Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính Cohen-Macaulay dãy của đại số Rees

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Việc nghiền cứu lớp môđun Cohen-Mlacaulay dãy đóng vai trò rất quan trọng trong Đại số giao hoán, Hình học đại số. Đại số tổ hợp, đặc biệt trong việc nghiên cứu vành Stanley-Reiner. Cấu trúc của môđun Cohen- Macaulay dãy được nghiên cứu khá rõ thông qua đầy đủ m-adic, địa phương hoá, đặc trưng đồng điều và hệ tham số tốt, hệ tham số d-dãy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính Cohen-Macaulay dãy của đại số Rees

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM o0o NGUYN CH TM TNH COHEN-MACAULAY DY CÕA I SÈ REES LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN, NM 2018
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM o0o NGUYN CH TM TNH COHEN-MACAULAY DY CÕA I SÈ REES Ng nh: ¤i sè v lþ thuy¸t sè M¢ sè: 8 46 01 04 LUN VN THC S TON HÅC C¡n bë h÷îng d¨n khoa håc: 1. PGS.TS. Naoki Taniguchi 2. TS. Tr¦n Nguy¶n An THI NGUYN, NM 2018 i
LÍI CAM OAN Tæi xin cam oan r¬ng c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c. Tæi xin cam oan måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, ng y 16 th¡ng 08 n«m 2018 T¡c gi£ Nguy¹n Ch½ T¥m X¡c nhªn X¡c nhªn cõa tr÷ðng khoa chuy¶n mæn cõa tªp thº h÷îng d¨n khoa håc ii
LÍI CM ÌN Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS.TS. Naoki Taniguchi, tr÷íng ¤i håc Waseda, Tokyo, Nhªt B£n v TS. Tr¦n Nguy¶n An, tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n. Tæi xin ÷ñc b y tä láng k½nh trång v bi¸t ìn s¥u sc ¸n hai th¦y, nhúng b i håc quþ gi¡ tø trang gi§y v c£ nhúng b i håc trong cuëc sèng th¦y d¤y gióp tæi tü tin hìn v tr÷ðng th nh hìn. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi t§t c£ c¡c th¦y cæ ð ¤i håc Th¡i Nguy¶n, c¡c th¦y ð Vi»n To¡n v c¡c th¦y cæ ¸n tø Nhªt B£n ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi tham gia c¡c buêi xemina v c¡c lîp håc ngo i ch÷ìng tr¼nh º tæi câ th¶m nhi·u ki¸n thùc quþ b¡u. Tæi xin ÷ñc gûi c£m ìn tîi t§t c£ th nh vi¶n trong gia ¼nh ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi ÷ñc håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n. iii
Möc löc Líi cam oan ii LÍI CM ÌN iii MÐ U 1 Ch÷ìng 1 V nh låc v t½nh Noether cõa v nh låc 3 1.1 V nh låc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 T½nh Noether cõa v nh låc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ch÷ìng 2 T½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa ¤i sè Rees 18 2.1 Låc chi·u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Mæun Cohen-Macaulay v Mæun Cohen-Macaulay d¢y . . . . . 22 2.3 T½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa ¤i sè Rees . . . . . . . . . . . . . 33 KT LUN 41 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 iv
MÐ U Cho R l mët v nh giao ho¡n Noether v cho F = {Fn }n l mët hå c¡c i¶an trong R. Khi â ta nâi F l mët låc cõa R n¸u (i) F0 = R; Fn+1 ⊆ Fn vîi måi n ∈ Z; (ii) Fn Fm ⊆ Fn+m vîi måi m, n ∈ Z. V½ dö v· c¡c lo¤i låc m chóng ta th÷íng nghi¶n cùu â l låc I -adic Fn = I n , n ∈ N vîi I l i¶an cõa R; låc Fn = p(n) , n ∈ N l låc lôy thøa h¼nh thùc cõa i¶an nguy¶n tè p trong R; låc Fn = I n , n ∈ N l låc c¡c bao âng nguy¶n cõa I n ; låc Fn = i≥n Ri trong â R = i≥0 Ri l mët v nh ph¥n P P bªc. Vîi t l mët bi¸n tr¶n R v vîi méi låc F cõa R ta câ ba ¤i sè ph¥n bªc li¶n k¸t l X R(F) = Fn tn ⊆ R[t], n≥0 X R0 (F) = Fn tn = R(F)[t−1 ] ⊆ R[t, t−1 ] v n∈Z G(F) = R(F)/t−1 R(F) v ta gåi t÷ìng ùng l ¤i sè Rees, ¤i sè Rees mð rëng v v nh ph¥n bªc li¶n k¸t cõa låc F . Khi F l I -adic ta th÷íng k½ hi»u c¡c ¤i sè bði R(I), R0 (I) v G(I) t÷ìng ùng. K¸t qu£ ¦u ti¶n v· x²t t½nh Cohen-Macaulay cõa v nh Rees ùng vîi låc m-adic l cõa S. Goto-Y. Shimoda [13] hå ¢ x²t trong tr÷íng hñp R l v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng vîi i¶an tèi ¤i duy nh§t m. Ð â hå ¢ kh¯ng ành n¸u dim R ≥ 1 th¼ v nh Rees R(m) vîi m i¶an tèi ¤i cõa R l v nh Cohen-Macaulay khi v ch¿ khi G(m) l Cohen-Macaulay v a(G(m)) < 0 trong â a(G(m)) l a-b§t bi¸n cõa v nh ph¥n bªc (theo [14]). S. Ikeda [18] mð rëng k¸t qu£ tr¶n cho v nh àa ph÷ìng b§t ký câ chi·u dim R ≥ 1. Sau â N. V. Trung v S. Ikeda [28] t¼m hiºu cho tr÷íng hñp têng qu¡t hìn. Cö thº cho I l i¶an cõa v nh Nother àa ph÷ìng R, M l i¶an tèi ¤i ph¥n bªc duy nh§t cõa R(I). Khi â n¸u dim R(I) = dim R + 1 th¼ R(I) l v nh Cohen-Macaulay 1
khi v ch¿ khi [Hmi (G(I))]n = (0) vîi måi i, n ∈ Z, i 6= dim R, n 6= −1 v a(G(I)) < 0. T½nh Cohen-Macaulay cõa c¡c ¤i sè ùng vîi c¡c låc kh¡c công ÷ñc nhi·u nh to¡n håc quan t¥m nghi¶n cùu. Mët c¥u häi tü nhi¶n °t ra l t¼m hiºu t½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa c¡c ¤i sè tr¶n. Chó þ r¬ng t½nh Cohen-Macaulay d¢y l¦n ¦u ti¶n ÷ñc giîi thi»u bði R. P. Stanley [25] cho c¡c mæun ph¥n bªc húu h¤n sinh. Sau â N. T. C÷íng, L. T. Nh n [8] v P. Schelzel [24] ¢ nghi¶n cùu lîp mæun n y tr¶n v nh àa ph÷ìng. T½nh Cohen-Macaulay d¢y ÷ñc ành ngh¾a cho mæun húu h¤n sinh tr¶n v nh Noether b§t ký bði S. Goto, Y. Horiuchi v H. Sakurai [11]. Lîp mæun Cohen-Macaulay d¢y l mð rëng tü nhi¶n cõa lîp mæun Cohen-Macaulay. Vi»c nghi¶n cùu lîp mæun Cohen-Macaulay d¢y âng vai trá r§t quan trång trong ¤i sè giao ho¡n, H¼nh håc ¤i sè, ¤i sè tê hñp, °c bi»t trong vi»c nghi¶n cùu v nh Stanley-Reiner. C§u tróc cõa mæun Cohen- Macaulay d¢y ÷ñc nghi¶n cùu kh¡ rã thæng qua ¦y õ m-adic, àa ph÷ìng ho¡, °c tr÷ng çng i·u [25, 8, 24, 16] v h» tham sè tèt, h» tham sè dd-d¢y [6]. T½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa ¤i sè Rees ùng vîi låc I -adic tr¶n v nh àa ph÷ìng (R, m) ÷ñc nghi¶n cùu trong [7], trong â I l i¶an m-nguy¶n sì. Trong [26] c¡c t¡c gi£ mð rëng nghi¶n cùu t½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa c¡c ¤i sè Rees ùng vîi låc têng qu¡t hìn. Möc ½ch cõa luªn v«n l t¼m hiºu v nh låc, c¡c ¤i sè Rees v t½nh Cohen-Macaulay d¢y cõa c¡c ¤i sè Rees. Vi»c t¼m hiºu chi ti¸t mët sè t½nh ch§t cõa mæun Cohen-Macaulay d¢y công l mët möc ½ch kh¡c cõa luªn v«n. Luªn v«n tham kh£o ch½nh theo c¡c t i li»u [26], [27], [11], [5], [8], [19]. Luªn v«n ÷ñc bè cöc l m hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y v· v nh låc v t½nh Noether cõa v nh låc. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· låc chi·u, mæun Cohen- Macaulay v mæun Cohen-Macaulay d¢y, t½nh Cohen- Macaulay d¢y cõa ¤i sè Rees. 2
Ch÷ìng 1 V nh låc v t½nh Noether cõa v nh låc Ð ch÷ìng n y ta luæn gi£ thi¸t R l v nh giao ho¡n câ ìn và v M l R- mæun. Mët sè ki¸n thùc c¦n thi¸t ch÷a ÷ñc n¶u trong luªn v«n câ thº tham kh£o trong [16],[20], [21]. Ch÷ìng n y tham kh£o theo [2], [17], [19]. 1.1 V nh låc Trong möc n y ta s³ giîi thi»u v· v nh Rees, v nh Rees mð rëng v v nh ph¥n bªc li¶n k¸t cõa mët v nh låc. ành ngh¾a 1.1.1. Cho R l mët v nh v {Fn}n∈Z l mët hå c¡c i¶an cõa R. D¢y {Fn }n∈Z ÷ñc gåi l mët låc c¡c i¶an cõa R n¸u nâ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) F0 = R, Fn+1 ⊆ Fn vîi måi n ∈ Z; (ii) Fn Fm ⊆ Fn+m vîi måi m, n ∈ Z. Mët v nh låc l c°p (R, F) trong â R l v nh v F l mët låc tr¶n R. V½ dö 1.1.2. Cho I l mët i¶an cõa v nh R v °t Fn = I n. Khi â ta câ låc R = I0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇ . . . ⊇ In ⊇ . . . Låc n y ÷ñc gåi l låc lôy thøa hay låc I -adic. V½ dö 1.1.3.Cho R = P Ri l v nh Z-ph¥n bªc. °t Fn = P Ri th¼ {Fn }n∈Z i∈Z i≥n l låc c¡c i¶an cõa R. 3
ành ngh¾a 1.1.4. Cho R l mët v nh v p l mët i¶an nguy¶n tè cõa R. Khi â lôy thøa h¼nh thùc bªc n cõa p, kþ hi»u l p(n) ÷ñc ành ngh¾a l pn Rp ∩ R, n ∈ N. V½ dö 1.1.5. Cho p l mët i¶an nguy¶n tè cõa v nh R. Khi â vîi måi m, n ∈ N, pn .pm ⊆ pm+n . Tø â suy ra pn Rp .pm Rp ⊆ pm+n Rp . Do â (pn Rp ∩ R).(pm Rp ∩ R) ⊆ pm+n Rp ∩ R hay p(n) .p(m) ⊆ p(n+m) v nh÷ vªy {p(n) }n l mët låc. Ti¸p theo ta x²t mët v½ dö v· låc c¡c i¶an cõa v nh a thùc k[x] vîi k l mët tr÷íng. V½ dö 1.1.6.√Cho Fn √ = (xd n e ), n ∈ N l mët hå c¡c i¶an trong k[x] √ vîi kþ hi»u d n e l sè nguy¶n nhä nh§t lîn hìn ho°c b¬ng n . Ta chùng minh {Fn } l mët låc c¡c i¶an cõa k[x]. Tr÷îc h¸t, ta chùng minh √ √ √ √ √ √ d m + n e ≤ d m e + d n e. Rã r ng ta câ d m + n e ≤ d m + n e. Khi â √ √ √ √ √ m + n ≤ m + n ≤ d m e+d n e. √ √ √ √ √ √ V¼ d m e + d n e ∈ N n¶n d d m e + d n e e = d m e + d n e. Do √ √ √ â d m + n e ≤ d m e + d n e. Ta câ i·u ki»n (ii) trong ành ngh¾a låc l thäa m¢n. Hiºn nhi¶n i·u ki»n (i) cõa ành ngh¾a luæn thäa m¢n. Do vªy {Fn } l låc c¡c i¶an cõa R. ành ngh¾a 1.1.7. Cho v nh låc (R, F), vîi låc F = {Fn}n∈Z v M l R- mæun. Mët låc c¡c mæun con cõa M l hå {Mn }n∈Z c¡c mæun con cõa M thäa m¢n M0 = M v Mn+1 ⊆ Mn . Låc {Mn }n∈Z ÷ñc gåi l t÷ìng th½ch vîi låc F hay F -låc n¸u Fm Mn ⊆ Mm+n , vîi måi m, n ∈ Z. V½ dö 1.1.8. Cho R = P Rn l v nh Z-ph¥n bªc v M = P Gn l R- n∈Z P n∈Z mæun ph¥n bªc. °t Mn = Gi , khi â {Mn }n∈Z l mët F -låc cõa M ,vîi i≥n F = {Fn } nh÷ trong V½ dö 1.1.3. V½ dö 1.1.9. Cho (R, F) l v nh låc vîi låc F = {Fn}n∈Z v M l R-mæun. °t Mn = Fn M . Khi â {Mn }n∈Z l F -låc. Cho R l mët v nh låc vîi låc F = {Fn }n∈Z . Ta ành ngh¾a ¤i sè Rees cõa R t÷ìng ùng vîi låc F bði M R = R(F) = F n tn . n≥0 4
Khi â R(F) ÷ñc xem nh÷ mët v nh con cõa v nh R[t]. Ta công ành ngh¾a ¤i sè Rees mð rëng cõa R t÷ìng ùng vîi låc F bði M R0 = R0 (F) = Fn tn . n∈Z Khi â R(F) ÷ñc xem nh÷ mët v nh con cõa v nh R[t, t−1 ]. Ngo i ra, ta ành ngh¾a v nh ph¥n bªc li¶n k¸t cõa R t÷ìng ùng vîi låc F bði ∞ M G = G(F) = Fn /Fn+1 . n=0 Nâ l mët v nh ph¥n bªc vîi ph²p nh¥n c£m sinh bði ph²p nh¥n ¡nh x¤ Fm × Fn −→ Fm+n . Cho M l R-mæun, M = {Mn }n∈Z l F -låc c¡c mæun con cõa M . °t X R(M ) = tn ⊗ Mn ⊆ R[t] ⊗R M n≥0 X R0 (M ) = tn ⊗ Mn ⊆ R[t, t−1 ] ⊗R M n∈Z G(M ) = R0 (M )/t−1 R(M ) ÷ñc gåi l mæun Rees, mæun Rees mð rëng v mæun ph¥n bªc li¶n k¸t cõa M . Chó þ, æi khi º ìn gi£n ta công vi¸t R(M ) = Mn tn v P n≥0 0 Mn t . n P R (M ) = n∈Z Ta x²t tr÷íng hñp °c bi»t, gi£ sû v nh R l v nh giao ho¡n, I ⊆ R l i¶an v M l R-mæun. Khi â ta kþ hi»u v nh Rees, v nh Rees mð rëng v v nh ph¥n bªc li¶n k¸t ùng vîi låc {I n M }n∈Z bði M R(I, M ) = (I n M )tn n∈N v M 0 R (I, M ) = (I n M )tn n∈Z M G(I, M ) = I n M/I n+1 M. n∈N Ta sû döng quy ÷îc I n = R n¸u n ≤ 0 v x²t R(I, M ) v R0 (I, M ) l nhâm con cõa M [t, t−1 ] = M ⊗R R[t, t−1 ] 5
Hìn núa, vîi måi mæun con N cõa M ta °t M R(I, N ⊆ M ) = (I n M ∩ N )tn , n∈N M R0 (I, N ⊆ M ) = (I n M ∩ N )tn n∈Z v M G(I, N ⊆ M ) = ((I n M ∩ N ) + I n+1 M/I n+1 M ). n∈N Nhªn x²t 1.1.10. Cho R l v nh giao ho¡n, F = {Fn} l mët låc c¡c i¶an cõa R, M l R-mæun v I l mët i¶an cõa R. Khi â, ta câ (i) R, R0 , G l c¡c v nh ph¥n bªc. R(M ) l R-mæun ph¥n bªc, R0 (M ) l R0 -mæun ph¥n bªc v G(M ) l c¡c G -mæun ph¥n bªc. °c bi»t, R(I, R), R0 (I, R) v G(I, R) l c¡c v nh ph¥n bªc, G(I, M ) l mët G(I, R)-mæun ph¥n bªc v t÷ìng tü èi vîi R(I, M ) v R0 (I, M ). Ta công câ G(I, N ⊂ M ) (t÷ìng ùng R(I, N ⊂ M ), R0 (I, N ⊂ M )) l mët mæun con cõa G(I, M ) (t÷ìng ùng R(I, M ), R0 (I, M )) v khi â ta câ c¡c ¯ng c§u tü nhi¶n. R(I, M )/R(I, N ⊂ M ) ∼ = R(I, M/N ) tr¶n R(I, R), R0 (I, M )/R0 (R, N ⊂ M ) ∼ = R0 (I, M/N ) tr¶n R0 (I, R) G(I, M )/G(I, N ⊂ M ) ∼ = G(I, M/N ) tr¶n G(I, R). Hìn núa, n¸u ta coi G(I, M ) l mët R-mæun, ta câ mët ¯ng c§u tü nhi¶n R(I, M )/IR(I, M ) ∼ = G(I, M ). N¸u M1 , M2 l c¡c R-mæun khi â R(I, M1 ⊕ M2 ) ∼ = R(I, M1 ) ⊕ R(I, M2 ), R0 (I, M1 ⊕ M2 ) ∼ = R0 (I, M1 ) ⊕ R0 (I, M2 ) v G(I, M1 ⊕ M2 ) ∼ = G(I, M1 ) ⊕ G(I, M2 ). (ii) R0 (F)/t−1 R0 (F) ∼ = G(F). (iii) Ph¦n tû t−1 ∈ R[t, t−1 ] thuëc v o R(F) v l R(F)- ch½nh quy. (iv) R(F)t−1 ∼ = R[t, t−1 ]. 6
Chùng minh. Ta chùng minh mët sè t½nh ch§t ð tr¶n. (ii) Cho r ∈ R0 vîi r = n rn tn trong â rn ∈ Fn n¸u n ≥ 0 v rn ∈ R P n¸u n < 0. Ta x¥y düng mët çng c§u ϕ : R0 −→ G x¡c ành nh÷ sau: vîi méi r ∈ R0 ta °t ϕ(r) = n rn , trong â rn ∈ Fn /Fn+1 vîi måi n ≥ 0 v P rn ∈ R n¸u n < 0. Ta th§y ϕ l mët to n c§u v nh (v¼ vîi måi v ∈ G , ta câ v = n≥0 an trong â an = Fn /Fn+1 , an ∈ Fn . Ta °t u = rn t vîi P P n n n ≥ 0 th¼ rn = an v n < 0 th¼ rn = 0. Theo c¡ch °t n y ta th§y u ∈ R0 v ϕ(u) = v ). Khi â n¸u ϕ(r) = 0 th¼ r = n rn+1 tn trong â rn+1 ∈ Fn+1 , i·u P n y suy ra ker(ϕ) = t−1 R0 . Vªy G ∼ = R0 /t−1 R0 . (iv) Ta câ R[t−1 ] ⊆ R(F) ⊆ R[t, t−1 ]. àa ph÷ìng hâa t¤i t−1 c¡c bao h m thùc tr¶n ta câ R[t−1 ]t−1 ⊆ R(F)t−1 ⊆ R[t, t−1 ]t−1 . V¼ R[t−1 ]t−1 = R[t, t−1 ] v R[t, t−1 ]t−1 = R[t, t−1 ] n¶n R(F)t−1 = R[t, t−1 ]. Nhªn x²t ti¸p theo cho t½nh Noether cõa v nh Rees ùng vîi låc I -adic. Tr÷îc h¸t ta nhc l¤i ti¶u chu©n Noether cõa v nh ph¥n bªc. M»nh · 1.1.11. Cho R l mët R0-¤i sè N-ph¥n bªc v x1, . . . , xn l c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t vîi bªc d÷ìng. Khi â c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng: (i) x1 , . . . , xn sinh ra i¶an m = ⊕∞ i=1 Ri ; (ii) x1 , . . . , xn sinh ra R nh÷ mët R0 -¤i sè. °c bi»t, R l Noether khi v ch¿ khi R0 l Noether v R l R0 -¤i sè húu h¤n sinh. Chùng minh. (ii) ⇒ (i). Theo gi£ thi¸t, vîi méi r ∈ R tòy þ tçn t¤i f (T1 , . . . , Tn ) ∈ R0 [T1 , . . . , Tn ] sao cho f (x1 , . . . , xn ) = r. Cho r ∈ m l mët ph¦n tû thu¦n nh§t. Ta chùng minh X r = f (x1 , . . . , xn ) = (rλ xi11 . . . xinn ) ∈ (x1 , . . . , xn ). λ=(i1 ,...,in ) V¼ r l thu¦n nh§t n¶n f công l thu¦n nh§t còng bªc. L¤i câ r ∈ m n¶n deg r ≥ 1 v nh÷ vªy méi sè h¤ng cõa f chùa xi vîi i ∈ {1, . . . , n} n o â. Do â r = ri xi ∈ (x1 , . . . , xn ). Hiºn nhi¶n (x1 , . . . , xn ) ⊆ m n¶n P 0 m = (x1 , . . . , xn ). (i) ⇒ (ii). Cho y ∈ R l thu¦n nh§t bªc d. Ta s³ chùng minh quy n¤p theo d r¬ng y = y1 x1 + . . . + yn xn vîi yi ∈ Rd−deg xi . N¸u deg(y) = 0 th¼ ta câ ngay 7
i·u ph£i chùng minh, v¼ y ∈ R0 . B¥y gií gi£ sû c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t cõa R câ bªc nhä hìn d sinh ra R thuëc R0 [x1 , . . . , xn ]. Theo gi£ thi¸t, ta bi¸t r¬ng y ∈ ⊕i≥1 Ri = m = (x1 , . . . , xn ) n¶n y = y1 x1 + . . . + yn xn vîi yi ∈ Ri . Ta câ y v xi l c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t nh÷ng yi câ thº khæng thu¦n nh§t. Biºu di¹n yi th nh têng c¡c ph¦n tû thu¦n nh§t, sau â nh¥n ra v nhâm c¡c sè h¤ng l¤i ta câ y = y10 x1 + . . . + yn0 xn trong â yi0 l ph¦n tû thu¦n nh§t bªc deg y − deg xi ·u nhä d. Tø â, theo gi£ thi¸t quy n¤p, tçn t¤i fi ∈ R0 [T1 , . . . , Tn ] vîi yi0 = fi (x1 , . . . , xn ) ta câ i·u ph£i chùng minh. Vîi m»nh · cuèi, n¸u R l Noether th¼ R0 ∼ = R/ ⊕i≥1 Ri = R/m, tø â suy ra R0 l Noether. Hìn núa, n¸u R l Noether th¼ m l húu h¤n sinh bði (x1 , . . . , xn ) v theo ành lþ n y, R l R0 -¤i sè húu h¤n sinh bði (x1 , . . . , xn ). Ng÷ñc l¤i, n¸u R0 l Noether th¼ v¼ R = R0 [x1 , . . . , xm ] = R0 [T1 , . . . , Th ]/I n¶n suy ra R l Noether. M»nh · 1.1.12. Cho R l mët Z-ph¥n bªc. Khi â c¡c m»nh · sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: (i) Méi i¶an ph¥n bªc cõa R l húu h¤n sinh; (ii) R l v nh Noether; (iii) R0 l Noether v R l mët R0 -¤i sè húu h¤n sinh; (iv) R0 l Noether v S1 = ⊕∞ i=0 Ri v S2 = ⊕i=0 R−i l R0 -¤i sè húu ∞ h¤n sinh. Chùng minh. Hiºn nhi¶n ta luæn câ (iv) ⇒ (iii) ⇒ (ii) ⇒ (i). Ta s³ chùng minh (i) ⇒ (iv). Tr÷îc h¸t ta chó þ r¬ng R0 l h¤ng tû trüc ti¸p cõa R nh÷ R0 -mæun cõa R v chùng minh IR ∩ R0 = I vîi méi i¶an I tòy þ cõa R0 . Thªt vªy, d¹ th§y f : R0 → R l ìn c§u n¶n suy ra f −1 (f (I)) ⊆ I v hiºn nhi¶n ta câ I ⊆ f −1 (f (I)). Do vªy f −1 (f (I)) = I . Tø â v¼ f −1 (IR) ⊇ f −1 (f (I)) = I n¶n I ⊆ IR ∩ R0 . Ng÷ñc l¤i, l§y a ∈ IR ∩ R0 suy ra a = f (a) ∈ IR. Khi â a ÷ñc biºu di¹n th nh têng húu h¤n nh÷ sau X a= ai αi , ∀ai ∈ R, ∀αi ∈ I. B¥y gií ta biºu di¹n l¤i a = bj αj vîi bj αj thu¦n nh§t. L¤i câ a ∈ R0 P n¶n deg(a) = 0 k²o theo deg(bj αj ) = 0, ∀j . Do vªy deg(bj ) = 0, ∀j (v¼ deg(αj ) = 0, ∀j ). Tø â ta câ a = bj αj ∈ I (trong R0 ). Vªy IR ∩ R0 ⊆ I . P 8
B¥y gií ta chùng minh R0 l Noether. X²t mët d¢y t«ng c¡c i¶an trong R0 l I0 ⊆ I1 ⊆ . . . ⊆ In ⊆ In+1 ⊆ . . . (1.1) Mð rëng c¡c i¶an n y th nh c¡c i¶an cõa R ta câ RI0 ⊆ I1 R ⊆ . . . ⊆ In R ⊆ In+1 R ⊆ . . . (1.2) l mët d¢y t«ng c¡c i¶an trong R. V¼ R l Noether n¶n d¢y (1.2) l d¢y døng, tùc l tçn t¤i n ∈ N sao cho In R = In+k R vîi måi k ∈ N. B¥y gií l¤i thu hµp d¢y n y trong R0 ta câ I0 R ∩ R0 ⊆ I1 R ∩ R0 ⊆ . . . ⊆ In R ∩ R0 = In+1 R ∩ R0 = . . . (1.3) Do â d¢y n y døng v v¼ IR ∩ R0 = I n¶n ta s³ thu ÷ñc d¢y (1.1) ban ¦u v ta th§y d¢y (1.1) l døng, do â R0 l Noether. T÷ìng tü nh÷ vªy, ta chùng minh ÷ñc c¡c Ri l R0 -mæun húu h¤n sinh vîi méi i ∈ Z. Ti¸p theo, °t m = ⊕∞ i=1 Ri . Ta chùng minh m l mët i¶an húu h¤n sinh cõa S1 . Theo gi£ thi¸t, mR câ h» sinh húu h¤n l x1 , . . . , xm v gi£ sû méi ph¦n tû sinh xi l thu¦n nh§t bªc di . °t d = max{d1 , . . . , dm }. Khi â y ∈ m vîi deg y ≥ d câ thº vi¸t th nh tê hñp tuy¸n t½nh cõa x1 , . . . , xm vîi h» tû tr¶n S1 . Do â x1 , . . . , xm còng vîi c¡c ph¦n tû sinh cõa bao tuy¸n t½nh cõa R1 , . . . , Rd−1 tr¶n R0 sinh ra m nh÷ mët i¶an cõa S1 . Theo ành lþ 1.1.11, S1 l R0 -¤i sè húu h¤n sinh. T÷ìng tü ta chùng minh ÷ñc S2 l R0 -¤i sè húu h¤n sinh. Nhªn x²t 1.1.13. (i) N¸u I sinh bði a1, . . . , an khi â G(I, M ), R(I, M ) v R0 (I, M ) l R-¤i sè húu h¤n sinh, v¼ khi â R(I, R) = R[a1 t, . . . , an t] v R0 (I, R) = R[a1 t, . . . , an t, t−1 ] (ii) Tr÷íng hñp °c bi»t, n¸u M l húu h¤n sinh tr¶n R khi â G(I, M ) (t÷ìng ùng R(I, M ), R0 (I, M )) l húu h¤n sinh tr¶n G(I, R) (t÷ìng ùng tr¶n R(I, R), R0 (I, R)). Tø â ta câ, n¸u R v M l Noether th¼ G(I, R) , R(I, R), R0 (I, R) l Noether v G(I, M ) (t÷ìng ùng R(I, M ), R0 (I, M )) l c¡c mæun Noether tr¶n G(I, R) (t÷ìng ùng tr¶n R(I, R), R0 (I, R)). 9
Sau ¥y ta ch¿ ra mët v½ dö v· ¤i sè Rees R khæng húu h¤n sinh. V½ dö 1.1.14. Quay trð l¤i V½ dö 1.1.6 vîi Fn = (xd √ ) ⊆ k[x]. Ta chùng n e minh R khæng húu h¤n sinh. Gi£ sû ng÷ñc l¤i, R húu h¤n sinh v nâ sinh bði c¡c ph¦n tû sinh l √ √ √ {xd α1 e α1 t , xd α2 e α2 t , . . . , xd αn e αn t }. Ta câ thº vi¸t √ xd αm e αm t nh÷ mët a thùc tr¶n R bði c¡c ph¦n tû sinh ð tr¶n vîi måi αm ∈ N. Nh÷ vªy, ta c¦n t¼m a1 , a2 , . . . , an sao cho a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn = αm . (1.4) √ √ √ √ a1 d α1 e +a2 d α 2 e + . . . + an d αn e = d αm e . (1.5) Gi£ sû ta câ ai vîi i = 1, . . . , n sao cho ¯ng ¯ng thùc (1.4) óng. Khi â thay th¸ (1.4) v o (1.5) ta câ: √ √ √ √ a1 d α1 e +a2 d α 2 e + . . . + an d αn e = d a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn e . √ √ √ Ta ¢ chùng minh ÷ñc trong V½ dö 1.1.6 r¬ng d a + b e ≤ d a e + d b e, n¶n: √ √ √ √ a1 d α 1 e + . . . + an d α n e ≤ d a1 α 1 e + . . . + d an α n e √ √ √ √ ≤ d a1 e d α1 e + . . . + d an e d αn e . Pn √ √ √ Do â, − d ai e) d αi e ≤ 0 k²o theo ai ≤ d ai e vîi måi i=1 (ai √ √ i = 1, . . . , n. Nh÷ng v¼ n ≥ d n e vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n n¶n ai = d ai e vîi måi i. Do â t§t c£ c¡c b§t ¯ng thùc tr¶n s³ trð th nh ¯ng thùc v nh÷ vªy: √ √ √ √ √ d a1 α1 + a2 α2 + . . . + an αn e = d a1 e d α1 e + . . . + d an e d αn e . √ V¼ n = d n e n¶n n = 0, n = 1 ho°c n = 2. i·u n y suy ra vîi måi i, ai ≤ 2. Do â maxi ai ≤ 2 n¶n αm = ai αi ≤ 2 αi . i·u n y væ lþ n¸u ta chån P P i i αm õ lîn n¶n ¤i sè Rees n y khæng húu h¤n sinh. 10
1.2 T½nh Noether cõa v nh låc Nh÷ ¢ t¼m hiºu trong möc tr÷îc låc cõa c¡c i¶an l mët chõ · quan trång trong ¤i sè giao ho¡n ÷ñc nhi·u ng÷íi quan t¥m nghi¶n cùu. °c bi»t l låc Noether ÷ñc ph¡t triºn bði c¡c nh to¡n håc nh÷ W. Bishop [1], D. Rees [22],... Trong möc n y, chóng tæi s³ ành ngh¾a v cho v½ dö v· låc Noether v chùng minh chóng l mët lîp låc vîi nhi·u t½nh ch§t thó và. Låc Noether câ i·u ki»n húu h¤n t÷ìng tü nh÷ låc lôy thøa. ành ngh¾a 1.2.1. Cho R l mët v nh v F = {Fn} l mët låc cõa c¡c i¶an trong R. Ta nâi F l låc Noether n¸u R(F) l v nh Noether. V½ dö 1.2.2. (i) Cho R l mët v nh Noether vîi låc lôy thøa F = {I n}, I l i¶an cõa R. Khi â F l Noether. (ii) N¸u R l v nh Noether v R(F) l húu h¤n sinh tr¶n R th¼ F l Noether. V½ dö 1.2.3. Theo [23] Robert ¢ ch¿ ra r¬ng cho R l mët v nh a thùc C[x, y, z] àa ph÷ìng t¤i (x, y, z). Khi â tçn t¤i mët i¶an nguy¶n tè p sao cho (n) khæng l Noether, trong â p(n) = pn Rp ∩ R l lôy thøa h¼nh L n≥0 p thùc bªc n cõa p. Trong nhúng ph¦n tr÷îc, ta ¢ x²t t½nh Noether cõa ¤i sè Rees. Ti¸p theo ta s³ têng qu¡t låc lôy thøa th nh mët lîp låc lîn hìn v tø â x²t t½nh Noether cõa ¤i sè Rees theo låc n y. ành ngh¾a 1.2.4. (i) Ta gåi mët låc F = {Fn}n∈Z cõa c¡c i¶an cõa v nh R l låc lôy thøa cèt y¸u (hay e.p.f) n¸u tçn t¤i mët sè m > 0 sao cho m Fn−i Fi vîi måi n ≥ 1. N¸u n − i < 0, ta °t Fn−i l R. P Fn = i=1 (ii) Vîi hai låc F = {Fn }n∈Z v F 0 = {Fn0 }n∈Z , ta nâi F ≤ F 0 n¸u Ft ⊆ Ft0 vîi måi t. Cho F = {Fn }n∈Z l mët låc tr¶n v nh R. Khi â ta câ thº chùng minh mët sè t½nh ch§t v· låc lôy thøa cèt y¸u. M»nh · 1.2.5. Cho F = {Fn}n∈Z l mët låc tr¶n v nh R. Khi â c¡c m»nh · sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: (i) F l låc lôy thøa cèt y¸u; 11
(ii) Fn = ( m ei j=1 Fj ), trong â m cho nh÷ trong ành ngh¾a cõa låc lôy PQ thøa cèt y¸u v têng l§y tr¶n t§t c£ c¡c ei > 0 sao cho e1 +2e2 +. . .+mem = n (iii) Tçn t¤i mët sè m ∈ N vîi t½nh ch§t F l låc nhä nh§t tr¶n R m F câ m + 1 sè h¤ng ¦u ti¶n l R, F1 , F2 , . . . , Fm . Chùng minh. Tø ành ngh¾a 1.2.4 ta th§y låc nhä nh§t trong (iii) luæn tçn t¤i, v¼ ta ch¿ c¦n l§y giao cõa t§t c£ c¡c låc (chó þ vîi F = {Fn }n∈Z v F 0 = {Fn0 }n∈Z th¼ F ∩ F 0 = {Fn ∩ Fn0 }n∈Z ) câ m + 1 sè h¤ng ¦u ti¶n l R, F1 , F2 , . . . , Fm . B¥y gií ta chùng minh m»nh ·. m (i)⇔ (ii). Cho Fn = Fn−i Fi vîi måi n ≥ 1 v Fn0 = ( m ei j=1 Fj ). Khi P PQ i=1 m â aei i ∈ Fn0 câ thº vi¸t nh÷ ai . . . ai (ei sè h¤ng) trong Fiei . V¼ Fiei = P Fiei −j Fj j=1 n¶n ìn thùc b§t k¼ trong Fn0 câ thº vi¸t nh÷ t½ch cõa ch¿ hai sè h¤ng câ têng bªc l n v do â nâ ph£i thuëc Fn hay Fn0 ⊆ Fn . Theo quy n¤p, ta công câ Fn ⊆ Fn0 n¶n Fn = Fn0 . (ii)⇔ (iii). Cho K = {Kn }n∈Z l mët låc tòy þ tr¶n R sao cho Fi = Ki vîi måi i = 0, . . . m. Nh÷ vªy, theo ành ngh¾a cõa mët låc ta câ, XYm XYm ei ( Fi ) = ( Kiei ) ⊆ Kn i=1 i=1 m °t Hn = ( Fiei ) vîi måi n ≥ m v Hn = Fn vîi måi n < m. Khi â P Q i=1 H = {Hn } l mët låc tr¶n R. V¼ H l låc nhä hìn K v K l låc tòy þ n¶n H l låc nhä nh§t. Vªy H ≤ F , nh÷ng H = F v¼ theo (i)⇔(ii). Tø ¥y ta câ i·u ph£i chùng minh. Sau ¥y ta xem x²t i·u ki»n c¦n v õ º ¤i sè Rees cõa mët låc b§t k¼ l v nh Noether düa tr¶n t½nh ch§t cõa låc lôy thøa cèt y¸u. ành lþ 1.2.6. [19, ành lþ 3.9] Cho R l mët v nh Noether vîi F = {Fn} l mët låc tòy þ tr¶n R. Khi â c¡c m»nh · sau t÷ìng ÷ìng: (i) ¤i sè Rees mð rëng R0 ùng vîi låc F l Noether; (ii) R l Noether; (iii) R l húu h¤n sinh tr¶n R; (iv) F l låc lôy thøa cèt y¸u. Chùng minh. Tø M»nh · 1.1.11 v M»nh · 1.1.12 ta câ c¡c m»nh · tø (i) 12
¸n (iii) l t÷ìng ÷ìng v¼ R l ph¥n bªc v R l Noether. Vªy ta ch¿ c¦n chùng minh m»nh · (iv) t÷ìng ÷ìng vîi c¡c m»nh · cán l¤i. (iv)⇒ (iii). Thªt v¥y, v¼ F l låc lôy thøa cèt y¸u n¶n tçn t¤i mët sè m ∈ n sao cho t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa F ·u câ thº biºu di¹n qua m sè h¤ng ¦u ti¶n cõa F . Do â R = R[F1 t, F2 t2 , . . . , Fm tm ] k²o theo R l húu h¤n sinh. (iii)⇒ (iv). °t N = (F1 t, F2 t2 , . . .) l mët i¶an cõa R. Gi£ sû f1 , . . . , fm l mët h» sinh cõa N . V¼ N l thu¦n nh§t n¶n ta câ thº gi£ sû fi công thu¦n nh§t (v¼ n¸u fi khæng thu¦n nh§t ta câ thº l§y c¡c th nh ph¦n thu¦n nh§t v th¶m chóng v o h»). Do vªy, fi = ai tei vîi ei > 0. °t k = max{ei | i = 1, . . . m} th¼ N = (F1 t, F2 t2 , . . . , Fk tk ). Cho n > k v a ∈ Fn th¼ x = atn ∈ N . Nh÷ng méi ph¦n tû cõa N câ d¤ng gi fi vîi måi gi ∈ R. P Do â x = gi fi . Gi£ sû gi = bi t n−ei v gi l thu¦n nh§t. Do vªy, P X X X x= gi f i = bi tn−ei ai tei = ai bi tn = atn . Suy ra X n X m X a= ai bi ∈ FeI Fn−ei ⊆ Fj Fn−j . i=1 j=1 Pm Do â, v¼ a ∈ Fn n¶n Fn = j=1 Fj Fn−j vîi n > m. Vªy F l låc lôy thøa cèt y¸u. ành ngh¾a 1.2.7. Cho M = {Mn} l mët låc tr¶n mët R-mæun M v F = {Fn } l mët låc tr¶n R. Khi â M ÷ñc gåi l F -låc tèt n¸u M l t÷ìng m th½ch vîi F v tçn t¤i mët sè m nguy¶n d÷ìng sao cho Mn = Fn−i Mi vîi P i=1 måi n 0. °c bi»t suy ra, F l F -låc tèt khi v ch¿ khi F l mët låc lôy thøa cèt y¸u. M»nh · 1.2.8. Cho R l mët v nh Noether vîi F = {Fn} l mët låc lôy thøa cèt y¸u v cho M l mët R-mæun húu h¤n sinh vîi M = {Mn } l mët F -låc . Khi â M l F -låc tèt khi v ch¿ khi tçn t¤i mët sè k > 0 sao cho Mk+i = Fk Mi vîi måi i ≥ k . Chùng minh. Gi£ sû M l F -låc tèt. Khi â theo ành ngh¾a, M l t÷ìng th½ch m vîi låc F v tçn t¤i mët sè m sao cho Mn = Fn−i Mi vîi måi n 0 hay P i=1 n > n0 n o â trð i. Khi â ta s³ chùng minh E = i Mi ti l húu h¤n sinh P m tr¶n S = R[F1 t, F2 t2 , . . .]. °t xn ∈ Mn vîi n > n0 . Khi â xn = P Fn−i Mi i=0 13
m m n¶n xn tn ∈ tn−i Fn−i Mi ti ⊆ SMi ti . Nh÷ vªy, n¸u x ∈ E th¼ x = xn tn n¶n P P i=1 i=0 m nâ n¬m trong S(Mi ti ). Theo ành lþ 1.2.6 F l låc lôy thøa cèt y¸u khi v P i=1 ch¿ khi S = R[F1 t, F2 t2 , . . .] l húu h¤n sinh tr¶n R. Nh÷ vªy, tçn t¤i mët sè h > 0 sao cho S = R[F1 t, F2 t2 , . . . , Fh th ] v¼ F l mët låc lôy thøa cèt y¸u. °t j = lcm(2, 3, . . . , h). Cho mi l mët sè nguy¶n d÷ìng sao cho imi = j vîi måi i = 1, . . . , h. Khi â (Fi ti )mi ⊆ Fj tj ⊆ A = R[Fj tj ]. Do â mët ph¦n tû b§t k¼ d¤ng xti vîi x ∈ Fi l nguy¶n tr¶n A. V¼ S l húu h¤n sinh tr¶n A bði c¡c ph¦n tû nguy¶n n¶n S l nguy¶n v húu h¤n sinh tr¶n A = R[Fj tj ]. Do â E l mët A-mæun húu h¤n. Cho Θ1 , . . . , Θm l mët h» c¡c ph¦n tû sinh thu¦n nh§t cõa E tr¶n A, vîi deg Θi = di v °t d = max di vîi i = 1, . . . , m. Cho n > max{d, j} v cho x l mët ph¦n tû cõa Mn . Nh÷ vªy ta câ thº vi¸t x = xi Θi trong â xi P i l ph¦n tû thu¦n nh§t cõa A. Cho n¶n xi ho°c b¬ng 0 ho°c câ bªc l n − di . Gi£ sû xi 6= 0 vîi måi i = 1, . . . , m0 ≤ m. Khi â n − di ≥ 1 v v¼ t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa A câ bªc l mët bëi cõa j , cho n¶n vîi måi i = 1, . . . , m0 tçn t¤i mët sè nguy¶n d÷ìng ki sao cho jki = n − di . Do â, 0 0 mi m X m X X x= xi Θi ⊆ Fjki Mdi ⊆ Fj ( Fjki −1 Mdi ). i=1 i=1 V v¼ Fjki −1 Mdi ⊆ Fj(ki −1) Mdi ⊆ Mj(ki −1)+di = Mn−j n¶n ta câ Mn ⊆ Fj Mn−j . V¼ M l t÷ìng th½ch vîi F n¶n Mn = Fj Mn−j vîi måi n > max{d, j}. B¥y gií °t k = jd v i ≥ k . Khi â theo ¯ng thùc ð tr¶n Mk+i = Mjd+1 = Fj Mj(d−1)+1 . V¼ j(d − 1) + i ≥ max(d, j) + 1 n¶n ta câ thº ti¸p töc cho ¸n Fj v ta câ Fjd Mi ⊆ Fk Mi . Do â Mi+k ⊆ Fk Mi . Ng÷ñc l¤i, Cho sè d÷ìng k sao cho Mk+i = Fk Mi vîi måi i ≥ k . Khi â ta chùng minh E = Mi ti ÷ñc sinh nh÷ mët mæun tr¶n S bði P M1 t, . . . , M2k−1 t, v¼ sè i lîn nh§t khæng thäa m¢n gi£ thi¸t l i = k − 1. N¸u E l húu h¤n sinh tr¶n S th¼ F l låc lôy thøa cèt y¸u n¶n ta ch¿ c¦n i chùng minh E l húu h¤n sinh tr¶n S . Gåi Gi l tªp hñp t§t c£ c¡c ph¦n tû sinh cõa Mi vîi i < 2k − 1. Khi â Gi l húu h¤n v¼ theo gi£ thi¸t méi Mi l húu h¤n sinh tr¶n R. Nh÷ vªy vîi méi ph¦n tû m ∈ Mi , m = ri xi trong â Λ húu P i∈Λ h¤n, ri ∈ R v xi ∈ Mi . Tø â, º t¼m c¡c ph¦n tû sinh cõa E ta ch¿ c¦n chån t§t c£ c¡c ph¦n tû sinh tø méi Gi v g¡n chóng vîi lôy thøa cõa t ngh¾a l c¡c ph¦n tû sinh cõa E tr¶n S l t§t c£ c¡c sè h¤ng eti vîi e ∈ Gi . 14
H» qu£ 1.2.9. Cho F = {Fn} l mët låc tr¶n mët v nh Noether R. Khi â F l mët låc lôy thøa cèt y¸u khi v ch¿ khi tçn t¤i mët sè k > 0 sao cho Fk+i = Fi Fk vîi måi i ≥ k . Chùng minh. Cho M = R v M = F nh÷ trong M»nh · 1.2.8 th¼ tçn t¤i mët sè k sao cho Fk+i = Fi Fk . Ng÷ñc l¤i, n¸u sè k l tçn t¤i th¼ ta s³ x²t c¡c tr÷íng hñp sau: N¸u n ≥ 2k th¼ ta câ thº vi¸t 2k X Fn = Fn−k Fk ⊆ Fn−i Fi ⊆ Fn i=1 nh÷ vªy F l e.p.f vîi m = 2k . 2k N¸u n < 2k th¼ Fn ⊇ Fn−i Fi (v¼ theo ành ngh¾a cõa låc ). M°t kh¡c, P i=1 2k 2k ta câ vîi i = n th¼ Fn = F0 Fn n¶n Fn ⊆ Fn−i Fi . Do â Fn = Fn−i Fi . P P i=1 i=1 Vªy F l mët låc lôy thøa cèt y¸u. M»nh · 1.2.10. Cho R l mët v nh vîi låc F = {Fn }n≥0 v cho M l mët R-mæun vîi M = {Mn }n≥0 l mët F -låc thäa m¢n Mn l mët R- ∞ mæun húu h¤n sinh vîi måi n ≥ 1. Khi â G (M, M) = + P Mn /Mn+1 n=1 ∞ l mët G -mæun con húu h¤n sinh cõa G(M, M) = Mn /Mn+1 khi v P n=1 ch¿ khi tçn t¤i mët sè nguy¶n d÷ìng k sao cho vîi måi j ≥ k th¼ Mj+1 = Fj M1 + . . . + Fj−k+1 Mk + Mj+2 . ∞ Chùng minh. Gi£ sû G + (M, M) = Mn /Mn+1 l mët G -mæun con húu P n=1 ∞ h¤n sinh cõa G(M, M) = Mn /Mn+1 . Ta x¥y düng mæun con nh÷ sau: P n=1 ∞ °t Aij = Fj M1 + Fj−1 M2 + . . . + Fj−i+1 Mi + Mj+2 v Ai = Aij /Mj+2 . P j=0 Khi â Ai l mët G -mæun con cõa G + (M, M). Hìn núa Ai ⊆ Ai+1 v Sß i=1 Ai = G (M, M). Do â theo gi£ thi¸t suy ra r¬ng tçn t¤i mët sè nguy¶n + d÷ìng k sao cho Ak = Ak+t vîi måi t ≥ 0 n¶n suy ra Akj /A(k+t)j = 0 vîi måi j ≥ 0 v t ≥ 0. °c bi»t, n¸u j ≥ k v t ≥ 1 th¼ Fj−k−t+1 Mk+t ⊆ Fj M1 + . . . + Fj−k+1 Mk + Mj+2 vîi måi j ≥ k v chi·u ng÷ñc l¤i l hiºn nhi¶n. Do â Fj−k−t+1 Mk+t = Fj E1 + . . . + Fj−k+1 Mk + Mj+2 . B¥y gií vîi 15