Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự hội tụ nghiệm của hệ gradient bậc hai

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung luận văn tập trung khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm số của hệ gradient bậc hai dạng rời rạc, cùng với một số ứng dụng. Các kết quả hội tụ của bài toán liên tục được tham khảo trong các bài báo. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự hội tụ nghiệm của hệ gradient bậc hai

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Ngọc Quang Tạo SỰ HỘI TỤ NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT BẬC HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Ngọc Quang Tạo SỰ HỘI TỤ NGHIỆM CỦA HỆ GRADIENT BẬC HAI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn thạc sĩ do tôi thực hiện, dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thành Nhân. Các nội dung nghiên cứu và kết quả trong luận văn đã được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong tài liệu tham khảo. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng 9 năm 2017 Học viên thực hiện Trần Ngọc Quang Tạo
LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự quan tâm và giúp đỡ rất lớn từ thầy cô, gia đình và bạn bè. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đến: Thầy TS. Nguyễn Thành Nhân, người hướng dẫn khoa học, đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc, chỉnh sửa và đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Quý Thầy Cô trong khoa Toán-Tin của trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu khi tôi học tại trường. Ban giám hiệu và quý Thầy Cô trong Phòng sau đại học của trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện và hoàn thành luận văn này. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã luôn quan tâm, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Trong quá trình thực hiện luận văn, khó tránh khỏi sai sót và hạn chế. Vì thế, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của quý Thầy Cô và các bạn để luận văn này được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn. Học viên thực hiện Trần Ngọc Quang Tạo
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương 1 Hệ gradient bậc hai..................................................................................... 3 Chương 2 Kết quả hội tụ của nghiệm số .................................................................. 10 2.1 Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định Lyapunov ...................................... 13 2.2 Sự hội tụ của nghiệm số ............................................................................. 20 2.2.1 Trường hợp 𝜺 > 𝟎 ............................................................................ 20 2.2.2 Trường hợp bậc một 𝜺 = 𝟎 .............................................................. 29 Chương 3 Một số ứng dụng ....................................................................................... 36 3.1 Dạng rời rạc của phương trình truyền sóng. ........................................... 36 3.2 Dạng rời rạc của phương trình Swift-Hohenberg .................................. 40 Kết luận…. ……………………………………………………………………………42 Tài liệu tham khảo ....................................................................................................... 43
CÁC KÝ HIỆU ℝ Tập hợp số thực ℝ𝑑 Không gian thực 𝑑 chiều với chuẩn Euclide ℝ+ Tập hợp các số thực không âm 𝐶 0 (ℝ+ , ℝ𝑑 ) Không gian các hàm liên tục ℝ+ ⟶ ℝ𝑑 𝐶 𝑛 (ℝ𝑑 , ℝ) Không gian các hàm khả vi cấp 𝑛 liên tục ℝ𝑑 ⟶ ℝ 𝑘,𝛼 𝐶𝑙𝑜𝑐 (ℝ𝑑 , ℝ) Không gian các hàm ℝ𝑑 ⟶ ℝ khả vi cấp 𝑘 liên tục Holder với số mũ 𝛼 trên mọi tập con compact của ℝ𝑑 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (ℝ+ , ℝ𝑑 ) Không gian các hàm ℝ+ ⟶ ℝ𝑑 đo được khả tích trên mọi tập con compact của ℝ𝑑 𝐿2 (ℝ+ , ℝ𝑑 ) Không gian các hàm 𝑓 ∶ ℝ+ ⟶ ℝ𝑑 đo được thỏa mãn ∫ℝ ‖𝑓 (𝑠)‖2 d𝑥 < ∞ + 𝑝( 𝐿 Ω) Không gian các hàm 𝑓 đo được thỏa mãn ∫Ω‖𝑓(𝑠)‖𝑝 dμ < ∞ 𝐿∞ (ℝ+ , ℝ𝑑 ) Không gian các hàm ℝ+ ⟶ ℝ𝑑 đo được bị chặn hầu khắp nơi trên ℝ+ 2,1 𝑊𝑙𝑜𝑐 (ℝ+ , ℝ𝑑 ) Không gian các hàm ℝ+ ⟶ ℝ𝑑 có đạo hàm riêng suy rộng đến cấp 2 khả tích trên mọi tập con compact của ℝ+ 𝐻1 (Ω) Không gian các hàm thuộc 𝐿2 (Ω) có đạo hàm riêng suy rộng cấp 1 thuộc 𝐿2 (Ω) 𝐻01 (Ω) Không gian các hàm thuộc 𝐿2 (Ω) và bằng 0 trên biên Ω có đạo hàm riêng suy rộng cấp 1 thuộc 𝐿2 (Ω)
1 MỞ ĐẦU Ngày nay, lĩnh vực phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng đang được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu bởi tính ứng dụng rộng rãi của nó. Các phương trình này thường được xây dựng từ các mô hình thực tế nên đôi khi phức tạp và chưa tìm được nghiệm giải tích. Thay cho việc tìm nghiệm của các phương trình này, các đánh giá định tính về sự tồn tại và cấu trúc nghiệm như tính chất về dáng điệu tiệm cận, sự ổn định nghiệm trở nên hữu ích. Hiện tại, cùng với sự phát triển của khoa học máy tính, phần lớn các phương trình này đã được giải một cách hiệu quả bằng các phương pháp số. Tuy nhiên, khi áp dụng các phương pháp số, nghiệm số của các phương trình này có thể không còn mang đầy đủ tính chất của nghiệm giải tích. Do đó, việc nghiên cứu các tính chất của lời giải số trở nên cần thiết. Thuật toán cơ bản đầu tiên có thể được áp dụng là thuật toán backward Euler. Việc khảo sát nghiệm số của thuật toán này tin rằng có thể giúp chúng ta thu được những tính chất cần thiết cho các thuật toán phức tạp hơn. Mặt khác, hệ phương trình dạng gradient mang đặc trưng cơ bản của các phương trình tiến hóa tiêu tán là hàm năng lượng giảm dần theo thời gian. Đặc trưng cơ bản này giúp ta có thể biểu diễn nhiều phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng dưới dạng một hệ phương trình có dạng gradient hoặc tựa gradient. Từ đó, việc khảo sát nghiệm số của các phương trình dạng gradient gần đây được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả thú vị. Các kết quả về sự hội tụ nghiệm giải tích và nghiệm số cho hệ tựa gradient bậc nhất đã được tìm hiểu trong một vài luận văn thạc sĩ các khóa trước. Tiếp nối chủ đề này, luận văn tập trung khảo sát kết quả về sụ hội tụ nghiệm cho hệ gradient bậc hai. Nội dung luận văn tập trung khảo sát dáng điệu tiệm cận của nghiệm số của hệ gradient bậc hai dạng rời rạc, cùng với một số ứng dụng. Các kết quả hội tụ của bài toán liên tục được tham khảo trong các bài báo [1], [4], [8]. Kết quả hội tụ cho bài toán
2 rời rạc và ứng dụng được tham khảo trong [1], [2], [3], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15]. Luận văn được trình bày theo ba chương. Chương 1. Hệ gradient bậc hai. Giới thiệu khái niệm về hệ gradient bậc hai và kết quả hội tụ của nghiệm giải tích. Chương 2. Kết quả hội tụ của nghiệm số. Trình bày một số kết quả về sự tồn tại, tính duy nhất và sự hội tụ của nghiệm số cho hệ gradient ở dạng rời rạc. Chương 3. Một số ứng dụng. Trình bày ứng dụng của kết quả hội tụ cho hệ gradient ở dạng rời rạc đối với phương trình truyền sóng và phương trình Swift- Hohenberg.
3 Chương 1 Hệ gradient bậc hai Chúng ta gọi một hệ gradient bậc hai trên ℝ𝑑 là hệ có dạng 𝜀𝑈 ′′ (𝑡) + 𝑈 ′ (𝑡) + ∇𝐹(𝑈(𝑡)) = 𝐺 (𝑡), 𝑡 ≥ 0, (1.1) 1,1 với 𝜀 ≥ 0, 𝐺 ∈ 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (ℝ+ , ℝ𝑑 ), 𝑈 = (𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑑 )𝑡 , 𝐹 ∈ 𝐶𝑙𝑜𝑐 (ℝ𝑑 , ℝ), và 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝜕𝐹 𝑡 ∇𝐹 = ( , ,…, ). 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 𝜕𝑢𝑑 Ta có thể viết lại (1.1) thành hệ gradient bậc nhất: 𝑈 ′ (𝑡) = 𝑉(𝑡), { ′ 𝑡 ≥ 0. (1.2) 𝜀𝑉 (𝑡) = −𝑉(𝑡) − ∇𝐹(𝑈(𝑡)) + 𝐺 (𝑡), Nếu 𝐹 là hàm giải tích và 𝐺 thỏa mãn: tồn tại 𝛿 > 0 sao cho ∞ sup (𝑡 1+𝛿 ∫ ‖𝐺 (𝑠)‖2 ds) < ∞, (1.3) 𝑡∈ℝ+ 𝑡 Ta sẽ chỉ ra rằng bất cứ nghiệm bị chặn nào của (1.1) cũng đều hội tụ về điểm tới hạn của 𝐹 khi 𝑡 tiến tới ∞. Nội dung của chương chủ yếu được tham khảo trong [1], [4], [8]. Trước khi đi vào chứng minh, ta cần một công cụ quan trọng là bất đẳng thức Lojasiewicz mà chúng ta phát biểu ngay sau đây: Định nghĩa 1.0.1 Ta nói 𝐹 ∈ 𝐶 1 (ℝ𝑑 , ℝ) thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz tại điểm 1 𝑈 ∗ ∈ ℝ𝑑 nếu tồn tại hằng số 𝜃 ∈ (0, ] , 𝛾 ≥ 0 và 𝜎 > 0 sao cho 2 ∀𝑈 ∈ ℝ𝑑 , ‖𝑈 − 𝑈 ∗ ‖ < 𝜎 ⇒ |𝐹 (𝑈) − 𝐹 (𝑈 ∗ )|1−𝜃 ≤ 𝛾‖∇𝐹 (𝑈)‖. (1.4) Số 𝜃 xuất hiện trong định nghĩa được gọi là số mũ Lojasiewicz tại 𝑈 ∗ . Nếu 𝐹 thỏa 1 mãn (1.4) với một số mũ 𝜃 ∈ (0, ] nào đó thì bằng cách thay đổi hằng số 𝛾 và 𝜎 nếu 2 cần, ta thấy rằng 𝐹 thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz với mọi số mũ 𝜃 ′ ∈ (0, 𝜃].
4 Kết quả của Lojasiewicz còn nói rằng nếu 𝐹: ℝ𝑑 ⟶ ℝ là hàm giải tích thực trong lân cận của 𝑈 ∗ ∈ ℝ𝑑 thì 𝐹 thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz tại 𝑈 ∗ . Ta định nghĩa tập 𝜔 − limit của 𝑈 ∈ 𝐶0 (ℝ+ , ℝ𝑑 ): ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝜔(𝑈) = {𝑈 ∗ ∈ ℝ𝑑 : ∃𝑡𝑛 ⟶ ∞ sao cho 𝑈(𝑡𝑛 ) ⟶ 𝑈 ∗ } = ⋂ ⋃{𝑈(𝑡)}, 𝜏≥0 𝑡≥𝜏 và đặt 𝒮 ≔ {𝑈 ∗ ∈ ℝ𝑑 ∶ ∇𝐹 (𝑈 ∗ ) = 0}. 2,1 Định lý 1.0.2 Cho 𝑈 ∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐 (ℝ+ , ℝ𝑑 ) là nghiệm của (1.1) với 𝜀 ≥ 0, và giả sử (1) 𝐹 ∈ 𝐶 2 (ℝ𝑑 , ℝ), (2) tập hợp {𝑈(𝑡): 𝑡 ≥ 0} bị chặn trong ℝ𝑑 , (3) tồn tại 𝑈 ∗ ∈ 𝜔(𝑈) sao cho 𝐹 thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz tại 𝑈 ∗ theo định nghĩa (1.4), với số mũ Lojasiewicz 𝜃, (4) 𝐺 ∈ 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (ℝ+ , ℝ𝑑 ) thỏa mãn (1.3) với 𝛿 > 0. Khi đó lim 𝑈(𝑡) = 𝑈 ∗ . Hơn nữa, tồn tại hằng số 𝐶 > 0 sao cho với mọi 𝑡 ≥ 0, ta có: 𝑡⟶∞ 𝜃 𝛿 ‖𝑈(𝑡) − 𝑈 ∗ ‖ ≤ 𝐶 (1 + 𝑡)−𝑎 , 𝑣ớ𝑖 𝑎 = min { , }. 1 − 2𝜃 2 Chứng minh Ta sẽ chứng minh sự hội tụ khi 𝜀 > 0 một cách tương tự chứng minh trong [10]. Đặt 𝑉 = 𝑈 ′ ∈ 𝐿1𝑙𝑜𝑐 (ℝ+ , ℝ𝑑 ), khi đó (𝑈, 𝑉 ) thỏa mãn (1.2). Đặt: ∞ 𝜀 Φ0 (𝑡) = ‖𝑉(𝑡)‖ + 𝐹(𝑈(𝑡)) + 𝐶𝜇 ∫ ‖𝐺 (𝑠)‖2 d𝑠, 2 2 𝑡 1 trong đó 𝜇 ∈ (0,1) và 𝐶𝜇 > . Khi đó ta có 4𝜇 −Φ′ 0 (𝑡) = −𝜀〈𝑉 (𝑡), 𝑉 ′ (𝑡)〉 − 〈∇𝐹(𝑈(𝑡)), 𝑈 ′ (𝑡)〉 + 𝐶𝜇 ‖𝐺 (𝑡)‖2 = −𝜀⟨𝑉 (𝑡), 𝑉 ′ (𝑡)⟩ − ⟨𝐺 (𝑡) − 𝜀𝑉 ′ (𝑡) − 𝑉 (𝑡), 𝑉(𝑡)⟩ + 𝐶𝜇 ‖𝐺 (𝑡)‖2 = ‖𝑉(𝑡)‖2 − 〈𝐺 (𝑡), 𝑉 (𝑡)〉 + 𝐶𝜇 ‖𝐺 (𝑡)‖2 1 ≥ (1 − 𝜇)‖𝑉(𝑡)‖2 + (𝐶𝜇 − ) ‖𝐺 (𝑡)‖2 ≥ 0. (1.5) 4𝜇
5 Suy ra Φ0 là không tăng, mà 𝐹 (𝑈) bị chặn nên giới hạn lim Φ0 (𝑡) tồn tại và 𝑉 bị 𝑡⟶∞ chặn. Hơn nữa, do (1.5) nên hàm ℎ(𝑡) = ‖𝑉(𝑡)‖2 là khả tích, ℎ cũng liên tục đều trên ℝ+ : thật vậy, ℎ′ (𝑡) = 2〈𝑉(𝑡), 𝑉 ′(𝑡) 〉, 𝑉 bị chặn và do (1.2) và giả thiết (1.3), 𝑉 ′ (𝑡) ∈ 𝐿∞ (ℝ+ , ℝ𝑑 ) + 𝐿2 (ℝ+ , ℝ𝑑 ), do đó ℎ(𝑡) ⟶ 0 khi 𝑡 ⟶ ∞. Các tính chất trên đảm bảo 𝐹 là hằng số trên 𝜔(𝑈) và 𝜔(𝑈) là tập con compact liên thông khác rỗng của 𝒮. Đặt ∞ 𝜀 Φ(𝑡) = ‖𝑉(𝑡)‖2 + 𝐹(𝑈(𝑡)) + 𝛽〈∇𝐹(𝑈(𝑡)), 𝑉(𝑡)〉 + 𝐶𝜇 ∫ ‖𝐺 (𝑠)‖2 d𝑠, (1.6) 2 𝑡 trong đó 𝛽 > 0 là hằng số nhỏ tùy ý sẽ được quy định ở bên dưới. Áp dụng (1.5) và (1.2), ta được −Φ′ (𝑡) = −Φ′ 0 (𝑡) − 𝛽〈∇2 𝐹(𝑈(𝑡))𝑉(𝑡), 𝑉 (𝑡)〉 − 𝛽〈∇𝐹(𝑈(𝑡)), 𝑉 ′ (𝑡)〉 1 ≥ (1 − 𝜇 − 𝛽𝐶 (𝑅))‖𝑉(𝑡)‖2 + (𝐶𝜇 − ) ‖𝐺 (𝑡)‖2 4𝜇 𝛽 2 +(〈∇𝐹(𝑈(𝑡)), 𝑉 (𝑡)〉 + ‖∇𝐹(𝑈(𝑡))‖ − 〈∇𝐹(𝑈(𝑡)), 𝐺 (𝑡)〉), 𝜀 trong đó 𝑅 = sup‖𝑈(𝑡)‖ < ∞ và 𝐶 (𝑅) = sup ‖∇2 𝐹 (𝑊 )‖ < ∞. Áp dụng bất đẳng 𝑡≥0 ‖𝑊‖ 0 đủ nhỏ, 𝛽 2 −Φ′ (𝑡) ≥ (‖𝑉(𝑡)‖ + ‖∇𝐹(𝑈(𝑡))‖) . (1.7) 4𝜀 Suy ra Φ là không tăng, điều này dẫn đến hàm số
6 Φ∗ (𝑡) = Φ(𝑡) − 𝐹(𝑈∗ ) tiến tới 0 khi 𝑡 ⟶ ∞, và Φ∗ (𝑡) ≥ 0 với mọi 𝑡 ≥ 0. Bằng cách thay đổi các hằng số 𝜃, 𝜎 và 𝛾 trong (1.4) nếu cần thiết, ta có thể chọn số 1 mũ Lojasiewicz 𝜃 ∈ (0, ) của 𝐹 tại 𝑈 ∗ sao cho 2 2𝜃 𝛿≥ = 2𝛼. (1.8) 1 − 2𝜃 Tiếp theo, chúng ta đánh giá Φ1−𝜃 ∗ (𝑡). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức (𝑎 + 𝑏)1−𝜃 ≤ 𝑎1−𝜃 + 𝑏1−𝜃 , ∀𝑎, 𝑏 ≥ 0, (1.9) ta có 𝜀 1−𝜃 1−𝜃 Φ1−𝜃 ∗ (𝑡) ≤( ) ‖𝑉(𝑡)‖2(1−𝜃) + |𝐹(𝑈(𝑡)) − 𝐹 (𝑈 ∗ )| 2 ∞ 1−𝜃 1−𝜃 1−𝜃 (1−θ) +𝛽 ‖∇𝐹(𝑈(𝑡))‖ ‖𝑉 (𝑡)‖ + (𝐶𝜇 ∫ ‖𝐺 (𝑠 )‖2 ds) . 𝑡 Áp dụng bất đẳng thức Young, 1−𝜃 (1−𝜃) ‖∇𝐹(𝑈(𝑡))‖ ‖𝑉(𝑡)‖(1−𝜃) ≤ ‖∇𝐹(𝑈(𝑡))‖ + ‖𝑉(𝑡)‖ 𝜃 . Với 𝑡 ≥ 0 sao cho ‖𝑈(𝑡) − 𝑈 ∗ ‖ < 𝜎. Áp dụng bất đẳng thức Lojasiewicz (1.4), ta được ∞ 1−𝜃 Φ1−𝜃 ∗ (𝑡) ≤ 𝐶0 (‖𝑉(𝑡)‖ + ‖∇𝐹(𝑈(𝑡))‖) + (𝐶𝜇 ∫ ‖𝐺 (𝑠 )‖2 d𝑠) , (1.10) 𝑡 trong đó 𝐶0 < ∞ là hằng số. Nếu ∞ 1−𝜃 ‖𝑉(𝑡)‖ + ‖∇𝐹(𝑈(𝑡))‖ > 𝛾 −1 )‖2 (1.11) (𝐶𝜇 ∫ ‖𝐺 (𝑠 d𝑠) , 𝑡 thì khi đó do (1.7) và (1.10),
7 𝑑 𝜃 − Φ∗ (𝑡) = −𝜃Φ∗′ (𝑡)Φ1−𝜃 ∗ (𝑡) 𝑑𝑡 𝜃𝛽 ≥ (‖𝑉(𝑡)‖ + ‖∇𝐹(𝑈(𝑡))‖. 4𝜀 (𝐶0 + 𝛾) Ngược lại, nếu (1.11) không đúng thì khi đó do (1.3) ‖𝑉(𝑡)‖ + ‖∇𝐹(𝑈(𝑡))‖ ≤ 𝐶𝑡 −(1+𝛿)(1−𝜃) , trong đó 𝐶 là hằng số. Như vậy trong bất kì trường hợp nào, với mọi 𝑡 ≥ 0 sao cho ‖𝑈(𝑡) − 𝑈 ∗ ‖ < 𝜎, ta đều có 4𝜀(𝐶0 + 𝛾) 𝜃 ′ ‖𝑈 ′ (𝑡)‖ = ‖𝑉(𝑡)‖ ≤ − [Φ∗ (𝑡)] + 𝐶𝑡 −(1+𝛿)(1−𝜃) . (1.12) 𝜃𝛽 1−𝜃 Do (1.8) nên (1 + 𝛿 )(1 − 𝜃) ≥ , suy ra vế phải của (1.12) là hàm khả tích. 1−2𝜃 Với 𝑡̅ đủ lớn sao cho ∞ 𝛿 4𝜀(𝐶0 + 𝛾) 𝜃 𝜎 ‖𝑈(𝑡̅) − 𝑈 ∗ ‖ < , và Φ∗ (𝑡) + ∫ 𝐶𝑡 −(1+𝛿)(1−𝜃) d𝑡 < . 2 𝜃𝛽 𝑡 2 Đặt 𝑡 + = sup{𝑡 ≥ 𝑡̅ ∶ ‖𝑈(𝑠) − 𝑈 ∗ ‖ < 𝜎, ∀𝑠 ∈ [𝑡̅, 𝑡)}, và giả sử rằng 𝑡 + < ∞, khi đó ‖𝑈(𝑡 + ) − 𝑈 ∗ ‖ = 𝜎. Với mọi 𝑡 ∈ [𝑡̅, 𝑡 + ), do (1.12) và cách chọn của 𝑡̅, ta được 𝑡 𝜎 ‖𝑈(𝑡) − 𝑈(𝑡)‖ ≤ ∫ ‖𝑈 ′ (𝑠)‖d𝑠 ≤ . ̅ (1.13) 𝑡̅ 2 Khi đó áp dụng bất đẳng thức tam giác, ‖𝑈(𝑡 + ) − 𝑈 ∗ ‖ ≤ ‖𝑈(𝑡 + ) − 𝑈(𝑡̅)‖ + ‖𝑈(𝑡̅) − 𝑈 ∗ ‖ < 𝜎, mâu thuẫn với giả thiết 𝑡 + < ∞. Do đó 𝑡 + = ∞ và (1.13) đúng với mọi 𝑡 ≥ 𝑡̅, suy ra 𝑈(𝑡) có giới hạn khi 𝑡 ⟶ ∞. Tiếp theo ta sẽ chứng minh tốc độ hội tụ. Vì 𝑈(𝑡) ⟶ 𝑈 ∗ khi 𝑡 ⟶ ∞ nên tồn tại 𝑡0 sao cho ‖𝑈(𝑡) − 𝑈 ∗ ‖ < 𝜎, ∀𝑡 ≥ 𝑡0 . Với 𝑡 ≥ 𝑡0 tùy ý. Nếu 𝑡 thỏa mãn bất đẳng thức (1.11) thì kết hợp với (1.7) ta có
8 𝑑 2𝜃−1 Φ∗ (𝑡) = (2𝜃 − 1)Φ∗′ (𝑡)Φ∗2𝜃−1 (𝑡) 𝑑𝑡 𝛽 2 ≥ (1 − 2𝜃) (‖𝑉(𝑡)‖ + ‖∇𝐹(𝑈(𝑡))‖) 4𝜀 1 −2 . 2 (‖𝑉(𝑡)‖ + ‖∇𝐹(𝑈(𝑡))‖) (𝐶0 + 𝛾) 𝛽(1 − 2𝜃) = ≔ 𝐶1 . 4𝜀(𝐶0 + 𝛾)2 Nếu 𝑡 không thỏa (1.11) thì ‖𝑉(𝑡)‖ ≤ ‖𝑉(𝑡)‖ + ‖∇𝐹(𝑈(𝑡))‖ ≤ 𝐶𝑡 −(1+𝛿)(1−𝜃) . Bây giờ ta xét ba trường hợp. Nếu tồn tại 𝑡 ′ ≥ 𝑡0 sao cho (1.11) không đúng với mọi 𝑡 ≥ 𝑡 ′ thì ∞ ∞ ‖𝑈(𝑡) − 𝑈 ∗ ‖ ≤ ∫ ‖𝑉(𝑠)‖d𝑠 ≤ ∫ 𝐶𝑠 −(1+𝛿)(1−𝜃) d𝑠 ≤ 𝐶3 𝑡 −(1+𝛿)(1−𝜃) , 𝑡 𝑡 khi đó theo (1.8) ta được tốc độ hội tụ. Nếu tồn tại 𝑡 ′ ≥ 𝑡0 sao cho (1.11) đúng với mọi 𝑡 ≥ 𝑡 ′ thì 𝑑 2𝜃−1 Φ∗ (𝑡) ≥ 𝐶1 , ∀𝑡 ≥ 𝑡 ′ , 𝑑𝑡 hơn nữa do Φ∗ (𝑡) ≥ 0, ∀𝑡 ≥ 0 nên Φ∗2𝜃−1 (𝑡) ≥ 𝐶1 𝑡, ∀𝑡 ≥ 𝑡 ′ , hay 𝜃 Φ∗𝜃 (𝑡) ≤ 𝐶4 𝑡 1−2𝜃 , ∀𝑡 ≥ 𝑡 ′ . Áp dụng bất đẳng thức trên vào (1.12), ta được ∞ ∗‖ 4𝜀 (𝐶0 + 𝛾) 𝜃 ‖𝑈(𝑡) − 𝑈 ≤ ∫ ‖𝑉(𝑠)‖d𝑠 ≤ 𝐶4 𝑡 1−2𝜃 + 𝐶3 𝑡 −𝛿(1−𝜃)+𝜃 , 𝑡 𝜃𝛽 khi đó theo (1.8) ta được tốc độ hội tụ. Nếu cả hai trường hợp trên đều không xảy ra, khi đó hoặc 𝑡 không thỏa mãn (1.11) hoặc 𝑡 thỏa mãn (1.11). Nếu 𝑡 không thỏa mãn (1.11) thì do (1.10), ta có
9 2𝜃−1 2𝜃−1 𝐶0 2𝜃−1 −(1+𝛿)(2𝜃−1) (Φ∗ (𝑡)) ≥ ( + 1) (𝐶𝜇 ) 𝑡 ≥ 𝐶2 𝑡 −(1+𝛿)(2𝜃−1) , 𝛾 áp dụng bất đẳng thức trên vào (1.12), ta được ∞ 4𝜀(𝐶0 + 𝛾) ‖𝑈(𝑡) − 𝑈 ∗ ‖ ≤ ∫ ‖𝑉(𝑠)‖d𝑠 ≤ 𝐶2 𝑡 −(1+𝛿)𝜃 + 𝐶3 𝑡 −𝛿(1−𝜃)+𝜃 , 𝑡 𝜃𝛽 theo (1.8) ta được tốc độ hội tụ. ∞ Nếu 𝑡 thỏa mãn (1.11), do ‖𝑉(𝑡)‖, ‖∇𝐹(𝑈(𝑡))‖, ∫𝑡 ‖𝐺 (𝑠)‖^2d𝑠 liên tục nên không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử tồn tại 𝑡 ′ ∈ (𝑡0 , 𝑡) sao cho ∞ 1−𝜃 ‖𝑉(𝑡 ′ )‖ ′) −1 )‖2 + ‖∇𝐹(𝑈(𝑡 )‖ = 𝛾 (𝐶𝜇 ∫ ‖𝐺 (𝑠 d𝑠) , 𝑡′ (hay 𝑡 ′ không thỏa mãn (1.11) và (1.11) thỏa mãn với mọi 𝑡̅ ∈ (𝑡 ′ , 𝑡]. Khi đó 𝑡 𝑡 ′ Φ∗2𝜃−1 (𝑡) − Φ∗2𝜃−1 (𝑡 ′ ) = ∫ [Φ∗2𝜃−1 (𝑠)] d𝑠 ≥ ∫ 𝐶1 d𝑠 ≥ 𝐶1 (𝑡 − 𝑡 ′ ), 𝑡′ 𝑡′ hay 𝜃 − 2𝜃−1 ( ′ ) 1−2𝜃 Φ∗𝜃 (𝑡) ≤ (𝐶1 (𝑡 − 𝑡 +′) Φ∗ 𝑡 ) . Hơn nữa, do 𝑡 ′ không thỏa mãn (1.11) nên 𝜃 𝜃 − ′ (1+𝛿)(1−2𝜃) Φ∗𝜃 (𝑡) ≤ (𝐶1 (𝑡 − 𝑡 + 𝐶2 𝑡′) )1−2𝜃 ≤ 𝐶5 𝑡 −1−2𝜃 . Áp dụng bất đẳng thức trên vào (1.12), ta được ∞ 4𝜀(𝐶0 + 𝛾) 𝜃 ‖𝑈(𝑡) − 𝑈 ∗‖ ≤ ∫ ‖𝑉(𝑠)‖d𝑠 ≤ 𝐶5 𝑡 −1−2𝜃 + 𝐶3 𝑡 −𝛿(1−𝜃)+𝜃 , 𝑡 𝜃𝛽 Theo (1.8) ta được tốc độ hội tụ. Vậy bài toán đã được chứng minh. ■
10 Chương 2 Kết quả hội tụ của nghiệm số Chúng ta sẽ chứng minh các kết quả của Chương 1 vẫn đúng đối với dạng thời gian rời rạc của (1.1): 𝑈 𝑛+1 − 2𝑈 𝑛 + 𝑈 𝑛−1 𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 𝜀 + + ∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 ) = 𝐺 𝑛+1 , 𝑛 ≥ 0, (2.1) Δ𝑡 2 Δ𝑡 với Δ𝑡 > 0 là bước thời gian (cố định), (𝐺 𝑛+1 )𝑛∈ℕ là dãy cho trước trong ℝ𝑑 hội tụ về 0 khi 𝑛 tiến tới ∞, và (𝑈 𝑛 )𝑛∈ℕ là một dãy trong ℝ𝑑 . Xét thuật toán backward Euler cho (1.2) với Δ𝑡 > 0 là bước thời gian cố định: Cho (𝑈 0 , 𝑉 0 ) ∈ ℝ𝑑 × ℝ𝑑 và với 𝑛 = 0, 1, 2, … , (𝑈 𝑛+1 , 𝑉 𝑛+1 ) ∈ ℝ𝑑 × ℝ𝑑 thỏa: 𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 = 𝑉 𝑛+1 , Δ𝑡 (2.2) 𝑉 𝑛+1 − 𝑉 𝑛 {𝜀 = −𝑉 𝑛+1 − ∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 ) + 𝐺 𝑛+1 , Δt trong đó (𝐺 𝑛+1 )𝑛∈ℕ là dãy cho trước trong ℝ𝑑 . Chú ý rằng ta có có thể nhận được (2.1) từ (2.2) bằng cách khử 𝑉 𝑛 và 𝑉 𝑛+1 . Ta giả sử 𝐹 là tiền lồi, nghĩa là tồn tại 𝑐𝐹 ≥ 0 sao cho: ⟨∇𝐹 (𝑈) − ∇𝐹 (𝑊 ), 𝑈 − 𝑊 ⟩ ≥ −𝑐𝐹 ‖𝑈 − 𝑊 ‖2 ; ∀𝑈, 𝑊 ∈ ℝ𝑑 , (2.3) trong đó ⟨. , . ⟩ là tích vô hướng Euclidean trên ℝ𝑑 . Giả thiết (2.3) còn được gọi là điều kiện Lipschitz một bên, giả thiết này tương đương với giả thiết hàm: 𝑐𝐹 𝑊 ⟼ 𝐹 (𝑊 ) + ‖𝑊 ‖2 2 là lồi. Từ đó dẫn đến hệ quả của (2.3) là hàm 𝐹 thỏa mãn: 𝑐𝐹 𝐹 (𝑈) ≥ 𝐹 (𝑊 ) + ⟨∇𝐹 (𝑊 ), 𝑈 − 𝑊 ⟩ − ‖𝑈 − 𝑊 ‖2 , ∀𝑈, 𝑊 ∈ ℝ𝑑 . (2.4) 2 (2.4) là hệ quả của (2.3) là do định lý sau:
11 Định lý Cho ánh xạ 𝐹 ∶ ℝ𝑑 → ℝ, các mệnh đề sau là tương đương 1. 𝐹 là hàm lồi, nghĩa là: ∀𝑈, 𝑊 ∈ ℝ𝑑 , 𝐹 (𝑡𝑈 + (1 − 𝑡)𝑊 ) ≤ 𝑡𝐹 (𝑈) + (1 − 𝑡)𝐹 (𝑊 ), 𝑡 ∈ [0,1]. 2. 𝐹 (𝑈) ≥ 𝐹 (𝑊 ) + ⟨∇𝐹 (𝑊 ), 𝑈 − 𝑊 ⟩, ∀𝑈, 𝑊 ∈ ℝ𝑑 . 3. ⟨∇𝐹 (𝑈) − ∇𝐹 (𝑊 ), 𝑈 − 𝑊 ⟩ ≥ 0, ∀𝑈, 𝑊 ∈ ℝ𝑑 . Chứng minh Ta dễ dàng chứng minh định lý trong trường hợp 𝑑 = 1. Với 𝑑 > 1 (1 ⇒ 2) ∀𝑈, 𝑊 ∈ ℝ𝑑 , đặt 𝑔(𝑡) = 𝐹 (𝑡𝑈 + (1 − 𝑡)𝑊 ), khi đó 𝑔′ (𝑡) = ⟨∇𝐹 (𝑡𝑈 + (1 − 𝑡)𝑊 ), 𝑈 − 𝑊 ⟩. Vì 𝐹 là hàm lồi nên 𝑔 cũng là hàm lồi, do đó 𝑔(1) ≥ 𝑔(0) + 𝑔′ (0), hay 𝐹 (𝑈) ≥ 𝐹 (𝑊 ) + ⟨∇𝐹 (𝑊 ), 𝑈 − 𝑊 ⟩. (2 ⇒ 3) ∀𝑈, 𝑊 ∈ ℝ𝑑 , ta có 𝐹 (𝑈) ≥ 𝐹 (𝑊 ) + ⟨∇𝐹 (𝑊 ), 𝑈 − 𝑊 ⟩, và 𝐹 (𝑊 ) ≥ 𝐹 (𝑈) + ⟨∇𝐹 (𝑈), 𝑊 − 𝑈⟩. Cộng hai bất đẳng thức trên vế theo vế ta được ⟨∇𝐹 (𝑈) − ∇𝐹 (𝑊 ), 𝑈 − 𝑊 ⟩ ≥ 0. (3 ⇒ 1) ∀𝑈, 𝑊 ∈ ℝ𝑑 , đặt 𝑔(𝑡) = 𝐹 (𝑡𝑈 + (1 − 𝑡)𝑊 ), khi đó ∀𝑡, 𝑡̅ ∈ [0,1] 𝑔′ (𝑡) − 𝑔′ (𝑡̅) = ⟨∇𝐹 (𝑡𝑈 + (1 − 𝑡)𝑊 ) − ∇𝐹 (𝑡̅𝑈 + (1 − 𝑡̅)𝑊 ), 𝑈 − 𝑊 ⟩. Áp dụng giả thiết (3) với 𝑈 ≔ 𝑡𝑈 + (1 − 𝑡)𝑊, 𝑊 ≔ 𝑡̅𝑈 + (1 − 𝑡̅)𝑊 ta được
12 (𝑔′ (𝑡) − 𝑔′ (𝑡̅))(𝑡 − 𝑡̅) ≥ 0. Vậy 𝑔(𝑡) là hàm lồi hay 𝑔(𝑡 × 1 + (1 − 𝑡) × 0) ≤ 𝑡𝑔(1) + (1 − 𝑡)𝑔(0), ∀𝑡 ∈ [0,1]. Do đó 𝐹 (𝑡𝑈 + (1 − 𝑡)𝑊 ) ≤ 𝑡𝐹 (𝑈) + (1 − 𝑡)𝐹 (𝑊 ), ∀𝑡 ∈ [0,1]. Vậy 𝐹 là hàm lồi. ■ 𝑐𝐹 Áp dụng định lý trên với hàm lồi 𝐹 (𝑊 ) + ‖𝑊 ‖2 ta được (2.4) là hệ quả của (2.3). 2 Chú ý rằng nếu 𝐹 thỏa mãn (2.3) với 𝑐𝐹 < 0 thì khi đó 𝐹 là lồi nghiêm ngặt và 𝐹 có nhiều nhất một điểm tới hạn. Trong trường hợp này việc hội tụ về điểm cân bằng đã được chứng minh (tham khảo [2]). Trong trường hợp 𝐹 lồi (𝑐𝐹 = 0) cũng đã được nghiên cứu rộng rãi (xem [11] và trong các tài liệu tham khảo). Ở đây chúng ta sẽ xét trường hợp 𝑐𝐹 > 0. Dãy (𝐺 𝑛+1 ) thỏa mãn: ∞ ∑‖𝐺 𝑛+1 ‖2 < ∞, (2.5) 𝑛=0 hoặc tồn tại 𝛿 > 0 sao cho ∞ sup (𝑛𝛿+1 ∑ ‖𝐺 𝑘+1 ‖2 ) < ∞. (2.6) 𝑛∈ℕ 𝑘=𝑛 Chú ý rằng nếu 𝐺 𝑛+1 thỏa mãn (2.6) thì sẽ thỏa mãn (2.5), và cả hai điều kiện đều đảm bảo 𝐺 𝑛+1 ⟶ 0 khi 𝑛 ⟶ ∞, do đó thuật toán (2.2) là tiến hóa tiêu tán. Hơn nữa, nếu (𝐺 𝑛+1 )𝑛 được cho bởi công thức: 𝑛+1 1 𝑡𝑛+1 𝐺 ≔ ∫ 𝐺 (𝑡)d𝑡 trong đó 𝑡𝑗 = 𝑗Δ𝑡, 𝑗 = 0, 1, 2, … Δ𝑡 𝑡𝑛 với 𝐺 thỏa mãn (1.3) thì khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
13 ∞ ∞ 2 𝛿+1 𝑘+1 2 𝛿+1 1 𝑡𝑘+1 𝑛 ∑ ‖𝐺 ‖ = 𝑛 ∑ ‖ ∫ 𝐺 (𝑡)d𝑡‖ Δ𝑡 𝑡𝑘 𝑘=𝑛 𝑘=𝑛 ∞ 𝑡𝑘+1 𝛿+1 ‖𝐺 (𝑡)‖2 d𝑡 ≤𝑛 ∑∫ 𝑘=𝑛 𝑡𝑘 ∞ 1 = 𝛿+1 𝑡𝑛 ∫ ‖𝐺 (𝑡)‖2 d𝑡, 𝛿+1 Δ𝑡 𝑡𝑛 do đó (𝐺 𝑛+1 )𝑛 thỏa mãn (2.6). Ngược lại, nếu (𝐺 𝑛+1 )𝑛 thỏa mãn (2.6), khi đó hàm 𝐺 được cho bởi công thức: 𝐺 ≡ 𝐺 𝑛+1 trên [𝑡𝑛 , 𝑡𝑛+1 ), thỏa mãn (1.3). Vậy điều kiện (2.6) là dạng rời rạc của điều kiện (1.3). 2.1 Sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định Lyapunov 𝜀 1 Mệnh đề 2.1.1 (sự tồn tại). Nếu 𝐹 thỏa mãn (2.3) và + > 𝑐𝐹 , hoặc nếu Δ𝑡 2 Δ𝑡 infℝ𝑑 𝐹 > −∞ (không có giả thiết nào đối với Δ𝑡 > 0), thì khi đó với mọi (𝑈 0 , 𝑉 0 ) ∈ ℝ𝑑 × ℝ𝑑 , tồn tại ít nhất một dãy (𝑈 𝑛 , 𝑉 𝑛 )𝑛∈ℕ thỏa mãn (2.2). Chứng minh Với (𝑈 𝑛 , 𝑉 𝑛 ) ∈ ℝ𝑑 × ℝ𝑑 , ta chỉ cần chỉ ra tồn tại (𝑈 𝑛+1 , 𝑉 𝑛+1 ) thỏa mãn (2.2), bằng cách khử 𝑉 𝑛+1 trong (2.2), ta thấy rằng bất kì nghiệm 𝑈 𝑛+1 của (2.2) đều thỏa mãn 𝜀 1 𝜀 ( 2 + ) (𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 ) − 𝑉 𝑛 + ∇𝐹 (𝑈 𝑛+1 ) = 𝐺 𝑛+1 , (2.7) Δ𝑡 Δ𝑡 Δ𝑡 và ngược lại, nếu 𝑈 𝑛+1 thỏa mãn (2.7), bằng cách đặt 𝑛+1 𝑈 𝑛+1 − 𝑈 𝑛 𝑉 = , 𝑉𝑛 ta thấy rằng (𝑈 𝑛+1 , 𝑉 𝑛+1 ) thỏa mãn (2.2). Đặt 𝜀 1 𝜀 𝐺 𝑛 (𝑊 ) ≔ ( 2 + ) ‖𝑊 − 𝑈 𝑛 ‖2 − ⟨ 𝑉 𝑛 + 𝐺 𝑛+1 , 𝑊 − 𝑈 𝑛 ⟩ + 𝐹 (𝑊 ). 2Δ𝑡 2Δ𝑡 Δ𝑡
14 Chú ý rằng 𝑈 𝑛+1 thỏa mãn (2.7) khi và chỉ khi ∇𝐺 𝑛 (𝑈 𝑛+1 ) = 0. Thật vậy, với 𝑊 = (𝑤1 , 𝑤2 , … , 𝑤𝑑 ), 𝑈 𝑛+1 = (𝑈1𝑛+1 , 𝑈2𝑛+1 , … , 𝑈𝑑𝑛+1 ), 𝑉 𝑛+1 = (𝑉1𝑛+1 , 𝑉2𝑛+1 , … , 𝑉𝑑𝑛+1 ) và 𝐺 𝑛+1 = (𝐺1𝑛+1 , 𝐺2𝑛+1 , … , 𝐺𝑑𝑛+1 ) thì ∇𝐺 𝑛 (𝑈 𝑛+1 ) = 0 khi và chỉ khi: 𝜕𝐺𝑖𝑛 𝑛+1 𝜀 1 𝜀 𝜕𝐹𝑖 𝑛+1 (𝑈 ) = ( 2 + ) (𝑈𝑖𝑛+1 − 𝑈𝑖𝑛 ) − 𝑉𝑖𝑛 + (𝑈 ) − 𝐺𝑖𝑛+1 = 0, 𝜕𝑤𝑖 Δ𝑡 Δ𝑡 Δ𝑡 𝜕𝑤𝑖 với 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑑. Đẳng thức trên tương đương với 𝑈 𝑛+1 thỏa mãn (2.7). Nếu infℝ𝑑 𝐹 > −∞ thì 𝐺 𝑛 (𝑊 ) ⟶ ∞ khi ‖𝑊 ‖ ⟶ ∞, do đó với 𝑊0 ∈ ℝ𝑑 cố định, tồn tại 𝑅 > 0 thỏa 𝐺 𝑛 (𝑊 ) > 𝐺 𝑛 (𝑊0 ), ∀𝑊 ∈ ℝ𝑑 , ‖𝑊 ‖ ≥ 𝑅. Suy ra inf 𝑑 𝐺 𝑛 (𝑊 ) = inf 𝑑 𝐺 𝑛 (𝑊 ). 𝑊∈ℝ 𝑊∈ℝ ‖𝑊‖≤𝑅 Đặt 𝑎 ≔ inf 𝑑 𝐺 𝑛 (𝑊 ), 𝑊∈ℝ ‖𝑊‖≤𝑅 khi đó tồn tại (𝑊𝑛 )𝑛∈ℕ sao cho ‖𝑊 ‖ ≤ 𝑅, ∀𝑛 ∈ ℕ và lim 𝐺 𝑛 (𝑊𝑛 ) = 𝑎. Do ℝ𝑑 là 𝑛→∞ không gian metric compact, (𝑊𝑛 )𝑛 là dãy bị chặn nên tồn tại dãy con (𝑊𝑛𝑘 ) và 𝑘 𝑊 ∗ ∈ ℝ𝑑 sao cho lim 𝑊𝑛𝑘 = 𝑊 ∗ . Hơn nữa do 𝐺 𝑛 liên tục trên ℝ𝑑 nên 𝑘→∞ 𝑎 = lim 𝐺 𝑛 (𝑊𝑛𝑘 ) = 𝐺 𝑛 (𝑊 ∗ ), 𝑘→∞ hay argmin{𝐺 𝑛 (𝑊 ) ∶ 𝑊 ∈ ℝ𝑑 } ≠ ∅, Tương tự, nếu 𝐹 thỏa mãn (2.3), khi đó áp dụng (2.4) với 𝑊 = 𝑈 𝑛 và 𝑈 = 𝑊, ta được: 𝜀 1 𝑐𝐹 𝜀 𝐺 𝑛 (𝑊 ) ≥ ( 2 + − ) ‖𝑊 − 𝑈 𝑛 ‖2 − ⟨ 𝑉 𝑛 + 𝐺 𝑛+1 , 𝑊 − 𝑈 𝑛 ⟩ + 𝐹 (𝑈 𝑛 ). 2Δ𝑡 2Δ𝑡 2 Δ𝑡