Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự hội tụ yếu* của độ đo Monge-Ampere phức kết hợp với lớp các hàm deltađa điều hoà dưới

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu về sự hội tụ yếu* của độ đo Monge - Ampere phức các hàm delta-đa điều hòa dưới tụ theo Cn - dung lượng và Ct - dung lượng đối với dòng dương đóng T. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự hội tụ yếu* của độ đo Monge-Ampere phức kết hợp với lớp các hàm deltađa điều hoà dưới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– MALAYTHONG CHOUMPHAYLOUANG SỰ HỘI TỤ YẾU* CỦA ĐỘ ĐO MONGE-AMPERE PHỨC KẾT HỢP VỚI LỚP CÁC HÀM DELTA-ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Malaythong Choumphaylouang Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường Cao đẳng sư phạm Pakse-CHDCND Lào cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 04 năm 2016 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................. i LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii MỤC LỤC .......................................................................................................... iii MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 1 3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 2 4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2 Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................... 3 1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị ........................................... 3 1.2. Hàm điều hòa dưới ....................................................................................... 6 1.3. Hàm đa điều hoà dưới................................................................................... 7 1.4. Hàm cực trị tương đối................................................................................... 9 1.5. Toán tử Monge- Ampère phức ................................................................... 11 1.6. Các lớp Cegrell trong £ n ........................................................................... 20 Chương 2: SỰ HỘI TỤ YẾU* CỦ A ĐỘ ĐO MONGE-AMPERE PHỨC KẾT HỢP VỚI LỚP CÁC HÀ M d - ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI ....... 22 2.1. Sự hội tụ theo dung lượng .......................................................................... 22 2.2. Sự hội tụ yếu* của độ đo Monge-Ampere phức kết hợp với lớp các hàm delta-đa điều hoà dưới ....................................................................................... 28 KẾT LUẬN .................................................................................................... 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Sự hô ̣i tu ̣ yế u* của daỹ các đô ̣ đo Monge-Ampère phức của hàm đa điề u hòa dưới hô ̣i tu ̣ theo dung lươ ̣ng đã đươ ̣c nghiên cứu bởi nhiề u tác giả. Năm 1996, Y.Xing đã thiế t lâ ̣p sự hô ̣i tu ̣ yế u* của các đô ̣ đo Monge-Ampère phức các hàm đa điề u hòa dưới bị chặn điạ phương hội tụ theo C n - 1 - dung lượng hoă ̣c C n - dung lượng ([14]). Sau đó, năm 2000, Xing [15] mở rô ̣ng kế t quả trên đối với các hàm đa điề u hòa dưới với giá tri ̣ bi ̣ chă ̣n ở gần biên. Gần đây Cegrell đã tổ ng quát hoá các kết quả trên cho mô ̣t vài lớp các hàm đa điề u hòa dưới mà trên đó đô ̣ đo Monge-Ampère phức đươ ̣c xác đinh. ̣ Trong [6] Cegrell đã chứng minh rằng nế u u j , u Î E(W) , u j , u bi ̣ chă ̣n dưới đều bởi hàm thuộc lớp F (W) và nế u u j ® u theo dung lươ ̣ng, thì (dd cu j )n hô ̣i tu ̣ yế u* đế n (dd cu )n . Năm 2010, L.M. Hải, N.V. Khiêm và T.V. Long [13] đã chứng minh kế t quả trên của Cegrell bằng cách thay thế lớp E bởi lớp dEloc (W) . Đồng thời nghiên cứu sự hô ̣i tu ̣ yế u* của dòng gồm các dạng (dd cu j )p ÙT , trong đó là dòng dương đóng song chiề u ( p, p ) và u j là hàm delta-đa điề u hòa dưới hô ̣i tu ̣ theo C T - dung lượng. Trong luận văn này chúng tôi sẽ trình bày lại các kết quả trên của L.M. Hải, N.V. Khiêm và T.V. Long. Do đó chúng tôi chọn đề tài: “Sự hội tụ yếu* của độ đo Monge-Ampere phức kết hợp với lớp các hàm delta- đa điều hoà dưới”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu về sự hội tụ yếu* của độ đo Monge - Ampere phức các hàm delta-đa điề u hòa dưới tu ̣ theo C n - dung lượng và C T - dung lượng đối với dòng dương đóng . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
2 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: + Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, các lớp năng lượng Cegrell. + Nghiên cứu về sự hội tụ yếu* của độ đo Monge-Ampere phức kết hợp với lớp các hàm delta-đa điều hoà dưới, ở đó đã thay thế lớp E trong Cegrell [6] bởi lớp dEloc (W) . 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 43 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, các lớp năng lượng Cegrell. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả nghiên cứu gần đây Các kết quả nghiên cứu về sự hội tụ yếu* của độ đo Monge- Ampere phức kết hợp với lớp các hàm delta-đa điều hoà dưới. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
3 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị Giả sử ¡ n là không gian vector n chiều với cơ sở chính tắc e j = (0, ..., 0,1, 0, ..., 0) , ở đó 1 ở vị trí thứ j . Giả sử với mỗi 1 £ j £ n kí hiệu u j là hàm tọa độ thứ j : u j (x ) = x j . Một ánh xạ f : ¡14444 n ´ 42 ´ ¡ 4n3 ® £ gọi ...4444 p là p - tuyến tính nếu nó là tuyến tính theo từng biến khi các biến khác cố định. Một ánh xạ p - tuyến tính sao cho f (v1, ..., v p ) = 0 khi v j = v j + 1,1 £ j < n gọi là ánh xạ p - tuyến tính thay dấu. Tập các ánh xạ p - tuyến tính thay dấu từ ¡14444 n ´ 42 ´ ¡ 4n3 tới £ kí hiệu ...4444 Ùp ( ¡ n ,£). p Định nghĩa 1.1.1. Giả sử WÌ ¡ n là tập mở. Một p - dạng vi phân trên W là ánh xạ a :U ® Ùp ( ¡ n ,£ ). Nếu đặt dx k (x ) = u k ,1 £ k £ n , x Î W thì ta có thể viết mỗi p - dạng vi phân a trên W dưới dạng: a (x ) = å I ' a I (x )dx I ở đó I = (i1, ..., i p ),1 £ i1 < ... < i p £ n , dx I = dx i Ù ... Ù dx i , a I (x ) là các 1 p hàm trên W. Giả sử a = åI ' a I dx I là p - dạng và b = å J ' bJ (x )dx J là q - dạng, ở đó 1 £ i1 < ... < i p £ n và 1 £ j1 < ... < jq £ n khi đó tích ngoài a Ù b là ( p + q) - dạng cho bởi công thức a Ù b = å L g Ldx L , ở đó g Ldx L = 0 nếu ik = jl với 1 £ k £ p,1 £ l £ q và g Ldx L = (- 1)s a I bJ dx l Ù ... Ù dx l , 1 p+ q Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
4 1 £ l1 < ... < lp+ q £ n với s là hoán vị của dãy i1 < i2 < ... < i p và j1 < j 2 < ... < jq trong tập hợp {1, ..., n } để tạo thành dãy tăng 1 £ l1 < ... < lp+ q £ n . Nếu f là một hàm thì f Ù a = f a và ( f a ) Ù b = f ( a Ù b ) . Mọi p - dạng a với p > n đều bằng 0. Các dạng có bậc cực đại là các dạng bậc n . Cho a là p - dạng lớp C 1 . Vi phân ngoài (đạo hàm ngoài) của a là ( p + 1) - dạng cho bởi: da = åI 'd a I Ù dx I Nếu da = 0 ta nói a là dạng đóng. Mọi dạng có bậc cực đại là đóng. Giả sử a = j dx 1 Ù ... Ù dx n , j Î L1(W) . Khi đó ò a = ò j dx 1 Ù ... Ù dx n = ò j dV , W W W dV là độ đo Lebesgue trên W. Định nghĩa 1.1.2. Một dòng bậc p hay có chiều (n - p ) trên tập mở WÌ ¡ n là dạng tuyến tính liên tục T : D (n - p ) ( W) ® £ . Nếu a là dạng trong D (n - p ) ( W) , giá trị của T tại a , kí hiệu bởi T ( a ) hay T , a . Bây giờ giả sử p, q = 0,1,..., n . Ta kí hiệu £ ( p,q ) là tập các dạng phức song bậc ( p, q ) hệ số hằng trên £ n . Khi đó nếu w Î £ ( p,q ) thì w có thể biểu diễn: w= å ' wJK dzJ Ù dz K J = p, K = q ở đó wJK Î £ , dzJ = dz j Ù ... Ù dz j , dz K = dz k Ù ... Ù dz k tổng lấy theo các 1 p 1 q bộ đa chỉ số J = ( j1, ..., j p ), K = (k1, ..., kq ) với 1 £ j1 < ... < j p £ n , 1 £ k1 < ... < kq £ n . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
5 Dạng K a& &hler chính tắc trên £ n cho bởi: i 2 i n b = ¶ ¶ z = å dz j Ù dz j 2 2 j=1 Khi đó dạng thể tích trên £ n @ ¡ 2n cho bởi: 1 n 1 i i i dV = b = Ù ...4443 b14442 Ù b = dz 1 Ù dz1 Ù dz 2 Ù dz 2 Ù ... Ù dz n Ù dz n n! n! n 2 2 2 i = ( )n dz1 Ù dz1 Ù ... Ù dz n Ù dz n 2 i i i Nếu w Î £ ( p, p ) có thể biểu diễn w = w1 Ù w1 Ù w2 Ù w2 Ù ... Ù w p Ù w p 2 2 2 với w j Î £ (1,0) thì w gọi là dạng dương sơ cấp. Mệnh đề 1.1.3. Không gian các dạng song bậc ( p, p ) được sinh ra bởi các dạng dương sơ cấp. Chứng minh. Giả sử w Î £ ( p, p ) . Khi đó có thể viết: i w= å w J ,K ( )p dz j Ù dz k Ù ... Ù dz j Ù dz k 2 1 1 p p J = p, K = p Vậy chỉ cần biểu diễn dz j Ù dz k là tổ hợp tuyến tính của các dạng dương sơ cấp. Thật vậy, 1 4 s dz j Ù dz k = å i (dz j + i sdz k ) Ù (dz j + i sdz k ) . W 4 s= 1 Giả sử WÌ £ n là tập mở. Tập các dạng vi phân song bậc ( p, q ) với hệ số thuộc C 0¥ (W£ , ) (tương ứng C 0 ( W, £ ) ) được kí hiệu D ( p,q ) (W) (tương ứng D0( p,q) (W) ). Định nghĩa 1.1.4. Mỗi phần tử T Î ( D (n - p,n - p ) (W))¢ gọi là một dòng song bậc ( p, q ) hay ( p, q) - dòng (tương ứng song chiều (n - p, n - q) ). Những Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
6 phần tử của ( D0(n - p,n - q)(W))¢ gọi là dòng cấp 0 , song bậc ( p, q ) (hay ( p, q) - dòng cấp 0 ). Định nghĩa 1.1.5. Giả sử T là ( p, p) - dòng trên tập mở WÌ £ n . T được gọi là dương nếu với mỗi dạng sơ cấp i i i a = a 1 Ù a 1 Ù a 2 Ù a 2 Ù ... Ù a n - p Ù a n - p Î C (n - p,n - p ) 2 2 2 ta có T Ù a là phân bố dương, nghĩa là một độ đo Borel trên W. 1.2. Hàm điều hòa dưới Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u : X ® éêë- ¥ , + ¥ ) gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi a Î ¡ tập X a = {x Î X : u (x ) < a } là mở trong X . Hàm v : X ® (- ¥ , + ¥ ù û gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu ú - v là nửa liên tục trên X . Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: Giả sử u : X ® éêë- ¥ , + ¥ ). Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại x Î X nếu " e > 0 tồn tại lân cận U x của x 0 trong X sao cho " e Î U x ta có: 0 0 u (x ) < u (x 0 ) + e nếu u (x 0 ) ¹ - ¥ 1 u (x ) < - nếu u (x 0 ) = - ¥ . e Giả sử E Ì X và u : E ® éêë- ¥ , + ¥ ) là hàm trên E . Giả sử x 0 Î E . Ta định nghĩa lim sup u (x ) = inf {sup{u(y ) : y Î V }} x ® x0 x Î E ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của x 0 . Khi đó có thế thấy rằng hàm u : X ® éëê- ¥ , + ¥ ) là nửa liên tục trên tại x0 Î X nếu lim sup u(x ) £ u(x 0 ). Ta có kết quả sau. x ® x0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
7 Định nghĩa 1.2.2. Giả sử W là tập mở trong £ . Hàm u : W® éêë- ¥ , + ¥ ) gọi là điều hòa dưới trên W nếu nó nửa liên tục trên trên W và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên W, nghĩa là với mọi w Î W tồn tại d > 0 sao cho với mọi 0 £ r £ d ta có 1 2p u ( w) £ 2p ò 0 u ( w + re it )dt . (1.1) Kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên W là SH (W) . Mệnh đề 1.2.4. Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở W trong £ . Khi đó: (i ) m ax(u , v ) là hàm điều hòa dưới trên W. (ii ) Tập các hàm điều hòa dưới trên W là một nón, nghĩa là nếu u, v Î SH (W) và a , b > 0 thì a u + b v cũng thuộc SH (W) . Định lý 1.2.5. Giả sử {u n } là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập mở W trên £ và u = lim u n . Khi đó u là hàm điều hòa dưới trên W. n® ¥ Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh u nửa liên tục trên trên W. Với mỗi a Î R, tập ¥ {z Î W: u(z ) < a } = U{z Î W: un (z ) < e}. n Do đó nó là tập mở. Vậy u nửa liên tục trên trên W. Do mỗi u n thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình nên dùng định lý hội tụ đơn điệu suy ra u cũng thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên W. Do đó u là hàm điều hòa dưới trên W. W 1.3. Hàm đa điều hoà dưới Địng nghĩa 1.3.1. Giả sử WÌ £ n là tập mở, u : W® é- ¥ , + ¥ ) là hàm nửa êë liên tục trên, không đồng nhất bằng - ¥ trên mọi thành phần liên thông của W. Hàm u gọi là đa điều hoà dưới trên W (viết u Î PSH (W) ) nếu với mọi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
8 a Î W và b Î £ n , hàm l a u (a + l b) là điều hoà dưới hoặc bằng - ¥ trên mọi thành phần liên thông của tập {l Î £ : a + l b Î W}. Định lý sau đây cho một đặc trưng của tính đa điều hoà dưới đối với các hàm lớp C 2 trên tập mở WÌ £ n . Định lý 1.3.2. Giả sử WÌ £ n là tập mở và u Î C 2(W) . Khi đó u Î PSH (W) ¶ 2u khi và chỉ khi Hessian H u (z ) = ( ) của u tại z xác định dương, nghĩa là ¶ z j ¶ zk với mọi w = ( w1, w2,..., wn ) Î £ n , n ¶ 2u H u (z )( w, w) = å (z )wj wk ³ 0 j ,k = 1 ¶ z j ¶ z k Dưới đây là một số kết quả liên quan tới tính đa điều hoà dưới khi qua giới hạn và tính lồi của họ các hàm đa điều hoà dưới. Định lý 1.3.3. Giả sử W là tập mở trong £ n . i ) Nếu u , v Î PSH (W) thì m ax{u, v } Î PSH ( W) và nếu a , b ³ 0 thì a u + b v Î PSH (W) . Nghĩa là PSH (W) là nón lồi. ii ) Nếu {u j }j ³ 1 Ì PSH (W) là dãy giảm thì u = lim u j hoặc là hàm đa điều hoà dưới trên W hoặc º - ¥ . iii ) Nếu dãy {u j } Ì PSH (W) là dãy hội tụ đều trên mọi tập compact của W tới hàm u : W® ¡ thì u Î PSH (W) . iv ) Giả sử {u a }a Î I Ì PSH (W) sao cho u = sup {u a : a Î I } là bị chặn trên địa phương. Khi đó chính quy hoá nửa liên tục trên u * Î PSH (W) . Chứng minh. Các khẳng định i ) , ii ) , iii ) suy ra từ định nghĩa 1.3.1. và định lý hội tụ đơn điệu hay định lý qua giới hạn dưới dấu tích phân trong trường hợp dãy hội tụ đều. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
9 Để chứng minh iv ) . Chỉ cần chứng tỏ a Î W, b Î £ n sao cho {a+ l b:l Î £ , l £ 1} Ì W thì 2p 1 u (a ) £ * òu * (a + e i qb)d q . 2p 0 Dễ thấy với mọi z Î W, b Î £ n sao cho {z + l b, l £ 1} Ì W ta có 2p 1 u (z ) £ òu * (z + e i qb)d q . 2p 0 Với a Î W, chọn dãy {z n } Ì W sao cho z n ® a và u (z n ) ® u *(a ) . Từ {z + l b, l £ 1} Ì W nên với n đủ lớn {z n + l b, l £ 1} Ì W. Khi đó 2p 1 u (z n ) £ òu * (z n + e i qb)d q . 2p 0 Bổ đề Fatou cho ta 2p 1 u (a ) = lim sup u(z n ) £ * ò limnsup u * (z n + e i qb)d q W n 2p 0 1.4. Hàm cực trị tương đối Định nghĩa.1.4.1. Giả sử W là một tập con mở của £ n và E là tập con của W. Hàm cực trị tương đối đối với E trong W được định nghĩa là : { uE ,W(z ) = sup v(z ) : v Î PSH (W), v E £ - 1, v £ 0 } (z Î W). * Hàm (u E ,W) là đa điều hoà dưới trong W. Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối. Mệnh đề.1.4.2. Nếu E 1 Ì E 2 Ì W1 Ì W2 thì u E 1,W1 ³ u E 2 ,W1 ³ u E 2 ,W2 Định nghĩa 1.4.3. Miền bị chặn WÌ £ n gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục r : W® (- ¥ , 0) sao cho với " c > 0 {z Î } W: r (z ) < - c Ð W. Kí hiệu PSH - (W) là lớp các hàm đa điều hòa dưới âm trên W. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
10 Nếu hàm r được xác định trong một lân cận W¢ của W và W= {r < 0} thì W gọi là miền siêu lồi chặt. Mệnh đề.1.4.4. Nếu W là miền siêu lồi và E là một tập con compact tương đối của W, thì tại điểm w Î ¶ W bất kỳ ta có lim uE ,W(z ) = 0 . z® w Chứng minh. Nếu  < 0 là một hàm vét cạn đối với W, thì với số M > 0 nào đó, M r < - 1 trên E . Như vậy M r £ u E ,W trong W. Rõ ràng, lim r (z ) = 0 z® w và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm. Mệnh đề.1.4.5. Nếu WÌ £ n là một miền siêu lồi và K Ì W là một tập compact sao cho uK* ,W = - 1 thì u K ,W là hàm liên tục. K Chứng minh. Lấy u = u E ,W và ký hiệu F Ì PSH (W) là họ các hàm u . Giả sử  là hàm xác định của W sao cho r < - 1 trên K. Khi đó r £ u trong W. Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi e Î (0,1) tồn tại v Î C (W) Ç F. Sao cho u - e £ v £ u trong W. Thật vậy, lấy e Î (0,1) Þ tồn tại h > 0 sao cho u - e < r trong W\ Wh và K Ì Wh , trong đó Wh = {z Î W: dist (z , ¶ W) > h }. Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini, có thể tìm được s > 0 sao cho u * c d - e < r trên ¶ W và u * c d - e < - 1 trên K . Đặt ìï r trong W\ Wh ï ve = í . ïï max {u * c d - e, r } trong Wh ïî Khi đó v e Î C (W) Ç F và như vậy u - e £ max {u - e, r } £ ve £ u tại mỗi điểm trong W. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
11 Mệnh đề.1.4.6. Cho W là tập con siêu lồi của £ n và K là một tập con compact của W. Giả thiết rằng {Wj } là một dãy tăng những tập con mở của W ¥ sao cho W= UW và K j Ì W1 . Khi đó j=1 lim u K ,Wj (z ) = u K ,W(z ), zÎ W j® ¥ Chứng minh. Lấy điểm z 0 Î W. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng K È {z 0 }Ì W1 . Giả sử   0 là một hàm vét cạn đối với W sao cho   1 trên K. Lấy e Î (0,1) sao cho r (z 0 ) < - e . Khi đó tồn tại j 0 Î ¥ sao cho tập mở w = r - 1((- ¥ , - e)) là tập compact tương đối trong Wj 0 . Lấy u Î PSH (Wj ) sao cho u £ 0 trên Wj 0 và u £ - 1 trên K . Khi đó 0 ïìï max {u (z ) - e, r (z )}, zÎ w v (z ) = í ïï r (z ), z Î W\ w ïî xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa v K £ - 1 và v £ 0 . Như vậy v(z 0 ) £ u K ,W(z 0 ) . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ u K ,Wj0 , nên u K ,Wj0 (z 0 ) - e £ u K ,W(z 0 ) Do đó ta có u K ,W (z 0 ) - e £ u K ,W(z 0 ) £ u K ,W (z 0 ) với mọi j ³ j 0 và e j j nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh. 1.5. Toán tử Monge- Ampère phức Cho u là đa điều hoà dưới trên miền WÌ £ n . Nếu u Î C 2(W) thì toán tử: é ¶u ù := (dd u ) Ù ... Ù (dd u ) = 4 n !det êê ú c n c c n (dd u ) ú dV , 1444444442 444444443 ê¶ z ¶ z ú n ë j k û1£ j ,k £ n với dV là yếu tố thể tích trong C n gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0(W) trên W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
12 c n C 0 (W) ' j a ò j (dd u ) . W Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy {um }m > 1 Ì PSH (W) Ç C ¥ sao cho ìï nü um ] ( u và í dd cum ïîï ) ïýïþï hội tụ yếu tới độ đo Radon  trên W tức là: n lim ò j dd cu n ( ) = ò j d m, " j Î C 0 (W) . m W W Hơn nữa  không phụ thuộc vào việc chọn dãy {u m } như trên, ta ký hiệu: (dd cu )n = m và gọi là toán tử Monge-Ampère của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère. Mệnh đề 1.5.1. Nếu y Î C (¥p, p ) là ( p, p) - dạng lớp C ¥ trên tập mở WÌ C n và T là (q, q) - dòng với p + q = n - 1 thì ( y Ù dd cT - dd c y ÙT = d y Ù d cT - d c y ÙT . ) Chứng minh. Ta có ( ) d y Ù d c T - d c y Ù T = d y Ù d cT + y Ù dd cT - dd cy ÙT + d c y Ù dT Nhưng p + q + 1 = n nên d y Ù d cT = i (¶ y + ¶ y ) Ù (¶ T - ¶ T ) = i (¶ y Ù ¶ T - ¶ y Ù ¶ T + ¶ y Ù ¶ T - ¶ y Ù ¶ T ) = i(¶ y Ù ¶ T - ¶ y Ù ¶ T ) = - d c y Ù dT . Do đó d ( y Ù d c y T - d c y ÙT ) = y Ù dd cT - dd cy ÙT . Từ mệnh đề trên và dùng công thức Stokes đối với dòng ta có: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
13 ¥ nếu T là một (q, q) - dòng trên tập mở WÌ C n và y Î C 0,( n - q - 1,n - q - 1) (W) là ò y Ù dd T - ò dd y ÙT = ò d(y Ù d T - d c y ÙT ) c c c W W W = ò y Ùd T - d c y ÙT = 0. c ¶W Vậy dd cT , y = ò y Ù dd T = ò dd y ÙT = T , dd c y c c (1.2) W W Giả sử T là một dòng dương có bậc (q, q) trên tập mở WÌ C n và q u Î PSH (W) . Khi đó T = å T J , K JK ( ) dz i 2 J Ù dz K với T JK là các độ đo phức trên W. Vậy từ u Î PSH (W) Ç L¥loc (W) nên hàm u khả tích đối với các T JK . Do q đó uT = å J ,K uT JK ( ) dz Ù dz i 2 K là (q, q) - dòng với hệ số độ đo. Ta đưa ra định nghĩa sau: dd cu ÙT = dd c (uT ) . Từ (1.2) ta có ò dd u ÙT Ù y = dd cu ÙT , y = dd c (uT ), y c W = uT , dd c = ò uT Ù dd c y (1.3) W ¥ đúng cho mọi y Î C 0,( n - q - 1,n - q - 1) (W) . Mệnh đề 1.5.2. Nếu T là (q, q) - dòng dương, đóng thì dd cu ÙT là (q + 1, q + 1) - dòng dương, đóng với mọi u Î PSH (W) Ç L1loc (W) . Chứng minh. Ta chứng minh dd cu ÙT là (q + 1, q + 1) - dòng dương, đóng. Ta có d (dd cu ÙT ) = ¶ (dd cu ÙT ) + ¶ (dd cu ÙT ) . Vậy chỉ cần chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
14 ¶ (dd cu ÙT ) = ¶ (dd cu ÙT ) = 0 . Chỉ cần chứng minh ¶ (dd cu ÙT ) = 0 . Tương tự ta cũng có ¶ (dd cu ÙT ) = 0 . Lấy y Î C 0,¥ (n - q - 1,n - q - 2)(W) . Khi đó 2q + 3 ( ) ¶ dd cu , y = (- 1) dd cu ÙT , ¶ y 2q + 3 = (- 1) uT , dd c (¶ y ) 2q + 3 = (- 1) uT , 2i ¶ ¶ (¶ y ) = 0 . Bây giờ ta chứng minh dd cu ÙT là dương. Giả sử u £ M . Khi đó với e > 0 đủ bé, u e £ M , u e = u * c e . Theo định lí hội tụ và bị chặn của Lebegue u eT hội tụ yếu tới uT . Do đó dd c (u eT ) hội tụ yếu tới dd c (uT ) vì với mọi y Î C 0,¥ (n - q - 1,n - q - 1)(W) ta có dd c (u eT ), y = u eT , dd c y ® uT , dd c y = dd c (uT ), y . Nhưng do u e là hàm trơn trên W nên dd c (u eT ) = dd cu e ÙT theo nghĩa thông thường. Nhưng u e Î PSH (We ) Ç C ¥ (We ) nên dd cu e là (1,1) - dòng thực dương. Vậy ta có dd cu e ÙT ³ 0 . Do đó dd cu ÙT là (q + 1, q + 1) - dòng dương. Do đó bằng quy nạp ta có thể xác định ( p + q, p + q) - dòng dương đóng dd cu 1 Ù ... Ù dd cu p ÙT , với u1, u 2 ..., u p Î PSH (W) Ç L¥loc (W) và T là (q, q) - dòng dương, đóng, p + q £ n . Đặc biệt nếu T = dd cv, v Î PSH (W) Ç L¥loc (W) thì ta xác định được ( p + 1, p + 1) - dòng dương, đóng dd cu 1 Ù ... Ù dd cu p Ù dd cu v . Trường hợp nếu u Î PSH (W) Ç L¥loc (W) thì dd cu là (1,1) - dòng dương, đóng. Do đó xác định được (dd cu )n là (n , n ) - dòng dương, đóng trên W. Vậy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
15 (dd cu )n độ đo Borel chính quy trên W. Sau này do bất đẳng thức Chern- Levine-Nirenberg, (dd cu )n là độ đo Radon trên W vì với tập con compact K trong W ta có (dd cu )n (K ) < + ¥ . Bổ đề 1.5.3. Giả sử {mj } là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÌ C n hội tụ yếu tới độ đo Radon m. Khi đó a ) Nếu G Ì W là tập mở thì m(G ) £ lim infj ® ¥ mj (G ) . b) Nếu K Ì W là tập compact thì m(K ) ³ lim sup j ® ¥ mj (K ) . c) Nếu E compact tương đối trong W sao cho m(¶ E ) = 0 thì m(E ) = lim j ® ¥ u j (E ) . Chứng minh. a ) Ta có m(G ) = sup {m(K ) : K Ð G }. Giả sử K Ð G là tập compact. Lấy j Î C 0 (G ), 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó m(K ) £ m(j ) = lim mj (j ) £ lim inf mj(G ) . j® ¥ j® ¥ Từ đó m(G ) £ lim inf mj(G ) . j® ¥ b) Ta có m(K ) = inf { m(V ) : V É K ,V Ì W là tập mở}. Giả sử V là một lân cận mở của K và j Î C 0 (V ), 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó m(V ) ³ m(j ) = lim mj (j ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ j® ¥ Từ đó m(K ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ c ) Viết E = IntE È ¶ E . Khi đó m(E ) = m(Int E ) £ lim inf mj(Int E ) £ lim inf mj (E ) . j® ¥ j® ¥ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
16 Mặt khác m(E ) ³ lim sup mj(E ) ³ lim sup mj (E ) . j® ¥ j® ¥ Từ đó m(E ) ³ l imsup j® ¥ mj (E ) . Vậy m(E ) = lim mj (E ). j® ¥ Bổ đề 1.5.4. Nếu {f j } là dãy giảm các hàm nửa liên tục trên hội tụ tới hàm f và {mj } là dãy độ đo borel dương hội tụ yếu tới m . Nếu f j mj hội tụ yếu tới độ đo v thì v £ fu . j Chứng minh. Cố định j 0 ³ 1 và giả sử gk 0 { } là dãy giảm các hàm liên tục hội j tụ tới f j . Khi đó với j ³ j 0 ta có f j u j £ f j mj £ gk 0 mj . 0 0 j Do đó v £ gk 0 mj . Định lí hội tụ đơn điệu cho ta v £ f j m . Cho j 0 ® ¥ và 0 dùng định lí hội tụ đơn điệu ta đi đến v £ fu . Mệnh đề 1.5.5. Giả sử WÌ C n là miền bị chặn và u, v Î PSH (W) Ç L¥loc (W) sao cho u, v £ 0 trên W và lim z ® ¶ W u (z ) = 0 . Giả sử T là (n - 1, n - 1) - dòng dương, đóng trên W. Khi đó ò vdd u ÙT £ ò udd v ÙT c c . W W Đặc biệt, nếu lim v (z ) = 0 thì ò vdd u ÙT = ò udd v ÙT . c c z® ¶W W W Chứng minh. Chú ý rằng dd cu ÙT và dd cv ÙT là các độ đo Borel dương trên W. Với e > 0 , đặt me = m ax {m,-e}. Khi đó me < 0 và là hàm điều hòa dưới trên W và me tăng tới 0 khi e giảm về 0 . Từ định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue ta có ò udd v ÙT = lim ò (u - u e )dd cv ÙT và c e® 0 W W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn