Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập iđêan nguyên tố gắn kết của mô đun đối đồng điều địa phương artin

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung luận văn trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết được dùng để chứng minh các kết quả ở các chương sau. Một số kiến thức được trình bày ở đây là: Vành và mô đun Artin, biểu diễn thứ cấp của mô đun Artin, mô đun đối đồng điều địa phương, dãy chính quy và độ sâu của mô đun, đối ngẫu Matlis và một số tính chất. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập iđêan nguyên tố gắn kết của mô đun đối đồng điều địa phương artin

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ DUNG TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG THỊ DUNG TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ GẮN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái nguyên, ngày 21 tháng 6 năm 2015 Người viết Luận văn Hoàng Thị Dung i
Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩ NGUYỄN VĂN HOÀNG giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của: Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học, Sở GD - ĐT Cao Bằng, Ban Giám hiệu và Tổ Toán-Tin Trường THPT Chuyên Cao Bằng đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình. Thái nguyên, ngày 21 tháng 6 năm 2015 Người viết Luận văn Hoàng Thị Dung ii
Mục lục Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Vành và môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Dãy chính quy và độ sâu của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Đối ngẫu Matlis và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun Artin 17 2.1 Khái niệm đối dãy từ chiều > s và một số tính chất . . . . . . . . . . . 17 2.2 Chứng minh Định lý 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa phương Artin 30 3.1 Môđun Cohen-Macaulay, vành catenary, thớ hình thức, và dãy chặt từ chiều > s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Chứng minh Định lý 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 iii
Mở đầu Trong suốt luận văn này, giả thiết (R, m) là vành giao hoán Noerther địa phương với iđêan cực đại duy nhất là m. Giả thiết A là một R−môđun Artin và M là một R−môđun hữu hạn sinh có chiều dim M = d. Kí hiệu AssR M là tập các iđêan nguyên tố liên kết của M. Tập tất cả các iđêan nguyên tố gắn kết của A được kí hiệu là AttR A (theo I. G. Macdonald [7]). Với mỗi iđêan I là của R, ta biết rằng tập AssR (M/I n M) và AttR (0 :A I n ) không phụ thuộc vào n khi n đủ lớn (xem bài báo của M. Brodmann [1, 12]), và vì thế các tập S n M) S I n ) là các tập hữu hạn. Tuy nhiên điều này hợp n≥0 AssR (M/I và n≥0 AttR (0 :A n n không còn đúng cho các tập AssR (M/(x1n1 , . . . , xk k )M) và AttR (0 :A (x1n1 , . . . , xk k )), trong đó (x1 , . . . , xk ) là một dãy các phần tử của R với n1 , . . . , nk là các số nguyên dương. Chẳng hạn, lấy (R, m) là vành Cohen-Macaulay chiều 5 (được xây dựng bởi M. Katzman [6, 2 (R) là một tập vô Corrollary 1.3]) sao cho có các phần tử x, y ∈ m thõa mãn AssR (H(x,y) S n , yn )R) là vô hạn, và vì thế tập S (xn , yn )R) hạn. Khi đó tập n≥0 AssR (R/(x n≥0 AttR (0 :A cũng là vô hạn, ở đây A = E(R/m) là bao nội xạ của R/m đó là R−môđun Artin. Cho s ≥ −1 là số nguyên. Với mỗi tập con T của Spec(R), ta kí hiệu Ts (tương ứng, T≥s , T>s ) là tập gồm tất cả p ∈ T sao cho dim(R/p) = s (tương ứng, dim(R/p) ≥ s, dim(R/p) > s). Theo Brodmann-Nhàn [2], một dãy (x1 , . . . , xk ) các phần tử của R được gọi là M−dãy từ chiều > s nếu xi ∈ / p với mọi p ∈ AssR (M/(x1 , . . . , xi−1 )M)>s với mọi i = 1, . . . , k. Nếu mọi hoán vị của dãy x1 , . . . , xk cũng là M−dãy từ chiều > s thì (x1 , . . . , xk ) được gọi là M−dãy từ chiều > s hoán vị được. Chú ý rằng nếu (x1 , . . . , xk ) là S n1 nk M−dãy từ chiều > s hoán vị được thì n1 ,...,nk (AssR M/(x1 , . . . , xk )M)≥s là tập hữu hạn (xem [2, Proposition 2.6]). Từ đó một câu hỏi được L. T. Nhàn-N. V. Hoàng [9] đặt ra là 1
n (x1n1 , . . . , xk k )R))≥s , S tìm điều kiện của dãy (x1 , . . . , xk ) để các tập hợp n1 ,...,nk (AttR (0 :A S n1 n k S i n1 nk n1 ,...,nk (AttR (0 :Hm i (M) (x1 , . . . , xk )R))>s và n1 ,...,nk (AttR (Hm (M/(x1 , . . . , xk )M))≥s là các tập hợp hữu hạn. Năm 2014, trong một bài báo chung của Nhàn-Hoàng (xem [9]), họ đã trả lời khẳng định cho câu hỏi trên, cụ thể là các định lý sau. Định lí 1. Giả sử (x1 , . . . , xk ) là một A− đối dãy từ chiều > s. Khi đó tập (AttR (0 :A n (x1n1 , . . . , xk k )R))>s không phụ thuộc vào cách chọn của n1 , . . . , nk và tập S n1 ,...,nk (AttR (0 :A n (x1n1 , . . . , xk k )R))≥s là hữu hạn. Định lí 2. Giả sử R là vành catenary phổ dụng và mọi thớ hình thức của nó là Cohen- Macaulay. Lấy (x1 , . . . , xk ) là M− dãy chặt từ chiều > s. Khi đó ta có n n (i) (AttR Hmi (M/(x1n1 , . . . , xk k )M))>s và (AttR (0 :Hmi (M) (x1n1 , . . . , xk k )R))>s là độc lập với n1 , . . . , nk với mọi i ≥ 0. (ii) (AttR Hmi (M/(x1 , . . . , xk )M))>s = (AttR (0 :H i+k (M) (x1 , . . . , xk )R))>s với mọi i ≥ 0. m n (iii) Với mỗi i ≥ 0, tập hợp (x1n1 , . . . , xk k )R))≥s và tập hợp S n1 ,...,nk (AttR (0 :Hm i (M) S i n1 nk n1 ,...,nk (AttR (Hm (M/(x1 , . . . , xk )M))≥s là hữu hạn. Mục đích chính của luận văn này là trình bày chi tiết lại các kết quả như đã nêu trên trong bài báo [9]: L. T. Nhan and N. V. Hoang (2014), “A finiteness result for attached primes of Artinian local cohomology modules”, Journal of Algebra and Its Applications, Vol. 13, 1350063 (14 pages). Bên cạnh đó để việc trình bày có hệ thống và rõ ràng hơn, luận văn cũng bổ sung một số kiến thức từ các tài liệu như sách Commutative Ring Theory (của H. Matsumura [8]), và một số bài giảng của GS.TSKH Nguyễn Tự Cường, PGS.TS Lê Thanh Nhàn, TS. Nguyễn Văn Hoàng về đại số giao hoán và đại số đồng điều. Luận văn được chia làm 3 chương. Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở cần thiết được dùng để chứng minh các kết quả ở các chương sau. Một số kiến thức được trình bày ở đây là: Vành và môđun Artin, biểu diễn thứ cấp của môđun Artin, môđun đối đồng điều địa phương, dãy chính quy và độ sâu của môđun, đối ngẫu Matlis và một số tính chất. Trong phần đầu của Chương 2, chúng tôi giới thiệu khái niệm đối dãy từ chiều > s 2
và một số tính chất. Phần sau của chương dành để trình bày chứng minh chi tiết cho Định lý 1. Chương 3 sẽ chứng minh chi tiết cho Định lý 2. Trong đó, trước mỗi phần chứng minh, chúng tôi có đưa ra một vài tính chất có liên quan khi cần thiết. 3
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này nhằm đưa ra một số kiến thức chuẩn bị giúp cho việc trình bày có hệ thống và những kiến thức đó thực cần thiết phục vụ cho chứng minh các kết quả ở những chương sau. Chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán có đơn vị. Kiến thức ở chương này được trích từ một số sách [3], [7], [8]. 1.1 Vành và môđun Artin Định nghĩa 1.1.1. (Vành và môđun Artin) Cho R là vành giao hoán và A là R− môđun. Khi đó A được gọi là môđun Artin nếu mỗi dãy giảm các môđun con của A đều dừng, nghĩa là nếu A0 ⊇ A1 ⊇ . . . ⊇ An ⊇ . . . là một dãy giảm dần các môđun con của A thì tồn tại k ∈ N sao cho Ak = An với mọi n ≥ k. Vành R được gọi là vành Artin nếu nó là một R− môđun Artin, tức là mọi dãy giảm các iđêan của R đều dừng. Mệnh đề sau cho ta một điều kiện tương đương với định nghĩa môđun Artin. Mệnh đề 1.1.2. Cho R là vành giao hoán và A là một R− môđun. Khi đó các điều kiện sau là tương đương 4
(i) A là môđun Artin. (ii) Mỗi tập khác rỗng các môđun con của A đều có phần tử cực tiểu. Để đề cập đến một vài tính chất của môđun Artin, sau đây ta sẽ nhắc lại khái niệm độ dài của môđun. Định nghĩa 1.1.3. Cho R là vành giao hoán khác không và M là một R− môđun. (i) Một dãy M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M các môđun con của M được gọi là một xích. (ii) Xích 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M được gọi là một dãy hợp thành của M nếu Mi+1 /Mi là các môđun đơn với mọi i = 0, 1, . . . , n −1, tức là Mi+1 /Mi có đúng hai môđun con là 0 và chính nó. (iii) Độ dài của M, kí hiệu là `R (M), là cận trên đúng của các độ dài của các xích có dạng 0 = M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mn = M, trong đó Mi 6= Mi+1 với mọi i = 0, 1, . . . , n − 1. Một R− môđun M được gọi là có độ dài hữu hạn nếu M có ít nhất một dãy hợp thành. Trong trường hợp này các dãy hợp thành của M có cùng độ dài và khi đó độ dài của M chính là độ dài của một dãy hợp thành nào đó của M. Hơn thế nữa mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của dãy hợp thành. Định lý 1.1.4. Ta có các phát biểu sau là đúng. (i) Nếu R là vành Artin thì mọi iđêan nguyên tố của R đều tối đại. (ii) Nếu R là vành Artin thì R có hữu hạn iđêan tối đại. Định nghĩa 1.1.5. (Chiều Krull) Cho R là một vành giao hoán, một dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố p0 ⊃ p1 ⊃ · · · ⊃ pn của vành R được gọi là một xích nguyên tố có độ 5
dài n. Cận trên của độ dài tất cả các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của R, hay chiều của vành R, kí hiệu là dim R. Định nghĩa 1.1.6. (Độ cao của iđêan) Cho R là một vành giao hoán và p là iđêan nguyên tố của R. Chiều dài lớn nhất của mọi dãy giảm thực sự các iđêan nguyên tố p = p0 ⊃ p1 ⊃ · · · ⊃ pr xuất phát từ p, được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p). Cho I là một iđêan của R. Độ cao của I, kí hiệu là ht(I), được cho bởi ht(I) = inf{ht(p) | p ∈ Var(I)} trong đó Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. Định nghĩa 1.1.7. (Chiều của môđun - xem [8, Trang 31]) Cho R là một vành giao hoán và M là một R− môđun. Khi đó, chiều của M, kí hiệu là dim M được xác định bởi dim M = dim(R/ Ann(M)), trong đó Ann(M) = {a ∈ R | aM = 0}. Nếu M là môđun không thì ta quy ước dim M = −1. Mệnh đề 1.1.8. R 6= 0 là vành Artin nếu và chỉ nếu R là vành Noerther và dim R = 0. Bổ đề 1.1.9. Cho (R, m) là vành địa phương. Cho A là R− môđun. Các phát biểu sau là đúng. (i) `(A) < ∞ khi và chỉ khi A vừa là Noether vừa là Artin. (ii) Cho `(A) = n < ∞ là môđun có độ dài hữu hạn. Khi đó mn A = 0. 1.2 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin Lý thuyết biểu diễn thứ cấp được đưa ra bởi I.G.Macdonald [7] được xem như là đối ngẫu với lý thuyết phân tích nguyên sơ quen biết cho các môđun Noether. Dưới đây là một số kiến thức cơ bản về lý thuyết này (được trích từ [7]). 6
Định nghĩa 1.2.1. Cho S là một R− môđun. Ta nói S là môđun thứ cấp nếu S 6= 0, và với mỗi x ∈ R ta có xS = S hoặc tồn tại n ∈ N sao cho xn S = 0. Trong trường hợp này ta có p = Rad(AnnR (A)) là iđêan nguyên tố của R. Khi đó, ta gọi S là môđun p−thứ cấp. Định nghĩa 1.2.2. Cho A là R− môđun. Một biểu diễn thứ cấp của A là một biểu diễn A thành tổng của hữu hạn các môđun con thứ cấp của A. Một biểu diễn thứ cấp A = A1 + · · · + At của A (trong đó Ai là pi − thứ cấp với mọi i = 1, . . . ,t) được gọi là tối giản khi nó thỏa mãn hai điều kiện sau (i) p1 , . . . , pt là t iđêan nguyên tố khác nhau đôi một của R. (ii) A j * ∑t1=i6= j Ai với mọi j = 1, . . . ,t Ta nói một R− môđun A là biểu diễn được nếu nó có một biểu diễn thứ cấp nào đó. Ta dễ thấy nếu R− môđun A biểu diễn được thì nó luôn có một biểu diễn thứ cấp tối giản. Định nghĩa 1.2.3. Cho A là một R− môđun biểu diễn được và A = A1 + · · · + At với Ai là pi − thứ cấp (1 ≤ i ≤ t) là một biểu diễn thứ cấp tối giản của A. Khi đó, tập hợp {p1 , . . . , pt } được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A, kí hiệu là Att(A) hoặc AttR A. Mỗi phần tử của tập AttR A được gọi là iđêan nguyên tố gắn kết của A. Mệnh đề 1.2.4. Nếu R− môđun A là biểu diễn được thì tập AttR A chỉ phụ thuộc vào A mà không phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A. Cho p là iđêan nguyên tố của R, khi đó các khẳng định sau là tương đương (i) p ∈ AttR A. (ii) A có môđun thương là p− thứ cấp. (iii) A có môđun thương Q sao cho Rad(Q) = p. 7
(iv) A có môđun thương Q sao cho p là phần tử tối thiểu trong tập các iđêan nguyên tố chứa AnnR (Q). (v) A có môđun thương Q sao cho AnnR (Q) = p. Mệnh đề 1.2.5. (xem [7]) Cho R là vành giao hoán Noether, A là R− môđun biểu diễn được. Khi đó các phát biểu sau đây là đúng. (i) AttR A = 0/ khi và chỉ khi A = 0. (ii) AttR A = {m} khi và chỉ khi A 6= 0 và `R (A) < ∞. (iii) Nếu 0 → A0 → A → A00 → 0 là dãy khớp các R− môđun Artin thì AttR A00 ⊆ AttR A ⊆ AttR A0 ∪ AttR A00 . (iv) min AttR A = min Var (AnnR A). Đặc biệt, ta có dim (R/AnnR A) = max {dim (R/p) | p ∈ AttR A}. Mệnh đề 1.2.6. Cho A là một R− môđun Artin. Khi đó A là môđun biểu diễn được và AttR A là tập hữu hạn. Mệnh đề 1.2.7. Cho A là R− môđun Artin và x ∈ R. Khi đó các phát biểu sau là đúng (i) xA = A nếu và chỉ nếu x ∈ R\ S p∈AttR A p. p T (ii) Ann(A) = p∈AttR A p. Định nghĩa 1.2.8. (Tôpô m - adic) Cho (R, m) là vành Noether địa phương. Khi đó, một dãy (xn ) ⊆ R được gọi là một dãy Cauchy theo tôpô m− adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn − xm ∈ mk với mọi n, m ≥ n0 . Dãy (xn ) được gọi là hội tụ 8
về 0 nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số n0 sao cho xn ∈ mk với mọi n ≥ n0 . Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy (xn ), (yn ) được gọi là tương đương nếu dãy (xn − yn ) có giới hạn 0. Kí hiệu Rb là tập các lớp tương đương. Chú ý rằng quy tắc cộng (xn ) + (yn ) = (xn + yn ) và quy tắc nhân (xn )(yn ) = (xn yn ) không phụ thuộc vào cách chọn các đại diện của các lớp tương đương. Vì thế nó là các phép toán trên Rb và cùng với hai phép toán này, Rb làm thành một vành Noether địa phương với iđêan tối đại duy nhất là mR. b Vành Rb vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô m− adic của R. Một dãy (zn ) ⊆ M được gọi là dãy Cauchy theo tôpô m− adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho zn − zm ∈ mk M với mọi n, m ≥ n0 . Từ khái niệm dãy Cauchy như trên, tương tự ta định nghĩa được khái niệm môđun đầy đủ theo tôpô m− adic trên vành R. b Môđun này được kí hiệu là M. b Chú ý 1.2.9. Kí hiệu Rb là vành đầy đủ theo tôpô m− adic. Cho u ∈ A và cho x = [(xn )] ∈ b trong đó xn ∈ R. Khi đó (u) = {au | a ∈ R} là một môđun con của A, do đó nó là R, môđun Artin. Chú ý rằng (u) là hữu hạn sinh. Vì thế (u) vừa là môđun Artin, vừa là môđun Noether. Do đó (u) là môđun có độ dài hữu hạn. Vì thế tồn tại số tự nhiên k sao cho mk u = 0. Vì (xn ) là dãy Cauchy, nên tồn tại số tự nhiên n0 sao cho xn − xm ∈ mk với mọi m, n ≥ n0 . Do đó ta có (xn − xm )u = 0 với mọi m, n ≥ n0 . Suy ra xn u không đổi khi n ≥ n0 . Do đó ta có thể định nghĩa xu = xn u với n ≥ n0 . Dễ kiểm tra được đây là một phép nhân với vô hướng trên A. Do đó A có cấu trúc R− b môđun. Với cấu trúc này, một tập con của A là một R− môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là R− b môđun con của A. 9
Vì thế dàn môđun con của A xét như R− b môđun chính là dàn môđun con của A xét như R− môđun. Do đó A là một R− b môđun Artin. Ta có thể đồng nhất R như một vành con của Rb bằng cách coi mỗi phần tử a ∈ R là lớp tương đương của dãy hằng (an ) trong R, b trong đó an = a với mọi n. Chú ý rằng với mỗi R− môđun hữu hạn sinh M ta có AssR M = {p ∩ R | b p ∈ AssRb M}. b Dưới đây là kết quả tương ứng cho các iđêan nguyên tố gắn kết. Mệnh đề 1.2.10. (xem [3, 8.2.4 và 8.2.5]) AttR A = { b p∩R | b p ∈ AttRb A}. 1.3 Môđun đối đồng điều địa phương Đối đồng điều địa phương được giới thiệu bởi A. Grothendieck vào những năm 1960. Ngày nay đối đồng điều địa phương đã trở thành công cụ không thể thiếu trong Hình học đại số, Đại số giao hoán. Trước hết ta giới thiệu khái niệm hàm tử I− xoắn. Định nghĩa 1.3.1. (Hàm tử I− xoắn) Cho I là iđêan của R. Với mỗi R− môđun M, ta định nghĩa [ ΓI (M) = (0 :M I n ). n≥0 Nếu f : M → N là đồng cấu các R− môđun thì ta có đồng cấu cảm sinh f ∗ : ΓI (M) → ΓI (N) cho bởi f ∗ (m) = f (m). Khi đó ΓI (−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái từ phạm trù các R− môđun đến phạm trù các R− môđun. ΓI (−) được gọi là hàm tử I− xoắn. Định nghĩa 1.3.2. (Môđun nội xạ) Một R− môđun M được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn cấu f : N → N 0 và mọi đồng cấu g : N → M, thì tồn tại R− đồng cấu h : N 0 → M sao 10
cho g = h ◦ f . Định nghĩa 1.3.3. (Giải nội xạ) Một giải nội xạ của R− môđun M là một dãy khớp µ 0 1 f 2 f f 0→M− → E0 − → E1 − → E2 − → ··· trong đó Ei là các R− môđun nội xạ với mọi i ≥ 0. Chú ý 1.3.4. Giải nội xạ của một môđun M luôn tồn tại. Định nghĩa 1.3.5. (Môđun đối đồng điều địa phương) Cho M là R− môđun và I là iđêan của R. Cho giải nội xạ của M µ 0 1 f 2 f f 0→M− → E0 − → E1 − → E2 − → ··· Tác động hàm tử I− xoắn vào dãy khớp trên ta được phức 0 f∗ 1 f∗ 2f∗ 0 → ΓI (E0 ) −→ ΓI (E1 ) −→ ΓI (E2 ) −→ ··· ∗ (với mọi i ≥ 0) là môđun đối đồng điều thứ i của phức Khi đó HIi (M) = Ker fi∗ / Im fi−1 và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan I. Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương. Mệnh đề 1.3.6. Cho M là một R− môđun. (a) Nếu M là nội xạ thì HIi (M) = 0 với mọi i ≥ 1. (b) ΓI (M) ∼ = HI0 (M). (c) Nếu 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấu nối 11
HIn (M 00 ) → HIn+1 (M 0 ) với mọi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài 0 → ΓI (M 0 ) → ΓI (M) → ΓI (M 00 ) → HI1 (M 0 ) → HI1 (M) → HI1 (M 00 ) → HI2 (M 0 ) → · · · Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa đối đồng điều địa phương và hàm tử địa phương hóa. Mệnh đề 1.3.7. Nếu S là tập đóng nhân của R và S−1 là hàm tử địa phương hóa thì = HSn−1 I (S−1 M). Đặc biệt, (HIn (M))p ∼ S−1 HIn (M) ∼ n (M ) với mọi iđêan nguyên tố p = HIRp p của R. Từ mệnh đề trên ta có kết quả sau. n (M ). Mệnh đề 1.3.8. Với mỗi p ∈ Spec R, ta có p ∈ Ass HIn (M) nếu và chỉ nếu pRp ∈ Ass HIRp p Tiếp theo ta xét thêm một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương. Mệnh đề 1.3.9. Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, M là R− môđun hữu hạn sinh. Khi đó Hmi (M) là môđun Artin với mọi i. Định lý 1.3.10. (Định lí triệt tiêu Grothendieck) Cho R là vành giao hoán Noether, I là iđêan của R và M là R− môđun. Khi đó HIi (M) = 0 với mọi i > dim(M). Mệnh đề 1.3.11. Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R, M là R− môđun hữu hạn sinh khác 0 có chiều bằng n. Khi đó HIn (M) là môđun Artin. 1.4 Dãy chính quy và độ sâu của môđun Trước hết ta nhắc lại khái niệm dãy chính quy cho một môđun M trên vành R tùy ý. 12
Định nghĩa 1.4.1. (M− dãy chính quy) Cho R là vành giao hoán Noether và M là R− môđun hữu hạn sinh khác 0. Phần tử a ∈ R được gọi là phần tử M−chính quy nếu a không là ước của 0 trong M (tức là nếu có x ∈ M mà ax = 0 thì suy ra x = 0). Một dãy các phần tử a1 , . . . , an ∈ R được gọi là M− dãy chính quy nếu (i) M/(a1 , . . . , an )M 6= 0 và (ii) ai là phần tử M/(a1 , . . . , ai−1 )M− chính quy, với mọi i = 1, . . . , n. Dãy các phần tử (a1 , . . . , an ) ∈ R được gọi là M- dãy chính quy nghèo nếu nó chỉ thỏa mãn điều kiện (ii) trong định nghĩa trên. Độ dài của M− dãy là số phần tử của dãy đó. Một M− dãy không có phần tử nào gọi là M− dãy có độ dài 0. Chú ý 1.4.2. Giả sử M là môđun hữu hạn sinh trên R. Khi đó (i) a ∈ R là phần tử M− chính quy nếu và chỉ nếu a ∈ / p với mọi p ∈ AssR M. (ii) a1 , . . . , an ∈ R là M− dãy chính quy khi và chỉ khi M/(a1 , . . . , an )M 6= 0 và ai ∈ / p, ∀p ∈ AssR M/(a1 , . . . , ai−1 )M với i = 1, . . . , n. Mệnh đề 1.4.3. (xem [8, Định lý 16.1 và Bài tập 6.3]) Cho (R, m) là vành địa phương, M là R− môđun hữu hạn sinh và (a1 , . . . , ak ) ∈ m là M− dãy chính quy thì n (i) (an11 , . . . , ak k ) là M− chính quy với mọi số nguyên dương n1 , . . . , nk . n (ii) AssR (M/(an11 , . . . , ak k )M) = AssR (M/(a1 , . . . , ak )M). Định nghĩa 1.4.4. (M− dãy chính quy tối đại) Cho R là vành giao hoán Noether và M là R− môđun hữu hạn sinh khác 0. Lấy I là iđêan của R sao cho M 6= IM và a1 , . . . , an là M− dãy chính quy trong I. Ta nói rằng a1 , . . . , an là M− dãy chính quy tối đại trong I 13
nếu không tồn tại phần tử an+1 ∈ I sao cho a1 , . . . , an , an+1 là M− dãy chính quy có độ dài n + 1. Định nghĩa 1.4.5. (Độ sâu của môđun) Cho R là vành giao hoán Noether và M là R− môđun hữu hạn sinh khác 0. Lấy I là iđêan của R sao cho M 6= IM. Khi đó mọi dãy chính quy của M trong I đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại trong I và các dãy chính quy tối đại của M trong I có cùng độ dài. Độ dài chung này được gọi là độ sâu của M trong I. Kí hiệu là depth(I, M). Nếu M = IM thì ta quy ước depth(I, M) = ∞ Nhận xét: Nếu R là vành địa phương với iđêan cực đại m. Khi đó mọi M−dãy chính quy a1 , . . . , an phải có các phần tử thuộc m, đơn giản vì M 6= (a1 , . . . , an )M. Chú ý ta có M 6= mM khi M 6= 0 theo Bổ đề Nakayama. Do đó dãy các phần tử của R là M− dãy chính quy khi và chỉ khi nó là M− dãy chính quy trong m. Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth M. Kết quả sau đây là đặc trưng qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương. Mệnh đề 1.4.6. Giả sử I là iđêan của R và M là hữu hạn sinh. Khi đó depth(I, M) = inf{i | HIi (M) 6= 0}. 1.5 Đối ngẫu Matlis và một số tính chất Cho A là R− môđun Artin khác không trên vành địa phương (R, m). Khi đó, theo chú ý 1.2.9 A có cấu trúc tự nhiên của R− b môđun Artin. Do có cấu trúc đặc biệt như vậy nên người ta có thể chuyển việc nghiên cứu môđun Artin trên một vành giao hoán bất kì 14
về việc nghiên cứu trên vành địa phương. Hơn nữa, việc nghiên cứu cấu trúc của môđun Artin trong một số trường hợp có thể chuyển về nghiên cứu trên môđun Noether nhờ lý thuyết đối ngẫu Matlis. Dưới đây là một số tính chất của đối ngẫu Matlis hay được sử dụng trong luận văn (trích từ tài liệu [3]). Cho (R, m) là vành địa phương, đầy đủ. Đặt E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m của R. Xét hàm tử D(−) = HomR (−, E(R/m) từ phạm trù các R− môđun và R− đồng cấu vào chính nó. Vì E(R/m) là môđun nội xạ nên D(−) là hàm tử khớp. Với mỗi R− môđun K, ta sẽ gọi D(K) là đối ngẫu Matlis của K. Ta kí hiệu Rb và K b là đầy đủ của R và K đối với tô pô m− adic. Một vành R gọi là đầy đủ nếu Rb = R. Khi đó ta có các kết quả sau Mệnh đề 1.5.1. Giả sử (R, m) là vành giao hoán địa phương, Noether, đầy đủ. Khi đó (i) Nếu N là R− môđun Noether thì D(N) là R− môđun Artin. (ii) Nếu A là R− môđun Artin thì D(A) là R− môđun Noether. (iii) Nếu M là hữu hạn sinh thì D(M) là R− môđun Artin. (iv) Trong trường hợp khi R không nhất thiết đầy đủ, ta luôn có D(L) là Rb - môđun hữu hạn sinh với mọi R− môđun Artin L. Mệnh đề 1.5.2. Cho (R, m) là vành Noether địa phương đầy đủ, N là R− môđun Noether, A là R− môđun Artin và j, a ∈ N, j > 0. Khi đó (i) D(I a N/I a+ j N) ∼ = (0 :D(N) I a+ j )/(0 :D(N) I a ). (ii) D((0 :A I a+ j )/(0 :A I a )) ∼ = I a D(A)/I a+ j D(A). (iii) AttR (0 :A I a ) = AssR D(A)/I a D(A). 15