Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập hút đều đối với một lớp phương trình Parabolic suy biến tựa tuyến tính không Ôtônôm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các phương trình đạo hầm riêng tiến hóa xuất hiện nhiều trong các quá trình của vật lý, hóa học, sinh học... Việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Các vấn đề đặt ra là nghiên cứu sự tôn tại nghiệm, sự phụ thuộc liên tục của nghiệm theo dữ kiện đã cho và các tính chất định tính của nghiệm của bài toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập hút đều đối với một lớp phương trình Parabolic suy biến tựa tuyến tính không Ôtônôm

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN TP HÓT U ÈI VÎI MËT LÎP PH×ÌNG TRNH PARABOLIC SUY BIN TÜA TUYN TNH KHÆNG ÆTÆNÆM LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2018
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYỄN THỊ NGỌC HÂN TP HÓT U ÈI VÎI MËT LÎP PH×ÌNG TRNH PARABOLIC SUY BIN TÜA TUYN TNH KHÆNG ÆTÆNÆM Ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 8 46 01 02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS.PHM THÀ THÕY Th¡i Nguy¶n - 2018
Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c. C¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2018 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Thà Ngåc H¥n X¡c nhªn X¡c nhªn cõa tr÷ðng khoa To¡n cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. Ph¤m Thà Thõy i
Líi c£m ìn Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi TS. Ph¤m Thà Thõy , ng÷íi cæ ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, ban l¢nh ¤o pháng sau ¤i håc còng to n thº c¡c th¦y cæ gi¡o Khoa To¡n tr÷íng HSP Th¡i Nguy¶n ¢ truy·n thö cho tæi nhúng ki¸n thùc quan trång, t¤o i·u ki»n thuªn lñi v cho tæi nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Luªn v«n chc chn s³ khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t v¼ vªy r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v c¡c b¤n håc vi¶n º luªn v«n n y ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2018 T¡c gi£ Nguy¹n Thà Ngåc H¥n ii
Möc löc Líi cam oan 1i Líi c£m ìn ii2 Möc löc 3 iii Mët sè kþ hi»u v vi¸t tt v5 Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 4 1.1 Mët sè kh¡i ni»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 C¡c khæng gian h m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Tªp hót to n cöc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Mët sè kh¡i ni»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Tªp hót to n cöc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Sü tçn t¤i tªp hót to n cöc . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Tªp hót ·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 Tªp hót ·u cõa qu¡ tr¼nh ìn trà . . . . . . . . . . 16 1.4.2 Tªp hót ·u cõa nûa qu¡ tr¼nh a trà . . . . . . . . 18 1.5 Mët sè b§t ¯ng thùc th÷íng dòng . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Mët sè bê · quan trång . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 iii
2 Tªp hót ·u èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n tüa tuy¸n t½nh khæng ætænæm 23 2.1 °t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Sü tçn t¤i nghi»m y¸u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Sü tçn t¤i tªp hót ·u trong L2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 T½nh trìn cõa tªp hót ·u trong tr÷íng hñp duy nh§t nghi»m v p=2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1 Tªp (L2 (Ω), Lq (Ω)) - hót ·u . . . . . . . . . . . . 35 2.4.2 Tªp (L2 (Ω), D01 (Ω, ρ) ∩ Lq (Ω)) - hót ·u . . . . . . 39 K¸t luªn 41 T i li»u tham kh£o 42 iv
Mët sè kþ hi»u v vi¸t tt R = (−∞; +∞) : tªp c¡c sè thüc. Rn : khæng gian v²ctì tuy¸n t½nh thüc n chi·u. C([a; b], Rn ) : tªp t§t c£ c¡c h m li¶n töc tr¶n [a; b] v nhªn gi¡ trà tr¶n Rn . C(Ω) : l khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n mi·n Ω. C k (Ω) : l khæng gian c¡c h m kh£ vi li¶n töc ·u c§p k tr¶n mi·n Ω. L2 ([a, b], Rm ) : tªp c¡c h m kh£ t½ch bªc hai tr¶n [a, b] v l§y gi¡ trà trong Rm . C ∞ (Ω) : l khæng gian c¡c h m kh£ vi li¶n töc c§p væ h¤n tr¶n mi·n Ω. \ ÷ñc x¡c ành b¬ng C k (Ω). k∈N k Cc (Ω), Cc (Ω), ..., kþ hi»u c¡c h m trong C(Ω), C k (Ω), ..., vîi gi¡ compact. C0∞ (Ω) : L khæng gian c¡c h m kh£ vi li¶n töc c§p væ h¤n tr¶n mi·n Ω. Vîi gi¡ compact. Lp (Ω) : l khæng gian c¡c h m lôy thøa bªc p kh£ t½ch Lebesgue. Z 1 Trong â : k(Ω)kLp (Ω) =( |(Ω)|p dx) p , (1 ≤ p < ∞). (Ω) ∞ L (u) = {u : u → R|u l o ÷ñc Lebesgue, kukL∞ (u) < ∞}. Trong â : kukL∞ (u) = ess sup |u|. u v
L1loc (Ω) : tçn t¤i Ω0 ⊂⊂ Ω th¼ v(x) ∈ L1 (Ω0 ). Z L1 (Ω) : gçm c¡c h m câ ë o Lebesgue Ω|v(x)| < +∞. Lploc (u) = {u : u → R|u ∈ Lp (V ), vîi måi V ⊂⊂ u}. H k (u), Wpk (u)(k = 1, 2, 3...) l kþ hi»u c¡c khæng gian Sobolev. C k,β (u), C k,β (u), (k = 0, 1, ..., 0 < β ≤ 1) l c¡c khæng gian Holder. Ou = (ux1 , ..., uxn ) l v²ctì gradient cõa h m u. Xn Mu= uxi xi l to¡n tû Laplace cõa h m u. i=1 2 : k¸t thóc chùng minh. vi
Mð ¦u 1. L½ do chån · t i . C¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ti¸n hâa xu§t hi»n nhi·u trong c¡c qu¡ tr¼nh cõa vªt lþ, hâa håc, sinh håc ... Vi»c nghi¶n cùu nhúng lîp ph÷ìng tr¼nh n y câ þ ngh¾a quan trång trong khoa håc v cæng ngh». Ch½nh v¼ vªy nâ ¢ v ang thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh khoa håc tr¶n th¸ giîi. C¡c v§n · °t ra l nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m, sü phö thuëc li¶n töc cõa nghi»m theo dú ki»n ¢ cho v c¡c t½nh ch§t ành t½nh cõa nghi»m cõa b i to¡n. Trong ba thªp k g¦n ¥y, lþ thuy¸t c¡c h» ëng lüc ti¶u hao væ h¤n chi·u ÷ñc ph¡t triºn m¤nh m³. Lþ thuy¸t n y n¬m ð giao cõa 3 chuy¶n ng nh l lþ thuy¸t h» ëng lüc, lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o h m ri¶ng v lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. B i to¡n cì b£n cõa lþ thuy¸t n y l nghi¶n cùu sü tçn t¤i v c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa tªp hót. Nhi·u k¸t qu£ v· lþ thuy¸t tªp hót èi vîi nhi·u lîp ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o h m ri¶ng ÷ñc tr¼nh b y trong [8],[14]. Mët trong nhúng lîp ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ÷ñc nghi¶n cùu nhi·u nh§t l lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic. Sü tçn t¤i tªp hót to n cöc èi vîi lîp ph÷ìng tr¼nh v h» ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh khæng suy bi¸n ¢ ÷ñc nghi¶n cùu bði nhi·u t¡c gi£ trong mi·n bà ch°n. T½nh li¶n töc cõa tªp hót to n cöc èi vîi c¡c b i to¡n parabolic ÷ñc nghi¶n cùu trong c¡c cæng tr¼nh[3], [6], [12]. Cho ¸n nay, c¡c k¸t qu£ v· lþ thuy¸t tªp hót èi vîi lîp ph÷ìng tr¼nh 1
parabolic khæng suy bi¸n r§t phong phó v ¢ kh¡ ho n thi»n. Lþ thuy¸t v· tªp hót to n cöc èi vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n ¢ ÷ñc nghi¶n cùu cho b i to¡n chùa ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n câ ph¦n ch½nh d¤ng −4Φ(u) ho°c −div(Φ(u)O(u)) trong â Φ(0) = 0; ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n chùa to¡n tû Grashin; ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n kiºu Caldiroli - Mussina...C¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i tªp hót ·u ÷ñc nghi¶n cùu trong [2], [7], [11], [9], ... Vi»c nghi¶n cùu sü tçn t¤i v t½nh ch§t cõa tªp hót èi vîi lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n l v§n · thíi sü, câ þ ngh¾a khoa håc v hùa hµn câ nhi·u ùng döng trong c¡c b i to¡n thüc t¸. Vîi nhúng l½ do tr¶n, chóng tæi lüa chån v§n · tr¶n l m nëi dung º nghi¶n cùu luªn v«n vîi t¶n gåi Tªp hót ·u èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n tüa tuy¸n t½nh khæng ætænæm . 2. Möc ½ch v nhi»m vö nghi¶n cùu. 2.1. Möc ½ch nghi¶n cùu . Möc ½ch cõa luªn v«n l nghi¶n cùu sü tçn t¤i v mët sè t½nh ch§t cõa tªp hót to n cöc (bao gçm t½nh trìn,¡nh gi¡ sè chi·u fractal,...) èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh suy bi¸n kiºu Caldiroli - Mussina trong mi·n bà ch°n. 2.2. Nhi»m vö nghi¶n cùu . Tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m c¡c khæng gian h m, tªp hót to n cöc, sü tçn t¤i tªp hót to n cöc, sè chi·u fractal. Tr¼nh b y k¸t qu£ v· sü tçn t¤i tªp hót ·u èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n tüa tuy¸n t½nh khæng ætænæm tr¶n mi·n bà ch°n Ω ⊂ RN . 3. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu. º chùng minh sü tçn t¤i v duy nh§t nghi»m y¸u, chóng tæi sû döng ph÷ìng ph¡p x§p x¿ Galerkin k¸t hñp vîi c¡c bê · compact. º chùng minh sü tçn t¤i tªp hót v t½nh trìn cõa tªp hót chóng tæi sû söng ph÷ìng ph¡p cõa l½ thuy¸t h» ëng lüc væ h¤n chi·u, nâi ri¶ng l 2
ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m ti»m cªn. 4. Bè cöc luªn v«n. Nëi dung luªn v«n gçm 44 trang, trong â câ ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v danh möc t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bà: Trong Ch÷ìng 1 chóng tæi nhc l¤i mët sè kh¡i ni»m v· c¡c khæng gian h m,tªp hót to n cöc v sü tçn t¤i cõa tªp hót to n cöc,sè chi·u fractal cõa tªp hót to n cöc,tªp hót ·u trong qu¡ tr¼nh ìn trà v tªp hót ·u nûa qu¡ tr¼nh a trà. ¥y l nhúng ki¸n thùc cì sð bê trñ cho ki¸n thùc Ch÷ìng 2. Ch÷ìng 2: Tªp hót ·u èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n tüa tuy¸n t½nh khæng ætænæm: Tr¼nh b y k¸t qu£ v· sü tçn t¤i tªp hót ·u èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n tüa tuy¸n t½nh khæng ætænæm tr¶n mi·n bà ch°n Ω ⊂ RN ,trong tr÷íng hñp nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh câ thº khæng duy nh§t. Ch÷ìng n y công tr¼nh b y k¸t qu£ v· t½nh trìn cõa tªp hót ·u nhªn ÷ñc ð tr¶n trong mët tr÷íng hñp °c bi»t â l tr÷íng hñp nûa tuy¸n t½nh v duy nh§t nghi»m. Vi»c nghi¶n cùu sü tçn t¤i v t½nh ch§t cõa tªp hót èi vîi lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n l v§n · thíi sü, câ þ ngh¾a khoa håc v hùa hµn câ nhi·u ùng döng trong c¡c b i to¡n thüc t¸. Vîi nhúng l½ do tr¶n, chóng tæi lüa chån v§n · tr¶n l m nëi dung º nghi¶n cùu luªn v«n vîi t¶n gåi Tªp hót ·u èi vîi mët lîp ph÷ìng tr¼nh parabolic suy bi¸n tüa tuy¸n t½nh khæng ætænæm . Cuèi còng l ph¦n k¸t luªn tr¼nh b y tâm tt k¸t qu£ ¤t ÷ñc. 3
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong Ch÷ìng 1 chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· c¡c khæng gian h m, tªp hót ·u, tªp hót to n cöc,sè chi·u fractal cõa tªp hót to n cöc, tªp hót ·u cõa qu¡ tr¼nh ìn trà v tªp hót ·u cõa nûa qu¡ tr¼nh a trà. Nhúng ki¸n thùc bê trñ cho ki¸n thùc ð Ch÷ìng 2 ÷ñc tr½ch d¨n trong [5], [7], [8], [10], [13], [14], [15]. 1.1 Mët sè kh¡i ni»m ành ngh¾a 1.1.1. Cho X l khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng K vîi iºm gèc θ. H m k.k : X → R ÷ñc gåi l chu©n tr¶n X n¸u (i) kxk ≥ 0 vîi måi x∈X v kxk = 0 ⇔ x = θ. (ii) kλxk = |λ|kxk vîi måi x∈X v λ ∈ K. (iii) kx + yk ≤ kxk + kyk vîi måi x, y ∈ X. Khi â c°p (X, k.k) ÷ñc gåi l khæng gian ành chu©n. Nhªn x²t. Måi khæng gian ành chu©n l khæng gian metric vîi kho£ng c¡ch d(x, y) = kx − yk. Kho£ng c¡ch x¡c ành nh÷ tr¶n gåi l kho£ng c¡ch sinh bði chu©n. ành ngh¾a 1.1.2. Khæng gian ành chu©n X ¦y õ èi vîi kho£ng 4
c¡ch sinh bði chu©n ÷ñc gåi l khæng gian Banach. ành ngh¾a 1.1.3. Cho X l khæng gian tuy¸n t½nh tr¶n tr÷íng sè thüc R. Mët t½ch væ h÷îng trong X l mët ¡nh x¤ h., .i: X × X → R thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) hx, yi = hy, xi, vîi måi x, y ∈ X ; (ii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, vîi måi x, y, z ∈ X ; (iii) hλx, yi = λ hx, yi, vîi måi x, y ∈ X ; λ ∈ R; (iv) hx, xi > 0, vîi måi x 6= 0; hx, xi = 0 ↔ x = 0. Khæng gian tuy¸n t½nh X còng vîi t½ch væ h÷îng h., .i ÷ñc gåi l khæng gian ti·n Hilbert. Chu©n cõa ph¦n tû x ∈ X, k½ hi»u |x| v ÷ñc x¡c ành: q |x| = hx, xi (1.1) Khæng gian ti·n Hilbert ¦y õ vîi metric sinh bði chu©n x¡c ành bði (1.1) ÷ñc gåi l khæng gian Hilbert. 1.2 C¡c khæng gian h m ành ngh¾a 1.2.1. Lp(Ω), 1 ≤ p < ∞ , Ω ∈ RN l khæng gian Banach bao gçm t§t c£ c¡c h m kh£ t½ch Lebesgue bªc p tr¶n Ω vîi chu©n ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: Z 1 kukLp (Ω) := ( |u|p dx) p . Ω Lp (Ω) l khæng gian Banach ph£n x¤ khi 1 < p < +∞. ành ngh¾a 1.2.2. L∞(Ω) l khæng gian Banach bao gçm t§t c£ c¡c h m o ÷ñc v bà ch°n h¦u khp tr¶n Ω vîi chu©n kukL∞ (Ω) := ess sup |u(x)|. x∈Ω 5
ành ngh¾a 1.2.3. Gi£ sû σ:Ω→R l h m o ÷ñc Lebesgue, khæng ¥m v thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: khi mi·n Ω bà ch°n, (Hα ) σ ∈ L1loc (Ω) v vîi α ∈ (0, 2), lim infx→z |x−z|−α σ(x) > 0 vîi måi z ∈ Ω, v khi mi·n Ω khæng bà ch°n. ∞ (Hα,β )σ thäa m¢n i·u ki»n (Hα ) v lim inf|x|→∞ |x|−β σ(x) > 0 vîi β > 2. Khi â ta ành ngh¾a khæng gian D01 (Ω, σ) l bê sung õ cõa khæng gian C0∞ (Ω) èi vîi chu©n Z 1 kukD01 (Ω,σ) := ( σ(x)|Ou|2 dx) 2 . Ω D01 (Ω, σ) l khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng Z (u, v) := ( σ(x)OuOvdx. Ω K½ hi»u D− 1(Ω, σ) l khæng gian èi ng¨u cõa D01 (Ω, σ). Gi£ sû N ≥ 2, α ∈ (0, 2), v 4   ∈ (2, ∞)  n¸u N =2 2∗α = α 2N 2N .   ∈ (2, ) n¸u N ≥3 N −2+α N −2 Sè mô 2∗α l sè mô giîi h¤n trong ph²p nhóng Sobolev li¶n quan ¸n khæng gian D01 (Ω, σ). Trong luªn v«n n y ta sû döng c¡c khæng gian h m phö thuëc thíi gian sau: ành ngh¾a 1.2.4. Gi£ sû X l mët khæng gian Banach. C([a, b]; X) l khæng gian Banach bao gçm t§t c£ c¡c h m u : [a, b] → X li¶n töc tø [a, b] v o X vîi chu©n ||u||C([a,b];X) = sup ||u(t)||X . t∈[0,T ] 6
Lp (a, b; X) khæng gian Banach bao gçm t§t c£ c¡c h m u : (a, b) → X sao cho Z b 1 ||u||Lp (a,b;X) := ( ||u(t)||pX dt) p < +∞. a Bê · 1.2.5. Gi£ sû r¬ng Ω l mi·n bà ch°n tr¶n RN , N ≥ 2, v σ thäa m¢n i·u ki»n (Hα ). Khi â: ∗ (i) Ph²p nhóng D01 (Ω, σ) ,→ L2α (Ω) l li¶n töc; (ii) Ph²p nhóng D01 (Ω, σ) ,→ Lp (Ω) l compact n¸u p ∈ [1, 2∗α ). Bê · 1.2.6. Gi£ sû r¬ng Ω l mi·n khæng bà ch°n tr¶n RN , N ≥ 2, v ∞ σ thäa m¢n i·u ki»n (Hα,β ). Khi â: (i) Ph²p nhóng D01 (Ω, σ) ,→ Lp (Ω) l li¶n töc vîi måi p ∈ [2∗β , 2∗α ]; (ii) Ph²p nhóng D01 (Ω, σ) ,→ Lp (Ω) l compact n¸u p ∈ (2∗β , 2∗α ). Ta ành ngh¾a khæng gian Sobolev câ trång D02 (Ω, σ) l bao âng cõa khæng gian C0∞ (Ω) vîi chu©n Z 1 kukD02 (Ω,σ) := ( |div(σ(x)Ou)|2 dx) 2 . Ω â l mët khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng t÷ìng ùng l Z (u, v)D02 := ( div(σ(x)Ou)div(σ(x)Ov)dx. Ω K¸t qu£ sau suy ra trüc ti¸p tø ành ngh¾a cõa khæng gian D01 (Ω, σ), D02 (Ω, σ) v ph²p nhóng D01 (Ω, σ) ,→ L2 (Ω) khi σ thäa m¢n (Hα ). M»nh · 1.2.7. Gi£ sû Ω l mët mi·n bà ch°n trong RN (N ≥ 2), v σ thäa m¢n (Hα ). Khi â ph²p nhóng D02 (Ω, σ) ,→ D01 (Ω, σ) l li¶n töc. 7
Chùng minh. Vîi b§t k¼ h m u ∈ C0∞ (Ω), ta câ Z ||u||2D01 (Ω,σ) = σ|Ou)|2 dx ΩZ = − div(σ Ou)udx Ω Z 1 Z 1 ≤ ( |div(σ Ou)|2 dx) 2 ( |u|2 dx) 2 Ω Ω = ||u||D02 (Ω,σ) ||u||L2 (Ω) . M°t kh¡c ta câ ||u||L2 (Ω) ≤ C||u||D01 (Ω,σ) , ð â C ëc lªp vîi u, vªy ta câ i·u ph£i chùng minh. 1.3 Tªp hót to n cöc 1.3.1 Mët sè kh¡i ni»m Gi£ sû X l mët khæng gian Banach, ta câ c¡c ành ngh¾a sau: ành ngh¾a 1.3.1. Mët nûa nhâm ( li¶n töc) tr¶n X l mët hå c¡c ¡nh x¤ S(t) : X → X, t ≥ 0, thäa m¢n (i) S(0) = I , I l ph²p çng nh§t, (ii) S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t + s), (iii) S(t)u0 li¶n töc èi vîi (t, u0 ) ∈ [0; +∞) × X . ành ngh¾a 1.3.2. Quÿ ¤o cõa S(t) tr¶n I ⊂ R l mët ¡nh x¤ u : I → X thäa m¢n: u(t + s) = S(t).u(s), vîi måi s ∈ I, t ≥ 0 sao cho t + s ∈ I. N¸u I =R v uo = z ∈ X , th¼ u gåi l quÿ ¤o ¦y õ xuy¶n qua z v k½ hi»u l γ(z). Quÿ ¤o ¦y õ γ = {u(t) sao cho t ∈ R} gåi l quÿ ¤o tu¦n ho n n¸u τ >0 sao cho: u(t + τ ) = u(t), vîi måi t∈R 8
Ph¦n tû u0 ∈ X gåi l iºm cè ành( iºm døng, iºm c¥n b¬ng) cõa h» ëng lüc (X, S(t)) n¸u: S(t)u0 =u0 , vîi måi t ≥ 0. ành ngh¾a 1.3.3. C¡c kh¡i ni»m b§t bi¸n: (i) Tªp Y ⊂X ÷ñc gåi l b§t bi¸n d÷ìng n¸u S(t)Y ⊂ Y, ∀t ≥ 0. (ii) Tªp Y ⊂X ÷ñc gåi l b§t bi¸n ¥m n¸u S(t)Y ⊃ Y, ∀t ≥ 0. (iii) Tªp Y ⊂X ÷ñc gåi l b§t bi¸n n¸u S(t)Y = Y, ∀t ≥ 0. Ta giîi thi»u c¡c kh¡i ni»m v· t½nh ti¶u hao cõa nûa nhâm. ành ngh¾a 1.3.4. H» ëng lüc (X, S(t)) gåi l ti¶u hao iºm( t÷ìng ùng ti¶u hao bà ch°n) n¸u tçn t¤i mët tªp bà ch°n B0 ⊂ X hót c¡c iºm( t÷ìng ùng hót c¡c tªp bà ch°n) cõa X. N¸u h» ëng lüc (X, S(t)) l ti¶u hao bà ch°n th¼ tçn t¤i mët tªp B0 ⊂ X sao cho vîi måi tªp bà ch°n B ⊂ X, tçn t¤i T = T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0 , vîi måi t ≥ T. Tªp B0 nh÷ vªy gåi l tªp h§p thö èi vîi h» ëng lüc (X, S(t)). ành ngh¾a 1.3.5. Nûa nhâm S(t) gåi l ti¶u hao iºm ( t.÷., ti¶u hao bà ch°n) n¸u tçn t¤i mët tªp bà ch°n B0 ⊂ X hót c¡c iºm (t.÷., hót c¡c tªp bà ch°n) cõa X. N¸u S(t) l ti¶u hao bà ch°n th¼ tçn t¤i mët tªp B0 ⊂ X sao cho vîi måi tªp bà ch°n B ⊂ X, tçn t¤i T = T (B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B0 , ∀t ≥ T . Tªp B0 nh÷ vªy gåi l mët tªp h§p thö èi vîi nûa nhâm S(t). D¹ th§y mët nûa nhâm ti¶u hao bà ch°n th¼ ti¶u hao iºm. i·u ng÷ñc l¤i nâi chung khæng óng, nh÷ng nâ óng èi vîi c¡c nûa nhâm trong khæng gian húu h¤n chi·u. B¥y gií ta ành ngh¾a t½nh compact ti»m cªn. ành ngh¾a 1.3.6. Gi£ sû X l mët khæng gian Banach. Nûa nhâm S(t) gåi l compact ti»m cªn n¸u vîi måi t > 0, S(t) câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng 9
S(t) = S (1) (t) + S (2) (t), (1.2) ð â S (1) (t) v S (2) (t) thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau: (i). vîi b§t k¼ tªp bà ch°n B⊂X rB (t) = sup ||S (1) (t)y||X → 0 khi t → +∞; y∈B (ii). vîi b§t k¼ tªp bà ch°n B trong X tçn t¤i t0 sao cho tªp hñp [ [γ (2) (t0 )B] = [ S (2) (t)B] (1.3) t≥t0 l compact trong X ,ð ¥y [γ] l bao âng cõa tªp γ. Mët h» ëng lüc gåi l compact n¸u nâ l compact ti»m cªn v ta câ thº l§y S (1) (t) ≡ 0 trong biºu di¹n ( 1.2). Rã r ng r¬ng b§t k¼ h» ëng lüc ti¶u hao húu h¤n chi·u n o công l compact. D¹ d ng th§y r¬ng i·u ki»n ( 1.3) ÷ñc thäa m¢n n¸u tçn t¤i mët tªp compact K trong X sao cho vîi b§t k¼ tªp bà ch°n B ⊂ X, tçn t¤i t0 (B) sao cho S (2) (t)B ⊂ K, ∀t ≥ t0 (B). Nâi ri¶ng, mët h» ti¶u hao l compact n¸u nâ câ mët tªp h§p thö compact. Bê · sau ¥y r§t húu ½ch khi chùng minh t½nh compact ti»m cªn. Bê · 1.3.7. Nûa nhâm S(t) l compact ti»m cªn n¸u tçn t¤i mët tªp compact K sao cho lim dist(S(t)B, K) = 0, t→+∞ vîi måi tªp B bà ch°n trong X. Chùng minh. V¼ K l tªp compact n¶n vîi måi t>0 v u ∈ X, tçn t¤i ph¦n tû v := S (2) (t)u ∈ K sao cho dist(S(t)u, K) = ||S(t)u − S (2) (t)u||. 10
Do â n¸u °t S (1) (t)u = S(t)u − S (2) (t)u, d¹ th§y sü ph¥n t½ch (1.2) thäa m¢n t§t c£ c¡c y¶u c¦u trong ành ngh¾a cõa t½nh compact ti»m cªn. Nhªn x²t. [14] N¸u X l mët khæng gian Banach lçi ·u v nûa nhâm S(t) câ mët tªp h§p thö bà ch°n B, th¼ ba i·u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng: (i) Nûa nhâm S(t) l compact ti»m cªn; (ii) Nûa nhâm S(t) thuëc lîp AK , tùc l vîi måi d¢y bà ch°n {xk } trong X v måi d¢y tk → ∞, {S(tk )xk }∞ k=1 l compact t÷ìng èi trong X; (iii) Tçn t¤i mët tªp compact K⊂X sao cho dist(S(t)B, K) → 0 khi t → ∞. 1.3.2 Tªp hót to n cöc Tªp hót to n cöc l èi t÷ñng trung t¥m cõa lþ thuy¸t c¡c h» ëng lüc ti¶u hao væ h¤n chi·u. ành ngh¾a 1.3.8. Mët tªp con kh¡c réng A cõa X gåi l mët tªp hót to n cöc èi vîi nûa nhâm S(t) n¸u: (i). A l mët tªp âng v bà ch°n; (ii). A l b§t bi¸n, tùc l S(t)A = A vîi måi t > 0; (iii). A hót måi tªp con bà ch°n B cõa X, tùc l lim dist(S(t)B, A) = 0, t→∞ ð â dist(E, F ) = supa∈E infb∈F d(a, b) l nûa kho£ng c¡ch Hausdorff giúa hai tªp con E v F cõa X. C¡c t½nh ch§t sau ¥y cõa tªp hót to n cöc l h» qu£ trüc ti¸p cõa ành ngh¾a. 11
M»nh · 1.3.9. Gi£ sû S(t) câ tªp hót to n cöc A. Khi â: (i). N¸u B l mët tªp con bà ch°n b§t bi¸n cõa X th¼ B⊂A (t½nh cüc ¤i) ; (ii). N¸u B l mët tªp con âng hót c¡c tªp bà ch°n cõa X th¼ A⊂B (t½nh cüc tiºu) ; (iii). A l duy nh§t. K¸t qu£ sau ¥y nâi v· c§u tróc cõa tªp hót to n cöc. ành lþ 1.3.10. [13] Gi£ sû nûa nhâm S(t) câ tªp hót to n cöc A. Khi â måi quÿ ¤o ¦y õ bà ch°n ( nâi ri¶ng l c¡c iºm døng v c¡c quÿ ¤o tu¦n ho n, n¸u câ) ·u n¬m tr¶n A. Hìn núa, n¸u S(t) l ìn ¡nh tr¶n A th¼ A l hñp cõa t§t c£ c¡c quÿ ¤o ¦y õ bà ch°n. C¡c k¸t qu£ d÷îi ¥y ch¿ ra r¬ng c¡c h» ëng lüc "tr¶n tªp hót to n cöc" s³ quy¸t ành c¡c d¡ng i»u ti»m cªn câ thº câ cõa c¡c quÿ ¤o ri¶ng l´, ngh¾a l sau mët kho£ng thíi gian õ lîn, b§t k¼ mët quÿ ¤o n o cõa ph÷ìng tr¼nh gèc træng s³ gièng nh÷ mët quÿ ¤o n o â tr¶n tªp hót trong mët kho£ng thíi gian õ d i. ành lþ 1.3.11. [13]. Gi£ sû h» ëng lüc (X, S(t)) câ tªp hót to n cöc A. Cho tr÷îc mët quÿ ¤o u(t) = S(t)u0 , mët sai sè >0 v mët kho£ng thíi gian T > 0. Khi â tçn t¤i mët thíi iºm τ = τ (, T ) v mët iºm v0 ∈ A sao cho ||u(τ + t) − S(t)v0 || ≤ vîi måi 0 ≤ t ≤ T. º x§p x¿ quÿ ¤o ¢ chån u(t) trong mët kho£ng thíi gian d i hìn, ta ph£i dòng nhi·u quÿ ¤o tr¶n tªp hót to n cöc A. M»nh · sau ¥y l h» qu£ trüc ti¸p cõa ành l½ 1.3.11. H» qu£ 1.3.12. [13]. 12