Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của luận văn trình bày các kết quả chính trong bài báo về iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh. Ở luận văn này, ta tìm hiểu ba phần: Matching và Factor-critical, sự bảo toàn của tập iđêan nguyên tố liên kết, bao đóng nguyên và các tập ổn định. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG HÀ MY TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HOÀNG HÀ MY TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA LŨY THỪA IĐÊAN CẠNH Ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 84. 601. 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - 2019
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Thị Dung, các kết quả nghiên cứu là hoàn toàn trung thực và không trùng lặp với các luận văn trước đây. Các thông tin, tài liệu trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019 Học viên HOÀNG HÀ MY Xác nhận Xác nhận của khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học PGS. TS. NGUYỄN THỊ DUNG i
Lời cảm ơn Luận văn "Tập iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa iđêan cạnh" được thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tụy của PGS. TS. Nguyễn Thị Dung. Tôi xin bảy tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán cùng các thầy cô khoa Toán đã tham gia giảng dạy và tạo điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên cứu. Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019 Học viên HOÀNG HÀ MY ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Đồ thị và iđêan cạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Bao đóng nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh 16 2.1 Matching và Factor-critical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Sự bảo toàn của tập iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . 20 2.3 Bao đóng nguyên và các tập ổn định . . . . . . . . . . . . . . . 37 Tài liệu tham khảo 43 iii
Mở đầu Cho R = K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên trường K và G = (V, E) là đồ thị với tập đỉnh V = V (G) = {x1 , . . . , xn } và tập cạnh E = E(G). Ta luôn giả thiết rằng đồ thị G không có đỉnh cô lập, nghĩa là tất cả các đỉnh của G đều nằm trong ít nhất một cạnh. Iđêan cạnh của G, kí hiệu bởi I = IG , là iđêan của R sinh bởi tập các đơn thức không chứa bình phương xi x j sao cho {xi , x j } ∈ E. Một vấn đề được nhiều người quan tâm là tìm tập iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh, nghĩa là tập Ass(R/I k ) = {p ⊂ R | p là iđêan nguyên tố và p = (I k : c) với c ∈ R}, k ≥ 1. Ta đã biết rằng vì I là iđêan đơn thức trong vành đa thức R nên các iđêan nguyên tố liên kết cũng là iđêan đơn thức sinh bởi tập con của tập các biến. Các iđêan nguyên tố liên kết với I tương ứng với tập các phủ đỉnh tối thiểu của đồ thị G và Min(R/I) = Ass(R/I), trong đó Min(R/I) là tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của I. Đối với iđêan cạnh, ta luôn có Ass(R/I) ⊂ Ass(R/I k ) với mọi số nguyên k. Trong trường hợp dấu bằng xảy ra với mọi k thì I được gọi là xoắn tự do chuẩn tắc. Trong [1], M. Brodmann đã chứng minh rằng tập Ass(R/I k ) là ổn định với k đủ lớn, nghĩa là tồn tại số nguyên dương N1 sao cho Ass(R/I k ) = Ass(R/I N1 ), với mọi k ≥ N1 , và số N1 nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên được gọi là chỉ số ổn định của I. Mặc dù người ta đã chứng minh rằng Ass(R/I k ) là ổn định với k đủ lớn, nhưng dáng điệu của Ass(R/I k ) với k nhỏ thì lại thất thường. Hơn nữa việc tìm tập ổn định Ass(R/I N1 ) là rất phức tạp bởi một điều là các iđêan nguyên tố p liên kết với lũy thừa nhỏ hơn của I lại không nhất thiết liên kết với lũy thừa lớn hơn của I. Đối với iđêan I, nếu p ∈ Ass(R/I k ) kéo theo p ∈ Ass(R/I k+1 ) với mọi k ≥ 1 thì ta nói rằng Ass(R/I k ) tạo thành dãy tăng. Tuy nhiên, rất ít lớp iđêan thỏa mãn điều kiện này. 1
Kí hiệu I k là bao đóng nguyên của I k . Iđêan I được gọi là chuẩn tắc nếu I k = I k với mọi k ≥ 1. Theo trên, rất ít lớp iđêan I sao cho Ass(R/I k ) thỏa mãn điều kiện dãy tăng. Tuy nhiên, điều kiện này là đúng cho bao đóng nguyên, nghĩa là nếu I là iđêan trên vành giao hoán Noether R, ta có Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I k+1 ) với k đủ lớn (xem Ratliff [11]), nghĩa là tồn tại số nguyên dương N2 sao cho Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I N2 ) với mọi k > N2 . Nhiều tính chất đẹp của tập Ass(R/I N2 ) được nghiên cứu trong [5]. Mục đích của luận văn là trình bày lại một số kết quả về tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh được viết bởi J. Martinez-Bernal, S. Morey và R. Villarreal trong bài báo [9]. Trong bài báo này bằng lý thuyết matching và tối ưu tổ hợp, họ đã chứng minh được hai kết quả chính: - Tập các iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh tạo thành một dãy tăng. - Nhìn chung trong vành giao hoán Noether, Ass(R/I N2 ) ⊂ Ass(R/I N1 ), nhưng với iđêan cạnh thì các tập ổn định này là như nhau, nghĩa là Ass(R/I k ) = Ass(R/I k ) với k ≥ max{N1 , N2 }. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo thì nội dung chính của luận văn gồm hai chương: Chương 1 là phần Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, ta nhắc lại một số kiến thức về tập iđêan nguyên tố liên kết, iđêan đơn thức, đồ thị và iđêan cạnh và bao đóng nguyên. Chương 2 cũng là phần nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả chính trong bài báo [9] về iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh. Ở chương này, ta tìm hiểu ba phần: Matching và Factor-critical, sự bảo toàn của tập iđêan nguyên tố liên kết, bao đóng nguyên và các tập ổn định. Phần kết luận của luận văn tổng kết một số công việc đã thực hiện. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập iđêan nguyên tố liên kết Cho R là một vành giao hoán, Noether, I là một iđêan của R. Các kiến thức ở mục này được viết dựa theo [8] và [12]. Định nghĩa 1.1.1. ([12, Định lý 3.52], [12, Định nghĩa 4.1], [12, Bổ đề 4.5]) (i) Giả sử I 6= R. Khi đó tập Var(I) các iđêan nguyên tố p của R chứa I luôn có ít nhất một phần tử tối thiểu theo quan hệ bao hàm được gọi là iđêan nguyên tố tối thiểu của I. Tập tất cả các iđêan nguyên tố tối thiểu của I được ký hiệu là Min(R/I). (ii) Cho q là iđêan của R. Ta nói q là nguyên sơ nếu q 6= R và nếu ab ∈ q, a ∈/q √ thì kéo theo b ∈ q với mọi a, b ∈ R. √ (iii) Giả sử q là nguyên sơ. Khi đó p := q là iđêan nguyên tố của R và ta gọi q là p-nguyên sơ. Hơn nữa p là iđêan nguyên tố nhỏ nhất của R chứa q, nghĩa là mọi iđêan nguyên tố p của R mà chứa q thì đều chứa p. Vì thế p là iđêan nguyên tố tối thiểu duy nhất của q. Một phân tích I = q1 ∩ . . . ∩ qn , trong đó qi là pi -nguyên sơ, được gọi là một phân tích nguyên sơ của I. Phân tích nguyên sơ này của I được gọi là phân tích nguyên sơ thu gọn nếu mỗi qi là không thừa (tức là không thể bỏ đi bất cứ qi nào trong phân tích trên) và các pi là đôi một phân biệt. Ví dụ 1.1.2. Trong vành các số nguyên Z, các iđêan nguyên sơ là và chỉ là các iđêan có dạng mZ với m là lũy thừa của một số nguyên tố. 3
Nếu q1 , q2 là hai iđêan p-nguyên sơ của R thì q1 ∩ q2 cũng là iđêan p-nguyên sơ của R. Vì thế từ mỗi phân tích nguyên sơ của I ta có thể đưa phân tích đó về thu gọn bằng cách bỏ đi những thành phần nguyên sơ thừa và ghép những thành phần nguyên sơ có căn bằng nhau. Hệ quả 1.1.3. ([12, Hệ quả 4.18], Định lý duy nhất thứ nhất) Giả sử I = q1 ∩ . . . ∩ qn = q01 ∩ . . . ∩ q0m là hai phân tích nguyên sơ thu gọn của I, trong đó qi là pi -nguyên sơ và q0i là p0i -nguyên sơ. Khi đó n = m và {p1 , . . . , pn } = {p01 , . . . , p0n }. Giả sử I = q1 ∩ . . . ∩ qn là phân tích nguyên sơ thu gọn của I, qi là pi -nguyên sơ. Theo hệ quả trên, tập {p1 , . . . , pn } là xác định duy nhất (không phụ thuộc vào phân tích nguyên sơ thu gọn của I) và được gọi là tập các iđêan nguyên tố liên kết của I, ký hiệu bởi Ass(R/I) (xem [12, Định nghĩa 4.19]). Nhìn chung các thành phần nguyên sơ qi không xác định duy nhất, nhưng nếu pi là tối thiểu thì qi là duy nhất. Định lý 1.1.4. ([12, Định lý 4.29], Định lý duy nhất thứ hai) Giả sử I = q1 ∩ . . . ∩ qn = q01 ∩ . . . ∩ q0n là hai phân tích nguyên sơ thu gọn của I, trong đó qi là pi -nguyên sơ và q0i là p0i -nguyên sơ. Khi đó nếu pi tối thiểu trong tập {p1 , . . . , pn } thì qi = q0i . Theo định lý trên, các thành phần nguyên sơ qi ứng với iđêan nguyên tố liên kết tối thiểu pi là xác định duy nhất, ta gọi chúng là các thành phần nguyên sơ cô lập, còn lại được gọi là thành phần nguyên sơ nhúng của I. Nghĩa là ta có thể mô tả lại phân tích nguyên sơ của I như sau: I = q1 ∩ . . . ∩ qt ∩ Q1 ∩ . . . ∩ Qs , √ √ trong đó qi ∈ Min(R/I), với i = 1, . . . ,t được xác định duy nhất và Q j với j = 1, . . . , s là các iđêan nguyên tố nhúng. Ví dụ 1.1.5. Cho vành R = K[x, y, z] và I = (x2 , y2 , xyz) là iđêan của R. Khi đó ta có phân tích nguyên sơ của I I = (x2 , y2 , x) ∩ (x2 , y2 , y) ∩ (x2 , y2 , z) = (x, y2 ) ∩ (x2 , y) ∩ (x2 , y2 , z), 4
√ trong đó đặt q1 = (x, y2 ), q2 = (x2 , y), q3 = (x2 , y2 , z). Ta có q1 = (x, y) = p1 , √ √ q2 = (x, y) = p2 , q3 = (x, y, z) = p3 và các qi là các pi -nguyên sơ, với i = 1, 2, 3. √ Đặt q01 = q1 ∩ q2 = (x2 , xy, x2 y2 , y2 ) = (x2 , xy, y2 ). Khi đó q01 = (x, y) = p1 . Suy ra I = q01 ∩ q3 là phân tích nguyên sơ thu gọn của I và tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(R/I) = {p1 , p3 } là xác định duy nhất. Mặt khác, vì p1 ⊂ p3 nên trong tập Ass(R/I) thì p1 là iđêan nguyên tố cô lập, p3 là iđêan nguyên tố nhúng. Do đó q01 xác định duy nhất còn q3 chưa chắc đã xác định duy nhất. Thật vậy, tồn tại iđêan √ q03 = (x2 , y2 , z2 , xyz) sao cho q01 ∩ q03 = I mà q03 = (x, y, z) = p3 . Rõ ràng q03 là p3 -nguyên sơ và q3 ( q03 . Kết quả sau đây cho ta thấy iđêan nguyên tố liên kết được bảo toàn qua địa phương hóa. Định lý 1.1.6. [8, Định lý 6.2] Giả sử S ⊂ R là tập nhân đóng và N là một RS - môđun. Xem Spec(RS ) là một tập con của Spec(R), ta có AssR (N) = AssRS (N). Nếu R là Noether thì với R-môđun M ta có Ass(MS ) = Ass(M) ∩ Spec(RS ). Từ các kết quả trên, ta thấy rằng một iđêan nguyên tố p của R là iđêan nguyên tố liên kết của I nếu tồn tại phần tử c ∈ R sao cho p = (I : c) = {r ∈ R | rc ∈ I} (xem [12, Định lý 4.17]). Vì thế Ass(R/I k ) = {p ⊆ R | p ∈ Spec R và tồn tại c ∈ R sao cho p = (I k : c)}. Nhìn chung, ta luôn có Min(R/I) ⊆ Ass(R/I k ). Nếu trường hợp dấu bằng xảy ra với mọi k thì I là xoắn tự do chuẩn tắc. Trong [1], Brodmann đã chỉ ra rằng nếu R là vành Noether và I là iđêan của R thì tập Ass(R/I k ) là ổn định khi k đủ lớn. Nghĩa là tồn tại số nguyên dương N1 sao cho Ass(R/I k ) = Ass(R/I N1 ) với mọi k > N1 . Số N1 nhỏ nhất thỏa mãn tính chất trên là chỉ số ổn định của I. Mặc dù biết rằng tập Ass(R/I k ) là ổn định khi k đủ lớn, nhưng dáng điệu của nó khi k đủ nhỏ vẫn ít được biết đến. Việc tìm chỉ số N1 hoặc xác định tập ổn định Ass(R/I N1 ) là phức tạp bởi một iđêan nguyên tố p liên kết với lũy thừa nhỏ hơn của I thì không nhất thiết lại liên kết với lũy thừa lớn hơn của I. Khi một iđêan I sao cho p ∈ Ass(R/I k ) kéo theo p ∈ Ass(R/I k+1 ) với mọi k > 1 thì tập Ass(R/I k ) thỏa mãn điều kiện dãy tăng. Mặc dù được coi là rất đẹp nhưng ít lớp iđêan thỏa 5
mãn các tính chất này, người ta mới chỉ nghiên cứu cho một số trường hợp đặc biệt. Chẳng hạn, nếu I là iđêan sinh bởi dãy chính quy thì Min(R/I) = Ass(R/I k ) với mọi k, hoặc nếu I là iđêan cạnh thì tập Ass(R/I k ) thỏa mãn điều kiện dãy tăng (xem [2], [9],...) 1.1.1 Iđêan đơn thức Bây giờ ta nhắc lại một số kiến thức về phân tích nguyên sơ và tập iđêan nguyên tố liên kết của iđêan đơn thức. Giả sử R = K[x1 , . . . , xn ] là một vành đa thức trên trường K. Các kí hiệu và kiến thức ở phần này được viết dựa theo [10] và [14]. Với mỗi đơn thức trong R, ta đặt xa = x1a1 . . . xnan với a ∈ Nn . Giá của đơn thức xa trong R được định nghĩa là supp(xa ) = {xi | ai > 0}. Định nghĩa 1.1.7. [14, Định nghĩa 5.1.1] Một iđêan của R được gọi là iđêan đơn thức nếu có tập A ∈ Nn sao cho I được sinh bởi tập {xa | a ∈ A }. Ví dụ 1.1.8. Đặt R = K[x, y]. (i) Iđêan I = (x2 , x3 y, y3 )R là một iđêan đơn thức. (ii) Iđêan J = (x5 − y3 , x5 ) là một iđêan đơn thức vì J = (x5 , y3 ). / và R = (1R )R = (x10 · · · xn0 )R. (iii) Iđêan 0 và R là các iđêan đơn thức vì 0 = (0)R Sau đây ta quan tâm đến khái niệm iđêan nguyên sơ và phân tích nguyên sơ của một iđêan đơn thức. Mệnh đề 1.1.9. [14, Mệnh đề 5.1.8] Cho q là iđêan đơn thức của R. Khi đó q là nguyên sơ khi và chỉ khi sau khi hoán vị các biến thì q có dạng q = (x1a1 , . . . , xrar , xb1 , . . . , xbs ), trong đó ai ≥ 1 và ∪si=1 supp(xbi ) ⊂ {x1 , . . . , xr }. Cho I là iđêan đơn thức của R và giả sử I = ( f1 , . . . , fq )R là hệ sinh đơn thức tối thiểu của I. Bằng cách chứng minh quy nạp theo số biến xuất hiện trong ∪qi=1 supp( fi ) và sau khi hoán vị các đơn thức sinh fi để 0 6 a1 6 . . . 6 aq với a aq > 1, sao cho fi chia hết bởi xnq , sau đó áp dụng đẳng thức a a I = (I, xnq ) ∩ (I : xnq ) 6
a với chú ý rằng (I : xnq ) sinh bởi các đơn thức có ít hơn n biến, người ta có thể chứng minh mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1.10. [14, Mệnh đề 5.1.10] Nếu I là iđêan đơn thức của R thì I có phân tích nguyên sơ thu gọn là I = q1 ∩ . . . ∩ qr , trong đó qi là iđêan đơn thức √ √ nguyên sơ với mọi i và qi 6= q j nếu i 6= j. Nói cách khác, mọi iđêan đơn thức I trong vành đa thức R đều có phân tích nguyên sơ I = q1 ∩ . . . ∩ qm , trong đó qi được sinh bởi lũy thừa của các biến với mọi i (xem [14, Hệ quả 5.1.13]). Ta đã biết rằng thậm chí đối với iđêan đơn thức I, phân tích nguyên sơ thu gọn của I cũng không là duy nhất. Các phần tử được xác định duy nhất trong một phân tích như vậy cũng là những thành phần nguyên sơ ứng với iđêan nguyên tố tối thiểu. Mệnh đề sau đây cho ta tập iđêan nguyên tố liên kết Ass(R/I) của iđêan đơn thức I trong vành đa thức R. Định lý 1.1.11. [14, Định lý 5.1.3] Nếu I ⊂ R là iđêan đơn thức của R thì mọi iđêan nguyên tố liên kết p của I là iđêan sinh bởi tập con của tập các biến, nghĩa là p = (xi1 , . . . , xik ), với 1 6 i1 < . . . < ik 6 n. Ví dụ 1.1.12. (i) Cho I = (x2 , xy) là iđêan của R = K[x, y]. Khi đó ta có hai phân tích nguyên sơ thu gọn tối thiểu của I là I = (x) ∩ (x2 , xy, y2 ) = (x) ∩ (x2 , y). (ii) Cho I = (yz2 , x2 z, x3 y2 ) là iđêan của R = K[x, y, z]. Khi đó theo Mệnh đề 1.1.10, ta có I = (I : x3 ) ∩ (I, x3 ) = (z, y2 ) ∩ (x3 , zx2 , z2 y). Đặt J = (x3 , zx2 , z2 y). Tiếp tục áp dụng Mệnh đề 1.1.10, ta lại có J = (J : z2 ) ∩ (J, z2 ) = (x2 , y) ∩ (z2 , x3 , x2 z). Vì thế ta có phân tích nguyên sơ của I là I = (z, y2 ) ∩ (x2 , y) ∩ (z2 , x3 , x2 z). 7
Đối với iđêan đơn thức I, người ta quan tâm nhiều hơn đến việc phân tích I thành giao của các iđêan bất khả quy. Nhắc lại rằng một iđêan đơn thức J ⊆ R là m-bất khả quy nếu và chỉ nếu J 6= R và nếu có hai iđêan đơn thức J1 , J2 sao cho J = J1 ∩ J2 , thì hoặc J1 = J hoặc J2 = J. Một cách quy nạp, nếu J là m-bất khả quy và J1 , . . . , Jn là các iđêan đơn thức (với n > 2) sao cho J = ∩ni=1 Ji thì tồn tại chỉ số i sao cho J = Ji . Chú ý rằng nếu R là vành đa thức với hệ số trên một trường K thì khái niệm m-bất khả quy cũng trùng với khái niệm bất khả quy (xem [10, Định lý 3.2.4]). Định lý 1.1.13. [10, Định lý 3.1.3] Cho J là một iđêan đơn thức khác không của R. Iđêan J là bất khả quy nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên dương e k,t1 , . . . ,tk , e1 , . . . , ek sao cho 1 ≤ t1 ≤ . . . ≤ tk ≤ n và J = (xte11 , . . . , xtkk )R. r \ Mọi iđêan đơn thức J của R đều có phân tích bất khả quy, nghĩa là J = qi i=1 với qi là bất khả quy với mọi i = 1, . . . , n và phân tích đó là thu gọn nếu không tồn tại chỉ số j nào sao cho J = ∩i6= j qi . Kết quả sau cho ta thấy rằng phân tích bất khả quy thu gọn là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử. Định lý 1.1.14. [10, Định lý 3.3.8] Cho J là iđêan đơn thức của R với các phân tích bất khả quy thu gọn k \ h \ J= Ji = I j. i=1 j=1 Khi đó k = h và tồn tại hoán vị σ ∈ Sk sao cho Jt = Iσt , với mọi t = 1, . . . , k. 1.1.2 Đồ thị và iđêan cạnh Trong mục này, cho V = {v1 , . . . , vn } là tập hữu hạn các đỉnh và R = K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên trường K. Các kí hiệu và kiến thức trong phần này được viết dựa theo [4], [10] và [15]. Một đồ thị G là một cặp G = (V, E), trong đó V = V (G) = {v1 , . . . , vn } được gọi là tập đỉnh và E = E(G) ⊆ {vi v j | vi , v j ∈ V } được gọi là tập cạnh của G. Bậc của đỉnh v trong đồ thị G, kí hiệu dG (v), là số cạnh của G chứa v. Nếu G là đồ thị đơn thì dG (v) là số đỉnh lân cận của v trong G. Đỉnh bậc không được gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh bậc một được gọi là lá. Một cây là một đồ thị liên thông 8
mà không có vòng tròn. Vì vậy mỗi cây chứa ít nhất hai lá. Rõ ràng rằng mỗi đồ thị liên thông G có chứa một cây. Đường P = (V, E) là một đồ thị khác rỗng với V = {v0 , v1 , . . . , vk } và E = {v0 v1 , v1 v2 , . . . , vk−1 vk }, trong đó các vi là phân biệt. Số cạnh của một đường gọi là độ dài của đường đó, đường có độ dài k kí hiệu là Pk . Nếu P = v0 . . . vk−1 là một đường và k ≥ 3 thì đồ thị C := P + vk−1 v0 được gọi chu trình. Độ dài của chu trình là số cạnh (hoặc số đỉnh) của nó, chu trình có độ dài k kí hiệu là Ck . Chu trình có độ dài lẻ được gọi là chu trình lẻ. Đồ thị G được gọi là rẽ nhánh nếu tập đỉnh V được chia thành hai tập A và B sao cho mỗi cạnh của đồ thị có một đỉnh thuộc A và đỉnh còn lại thuộc B (nghĩa là các đỉnh trong cùng một tập không được nối với nhau). Khái niệm ngược lại với đồ thị rẽ nhánh là đồ thị không rẽ nhánh. Định nghĩa 1.1.15. Cho G = (V, E) là đồ thị với tập đỉnh V = {v1 , . . . , vn } và R = K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên trường K. Khi đó ta định nghĩa IG = ({xi x j | {vi , v j } ∈ E})R là iđêan sinh bởi các cạnh của G và gọi là iđêan cạnh của G. Từ định nghĩa ta thấy iđêan cạnh IG là iđêan không chứa bình phương, nghĩa là iđêan sinh bởi các đơn thức có số mũ của các biến thuộc tập {0, 1}. Nhiều khi để tiện cho việc ký hiệu, người ta thường viết các đỉnh của V trùng với các biến của vành đa thức. Ví dụ 1.1.16. Cho vành R = K[x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ] và các đồ thị G1 , G2 như Hình 1.1. Khi đó ta có các iđêan cạnh tương ứng là IG1 = (x1 x2 , x1 x4 , x2 x3 , x2 x4 , x3 x4 )R IG2 = (x1 x2 , x1 x5 , x2 x3 , x3 x4 , x3 x5 , x4 x5 )R. Cho G = (V, E) là đồ thị với tập đỉnh V = {x1 , . . . , xn } và R = K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức với hệ số trên trường K. Với mỗi V 0 ⊆ V , ta định nghĩa PV 0 = ({xi | xi ∈ V 0 })R là iđêan của R sinh bởi V 0 . Tập phủ đỉnh của G là tập V 0 ⊆ V sao cho mỗi cạnh {xi , x j } ∈ E, ta có xi ∈ V 0 hoặc x j ∈ V 0 . Tập phủ đỉnh V 0 được gọi là tối thiểu nếu nó không thực sự chứa bất kì tập phủ đỉnh nào khác của G. 9
Hình 1.1: Đồ thị của iđêan cạnh Chú ý rằng đối với iđêan cạnh, phân tích bất khả quy chính là phân tích nguyên sơ. Vì thế người ta quan tâm đến phân tích bất khả quy của iđêan cạnh dưới dạng phủ đỉnh của đồ thị như sau. Định lý 1.1.17. [10, Định lý 4.3.8] Cho G = (V, E) là đồ thị và IG là iđêan cạnh của G. Khi đó IG có phân tích bất khả quy \ \ IG = PV 0 = PV 0 , V0 V 0 tối thiểu trong đó giao thứ nhất là giao của các iđêan sinh bởi tất cả các tập phủ đỉnh của G, giao thứ hai là giao của các iđêan sinh bởi tất cả các tập phủ đỉnh tối thiểu của G và là giao thu gọn. Ví dụ 1.1.18. Cho R = K[x1 , x2 , x3 , x4 ]. Tìm phân tích bất khả quy của iđêan cạnh I = (x1 x2 , x1 x3 , x1 x4 , x2 x3 , x2 x4 ). Trước hết, ta vẽ đồ thị G với tập đỉnh V = {x1 , x2 , x3 , x4 } sao cho I = IG là iđêan cạnh của đồ thị, như Hình 1.2. Sau đó, ta tìm được các tập phủ đỉnh tối thiểu là V1 = {x1 , x2 },V2 = {x1 , x3 , x4 }. Vì thế, theo Định lý 1.1.17, ta có phân tích bất khả quy thu gọn của iđêan I là I = IG = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x3 , x4 ). 10
Hình 1.2: Phân tích bất khả quy của iđêan cạnh Ký hiệu m := (x1 , . . . , xn ) là iđêan cực đại duy nhất của R, J ⊂ R là iđêan đơn thức, [[R]] là tập tất cả các đơn thức của R, tập đỉnh V = {x1 , . . . , xn }, trùng với tập các biến và µ(J) là số phần tử sinh tối thiểu của J. Với mỗi véctơ khác không a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn , đặt xa = x1a1 . . . xnan , ma := (xiai | ai > 0, i = 1, . . . , n)R và supp(a) = supp(xa ) := {xi | ai > 0}. Với mọi tập con S ⊂ V , đặt 1S là véctơ đặc trưng, nghĩa là tọa độ thứ i là 1 nếu xi ∈ S và bằng 0 nếu ngược lại. Ví dụ ta có 1V = (1, . . . , 1). Định nghĩa 1.1.19. Một đơn thức M ∈ [[R]] được gọi là phần tử J-góc nếu M ∈ /J nhưng x1 M, . . . , xn M ∈ J. Tập hợp các phần tử góc của J trong [[R]] được ký hiệu bởi CR (J). Kết quả sau cho ta một công cụ hữu hiệu để tìm phân tích bất khả quy của một iđêan đơn thức (Xem [10], Định lý 6.3.5, Định lý 7.5.3 và Định lý 7.5.5). Ký hiệu irr(J) là tập các iđêan bất khả quy của iđêan đơn thức J. Nhắc lại rằng mọi iđêan bất khả quy trong vành R đều có dạng mb với b ∈ Nn là véc tơ khác 0. Định lý 1.1.20. Cho J ⊂ R là iđêan đơn thức của R. (i) Giả sử rad(J) = m. Cho CR (J) = {xbj | bj ∈ Nn , j = 1, . . . ,t(R/J)} là tập t(R/J) mbj +1V là phân tích bất khả quy duy nhất \ các phần tử góc của J. Khi đó J = j=1 của J. (ii) Giả sử rằng rad(J) 6= m và J = (xbj | bj ∈ Nn , j = 1, . . . , µ(J))R. Cho m là một số nguyên bằng hoặc lớn hơn các tọa độ của véc tơ bj . Ta đặt iđêan J 0 := J + m(m+1)1V và CR (J 0 ) = {xcj | cj ∈ Nd , j = 1, . . . ,t(R/J 0 )} là tập các phần 11
t(R/J 0 ) ^cj +1V tử góc của J 0 . Khi đó J = \ m là phân tích bất khả quy duy nhất của j=1 cj +1V ^ J, trong đó m thu được từ mcj +1V bằng cách bỏ đi các đơn thức có dạng x1m+1 , . . . , xdm+1 từ các phần tử sinh của nó. Giả sử mb := (xibi | bi > 0, i = 1, . . . , d)R, trong đó b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Nn \ {0} là iđêan trong phân tích bất khả quy của IGk . Ta liên kết mb với U = {xi | bi ≥ 1}, Z = {xi | bi = 0} và a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn định nghĩa bởi ai = bi − 1 nếu bi ≥ 2 và ai = 0 nếu 0 ≤ bi ≤ 1. Với các ký hiệu và các tập U, Z như trên sao cho U ∪ Z = V . Ta có kết quả sau (xem [7]). Hệ quả 1.1.21. Cho k, m ∈ N sao cho m ≥ k và a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn sao cho supp(a) ⊂ U. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) Iđêan ma+1U ∈ irr(IGk ). (ii) ai < k với mọi i = 1, . . . , n và đơn thức xa xm1Z là phần tử góc của IGk + m(m+1)1V . (iii) ai < k với mọi i = 1, . . . , n và ta có xa xm1Z ∈ / IGk và với mọi u ∈ U ta có uxa xm1Z ∈ IGk . Rõ ràng rằng nếu I = IG là iđêan cạnh thì ta có: các iđêan nguyên tố liên kết của I là các iđêan đơn thức nguyên tố sinh bởi tập con của tập các biến; các iđêan nguyên tố liên kết trong tập Ass(R/I) tương ứng với các tập phủ đỉnh tối thiểu của đồ thị G; Min(R/I) = Ass(R/I) và Ass(R/I) ⊆ Ass(R/I k ), với mọi số nguyên dương k, nghĩa là IG là xoắn tự do chuẩn tắc. Hơn nữa chỉ số dừng N1 = 1 nếu và chỉ nếu G là đồ thị rẽ nhánh (xem [13, Định lý 5.9]). Một kết quả khác trong [2, Hệ quả 4.3] cũng chỉ ra rằng nếu G là đồ thị liên thông không rẽ nhánh với n đỉnh, s lá và chu trình lẻ nhỏ nhất của G có độ dài là 2k + 1 thì chỉ số dừng N1 6 n − k − s. Một kết quả nữa về iđêan cạnh sẽ được chứng minh trong chương 2 là nếu I là iđêan cạnh thì tập Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I k+1 ), nghĩa là tập iđêan nguyên tố liên kết của lũy thừa của iđêan cạnh thỏa mãn điều kiện dãy tăng. 12
1.2 Bao đóng nguyên Giả sử R là một vành giao hoán Noether và I là iđêan của R. Mục này sẽ giới thiệu khái niệm bao đóng nguyên của iđêan và tập iđêan nguyên tố liên kết của bao đóng nguyên. Các kết quả trong phần này được viết theo [3] và [14]. Định nghĩa 1.2.1. [3, Định nghĩa 2.1.1] Cho I là iđêan của R. Một phần tử r ∈ R được gọi là nguyên trên I nếu tồn tại một số nguyên n và các phần tử ai ∈ I i , i = 1, . . . , n thỏa mãn rn + a1 rn−1 + a2 rn−2 + . . . + an−1 r + an = 0. Đẳng thức trên được gọi là đẳng thức độc lập nguyên của r trên I (bậc n). Tập tất cả các phần tử nguyên trên I, kí hiệu I, được gọi là bao đóng nguyên của I. Nếu I = I thì I được gọi là đóng nguyên. Nếu I ⊆ J là iđêan thì ta nói rằng J là nguyên trên I nếu J ⊆ I. Nếu I là iđêan sao cho với mọi số nguyên dương n, I n là bao đóng nguyên thì I được gọi là chuẩn tắc. Ví dụ 1.2.2. Với phần tử tùy ý x, y ∈ R, phần tử xy thuộc bao đóng nguyên (x2 , y2 ) của iđêan (x2 , y2 ). Cụ thể là nếu ta chọn n = 2, a1 = 0 ∈ (x2 , y2 ), a2 = −x2 y2 ∈ (x2 , y2 )2 thì ta có (xy)2 + a1 (xy) + a2 = 0 là phương trình độc lập nguyên của xy trên (x2 , y2 ). Tương tự, với số nguyên không âm bất kì i ≤ d, ta có xi yd−i ∈ (xd , yd ). Nhận xét 1.2.3. (i) I ⊆ I. (ii) Nếu I ⊆ J là iđêan, khi đó I ⊆ J, mỗi đẳng thức độc lập nguyên của r trên I cũng là đẳng thức độc lập nguyên của r trên J. √ (iii) I ⊆ I. (iv) Giao của các bao đóng nguyên là một bao đóng nguyên. Nếu R là vành đa thức và I là iđêan đơn thức thì việc tính bao đóng nguyên trở nên đơn giản hơn nhờ những mô tả sau. 13
Mệnh đề 1.2.4. [14, Mệnh đề 7.3.3] Cho R = K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức trên trường K và I là iđêan đơn thức của R. Khi đó I là một iđêan đơn thức và I = (xα | ∃m ≥ 1 để xmα ∈ I m ). Mô tả hình học của bao đóng nguyên [14, tr. 234] Giả sử a ∈ Qn+ , với Q+ là tập các số hữu tỷ không âm. Ta định nghĩa góc trên bên phải (hoặc trần trên) của dαe là   αi nếu αi ∈ N, dαei =  bα c + 1 nếu α ∈ i i / N, với bαi c là phần nguyên của αi . Giả sử ai = (ai1 , . . . , ain ) ∈ Nn và conv(a1 , . . . , ar ) là bao lồi của nó, ( ) r r conv(a1 , . . . , ar ) = ∑ λiai | ∑ λi = 1, λi ∈ Q+ i=1 i=1 là tập tất cả các tổ hợp lồi của a1 , . . . , ar . Mệnh đề 1.2.5. [14, Mệnh đề 7.3.4] Cho R = K[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức trên trường K. Nếu I ⊂ R là iđêan sinh bởi các đơn thức xa1 , . . . , xar thì bao đóng nguyên của I là n o dαe I = x | α ∈ conv(a1 , . . . , ar ) . Khi đó I được sinh bởi các đơn thức có bậc cao nhất là d + n − 1, với d là bậc cao nhất của xa1 , . . . , xar . Hệ quả 1.2.6. [14, Hệ quả 7.3.5] Cho I là iđêan của R = K[x1 , . . . , xn ] sinh bởi các đơn thức xa1 , . . . , xar . Khi đó bao đóng nguyên I của I được sinh bởi các đơn thức có bậc cao nhất là d + n − 1, trong đó d là số lớn nhất trong các bậc của các đơn thức xa1 , . . . , xar . Ví dụ 1.2.7. Giả sử I = (x3 , y4 ) ⊂ K[x, y]. Bao đóng nguyên I của I được sinh bởi các đơn thức x3 , y4 , xy3 , xy4 , x2 y2 , x2 y3 , x3 y, x3 y2 và được biểu diễn trên Hình 1.3, mỗi đơn thức là một chấm đen trên hình. I = x3 , y4 , xy3 , xy4 , x2 y2 , x2 y3 , x3 y, x3 y2 = x3 , y4 , xy3 , x2 y2 . 14
Hình 1.3: Bao đóng nguyên của I Như đã trình bày ở Mục 1.1, rất ít lớp iđêan I sao cho Ass(R/I k ) thỏa mãn điều kiện dãy tăng. Tuy nhiên, điều kiện này là đúng cho bao đóng nguyên, nghĩa là nếu I là iđêan trên vành giao hoán Noether R, ta có Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I k+1 ) với k đủ lớn (xem Ratliff [11]), nghĩa là tồn tại số nguyên dương N2 sao cho Ass(R/I k ) ⊆ Ass(R/I N2 ) với mọi k > N2 . Nhiều tính chất đẹp của tập Ass(R/I N2 ) được nghiên cứu trong [5]. Đối với iđêan cạnh IG , nếu G là đồ thị chứa duy nhất một chu trình thì tập Ass(R/I k ) tạo thành một dãy tăng. 15