Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thuật toán điểm gần kề đường dốc nhất giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian Bannach

Chia sẻ: Tri Lễ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài có cấu trúc gồm 2 chương giới thiệu bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Bannach, phương pháp điểm gần kề đường dốc nhất xấp xỉ nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phân. Mời các bạn cùng tham khảo nội dunng chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thuật toán điểm gần kề đường dốc nhất giải một lớp bất đẳng thức biến phân trong không gian Bannach

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN VN HI THUT TON IM GN K ×ÍNG DÈC NHT GII MËT LÎP BT NG THÙC BIN PHN TRONG KHÆNG GIAN BANNACH THI NGUYN, 10/2018
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN VN HI THUT TON IM GN K ×ÍNG DÈC NHT GII MËT LÎP BT NG THÙC BIN PHN TRONG KHÆNG GIAN BANNACH Chuy¶n ng nh: To¡n ùng döng M¢ sè: 8460112 LUN VN THC S TON HÅC TP TH GIO VIN H×ÎNG DN GS.TS. NGUYN B×ÍNG TS. NGUYN THÀ THÓY HOA THI NGUYN, 10/2018
iii Möc löc B£ng kþ hi»u 1 Mð ¦u 2 Ch÷ìng 1. Giîi thi»u b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach 4 1.1 nh x¤ j -ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Khæng gian Banach lçi ·u . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 nh x¤ èi ng¨u chu©n tc . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 nh x¤ j -ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 To¡n tû gi£i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach10 1.2.1 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n j -ìn i»u v ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t . . . . . . 10 1.2.2 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t v ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· t¼m khæng iºm cõa ¡nh x¤ j -ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· ÷íng dèc nh§t x§p x¿ nghi»m b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 17 2.1 Ph÷ìng ph¡p l°p ©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Giîi h¤n Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Ph÷ìng ph¡p l°p ©n v sü hëi tö . . . . . . . . 18 2.2 Ph÷ìng ph¡p l°p hi»n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Mæ t£ ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . 24
iv 2.2.2 Sü hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.3 V½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 K¸t luªn 37 T i li»u tham kh£o 38
1 B£ng kþ hi»u H khæng gian Hilbert thüc E khæng gian Banach E∗ khæng gian èi ng¨u cõa E SE m°t c¦u ìn và cõa E R tªp c¡c sè thüc R+ tªp c¡c sè thüc khæng ¥m ∅ tªp réng ∀x vîi måi x D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A A−1 to¡n tû ng÷ñc cõa to¡n tû A I to¡n tû çng nh§t d(x, C) kho£ng c¡ch tø ph¦n tû x ¸n tªp hñp C lim supn→∞ xn giîi h¤n tr¶n cõa d¢y sè {xn } lim inf n→∞ xn giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn } xn → x0 d¢y {xn } hëi tö m¤nh v· x0 xn * x0 d¢y {xn } hëi tö y¸u v· x0 J ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc j ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc ìn trà Fix(T ) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T ∂f d÷îi vi ph¥n cõa h m lçi f
2 Mð ¦u Cho E l khæng gian Banach thüc. Kþ hi»u E ∗ l khæng gian li¶n hñp cõa E , hx∗ , xi l gi¡ trà cõa phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc x∗ ∈ X ∗ ∗ t¤i x ∈ E v chu©n cõa E v ·u kþ hi»u l k · k. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach E ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: Cho C l mët tªp con lçi âng, kh¡c réng cõa khæng gian Banach thüc E , F : E → E l mët ¡nh x¤ x¡c ành tr¶n E . T¼m ph¦n tû x∗ ∈ C sao cho hF (x∗ ), j(x − x∗ )i ≥ 0 ∀x ∈ C, (1) ð ¥y j l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc ìn trà cõa E , ¡nh x¤ F l ¡nh x¤ gi¡, C l tªp r ng buëc. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ÷ñc giîi thi»u l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1966 khi P. Hartman v G. Stampacchia cæng bè nhúng nghi¶n cùu ¦u ti¶n cõa m¼nh v· b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n li¶n quan tîi vi»c gi£i c¡c b i to¡n bi¸n ph¥n, b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u v c¡c b i to¡n bi¶n trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian væ h¤n chi·u v c¡c ùng döng cõa nâ ÷ñc giîi thi»u trong cuèn s¡ch "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" cõa D. Kinderlehrer v G. Stam- pacchia xu§t b£n n«m 1980 v trong cuèn s¡ch "Variational and Qua- sivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems" cõa C. Baiocchi v A. Capelo xu§t b£n n«m 1984. Luªn v«n tr¼nh b y ba ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1) trong khæng gian Banach lçi ·u, câ chu©n kh£ vi G¥teaux
3 ·u vîi tªp r ng buëc C l tªp khæng iºm chung cõa c¡c ¡nh x¤ m- j -ìn i»u. Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 giîi thi»u mët sè kh¡i ni»m v t½nh ch§t cõa khæng gian Banach lçi ·u, câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u, ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc, ¡nh x¤ j -ìn i»u, to¡n tû gi£i trong khæng gian Banach; çng thíi tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p ÷íng dèc nh§t gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n, ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t, ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· t¼m khæng iºm cõa ¡nh x¤ m-j -ìn i»u trong khæng gian Banach. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y ba ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· k¸t hñp vîi ph÷ìng ph¡p ÷íng dèc nh§t (mët ph÷ìng ph¡p l°p ©n v hai ph÷ìng ph¡p l°p hi»n) gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vîi ¡nh x¤ gi¡ l ¡nh x¤ j -ìn i»u m¤nh v gi£ co ch°t, tªp r ng buëc l tªp khæng iºm chung cõa c¡c ¡nh x¤ m-j -ìn i»u trong khæng gian Banach lçi ·u câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc ¤i håc Th¡i Nguy¶n. ¦u ti¶n, tæi xin k½nh gûi líi c£m ìn ch¥n th nh v s¥u sc ¸n th¦y GS.TS. Nguy¹n B÷íng, ng÷íi ¢ tªn t¼nh gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n. Tæi xin gûi c¡m ìn ¸n c¡c quþ Th¦y Cæ trong khoa To¡n - Tin cõa tr÷íng ¤i håc Khoa håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t ki¸n thùc v kinh nghi»m quþ b¡u cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh tæi håc tªp t¤i tr÷íng. Tæi xin gûi c¡m ìn ¸n c¡c quþ Th¦y Cæ trong Pháng o t¤o cõa Tr÷íng ¤i håc Khoa håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi ho n th nh ch÷ìng tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n n y. Cuèi còng, tæi xin gûi líi c¡m ìn ¸n gia ¼nh v b¤n b± ¢ ëng vi¶n, t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho tæi ho n th nh luªn v«n n y. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2018 T¡c gi£ luªn v«n Nguy¹n V«n H£i
4 Ch÷ìng 1 Giîi thi»u b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach Ch÷ìng n y tr¼nh b y trong hai möc. Möc 1.1 giîi thi»u kh¡i ni»m v tr¼nh b y mët sè t½nh ch§t cõa khæng gian Banach lçi ·u câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u, ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc, ¡nh x¤ j -ìn i»u v to¡n tû gi£i trong khæng gian Banach. Möc thù hai cõa ch÷ìng giîi thi»u v· b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n j -ìn i»u trong khæng gian Banach, tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n v ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· trong tr÷íng hñp °c bi»t t¼m khæng iºm cõa ¡nh x¤ j -ìn i»u. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc vi¸t tr¶n cì sð c¡c t i li»u [1][3], [11][14] v c¡c t i li»u ÷ñc tham chi¸u trong â. 1.1 nh x¤ j -ìn i»u Cho E l khæng gian Banach vîi khæng gian èi ng¨u kþ hi»u l E ∗ . Ta dòng kþ hi»u k.k cho chu©n trong E v E ∗ v vi¸t t½ch èi ng¨u hx, x∗ i thay cho gi¡ trà cõa phi¸m h m tuy¸n t½nh x∗ ∈ E ∗ t¤i iºm x ∈ E , tùc l hx, x∗ i = x∗ (x). Vîi mët ¡nh x¤ A : E → 2E , ta s³ ành ngh¾a mi·n x¡c ành, mi·n gi¡ trà v ç thà cõa nâ t÷ìng ùng
5 nh÷ sau: D(A) = {x ∈ E : A(x) 6= ∅}, R(A) = ∪{Az : z ∈ D(A)}, v G(A) = {(x, y) ∈ E × E : x ∈ D(A), y ∈ A(x)}. nh x¤ ng÷ñc A−1 cõa ¡nh x¤ A ÷ñc ành ngh¾a bði: x ∈ A−1 (y) n¸u v ch¿ n¸u y ∈ A(x). 1.1.1 Khæng gian Banach lçi ·u ành ngh¾a 1.1.1 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l ph£n x¤, n¸u vîi måi ph¦n tû x∗∗ ∈ E ∗∗ , khæng gian li¶n hñp thù hai cõa E , ·u tçn t¤i ph¦n tû x ∈ E sao cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) ∀x∗ ∈ E ∗ . N¸u E l khæng gian Banach ph£n x¤ th¼ måi d¢y bà ch°n trong E ·u câ d¢y con hëi tö y¸u. â l nëi dung cõa ành lþ sau ¥y. ành lþ 1.1.2 (xem [3]) Cho E l khæng gian Banach. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng: (i) E l khæng gian ph£n x¤. (ii) Måi d¢y bà ch°n trong E ·u câ mët d¢y con hëi tö y¸u. Kþ hi»u SE := {x ∈ E : kxk = 1} l m°t c¦u ìn và cõa khæng gian Banach E . Sau ¥y l ành ngh¾a khæng gian Banach lçi ch°t v lçi ·u. ành ngh¾a 1.1.3 (i) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l lçi ch°t n¸u vîi måi iºm x, y ∈ SE , x 6= y , suy ra k(1 − λ)x + λyk < 1 ∀λ ∈ (0, 1).
6 (ii) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l lçi ·u n¸u vîi måi ε ∈ (0, 2] v c¡c b§t ¯ng thùc kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε thäa m¢n th¼ tçn t¤i δ = δ(ε) > 0 sao cho k(x + y)/2k ≤ 1 − δ . Mèi li¶n h» giúa khæng gian Banach lçi ·u, lçi ch°t v ph£n x¤ ÷ñc cho bði ành lþ d÷îi ¥y. ành lþ 1.1.4 (xem [3]) Måi khæng gian Banach lçi ·u ·u l lçi ch°t v ph£n x¤. ành ngh¾a 1.1.5 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l trìn n¸u vîi méi iºm x n¬m tr¶n m°t c¦u ìn và SE tçn t¤i duy nh§t mët phi¸m h m gx ∈ E ∗ sao cho hx, gx i = kxk v kgx k = 1. ành ngh¾a 1.1.6 (i) Chu©n cõa khæng gian Banach E ÷ñc gåi l kh£ vi G¥teaux n¸u vîi méi y ∈ SE giîi h¤n kx + tyk − kxk lim (1.1) t→0 t tçn t¤i vîi x ∈ SE , kþ hi»u hy, 5kxki. Khi â 5kxk ÷ñc gåi l ¤o h m G¥teaux cõa chu©n. (ii) Chu©n cõa E ÷ñc gåi l kh£ vi G¥teaux ·u n¸u vîi méi y ∈ SE , giîi h¤n (1.1) ¤t ÷ñc ·u vîi måi x ∈ SE . Mèi li¶n h» giúa khæng gian Banach trìn v t½nh kh£ vi G¥teaux cõa chu©n ÷ñc cæng bè trong ành lþ sau. ành lþ 1.1.7 (xem [3]) Khæng gian Banach E l trìn khi v ch¿ khi chu©n cõa E kh£ vi G¥teaux tr¶n E \ {0}. 1.1.2 nh x¤ èi ng¨u chu©n tc ành ngh¾a 1.1.8 nh x¤ Js : E → 2E , ∗ s > 1 (nâi chung l a trà) x¡c ành bði Js x = {uq ∈ E ∗ : hx, us i = kxkkus k, kus k = kxks−1 },
7 ÷ñc gåi l ¡nh x¤ èi ng¨u têng qu¡t cõa khæng gian Banach E . Khi s = 2, ¡nh x¤ J2 ÷ñc kþ hi»u l J v ÷ñc gåi l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc cõa E . Tùc l Jx = {u ∈ E ∗ : hx, ui = kxkkuk, kuk = kxk}. Trong khæng gian Hilbert H , ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc l ¡nh x¤ ìn và I . Kþ hi»u j ch¿ ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc ìn trà. ành ngh¾a 1.1.9 nh x¤ èi ng¨u chu©n tc J : E → E ∗ cõa khæng gian Banach E ÷ñc gåi l (i) Li¶n töc y¸u theo d¢y n¸u J ìn trà v vîi måi d¢y {xn } hëi tö y¸u v· iºm x th¼ Jxn hëi tö y¸u v· Jx theo tæpæ y¸u∗ trong E ∗ . (ii) Li¶n töc m¤nh-y¸u∗ n¸u J ìn trà v vîi måi d¢y {xn } hëi tö m¤nh v· iºm x th¼ Jxn hëi tö y¸u v· Jx theo tæpæ y¸u∗ trong E ∗ . T½nh ìn trà cõa ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc câ mèi li¶n h» vîi t½nh kh£ vi G¥teaux cõa chu©n cõa khæng gian Banach. ành lþ 1.1.10 (xem [3]) Cho E l khæng gian Banach vîi ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc J : E → 2E . Khi â c¡c kh¯ng ành sau l ∗ t÷ìng ÷ìng: (i) E l khæng gian trìn. (ii) J l ìn trà. (iii) Chu©n cõa E l kh£ vi G¥teaux vîi 5kxk = kxk−1 Jx. ành lþ 1.1.11 (xem [3]) Cho E l khæng gian Banach câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u. Khi â ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc j : E → E ∗ l li¶n töc ·u m¤nh-y¸u∗ tr¶n måi tªp con bà ch°n trong E . 1.1.3 nh x¤ j -ìn i»u ành ngh¾a 1.1.12 nh x¤ A : E → E ÷ñc gåi l
8 (i) η -j -ìn i»u m¤nh n¸u tçn t¤i h¬ng sè η > 0 sao cho vîi måi x, y ∈ D(A), mi·n x¡c ành cõa ¡nh x¤ A, ta câ hAx − Ay, j(x − y)i ≥ ηkx − yk2 , j(x − y) ∈ J(x − y); (ii) α-j -ìn i»u m¤nh ng÷ñc (hay α-çng bùc j -ìn i»u) n¸u tçn t¤i h¬ng sè α > 0 sao cho vîi måi x, y ∈ D(A), ta câ hAx − Ay, j(x − y)i ≥ αkAx − Ayk2 , j(x − y) ∈ J(x − y); (iii) j -ìn i»u n¸u vîi måi x, y ∈ D(A), ta câ hAx − Ay, j(x − y)i ≥ 0, j(x − y) ∈ J(x − y); (vi) j -ìn i»u cüc ¤i n¸u A l ¡nh x¤ j -ìn i»u v ç thà G(A) cõa ¡nh x¤ A khæng thüc sü bà chùa trong b§t k¼ mët ç thà cõa mët ¡nh x¤ j -ìn i»u kh¡c; (v) m-j -ìn i»u n¸u A l ¡nh x¤ j -ìn i»u v R(A + I) = E , ð ¥y R(A) l kþ hi»u mi·n gi¡ trà cõa ¡nh x¤ A. Bê · 1.1.13 (xem [7]) Cho E l khæng gian Bannach thüc v trìn. Khi â, kx + yk2 ≤ kxk2 + 2hy, j(x + y)i ∀x, y ∈ E. ành ngh¾a 1.1.14 Cho C l tªp con kh¡c réng cõa khæng gian Banach E . (i) nh x¤ T : C → E ÷ñc gåi l ¡nh x¤ L-li¶n töc Lipschitz n¸u tçn t¤i h¬ng sè L ≥ 0 sao cho kT x − T yk ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C. (1.2) (ii) Trong (1.2), n¸u L ∈ [0, 1) th¼ T ÷ñc gåi l ¡nh x¤ co; n¸u L = 1 th¼ T ÷ñc gåi l ¡nh x¤ khæng gi¢n.
9 ành ngh¾a 1.1.15 nh x¤ T : C → E ÷ñc gåi l ¡nh x¤ γ -gi£ co ch°t n¸u tçn t¤i h¬ng sè γ ∈ (0, 1) v j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hT x − T y, j(x − y)i ≤ kx−yk2 −γk(I−T )x−(I−T )yk2 ∀x, y ∈ C, (1.3) vîi γ l h¬ng sè khæng ¥m cè ành. Trong (1.3), n¸u γ = 0 th¼ T ÷ñc gåi l ¡nh x¤ gi£ co. Nhªn x²t 1.1.16 (xem [3]) (i) N¸u F : E → E l ¡nh x¤ γ -gi£ co ch°t th¼ F l ¡nh x¤ L-li¶n töc Lipschitz vîi L = 1 + 1/γ . (ii) Måi ¡nh x¤ khæng gi¢n ·u l ¡nh x¤ gi£ co li¶n töc. Bê · 1.1.17 (xem [7]) Cho E l khæng gian Bannach thüc v trìn, ¡nh x¤ F : E → E l ¡nh x¤ η-j -ìn i»u m¤nh v γ -gi£ co ch°t, vîi η + γ > 1. Khi â λ ∈ p (0, 1), I − λF l ¡nh x¤ co vîi h¬ng sè co 1 − λτ, trong â τ = 1 − (1 − η)/γ. 1.1.4 To¡n tû gi£i Thuªt ngú "resolvent" l mët thuªt ngú ÷ñc °t ra bði Fredholm v o cuèi th¸ k 19 khi æng bt ¦u mët nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ph¡t sinh tø vi»c nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o h m ri¶ng. Tham sè λ l mët ph¦n cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n, v tham sè n y ban ¦u ¢ t¡ch ra khäi c¡c bi¸n, kÿ thuªt ÷ñc t¤o ra bði Fourier v o ¦u th¸ k 19 º gi£i h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤o h m ri¶ng. Mët ¡nh x¤ A ÷ñc gåi l thäa m¢n i·u ki»n mi·n n¸u D(A) ⊂ R(I + λA) ∀λ > 0, (1.4) ð ¥y D(A) l bao âng cõa mi·n x¡c ành cõa ¡nh x¤ A.
10 ành ngh¾a 1.1.18 Cho E l mët khæng gian Banach, A : D(A) ⊂ E → 2E l mët ¡nh x¤ j -ìn i»u thäa m¢n i·u ki»n mi·n (1.4). Khi â vîi méi λ > 0 ¡nh x¤ JλA : R(I + λA) → D(A) x¡c ành bði JλA = (I + λA)−1 (1.5) ÷ñc gåi l to¡n tû gi£i cõa A. To¡n tû gi£i cõa A câ t½nh ch§t sau ¥y. Bê · 1.1.19 (xem [15]) N¸u c2 ≥ c1 > 0 th¼ vîi måi x ∈ E. kx − JcA1 xk ≤ 2kx − JcA2 xk Bê · 1.1.20 (xem [15]) Vîi b§t ký hai sè d÷ìng λ v µ ta luæn câ µ µ A JλA x = JµA x+ 1− J x ∀x ∈ E. λ λ λ M»nh · 1.1.21 (xem [11]) Cho E l mët khæng gian Bannach v cho A l mët ¡nh x¤ j -ìn i»u trong E sao cho D(A) ⊂ R(I +tA) vîi måi t > 0. Khi â, kJt x − JrA JtA xk ≤ kx − JtA xk vîi måi x ∈ R(I + tA) v r, t > 0. 1 A 1 r t 1.2 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach 1.2.1 B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n j -ìn i»u v ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t Cho E l khæng gian Banach thüc, C l tªp con lçi âng kh¡c réng cõa E v j : E → E ∗ l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc ìn trà cõa E . Trong ph¦n n y ta luæn gi£ thi¸t ¡nh x¤ F : E → E l ¡nh x¤ ìn trà. B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n j -ìn i»u vîi ¡nh x¤ gi¡ F v tªp r ng buëc C , kþ hi»u l VI∗ (F, C), ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: T¼m x∗ ∈ C thäa m¢n: hF x∗ , j(x − x∗ )i ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.6)
11 Kþ hi»u tªp nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6) l S ∗. ành ngh¾a 1.2.1 nh x¤ QC : E → C ÷ñc gåi l ph²p co rót khæng gi¢n theo tia tø E l¶n C n¸u QC thäa m¢n: (i) QC l ph²p co rót tr¶n C , tùc l Q2C = QC ; (ii) QC l ¡nh x¤ khæng gi¢n; (iii) QC l ¡nh x¤ theo tia, tùc l vîi måi 0 < t < ∞ QC (QC (x) + t(x − QC (x))) = QC (x). Tªp C ÷ñc gåi l tªp co rót khæng gi¢n theo tia n¸u tçn t¤i ph²p co rót khæng gi¢n theo tia QC tø E l¶n C . Sü tçn t¤i cõa ph²p co rót tø khæng gian Banach E l¶n tªp lçi C ÷ñc cho trong bê · d÷îi ¥y. Bê · 1.2.2 (xem [3]) Måi tªp con C lçi âng cõa khæng gian Banach lçi ·u E ·u l tªp co rót cõa E , tùc l tçn t¤i ph²p co rót tø E l¶n C . Bê · 1.2.3 (xem [10]) Cho C l tªp con kh¡c réng, lçi, âng cõa khæng gian Banach trìn E v QC : E → C l ph²p co rót tø E l¶n C . Khi â, c¡c ph¡t biºu sau l t÷ìng ÷ìng: (i) QC l ¡nh x¤ khæng gi¢n theo tia. (ii) hx − QC (x), j(y − QC (x))i ≤ 0 ∀x ∈ E, y ∈ C . ành ngh¾a 1.2.4 Cho C l tªp lçi, âng, kh¡c réng trong khæng gian Banach thüc E v T : C → C l ¡nh x¤. B i to¡n iºm b§t ëng ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: T¼m x∗ ∈ C thäa m¢n x∗ = T x∗ . (1.7) Kþ hi»u tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T l Fix(T ). Mèi quan h» giúa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6) vîi b i to¡n iºm b§t ëng trong khæng gian Banach trìn ÷ñc cho trong m»nh · d÷îi ¥y.
12 M»nh · 1.2.5 (xem [4]) Cho C l tªp con kh¡c réng, lçi, âng cõa khæng gian Banach trìn E . Khi â b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n iºm b§t ëng: x∗ = QC (I − λF )x∗ , λ > 0, (1.8) tùc l S ∗ = Fix(QC (I − λF )). Chùng minh. Theo Bê · 1.2.3, ta câ p∗ ∈ Fix(QC (I − λF )) khi v ch¿ khi h(p∗ − λF p∗ ) − p∗ , j(x − p∗ )i ≤ 0 ⇔ h−λF p∗ , j(x − p∗ )i ≤ 0 vîi måi x ∈ C v λ > 0. Do λ > 0 n¶n ta suy ra x∗ ∈ S ∗ . M»nh · ÷ñc chùng minh. 2 Do sü t÷ìng ÷ìng cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach trìn vîi b i to¡n iºm b§t ëng m nhi·u ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach công ÷ñc x¥y düng düa v o c¡c ph÷ìng ph¡p x§p x¿ iºm b§t ëng. Khi F : E → E l ¡nh x¤ L-li¶n töc Lipschitz v η -j -ìn i»u m¤nh th¼ ¡nh x¤ QC (I − λF ), vîi λ ∈ (0, 2η/L2 ) l ¡nh x¤ co. Khi â, theo Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach, d¢y l°p Picard x¡c ành bði xn+1 = QC (I − λn F )xn (1.9) hëi tö m¤nh v· iºm x∗ l nghi»m b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6). N«m 2001, Yamada [17] ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc º gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp r ng buëc C l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti , i = 1, . . . , N trong khæng gian Hilbert thüc H , ngh¾a l i=1 Fix(Ti ) b¬ng d¢y l°p xoay váng d÷îi d¤ng: C := ∩N un+1 = T[n+1] un − λn+1 µF (T[n+1] un ), (1.10) ð ¥y [n] := n mod N l h m modulo l§y gi¡ trà trong tªp {1, 2, . . . , N }, u0 l iºm ban ¦u b§t ký trong H , µ ∈ (0, 2η/L2 ). Ph÷ìng ph¡p
13 do Yamada (2001) [17] · xu§t ÷ñc chùng minh l hëi tö m¤nh v· nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Hilbert H khi C := ∩N i=1 Fix(Ti ) vîi i·u ki»n °t l¶n d¢y tham P∞ sè {λn } nh÷ sau: (L1 ) limn→∞ λn = 0, (L2 ) n=1 λn = ∞, v P∞ (L3 ) n=1 |λn − λn+N | < ∞. Khi N = 1, ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc cõa Yamada trð v· d¤ng un+1 = T (un ) − λn+1 µF (T un ). Trong tr÷íng hñp F = 5ϕ th¼ d¢y l°p (1.10) hëi tö m¤nh v· iºm x∗ l iºm cüc tiºu cõa h m ϕ(x) tr¶n tªp r ng buëc ∩N i=1 Fix(Ti ). K¸t qu£ n y ¢ ÷ñc Deutsch v Yamada [8] cæng bè n«m 1998. ×u iºm cõa ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc l khæng c¦n thüc hi»n ph²p chi¸u l¶n tªp r ng buëc C cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n m thay v o â l d¤ng âng cõa hå c¡c ¡nh x¤ m tªp iºm b§t ëng chung cõa hå ¡nh x¤ â l tªp ch§p nhªn ÷ñc cõa b i to¡n. 1.2.2 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t v ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· t¼m khæng iºm cõa ¡nh x¤ j -ìn i»u Trong möc n y ta x²t b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.6) trong tr÷íng hñp ¡nh x¤ gi¡ F l η -j -ìn i»u m¤nh v γ -gi£ co ch°t tr¶n E , tªp r ng buëc C l tªp khæng iºm chung cõa c¡c ¡nh x¤ Ai : E → E câ t½nh ch§t m-j -ìn i»u trong khæng gian Banach E lçi ·u câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u, ngh¾a l C = ∩N i=1 ZerAi N ≥ 1, (1.11) ð ¥y ZerAi := {p ∈ D(Ai ) : 0 = Ai p}. Khi C ≡ E , (Ai ≡ I) th¼ (1.6) trð th nh ph÷ìng tr¼nh to¡n tû F x = 0. Khi â, º t¼m mët nghi»m cõa ¡nh x¤ η -j -ìn i»u m¤nh v L-li¶n töc Lipschitz F vîi mi·n x¡c ành D(F ) = E ta sû döng ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t: l§y z 1 ∈ E l iºm b§t ký v
14 d¢y l°p {z k } ÷ñc x¡c ành bði: z k+1 = (I − tk F )z k , k ≥ 1, (1.12) trong â tk thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (C1) tk ∈ (0, 1), limk→∞ tk = 0, P∞k=1 tk = ∞. Vîi c¡c t½nh ch§t tr¶n th¼ F l mët ¡nh x¤ m-j -ìn i»u trong khæng gian Bannach ph£n x¤. Mët trong nhúng ph÷ìng ph¡p cê iºn t¼m khæng iºm cõa ¡nh x¤ m-j -ìn i»u A l x1 ∈ E, xk+1 = JrAk xk , k ≥ 1, (1.13) trong â JrAk = (I + rk A)−1 l to¡n tû gi£i cõa A v {rk } l d¢y sè thüc d÷ìng. Sü hëi tö cõa d¢y l°p (1.13) ¢ ÷ñc nghi¶n cùu trong khæng gian Hilbert thüc H , rçi ph¡t triºn sang khæng gian Banach trìn ·u E . Trong [9], Kaminrura v Takahashi ¢ · xu§t hai thuªt to¡n. Thuªt to¡n ¦u ti¶n cõa hå x¡c ành bði: y k = JrAk xk + ek , xk+1 = tk u + (1 − tk )y k , (1.14) ð ¥y {ek } l d¢y sai sè. Hå ¢ chùng minh r¬ng c¡c d¢y {xk } sinh ra bði (1.14) hëi tö m¤nh tîi PZerA u, ph²p co rót khæng gi¢n theo tia chi¸u u l¶n ZerA, d÷îi i·u ki»n (C1) v (C2) rk ∈ (0, ∞) vîi måi k ≥ 1 v limk→∞ rk = ∞; v (C3) Pk≥1 kek k < ∞. Hå công ch¿ ra thuªt to¡n thù 2 y k = JrAk xk + ek , xk+1 = tk xk + (1 − tk )y k , (1.15) hëi tö y¸u ¸n v ∈ ZerA vîi c¡c i·u ki»n (C1), (C2) v (C3), ð ¥y v = limk→∞ PZerA xk . Thuªt to¡n (1.14) v (1.15) ¢ ÷ñc nghi¶n cùu khi A l mët ¡nh x¤ ìn i»u cüc ¤i trong khæng gian Hilbert thüc H . C¡c thuªt to¡n
15 n y l c¡c c£i bi¶n cõa thuªt to¡n iºm g¦n k·, mët thuªt to¡n ch¿ cho sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert væ h¤n chi·u. Mët c£i bi¶n kh¡c cho sü hëi tö m¤nh cõa thuªt to¡n iºm g¦n k· ÷ñc ÷a ra bði Xu [16] v ÷ñc ành ngh¾a bði: xk+1 = JrAk ((1 − tk )xk + tk u + ek ), k ≥ 1. (1.16) Xu [16] ¢ chùng minh r¬ng d¢y {xk } ÷ñc x¡c ành bði (1.16) hëi tö X1: m¤nh tîi PZerA u d÷îi gi£ thi¸t (i) tk thäa m¢n i·u ki»n (C1); (ii) tPk+1 ≤
rr vîi