a1 , ..., an ] là
3 một liên phân số hữu hạn có độ dài n. (iii) Một liên phân số hữu hạn là một số hữu tỷ. Với hai dãy số thực {ai }∞ ∞ ∞ ∞ i=0 và {bi }i=0 ta xét hai dãy số {pn }n=−1 và {qn }n=−1 như sau: p−1 = 1, p0 = a0 , . . . , pn+1 = an+1 pn + bn pn−1 . q−1 = 0, q0 = 1, . . . , qn+1 = an+1 qn + bn qn−1 . Khi đó mối quan hệ giữa giản phân thứ n của hai dãy số {ai }∞ ∞ i=0 và {bi }i=0 với thương thứ n của hai dãy số {pn }∞ ∞ n=−1 và {qn }n=−1 được thể hiện trong bổ đề sau. pn Bổ đề 1.1.3. Với các kí hiệu và giả thiết như trên ta có giản phân un = với qn mọi n ≥ 0. Chứng minh. Ta chứng minh đẳng thức trên là đúng bằng quy nạp theo n. Thật vậy, với n = 0 và n = 1 thì hiển nhiên kết quả là đúng. Giả sử quy nạp đúng pn bn cho n, nghĩa là ta có un = . Thay an trong biểu thức un bởi an + ta thu qn an+1 được un+1 . Theo định nghĩa ta có pn , qn không phụ thuộc vào bn và an+1 nên từ công thức truy hồi pn an pn−1 + bn−1 pn−2 = qn an qn−1 + bn−1 qn−2 ta có bn (an + )pn−1 + bn−1 pn−2 an+1 un+1 = bn (an + qn−1 + bn−1 qn−2 an+1 ) (an an+1 + bn )pn−1 + an+1 bn−1 pn−2 = (an an+1 + bn )qn−1 + an+1 bn−1 qn−2 an+1 (an pn−1 + bn−1 pn−2 ) + bn pn−1 = an+1 (an qn−1 + bn−1 qn−2 ) + bn qn−1 an+1 pn + bn pn−1 = an+1 qn + bn qn−1 pn+1 = . qn+1 Bổ đề được chứng minh.
4 Bổ đề 1.1.3 cho ta một công thức tính các giản phân qua thương của các dãy số. Mệnh đề tiếp theo chỉ ra rằng mọi số hữu tỷ đều biểu diễn được dưới dạng một liên phân số hữu hạn và biểu diễn đó là duy nhất. Trước tiên ta nhắc lại thuật toán Euclid tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên. Chú ý 1.1.4. (i) Cho các số nguyên a, b ∈ Z, b > 0. Khi đó như đã biết chúng ta có thể tìm được ước chung lớn nhất của a và b bằng cách thức hiện thuật toán Euclid như sau: a = a0 b + r1 , 0 < r1 < b b = a1 r1 + r2 , 0 < r2 < r1 , r1 = a2 r2 + r3 , 0 < r3 < r1 , ..., rn−2 = an−1 rn−1 + rn , 0 < rn < rn−1 , rn−1 = an rn , quá trình này phải dừng và sau hữu hạn bước ta có gcd(a, b) = rn . (ii) Từ thuật toán trên ta thu được hai dãy số nguyên hữu hạn là {ai }ni=0 và b0 = b1 = . . . = bn = 1. Khi đó các giản phân của {ai }ni=0 và {bi }ni=0 là 1 u0 = a0 = [a0 ], u1 = a0 + = [a0 ; a1 ], . . . , un = ... = [a0 ; a1 , a2 , . . . , an ]. a1 (iii) Từ thuật toán trên ta cũng thu được các dãy truy hồi là p0 = a0 , p1 = a1 p0 + 1, . . . , pn = an pn−1 + pn−2 và q0 = 1, q1 = a1 , . . . , qn = an qn−1 + qn−2 . Ta có tính chất quan trọng của số hữu tỷ thể hiện trong mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.5. Mỗi số hữu tỷ đều được biểu diễn dưới dạng một liên phân số hữu hạn.
5 Chứng minh. Cho a/b là một số hữu tỷ với b > 0. Theo thuật toán tìm ước chung lớn nhất và công thức giản phân ta có a 1 = a0 + b b r1 1 = a0 + 1 a1 + r1 r2 ... 1 = a0 + . 1 a1 + 1 a2 + 1 a3 + ... an−2 + 1 an−1 + an Vậy mọi số hữu tỷ a/b đều viết được thành một liên phân số hữu hạn là a/b = [a0 ; a1 , . . . , an ]. Mệnh đề được chứng minh. Như chúng ta đã biết biểu diễn của một số hữu tỷ dưới dạng phân số không là duy nhất. Tuy nhiên mệnh đề tiếp theo chỉ ra rằng biểu diễn của một số hữu tỷ thành liên phân số là duy nhất. Mệnh đề 1.1.6. Biểu diễn số hữu tỷ thành một liên phân số hữu hạn dạng [a0 ; a1 , . . . , an ] là duy nhất. Chứng minh. Cho a/b là một số hữu tỷ và giả sử a [a0 ; a1 , . . . , an ] = = [b0 ; b1 , . . . , bm ]. b Ta cần chứng minh m = n và ai = bi , với mọi i = 0, 1, . . . , n. Thật vậy, với n = 0 ta có a0 = [b0 ; b1 , . . . , bm ]. Vì b0 là phần nguyên của a0 và a0 là số nguyên nên m = 0 và a0 = b0 . Giả sử quy nạp đúng cho n − 1, nghĩa là kết luận trên là đúng cho mọi liên phân số hữu hạn có độ dài nhỏ hơn n. Từ biểu thức a [a0 ; a1 , . . . , an ] = = [b0 ; b1 , . . . , bm ] b
6 ta suy ra a0 = b0 , vì đều là phần nguyên của cùng một số hữu tỷ. Khi đó ta có a [0; a1 , . . . , an ] = − a0 = [0; b1 , . . . , bn ]. b Do đó [a1 ; a2 , . . . , an ] = [b1 ; b2 , . . . , bm ]. Theo giả thiết quy nạp ta có n−1 = m−1 và ai = bi , với mọi i = 1, . . . , n. Ví dụ 1.1.7. Xét số hữu tỷ 187/4, ta có 187 = 46.4 + 3, 4 = 1.3 + 1, 3 = 3.1. 187 Do đó = [46; 1, 3]. 4 1.1.2 Liên phân số vô hạn Trong mục này chúng tôi tập trung trình bày các kiến thức về liên phân số vô hạn. Trong đó chúng tôi trình bày lại một tính chất tốt của liên phân số vô hạn đó là mọi số vô tỷ đều viết được dưới dạng một liên phân số vô hạn. Các kết quả trong mục này được viết theo các tài liệu [1]. Định nghĩa 1.1.8. (i) Liên phân số vô hạn là một biểu thức có dạng 1 q0 + (1.2) 1 q1 + q2 + ... 1 + qs ... trong đó, q0 là một số nguyên, qs với s = 1, 2, ... là các số nguyên dương và được kí hiệu là [q0 ; q1 , . . . , qs , . . .]. (ii) Phần tử qs được gọi là số thương hụt hay số hạng thứ s của liên phân số.
7 Chú ý 1.1.9. (i) Cho α ∈ / Q là một số thực. Số [α] được định nghĩa là số nguyên sao cho [α] ≤ α < [α] + 1. Đặt 1 α0 = α = a0 + , với a0 = [α] ∈ Z, α1 > 1. α1 Vì α ∈ / Q nên α1 không là số nguyên. Khi đó ta có 1 α1 = a1 + , với a1 = [α1 ] ∈ Z, α2 > 1. α2 Tiếp tục quá trình trên đến bước thứ n + 1 ta được 1 αn = an + , với an = [αn ] ∈ Z, αn+1 > 1. αn+1 Vì α ∈ / Q nên αn+1 không là số hữu tỷ nên quá trình này kéo dài vô hạn. Do đó α = [a0 ; a1 , . . . , ] là một biểu diễn của số vô tỷ qua liên phân số vô hạn. Đặt πn = [a0 ; a1 , . . . , an ], với mọi n = 0, 1, . . . . Khi đó các πn được gọi là các liên phân số hữu hạn của liên phân số vô hạn α. (ii) Từ cách tìm các số ai và αi ta suy ra biểu diễn của một số vô tỷ α = [a0 ; a1 , . . . , ] là duy nhất. Từ Chú ý 1.1.9 ta suy ra hệ quả quan trọng sau: Hệ quả 1.1.10. Mỗi số vô tỷ đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một liên phân số vô hạn. Chứng minh. Theo Chú ý 1.1.9 (i) thì mỗi số vô tỷ đều có biểu diễn thành liên phân số vô hạn. Tiếp theo giả sử [a0 ; a1 , . . . , ] = α = [b0 ; b1 , . . . , ] là hai biểu diễn của số vô tỷ α. Theo Chú ý 1.1.9 (ii) ta suy ra điều cần chứng minh. √ 1 1 1 Ví dụ 1.1.11. Cho α = 3 = 1 + . Suy ra a1 = √ = 1 + . Từ đó ta a1 3−1 a2 có 2 1 a2 = √ =2+ . 3−1 a3 Do đó 1 1 a3 = √ =1+ . 3−1 a4 Một cách tương tự 1 3 a2n = √ , a2n+1 = √ 3−1 2−1 √ với mọi n ≥ 1. Vì thế 3 = [1, 1, 2, 1, 2, 1, 2 . . .].
8 √ 1 1 1 Ví dụ 1.1.12. Cho α = 2 = 1 + . Suy ra a1 = √ = 2 + . Từ đó ta a1 2−1 a2 có 1 1 a2 = √ =2+ . 2−1 a3 1 √ Một cách tương tự an = √ với mọi n ≥ 1. Vì thế 2 = [1, 2, 2, 2 . . .]. 2−1 Tiếp theo là một số tính chất của liên phân số vô hạn được dùng cho phần chứng minh sau. Chú ý 1.1.13. Với hai dãy số nguyên dương {ai }∞ i=0 và bi = 1, i = 0, 1, . . . ta xét các dãy truy hồi sau p0 = a0 , p1 = a1 p0 + 1, pn = an pn−1 + pn−2 , q0 = 1, q1 = a1 ,n = an qn−1 + qn−2 . Khi đó các tính chất sau là đúng: pi (i) πi = , với mọi i = 0, 1, . . . . qi (ii) pn và qn là nguyên tố cùng nhau, nghĩa là πn là phân số tối giản. pn−1 αn + pn−2 (iii) α = , với mọi n ≥ 2. qn−1 αn + qn−2 (iv) lim πk = α. k→∞ (−1)n+1 (v) πn − πn−1 = , với mọi n ≥ 1. qn−1 qn √ Bổ đề 1.1.14. Cho d là số vô tỉ. Khi đó, tồn tại vô số cặp số nguyên dương (p, q) thỏa
mãn:
√ p
1 (i)
d −
< 2