Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân cấp ba với điều kiện biên dạng ba điểm và dạng tích phân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là trình bày lại một số kết quả của Abdelkader Boucherrif về sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân cấp ba đầy đủ trong hai trường hợp, điều kiện biên Dirichlet ba điểm và điều kiện biên dạng tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân cấp ba với điều kiện biên dạng ba điểm và dạng tích phân

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM PHM THÀ THU TRANG SÜ TÇN TI NGHIM CÕA PH×ÌNG TRNH VI PHN CP BA VÎI IU KIN BIN DNG BA IM V DNG TCH PHN LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2019
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM PHM THÀ THU TRANG SÜ TÇN TI NGHIM CÕA PH×ÌNG TRNH VI PHN CP BA VÎI IU KIN BIN DNG BA IM V DNG TCH PHN Ng nh: TON GII TCH M¢ sè: 8.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. TRN NH HÒNG Th¡i Nguy¶n - 2019
Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c. Tæi công xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019 T¡c gi£ luªn v«n Ph¤m Thà Thu Trang X¡c nhªn X¡c nhªn cõa khoa To¡n cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. Tr¦n ¼nh Hòng i
Líi c£m ìn Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi TS. Tr¦n ¼nh Hòng, ng÷íi th¦y tªn t¼nh h÷îng d¨n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n n y. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, khoa To¡n còng to n thº c¡c th¦y cæ gi¡o tr÷íng HSP Th¡i Nguy¶n ¢ truy·n thö cho tæi nhúng ki¸n thùc quan trång, t¤o i·u ki»n thuªn lñi v cho tæi nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. B£n luªn v«n chc chn s³ khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t v¼ vªy r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v c¡c b¤n håc vi¶n º luªn v«n n y ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Cuèi còng xin c£m ìn gia ¼nh v b¤n b± ¢ ëng vi¶n, kh½ch l» tæi trong thíi gian håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019 T¡c gi£ Ph¤m Thà Thu Trang ii
Möc löc Trang b¼a phö Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u 1 1 Mët sè ki¸n thùc cì sð 3 1.1 Mët sè ành lþ iºm b§t ëng . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 To¡n tû Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 H m Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng ba iºm v d¤ng t½ch ph¥n 12 2.1 Sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng ba iºm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng t½ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 K¸t luªn 35 T i li»u tham kh£o 36 iii
Mët sè kþ hi»u v vi¸t tt R tªp c¡c sè thüc ∅ tªp réng A⊂B A l tªp con cõa B A∪B hñp cõa hai tªp hñp A v B A∩B giao cõa hai tªp hñp A v B A×B t½ch Descartes cõa hai tªp hñp A v B ker(f ) h¤t nh¥n cõa f Coker(f ) èi h¤t nh¥n cõa f 2 k¸t thóc chùng minh iv
Mð ¦u Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba câ nhi·u ùng döng a d¤ng trong c¡c l¾nh vüc vªt lþ, kÿ thuªt [1], [9]. Ch¯ng h¤n nh÷ b i to¡n x²t ë vãng cõa mët d¦m ba lîp ÷ñc t¤o th nh bði c¡c lîp song song c¡c vªt li»u kh¡c nhau [8], b i to¡n nghi¶n cùu dáng ch£y cõa mët m ng mäng ch§t läng nhît tr¶n b· m°t rn, khi mët m ng nh÷ vªy ch£y xuèng mët vªt li»u theo h÷îng th¯ng ùng s³ chàu £nh h÷ðng cõa sùc c«ng b· m°t, lüc h§p d¨n công nh÷ ë nhît [12]. Nhi·u ph÷ìng tr¼nh cõa h» dao ëng công ÷ñc ÷a v· c¡c h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba [11]. Trong c¡c b i to¡n â, c¡c i·u ki»n bi¶n ÷ñc d¨n ¸n câ thº ð d¤ng ba iºm, d¤ng t½ch ph¥n hay c¡c d¤ng phi tuy¸n. Nghi¶n cùu sü tçn t¤i v duy nh§t nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba ¦y õ vîi c¡c lo¤i i·u ki»n bi¶n kh¡c nhau thu hót ÷ñc nhi·u sü quan t¥m cõa c¡c nh to¡n håc. Kÿ thuªt kh¡ phê bi¸n ÷ñc sû döng º nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba l ph÷ìng ph¡p nghi»m tr¶n v nghi»m d÷îi [6], [7] v c¡c ph÷ìng ph¡p li¶n töc düa tr¶n vi»c ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m cõa mët hå c¡c b i to¡n vîi mët tham sè th¶m v o, sau â sû döng c¡c ành lþ v· iºm b§t ëng [2], [3], [4], [5]. Chóng tæi ¢ chån luªn v«n Sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng ba iºm v d¤ng t½ch ph¥n. Möc ½ch cõa luªn v«n l tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ cõa Abdelkader Boucherif [3], [4] v· sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba ¦y õ: y 000 (t) = f (t, y(t), y 0 (t), y 00 (t)), 0 < t < 1, 1
trong hai tr÷íng hñp, i·u ki»n bi¶n Dirichlet ba iºm v i·u ki»n bi¶n d¤ng t½ch ph¥n. Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð v· mët sè ành l½ iºm b§t ëng, to¡n tû Fredholm v h m Green. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y mët sè i·u ki»n õ º ¤t ÷ñc ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m cõa mët hå b i to¡n cho ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba ¦y õ trong hai tr÷íng hñp: i·u ki»n bi¶n d¤ng ba iºm v i·u ki»n bi¶n d¤ng t½ch ph¥n. Sau â sû döng c¡c ành lþ iºm b§t ëng º chùng minh mët sè k¸t qu£ v· sü tçn t¤i nghi»m. 2
Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc cì sð Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð c¦n thi¸t cho ch÷ìng sau, ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [10], [13]. 1.1 Mët sè ành lþ iºm b§t ëng Cho ¡nh x¤ T : A → A. Méi nghi»m x cõa ph÷ìng tr¼nh x = Tx ÷ñc gåi l mët iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T. Mët sè ành lþ iºm b§t ëng sau ¥y l c¡c ành lþ n·n t£ng cì b£n ÷ñc sû döng phê bi¸n trong chùng minh sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. 1. ành lþ iºm b§t ëng Banach cho c¡c to¡n tû co vîi h» sè co k. 2. ành lþ iºm b§t ëng Brouwer cho c¡c to¡n tû li¶n töc trong khæng gian húu h¤n chi·u. 3. ành lþ iºm b§t ëng Schauder cho c¡c to¡n tû ho n to n li¶n töc tr¶n mët tªp con lçi, kh¡c réng v compact trong khæng gian Banach (væ h¤n chi·u). ¥y l mët têng qu¡t hâa cõa ành lþ b§t ëng Brouwer. 4. ành lþ iºm b§t ëng Scheafer cho c¡c to¡n tû li¶n töc v compact trong khæng gian Banach. Ngo i ra mët sè ành lþ iºm b§t ëng quan trång kh¡c ÷ñc sû döng nhi·u trong nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi 3
tuy¸n, ch¯ng h¤n nh÷ ành lþ Leray - Schauder cho c¡c to¡n tû compact tr¶n mët tªp con lçi, kh¡c réng, bà ch°n cõa khæng gian Banach. Còng vîi c¡c ành lþ iºm b§t ëng, l½ thuy¸t bªc Brouwer v l½ thuy¸t ch¿ sè iºm b§t ëng công l nhúng cæng cö quan trång, ÷ñc ùng döng nhi·u trong nghi¶n cùu sü tçn t¤i iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ li¶n töc công nh÷ sü tçn t¤i nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n. ành lþ iºm b§t ëng Banach X²t ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n x = T x. (1.1) ành ngh¾a 1.1.1. (xem [13]) To¡n tû T :M ⊆X→X tr¶n khæng gian metric (X, d) ÷ñc gåi l co vîi h» sè k n¸u v ch¿ n¸u d(T x, T y) ≤ kd(x, y) (1.2) vîi måi x, y ∈ M v k cè ành, 0 ≤ k < 1. ành lþ 1.1.2. (xem [13]) (ành lþ iºm b§t ëng Banach (1922)) Gi£ sû r¬ng (i) T : M ⊆ X → M l mët ¡nh x¤ tø M v o ch½nh nâ; (ii) M l tªp âng, kh¡c réng trong khæng gian metric ¦y õ (X, d); (iii) T l mët ¡nh x¤ co vîi h» sè k . Khi â ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ duy nh§t nghi»m x, tùc l T câ duy nh§t mët iºm b§t ëng tr¶n M. ành lþ iºm b§t ëng Banach câ þ ngh¾a quan trång trong gi£i t½ch, °c bi»t trong vi»c chùng minh sü tçn t¤i v duy nh§t nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n. ành lþ iºm b§t ëng Brouwer Kh¡c vîi ành lþ iºm b§t ëng Banach, ành lþ iºm b§t ëng Brouwer khæng ch¿ ra t½nh duy nh§t cõa iºm b§t ëng, tuy nhi¶n c¡c 4
gi£ thi¸t cõa ành lþ Brouwer ÷ñc nîi läng hìn so vîi ành lþ iºm b§t ëng Banach. ành lþ 1.1.3. (xem [13]) (ành lþ iºm b§t ëng Brouwer (1912)) Gi£ sû M l tªp con kh¡c réng, lçi, compact cõa Rn , trong â N ≥ 1 v f : M → M l ¡nh x¤ li¶n töc. Khi â f câ mët iºm b§t ëng. Mët h¤n ch¸ cõa ành lþ Brouwer l ch¿ ¡p döng ÷ñc cho c¡c ¡nh x¤ li¶n töc tr¶n khæng gian húu h¤n chi·u. Tuy nhi¶n khi x²t sü tçn t¤i nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ta ph£i x²t tr¶n c¡c khæng gian h m, ¥y l khæng gi¤n Banach væ h¤n chi·u, v¼ th¸ khæng thº ¡p döng ành lþ iºm b§t ëng Brouwer. èi vîi c¡c to¡n tû tr¶n khæng gian væ h¤n chi·u th¼ ành lþ iºm b§t ëng Schauder - mët phi¶n b£n mð rëng cõa ành lþ iºm b§t ëng Brouwer °c bi»t hi»u qu£ v ÷ñc sû döng phê bi¸n. ành lþ n y s³ ÷ñc tr¼nh b y trong ph¦n d÷îi ¥y. ành lþ iºm b§t ëng Schauder Trong ph¦n n y s³ tr¼nh b y mët têng qu¡t hâa cõa ành lþ iºm b§t ëng Brouwer cho c¡c to¡n tû compact trong khæng gian Banach væ h¤n chi·u. â l ành lþ iºm b§t ëng Schauder. To¡n tû compact ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau. ành ngh¾a 1.1.4. (xem [13]) Cho X v Y l c¡c khæng gian Banach v T : D(T ) ⊆ X → Y l mët to¡n tû. T ÷ñc gåi l to¡n tû compact hay ho n to n li¶n töc n¸u T ¡nh x¤ måi tªp bà ch°n v o tªp compact t÷ìng èi. C¡c to¡n tû compact âng vai trá quan trång trong gi£i t½ch h m phi tuy¸n. Thüc t¸ câ nhi·u k¸t qu£ cho c¡c to¡n tû li¶n töc tr¶n Rn ÷ñc chuyºn sang c¡c khæng gian Banach khi thay th¸ t½nh li¶n töc b¬ng t½nh compact. V½ dö 1.1.5. Gi£ sû r¬ng ta câ h m li¶n töc K : [a, b] × [a, b] × [−R, R] → K, 5
trong â −∞ < a < b < +∞, 0 < R < ∞ v K = R, C. K½ hi»u M = {x ∈ C([a, b] , K) : kxk ≤ R} , trong â kxk = maxa≤s≤b |x(s)| v C([a, b] , K) l khæng gian c¡c ¡nh x¤ li¶n töc x : [a, b] → K. X²t c¡c to¡n tû t½ch ph¥n Z b (T x)(t) = K(t, s, x(s))ds, a Z t (Sx)(t) = K(t, s, x(s))ds, ∀t ∈ [a, b] . a Khi â S, T ¡nh x¤ M v o C([a, b] , K) l to¡n tû compact. ành lþ 1.1.6. (xem [13]) (ành lþ iºm b§t ëng Schauder (1930)). Cho M l mët tªp con kh¡c réng, lçi, âng cõa khæng gian Banach X v gi£ sû T : M → M l to¡n tû compact. Khi â T câ iºm b§t ëng. Mët phi¶n b£n kh¡c cõa ành lþ iºm b§t ëng Schauder ÷ñc ph¡t biºu nh÷ d÷îi ¥y. H» qu£ 1.1.7. Cho M l mët tªp con kh¡c réng, lçi, compact cõa khæng gian Banach X , v gi£ sû T : M → M l to¡n tû li¶n töc. Khi â T câ iºm b§t ëng. ành lþ Schauder câ nhi·u ùng döng quan trång trong chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n vîi tham sè b², sü tçn t¤i nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n v h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n,... ành lþ iºm b§t ëng Schaefer ành lþ Schaefer l mët bi¸n thº cõa ành lþ Leray - Shauder, công th÷íng ÷ñc sû döng º chùng minh sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¦y õ. 6
ành lþ 1.1.8. Cho X l khæng gian Banach, h m f : X → X li¶n töc v compact. N¸u tªp F = {x ∈ X : x = λf (x), ∀λ ∈ [0, 1]} bà ch°n th¼ f câ mët iºm b§t ëng. 1.2 To¡n tû Fredholm Cho X v Y l c¡c khæng gian Banach. K½ hi»u L(X, Y ) l khæng gian c¡c to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n tø X tîi Y. ành ngh¾a 1.2.1. (xem [13]) To¡n tû bà ch°n T ∈ L(X, Y ) ÷ñc gåi l to¡n tû Fredholm n¸u Ker(T ) v Coker(T ) = Y \ Im(T ) câ sè chi·u húu h¤n v Im(T ) âng trong Y. Ta k½ hi»u F(X, Y ) l khæng gian c¡c to¡n tû Fredholm tø X tîi Y. Ch¿ sè cõa to¡n tû Fredholm T, k½ hi»u Index(T ) ÷ñc x¡c ành bði Index(T ) = dim(Ker(T )) − dim(Coker(T )). Mët sè t½nh ch§t Cho X, Y, Z l c¡c khæng gian Banach. i) N¸u T1 : X → Y v T2 : Y → Z bà ch°n, v hai trong ba to¡n tû T1 , T2 v T2 T1 l to¡n tû Fredholm, th¼ to¡n tû cán l¤i l to¡n tû Fredholm, v Index(T2 ◦ T1 ) = Index(T1 ) + Index(T2 ). ii) F(X, Y ) l tªp mð trong L(X, Y ) v Index : F(X, Y ) → R l h m h¬ng. 7
1.3 H m Green H m Green câ ùng döng rëng r¢i trong nghi¶n cùu c¡c b i to¡n gi¡ trà bi¶n v l cæng cö quan trång º ch¿ ra sü tçn t¤i v duy nh§t nghi»m cõa c¡c b i to¡n. X²t b i to¡n gi¡ trà bi¶n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t dn y dn−1 y L [y(x)] ≡ p0 (x) + p 1 (x) + ... + pn (x)y = 0, (1.3) dxn dxn−1 n−1 k k i d y(a) i d y(b) X Mi (y(a), y(b)) ≡ αk + βk = 0, i = 1, ...n, (1.4) dxk dxk k=0 trong â pi (x), i = 0, ...n l c¡c h m li¶n töc tr¶n (a, b), p0 (x) 6= 0 vîi måi iºm thuëc (a, b). ành ngh¾a 1.3.1. (xem [10]) H m G(x, t) ÷ñc gåi l h m Green cõa b i to¡n gi¡ trà bi¶n (1.3) - (1.4) n¸u xem nh÷ h m cõa bi¸n x, nâ thäa m¢n c¡c i·u ki»n d÷îi ¥y vîi måi t ∈ (a, b): (i) Tr¶n [a, t) v (t, b], G(x, t) l h m li¶n töc, câ ¤o h m li¶n töc tîi c§p n v thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh (1.3) tr¶n (a, t) v (t, b), tùc l : L [G(x, t)] = 0, x ∈ (a, t); L [G(x, t)] = 0, x ∈ (t, b). (ii) G(x, t) ph£i thäa m¢n c¡c i·u ki»n bi¶n trong (1.4), tùc l Mi (G(a, t), G(b, t)) = 0, i = 1, ..., n. (iii) T¤i x = t, G(x, t) v t§t c£ c¡c ¤o h m ri¶ng theo bi¸n x tîi c§p (n − 2) l c¡c h m li¶n töc ∂ k G(x, t) ∂ k G(x, t) lim − lim− = 0, k = 0, ..., n − 2. x→t+ ∂xk x→t ∂xk (iv) ¤o h m ri¶ng c§p (n − 1) theo bi¸n x cõa G(x, t) l gi¡n o¤n khi x = t, cö thº ∂ n−1 G(x, t) ∂ n−1 G(x, t) 1 lim+ − lim = − . x→t ∂xn−1 x→t− ∂xn−1 p0 (t) 8
ành lþ sau ch¿ ra i·u ki»n v· sü tçn t¤i v duy nh§t cõa h m Green. ành lþ 1.3.2. (xem [10]) (Tçn t¤i v duy nh§t). N¸u b i to¡n gi¡ trà bi¶n thu¦n nh§t trong (1.3) - (1.4) ch¿ câ nghi»m t¦m th÷íng th¼ tçn t¤i duy nh§t h m Green t÷ìng ùng vîi b i to¡n. X²t ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t dn y dn−1 y L [y(x)] ≡ p0 (x) n + p1 (x) n−1 + ... + pn (x)y = −f (x), (1.5) dx dx vîi c¡c i·u ki»n bi¶n thu¦n nh§t n−1 k k i d y(a) i d y(b) X Mi (y(a), y(b)) ≡ αk k + βk k = 0, i = 1, ...n, (1.6) dx dx k=0 trong â c¡c h» sè pj (x) v c¡c h m v¸ ph£i f (x) trong ph÷ìng tr¼nh (1.5) l c¡c h m li¶n töc, vîi p0 (x) 6= 0 tr¶n (a, b) v Mi biºu di¹n c¡c d¤ng ëc lªp tuy¸n t½nh vîi c¡c h» sè h¬ng. ành lþ sau thº hi»n mèi quan h» giúa t½nh duy nh§t nghi»m cõa (1.5) - (1.6) vîi b i to¡n thu¦n nh§t t÷ìng ùng. ành lþ 1.3.3. (xem [10]) N¸u b i to¡n gi¡ trà bi¶n thu¦n nh§t t÷ìng ùng vîi (1.5) - (1.6) ch¿ câ nghi»m t¦m th÷íng th¼ b i to¡n (1.5) - (1.6) câ nghi»m duy nh§t biºu di¹n d÷îi d¤ng Z b y(x) = G(x, t)f (t)dt, a trong â G(x, t) l h m Green cõa b i to¡n thu¦n nh§t t÷ìng ùng. Mët sè v½ dö d÷îi ¥y ch¿ ra c¡ch x¡c ành h m Green èi vîi b i to¡n gi¡ trà bi¶n cö thº. V½ dö 1.3.4. X²t b i to¡n  u00 (x) = −ϕ(x),   0 < x < 1, (1.7)  u(0) = u(1) = 0.  9
H m Green ÷ñc t¼m d÷îi d¤ng sau   A1 + A2 x,  0 ≤ x ≤ t ≤ 1, G(x, t) = (1.8)  B1 + B2 (1 − x),  0 ≤ t ≤ x ≤ 1. trong â A1 , A2 v B1 , B2 l c¡c h m cõa t. H m Green n y thäa m¢n i·u ki»n (i). Do h m Green G(x, t) thäa m¢n b i to¡n bi¶n vîi c¡c i·u ki¶n bi¶n thu¦n nh§t (ii) ta suy ra ÷ñc A1 = B1 = 0. Do â, h m Green cõa b i to¡n l   A2 x, 0 ≤ x ≤ t ≤ 1,  G(x, t) = (1.9)  B2 (1 − x), 0 ≤ t ≤ x ≤ 1.  i·u ki»n li¶n töc (iii) cho ta ph÷ìng tr¼nh B2 (1 − t) − A2 t = 0. (1.10) Tø i·u ki»n (iv) ta ÷ñc B2 + A2 = 1. (1.11) Ta câ thº t¼m c¡c h» sè A2 , B2 b¬ng c¡ch gi£i c¡c ph÷ìng tr¼nh (1.10) v ph÷ìng tr¼nh (1.11). K¸t qu£ ta ÷ñc A2 = 1 − t, B2 = t. Thay c¡c h» sè t¼m ÷ñc v o ph÷ìng tr¼nh (1.9) ta ÷ñc h m Green   x(1 − t),  0 ≤ x ≤ t ≤ 1, G(x, t) = (1.12)  t(1 − x),  0 ≤ t ≤ x ≤ 1. Do â, nghi»m cõa b i to¡n (1.7) biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng Z 1 u(x) = G(x, t)ϕ(t)dt. 0 V½ dö 1.3.5. X²t b i to¡n  u(4) = ϕ(x),   0 < x < 1, (1.13) u(0) = u0 (0) = u00 (1) = u000 (1) = 0.   10
Khi â h m Green t÷ìng ùng vîi b i to¡n n y câ d¤ng  3 2 − t + t x , 0 ≤ t ≤ x ≤ 1,   G(t, s) = 6 2 (1.14) 3 2 − x + x t , 0 ≤ x ≤ t ≤ 1.   6 2 Do â nghi»m cõa b i to¡n (1.13) biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng Z 1 u(x) = G(x, t)ϕ(t)dt. 0 11
Ch÷ìng 2 Sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng ba iºm v d¤ng t½ch ph¥n 2.1 Sü tçn t¤i nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng ba iºm Nëi dung trong möc n y ÷ñc tham kh£o trong t i li»u [3]. X²t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p ba vîi i·u ki»n bi¶n d¤ng ba iºm: y 000 (t) = f (t, y(t), y 0 (t), y 00 (t)), 0 < t < 1, (2.1) y(0) = y(a) = y(1) = 0, 0 < a < 1. (2.2) K½ hi»u I l o¤n [0, 1], C(I) l khæng gian Banach c¡c h m thüc li¶n töc trong I vîi chu©n kyk0 = max {|y(t)| , t ∈ I}. Vîi k = 1, 2, ..., k½ hi»u C k (I) l khæng gian Banach c¡c h m câ ¤o h m li¶n töc tîi c§p k trong I, vîi chu©n kykk = max(kyk0 , ky 0 k0 , ..., ky (k) k0 ). C03 (I) l khæng gian Banach c¡c h m y ∈ C 3 (I) thäa m¢n y(0) = y(a) = y(1) = 0; L1 (I) l khæng gian c¡c h m kh£ t½ch Lebesgue trong I 12
vîi chu©n thæng th÷íng. X²t hå c¡c b i to¡n vîi tham sè λ y 000 (t) = λf (t, y(t), y 0 (t), y 00 (t)), 0 < t < 1, (2.3) y(0) = y(a) = y(1) = 0, (2.4) vîi 0 ≤ λ ≤ 1. Bê · 2.1.1. Vîi λ = 0, b i to¡n (2.3), (2.4) ch¿ câ duy nh§t nghi»m t¦m th÷íng v tçn t¤i h m Green G(t, s) t÷ìng ùng. Chùng minh. Bê · tr¶n ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø t½nh ch§t cõa ph÷ìng tr¼nh c§p ba thu¦n nh§t. Sau ¥y ta s³ tr¼nh b y c¡ch x¥y düng h m G(t, s). Gi£ sû ur (t), (1 ≤ r ≤ 3) l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh y 000 = 0 v thäa m¢n c¡c i·u ki»n bi¶n: u1 (0) = 1, u1 (a) = 0, u1 (1) = 0, u2 (0) = 0, u2 (a) = 1, u2 = 0, u3 (0) = 0, u3 (a) = 0, u3 (1) = 1. Khi â t2 a + 1 t2 − t t2 − at u1 (t) = − t + 1, u2 (t) = 2 , u3 (t) = . a a a −a 1−a (t − s)2 ∂ 3v X²t h m v(t, s) = , ta câ = 0. 2 ∂t3 °t v1 (s) = v(0, s), v2 (s) = v(a, s), v3 (s) = v(1, s), hay s2 (a − s)2 (1 − s)2 v1 (s) = , v2 (s) = , v3 (s) = . 2 2 2 °t ϕ(t, s) = u1 (t)v1 (s) + u2 (t)v2 (s) + u3 (t)v3 (s). Khi â ϕ(., s) l nghi»m cõa y 000 = 0 vîi s cè ành. Hìn núa ϕ(0, s) = v(0, s), ϕ(a, s) = v(a, s) v ϕ(1, s) = v(1, s). 13
Tø t½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n gi¡ trà bi¶n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t, suy ra ϕ(t, s) = v(t, s), tùc l (t − s)2 u1 (t)v1 (s) + u2 (t)v2 (s) + u3 (t)v3 (s) = , ∀(t, s) ∈ I 2 . 2 Ta x¡c ành h m G(t, s) nh÷ sau: Vîi 0 ≤ s ≤ a:   −u2 (t)v2 (s) − u3 (t)v3 (s), 0 ≤ t ≤ s,  G(t, s) =  u1 (t)v1 (s),  s≤t≤a   (t2 − t) 2 (t2 − at) 2 1 − a2 − a (a − s) − 1 − a (1 − s) , 0 ≤ t ≤ s,  = 2 2  t − (a + 1)t + a s2 ,  s ≤ t ≤ a, a vîi a ≤ s ≤ 1:   −u3 (t)v3 (s),  a ≤ t ≤ s, G(t, s) =  u1 (t)v1 (s) + u2 (t)v2 (s), s ≤ t ≤ 1   (t2 − at) (1 − s)2 ,  1  − a ≤ t ≤ s, = 1 − a 2 2 2  t − (a + 1)t + a s2 + (t − t) (a − s)2 , s ≤ t ≤ 1.  a a2 − a N¸u h m f : I × R3 → R li¶n töc, th¼ y ∈ C 3 (I) l nghi»m cõa b i to¡n (2.3), (2.4) khi v ch¿ khi y ∈ C 2 (I) v l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Z 1 y(t) = λ G(t, s)f (s, y(s), y 0 (s), y 00 (s))ds. (2.5) 0 ành ngh¾a to¡n tû tuy¸n t½nh L : C03 (I) → C(I) x¡c ành bði (Ly)(t) = y 000 (t), ∀t ∈ I. 14