Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sai phân suy biến chỉ số 1 và bài toán điều khiển tối ưu dạng tuyến tính – toàn phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:82

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn giới thiệu điều kiện cần cho bài toán điều khiển tối ưu rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân thường. Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về phương trình sai phẩn tuyến tính ẩn chỉ số 1, phương trình dưới liên hợp có chỉ số 1 và công thức nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu, bài toán điều kiện cuối. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sai phân suy biến chỉ số 1 và bài toán điều khiển tối ưu dạng tuyến tính – toàn phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THÀNH CHIÊU PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ 1 VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TOÀN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- NGUYỄN THÀNH CHIÊU PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN SUY BIẾN CHỈ SỐ 1 VÀ BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU DẠNG TUYẾN TÍNH – TOÀN PHƯƠNG Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. PHẠM KỲ ANH Hà Nội – 2014
1 LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình chu đáo của GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh đã luôn hướng dẫn và chỉ bảo chu đáo, tận tình, nghiêm khắc trong suốt quá trình tác giả nghiên cứu luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo, Phòng CTCT - SV, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ trong thời gian tác giả học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân và bạn bè đã ưu ái, giúp đỡ, động viên, khích lệ để tác giả hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014. Học viên Nguyễn Thành Chiêu
Mục lục LỜI CẢM ƠN 1 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 4 1 Một số kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc cho phương trình sai phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Phương trình Euler - Lagrange rời rạc . . . . . . . . 7 1.1.2 Nguyên lý cực đại cho bài toán điều khiển tối ưu . . 9 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 . . . . . . . . 11 1.2.1 Khái niệm và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Bài toán Cauchy cho phương trình sai phân tuyến tính chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.3 Phương trình dưới liên hợp . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến tính suy biến 36 2.1 Bài toán điều khiển tối ưu cho hệ tuyến tính dừng suy biến 36 2.1.1 Giới thiệu về bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.2 Phương trình Hamilton cho bài toán điều khiển tối ưu rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2
3 2.1.3 Nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . . 40 2.2 Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân chỉ số 1 55 2.2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2.2 Phương trình Hamilton và bài toán biên . . . . . . . 56 2.2.3 Điều kiện đủ của tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.4 Điều kiện cần và đủ để hệ Pontryagin có chỉ số 1 . . 59 2.2.5 Nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu . . . . . . . 60 3 Bài toán điều khiển tối ưu trong mô hình kinh tế 71 3.1 Mô hình mô tả bởi phương trình sai phân thường . . . . . . 71 3.1.1 Cấu trúc của hệ thống sản xuất . . . . . . . . . . . 72 3.1.2 Điều kiện đạt tới sự cân bằng . . . . . . . . . . . . . 74 3.2 Mô hình mô tả bởi phương trình sai phân suy biến . . . . . 75 KẾT LUẬN 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80
4 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • dimW : số chiều của không gian vectơ W . • kerA: không gian nhân của ma trận A. • imA: không gian ảnh của ma trận A. • rankA: hạng của ma trận A. • span({xi }ni=1 ): không gian con sinh bởi hệ vectơ x1 , x2 , . . . , xn . • W1 ⊕ W2 : tổng trực tiếp của hai không gian W1 , W2 . • W1 ∩ W2 : giao của hai không gian W1 , W2 . n P • Ai : tổng của các ma trận A1 , A2 , . . . , An . i=1 † • A : nghịch đảo suy rộng Moore - Penrose của ma trận A. • diag(A1 , A2 ): ma trận đường chéo khối có các thành phần A1 , A2 nằm trên đường chéo.
MỞ ĐẦU Do nhu cầu của thực tiễn, việc nghiên cứu phương trình vi phân đại số và phương trình sai phân ẩn được nhiều nhà nghiên cứu toán học trong nước cũng như ở nước ngoài quan tâm nghiên cứu. Nhiều bài toán thực tế (hệ thống điện, mô hình dân số, mô hình kinh tế, ...) được mô tả bởi phương trình sai phân ẩn. Mặt khác phương trình sai phân ẩn là kết quả của việc rời rạc hóa phương trình vi phân đại số, phương trình đạo hàm riêng đại số. Chẳng hạn, dùng phương pháp Euler hiển áp dụng cho phương trình vi phân đại số chỉ số 1 thì ta nhận được phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 [3]. Xuất phát từ những nghiên cứu của các tác giả D. J. Bender and A. J. Laub [5] về bài toán điều khiển tối ưu dạng toàn phương cho hệ động lực mô tả bởi phương trình sai phân ẩn hệ số hằng, chúng tôi đã đưa ra được các kết quả cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1. Ngoài ra, từ mô hình kinh tế của tác giả D. G. Luenberger [8] cho bài toán điều khiển mô tả bởi phương trình sai phân thường, chúng tôi cũng đưa ra được kết quả tương tự cho hệ mô tả bởi phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1. Bố cục luận văn như sau: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi giới thiệu điều kiện cần cho bài toán điều khiển tối ưu rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân thường. Ngoài ra, chúng tôi giới thiệu các khái niệm về phương trình sai phẩn tuyến tính ẩn chỉ số 1, phương trình dưới liên hợp có chỉ số 1 và công 5
6 thức nghiệm cho bài toán giá trị ban đầu, bài toán điều kiện cuối. Chương 2. Bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến tính suy biến Trong chương này, chúng tôi trình bày phương pháp giải bài toán điều khiển tối ưu dạng toàn phương cho phương trình sai phân ẩn hệ số hằng bằng khai triển kỳ dị và phương trình Riccati. Từ đây ta tìm được nghiệm tối ưu của bài toán. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra phương pháp giải bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 nhờ phép biến đổi Kronecker -Weierstrass và phương trình Riccati. Kết quả cuối thu được trong chương này là mới. Chương 3. Bài toán điều khiển tối ưu trong mô hình kinh tế Trong chương này, chúng tôi trình bày điều kiện cân bằng giữa cung và cầu để đạt lợi nhuận cực đại mô tả bởi bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc. Tiếp theo chúng tôi mở rộng kết quả trên cho bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc suy biến. Đây là kết quả mới của luận văn và những nội dung chính đã được trình trong Seminar của bộ môn Toán học tính toán, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội.
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán điều khiển tối ưu rời rạc cho phương trình sai phân thường Trong mục này chúng tôi trình bày một số nghiên cứu của tác giả A. P. Sage [9] về bài toán điều khiển tối ưu cho hệ động lực mô tả bởi phương trình sai phân thường. 1.1.1 Phương trình Euler - Lagrange rời rạc Xét hàm mục tiêu N X −1 N X −1 J= Φ(xn , xn+1 , n) = Φn n=0 n=0 trong đó với mỗi n = 0, 1, . . . , N − 1, Φ(., ., n) : Rm × Rm → R là hàm khả vi liên tục. Bây giờ ta sẽ tìm điều kiện cần để cực tiểu hàm J . Giả sử rằng, xn = x ˆn + εηxn , xn+1 = xˆn+1 + εηxn+1 , với xˆ = (ˆ x0 , . . . , xˆN −1 ) là các điểm cực trị, ε > 0 đủ nhỏ. 7
8 Sử dụng khai triển Taylor ta có xn + εηxn ) − J(ˆ ∆J = J(ˆ xn ) N X −1 = {Φ(ˆ xn + εηxn , xˆn+1 + εηxn+1 , n) − Φ(ˆ xn , xˆn+1 , n)} n=0 N −1 X ∂Φn ∂Φn = {( , εηxn ) + ( , εηxn+1 ) + o(ε)}, n=0 ∂ xˆn ∂ xˆn+1 suy ra N −1 X ∂Φn ∂Φn δJ = {( , ηxn ) + ( , ηx )}. n=0 ∂ xˆn ∂ xˆn+1 n+1 Do x ˆ là điểm cực trị nên ∂J |ε=0 = 0, ∂ε khi đó N −1 X ∂Φn ∂Φn {( , ηxn ) + ( , ηx )} = 0. n=0 ∂ xˆn ∂ xˆn+1 n+1 Với δxn = ηxn , ta thu được N −1 X ∂Φn ∂Φn {δxTn + δxTn+1 } = 0, (1.1) n=0 ∂ x ˆ n ∂ x ˆ n+1 kết hợp ∂Φn ∂Φn ∂xn ∂Φn = = ∂ xˆn ∂xn ∂ xˆn ∂xn và N −1 N X ∂Φn X ∂Φ(xn−1 , xn , n − 1) δxTn+1 = δxTn n=0 ∂ xˆn+1 n=1 ∂xn N −1 X ∂Φ(xn−1 , xn , n − 1) ∂Φ(xn−1 , xn , n − 1) n=N = δxTn + δxTn |n=0 , n=0 ∂xn ∂xn ta nhận được N −1 X ∂Φn ∂Φn−1 ∂Φn−1 n=N δxTn ( + ) + δxTn | = 0. (1.2) n=0 ∂xn ∂xn ∂xn n=0 Do (1.2) không phụ thuộc vào việc chọn δxTn nên để J đạt cực tiểu thì ∂Φn−1 = 0, với n = 0, N, ∂xn
9 ∂Φn ∂Φn−1 + = 0. (1.3) ∂xn ∂xn Phương trình (1.3) là phương trình Euler - Lagrange rời rạc. 1.1.2 Nguyên lý cực đại của bài toán điều khiển tối ưu Xét phương trình sai phân xn+1 = f (xn , un , n), với n = 0, 1, . . . , N − 1, (1.4) trong đó xn ∈ Rm , un ∈ Rk . Bài toán đặt ra là tìm vectơ điều khiển un để cực tiểu hàm mục tiêu N X −1 J= ϕ(xn , n)|n=N n=0 + Φ(xn , un , n), (1.5) n=0 ở đây với mỗi n = 0, 1, . . . , N − 1, Φ(., ., n) : Rm × Rk → R là hàm khả vi liên tục, ϕ(., n) : Rm → R là hàm khả vi liên tục tại n = N , n = 0. Xét hàm Lagrange N X −1 L= ϕ(xn , n)|n=N n=0 + {Φ(xn , un , n) + λTn+1 (f (xn , un , n) − xn+1 )} n=0 N X −1 n=N = ϕ(xn , n)|n=0 + (Hn − λTn+1 xn+1 ), n=0 ở đây Hn = Φ(xn , un , n) + λTn+1 f (xn , un , n). Đặt xn = xˆn + εηn , xn+1 = xˆn+1 + εηn+1 , un = uˆn + εvn . Do đó xN + εηN , N ) − ϕ(ˆ L = ϕ(ˆ x0 + εη0 , 0) N X −1 + xn + εηn , uˆn + εvn , λn+1 , n) − λTn+1 (ˆ {H(ˆ xn+1 + εηn+1 )}. n=0
10 Chúng ta đã biết ∂L = 0, ∂ε nên N −1 ∂ϕN T ∂ϕ0 T X ∂Hn ( ) ηN − ( ) η0 + ( )T ηn ∂ xˆN ∂ xˆ0 n=0 ∂ xˆn N −1 N −1 X X ∂Hn T − λTn+1 ηn+1 + ( ) vn = 0. (1.6) n=0 n=0 ∂ uˆn Ta có N X −1 N X N X −1 − λTn+1 ηn+1 =− λTn ηn =− λTn ηn − λTN ηN + λT0 η0 . n=0 n=1 n=0 Thay phương trình trên vào phương trình (1.6) ta thu được ∂ϕN T ∂ϕ0 T (( ) − λTN )ηN − (( ) − λT0 )η0 ∂xN ∂x0 N −1 N −1 X ∂Hn T T X ∂Hn T + (( ) − λn )ηn + ( ) vn = 0. (1.7) n=0 ∂x n n=0 ∂u n Do phương trình (1.7) không phụ thuộc vào việc chọn ηn , vn cho nên ta thu được nguyên lý cực đại cho bài toán điều khiển tối ưu. Định lý 1.1.1. Giả sử un , xn , n = 0, 1, . . . , N − 1 là điểu khiển tối ưu và quỹ đạo tối ưu của bài toán (1.4) - (1.5). Khi đó tồn tại vectơ λn thỏa mãn ∂H(xn , un , λn+1 , n) λn = , ∂xn ∂ϕ(0, n) λ0 = , ∂x0 và ∂ϕ(N, n) λN = , ∂xN trong đó H(xn , un , λn+1 , n) = Φ(xn , un , n) + λTn+1 f (xn , un , n), sao cho với mỗi n = 0, 1, . . . , N − 1 H(xn , un , λn+1 , n) = mink H(xn , v, λn+1 , n). v∈R
11 Ví dụ 1.1.2. Xét bài toán điều khiển tối ưu tuyến tính rời rạc xn+1 = Axn + Bun , n = 0, 1, . . . , N − 1, (1.8) với điều kiện ban đầu x0 = x0 , (1.9) và hàm mục tiêu N −1 ! ! 1X T T W S xn J(x, u, N ) = (xn un ) −→ min 2 k=0 ST R un un trong đó xn là biến trạng thái và un là biến điều khiển. Hệ số trong phương trình (1.8), (1.9) là những ma trận A, W, V ∈ Rm×m , B, S ∈ Rm×k , R ∈ Rk×k . ! W S Giả sử W và R là các ma trận đối xứng và ma trận là nửa ST R xác định dương. Xét hàm Hamilton ! ! 1 W S xn n n H = λTn+1 (Axn + Bun ) − xTn T un T . (1.10) 2 Sn Rn un Áp dụng nguyên lý cực đại, ta thu được các phương trình sau xn+1 = Axn + Bun , ∂H λn = = W xn + AT λn+1 + Sun , ∂xn Run + S T xn + B T λn+1 = 0. 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 Trong mục này chúng tôi trình bày một số nghiên cứu của tác giả P. K. Anh, H. T. N. Yến [1] về phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1 và tác giả L. C. Lợi [6] về phương trình dưới liên hợp của phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1.
12 1.2.1 Khái niệm và các tính chất Xét phương trình sai phân tuyến tính ẩn với hệ số biến thiên dạng En xn+1 = An xn + qn , n = 0, 1, . . . , N, (1.11) trong đó En , An ∈ Rm×m và qn ∈ Rm đã cho. Ma trận En giả thiết là suy biến với mọi n và rankEn = r (1 ≤ r ≤ m − 1). Với mỗi n ≥ 0, gọi Qn ∈ Rm×m là phép chiếu bất kỳ lên kerEn , tức là Q2n = Qn và imQn = kerEn . Khi đó, tồn tại một ma trận không suy biến ˜ n−1 , trong đó Q Vn ∈ Rm×m sao cho Qn = Vn QV ˜ = diag(Or , Im−r ). ˜ n−1 . Đặt Pn = I − Qn và Gn = En + An Vn−1 QV Chúng ta định nghĩa các toán tử nối hai không gian con kerEn−1 và kerEn ˜ n−1 và Qn,n−1 = Vn QV Qn−1,n = Vn−1 QV ˜ −1 . n−1 Ta có Qn−1,n = Qn−1 Qn−1,n = Qn−1,n Qn , Qn−1,n Qn,n−1 = Qn−1,n−1 và Qn,n−1 Qn−1,n = Qn . Định nghĩa 1.2.1. [1] Ta nói phương trình (1.11) có chỉ số 1 nếu (i) rankEn = r , n = 0, N , (ii) Sn ∩ kerEn−1 = {0}, n = 1, N , trong đó Sn = {ξ ∈ Rm : An ξ ∈ imEn }. Ngoài ra, giả thiết rằng dimS0 = r. Gọi E−1 ∈ Rm×m là ma trận thỏa mãn điều kiện S0 ⊕ kerE−1 = Rm . Nếu cặp ma trận {E0 , A0 } có chỉ số 1 (xem [7]) thì ta có thể lấy E−1 = E0 . Gọi Q−1 là phép chiếu nào đó lên kerE−1 và P−1 = I − Q−1 . Ta nhận thấy điều kiện (ii) đúng với n = 0, N và toán tử nối Qn−1,n cũng xác định với n = 0, N . Dưới đây là ví dụ về phương trình sai phân tuyến tính ẩn chỉ số 1.
13 Ví dụ 1.2.2. Xét phương trình sai phân tuyến tính (1.11) với     n + 1 0 −1 1 n 0 En =  0 0 0  , An =  0 1 0 .     −(n + 1) 0 1 n 0 1 Với mọi n ≥ 0, ta có 0 < rankEn = 1 < 3 và        0 1
  kerEn = 1 u +  0  v
u, v ∈ R ,    
  0 n+1        −1
  Sn =  0  u
u, v ∈ R} .  