Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính mở của ánh xạ đa trị và các định lý hàm ẩn

Chia sẻ: Quỳnh Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

0
147
lượt xem
59
download

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính mở của ánh xạ đa trị và các định lý hàm ẩn

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính mở của ánh xạ đa trị và các định lý hàm ẩn trình bày các khái niệm cơ bản trong giải tích đa trị và một số kết quả kinh điển; các kết quả về tính mở của ánh xạ đa trị không chứa tham số và ánh xạ đa trị chứa tham số; các định lý hàm ẩn. Mời bạn đọc cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính mở của ánh xạ đa trị và các định lý hàm ẩn

  1. M cl c L im đ u 1 1 Ki n th c chu n b 5 1.1 Ánh x đa tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Nguyên lý bi n phân Ekeland . . . . . . . . . . . 9 1.3 Nón pháp tuy n, dư i vi phân, đ i đ o hàm . . . 9 1.4 Quy t c t ng m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Các k t qu v tính m 15 2.1 Đ nh lý ánh x m . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 S c n thi t c a tính đóng . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Trư ng h p ánh x có tham s . . . . . . . . . . . 22 3 Các đ nh lý hàm n 26 3.1 Tính n a liên t c dư i c a hàm n đa tr . . . . . 26 3.2 Tính mêtric chính quy c a hàm n đa tr . . . . . 28 3.3 Đ i đ o hàm c a hàm n đa tr . . . . . . . . . . 33 i
  2. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n 3.4 Tính gi Lipschitz c a hàm n đa tr . . . . . . . 36 K t lu n 38 ii
  3. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n M TS KÝ HI U x chu n c a x V(x) h các lân c n c a x B(x, r), D(x, r) hình c u m và hình c u đóng tâm x, bán kính r SX m t c u đơn v trong X d(x, A) kho ng cách t x đ n A S x→x ¯ x → x và x ∈ S ¯ f x→x ¯ x → x và f (x) → f (¯) ¯ x Nε (S, x) t p các véctơ ε-pháp tuy n c a S t i x N (S, x) nón pháp tuy n Fréchet c a S t i x N (S, x) ¯ nón pháp tuy n cơ s c a S t i x ¯ ∂f (¯) x dư i vi phân Fréchet c a f t i x ¯ ∂f (¯) x dư i vi phân cơ s c a f t i x ¯ δΩ hàm ch c a t p ∅ = Ω ⊂ X F :X Y ánh x đa tr t X vào Y DomF mi n h u hi u c a F GrF đ th c a F D∗ F (¯, y )(·) x ¯ đ i đ o hàm Fréchet c a F t i (¯, y ) x ¯ D∗ F (¯, y )(·) x ¯ đ i đ o hàm Mordukhovich c a F t i (¯, y ) x ¯ iii
  4. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n L im đ u Ti p sau s phát tri n đ t đ n m c đ hoàn thi n c a Gi i tích l i [21], Gi i tích không trơn [7], Gi i tích đa tr [3, 4], m t lý thuy t m i dư i tên g i là Gi i tích bi n phân đã ra đ i và ngày càng đư c chú ý. Các k t qu cơ b n c a Gi i tích bi n phân trong các không gian h u h n chi u c a đã đư c trình bày trong cu n chuyên kh o c a R. T. Rockafellar và R. J.-B. Wets [22]. B sách hai t p [17] c a B. S. Mordukhovich trình bày nhi u k t qu sâu s c v Gi i tích bi n phân và phép tính vi phân suy r ng trong không gian vô h n chi u, cùng v i nh ng ng d ng phong phú trong Quy ho ch toán h c, Lý thuy t các bài toán cân b ng, Đi u khi n t i ưu các h đ ng l c đư c mô t b i phương trình ti n hóa, Đi u khi n t i ưu các h đ ng l c đư c mô t b i phương trình đ o hàm riêng, T i ưu véctơ, và Cân b ng kinh t . Các k thu t cơ b n c a Gi i tích bi n phân và m i liên h c a nó v i các k thu t c a Gi i tích hàm đư c trình bày trong cu n chuyên kh o c a J. M. Borwein và Q. J. Zhu [6]. Tính m là m t tính ch t quan tr ng khi nghiên c u ánh x đa tr cũng như ánh x đơn tr . Tính ch t này r t h u ích trong nhi u lĩnh v c c a lý thuy t t i ưu, ví d như trong vi c nghiên c u s t n t i nghi m c a bài toán b nhi u, hay trong vi c ch ng minh các đi u ki n t i ưu cho các bài toán quy h ach toán h c. Lu n văn này trình bày m t s k t qu v tính m c a ánh 1
  5. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n x đa tr và các đ nh lý hàm n d a trên bài báo [10] c a hai nhà toán h c Rumani là M. Durea và R. Strugariu (đã đư c đăng trên Pacific Journal of Optimization, Vol. 6, No. 3, 2010, pp. 533-549). Nh ng k t qu c a hai tác gi này đã phát tri n và làm sâu s c thêm các đ nh lý hàm n trong bài báo c a G. M. Lee, N. N. Tam và N. D. Yen [13]. Kh năng s d ng cách ti p c n c a [10] đ phát tri n thêm m t bư c các k t qu c a N. D. Yen và J.-C. Yao [23] (s d ng đ i đ o hàm Mordukhovich t i m t đi m trên đ th c a ánh x đa tr đư c xét) v n còn là m t v n đ m . Lưu ý r ng các k t qu tương t như các k t qu c a [10] đã đư c M. Durea trình bày trong [9]. Chương 1 trình bày các khái ni m thông d ng trong Gi i tích đa tr và Gi i tích bi n phân, cùng v i m t s k t qu kinh đi n: Nguyên lý bi n phân Ekeland, Quy t c t ng m . Chương 2 ch ng minh m t s k t qu v tính m c a ánh x đa tr , xét riêng các trư ng h p ánh x không có tham s và ánh x có tham s . đây, theo cách ti p c n c a M. Durea và R. Strugariu [10], chúng ta khai thác m t đi u ki n chính quy c a h đ i đ o hàm Fréchet: T n t i các h ng s c > 0, r > 0, s > 0 sao cho v i m i (x, y) ∈ GrF ∩ [B(¯, r) × B(¯, s)] và v i x y ˆ m i y ∗ ∈ Y ∗ , x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ), c y ∗ ≤ x∗ , (1) ˆ trong đó D∗ F (x, y)(·) : Y ∗ X ∗ ký hi u đ i đ o hàm Fréchet c a ánh x đa tr F : X Y gi a hai không gian Asplund X 2
  6. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n và Y t i đi m (x, y) thu c t p đ th GrF := {(u, v) ∈ X × Y | v ∈ F (u)}, (2) và B(¯, r) ký hi u hình c u m có tâm x và bán kính r. Đi u x ¯ ki n chính quy v a nêu tương t v i các đi u ki n đã đư c các tác gi khác đưa ra trư c đây [12, 13, 18]. S c trong (1) có liên quan đ n khái ni m h ng s Banach (chính là đ m ) c a toán t tuy n tính. Chương 3 đ c p đ n hàm n đa tr . Chúng ta s th y r ng, dư i nh ng gi thi t thích h p, hàm n đa tr th a hư ng m t s tính ch t c a ánh x đa tr ch a tham s ban đ u. C th hơn, các tính ch t đư c bàn t i đây là tính n a liên t c dư i, tính chính quy mêtric, tính gi Lipschitz (còn đư c g i là tính ch t Aubin, ho c tính gi ng-Lipschitz). Các tính ch t này đư c ch ng minh d a trên các k t qu trình bày trong Chương 2. Trong s các k t qu Chương 3, còn có m t đánh giá dư i cho đ i đ o hàm c a hàm n đa tr (Đ nh lý 3.3). Lu n văn có m t k t qu m i, đó là kh ng đ nh M c 2.2 (Chương 2) nói r ng k t lu n trong đ nh lý ánh x m c a M. Durea và R. Strugariu [10, Theorem 3.1] không còn đúng, n u lo i b gi thi t v tính đóng c a ánh x đa tr đư c xét. Lu n văn này đư c hoàn thành t i Vi n Toán h c, Vi n Khoa h c và Công ngh Vi t Nam, dư i s hư ng d n c a GS. TSKH. Nguy n Đông Yên. Tác gi chân thành c m ơn th y Nguy n Đông Yên và các nghiên c u sinh c a th y đã giúp đ tác gi r t nhi u trong quá trình làm lu n văn. Tác gi cũng xin đư c bày t lòng bi t ơn các th y cô và 3
  7. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n cán b công nhân viên c a Vi n Toán h c đã quan tâm giúp đ trong su t quá trình h c t p và nghiên c u t i Vi n. Hà N i, ngày 29 tháng 8 năm 2011 Tác gi lu n văn Dương Th Kim Huy n 4
  8. Chương 1 Ki n th c chu n b Chương này trình bày m t s khái ni m cơ b n c a Gi i tích đa tr và Gi i tích bi n phân, cùng v i m t s k t qu kinh đi n, như Nguyên lý bi n phân Ekeland, Quy t c t ng m . 1.1 Ánh x đa tr Cho X và Y là các không gian tôpô. Xét ánh x đa tr F :X Y xác đ nh trên X, nh n giá tr trong t p các t p h p con c a Y . Đ th (graph) c a F đư c cho b i (2), còn mi n h u hi u (effective domain) c a F đư c cho b i DomF := {x ∈ X | F (x) = ∅}. N u A ⊂ X thì F (A) := F (x) là nh c a t p A qua ánh x x∈A F . T p F (X) đư c ký hi u b i ImF và đư c g i là nh (image) 5
  9. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n c a F . Ánh x ngư c (inverse mapping) F −1 : Y X c aF đư c xác đ nh b i công th c F −1 (y) := {x ∈ X | y ∈ F (x)} (∀y ∈ Y ). Các khái ni m sau đây là khá thông d ng trong Gi i tích đa tr . Ta ký hi u h th ng các lân c n c a x ∈ X b i V(x). Đ nh nghĩa 1.1. Ta nói F là n a liên t c dư i (lower semicon- tinuous, hay lsc) t i x ∈ X n u v i m i t p m mà F (x)∩D = ∅, t n t i U ∈ V(x) sao cho F (x ) ∩ D = ∅, v i m i x ∈ U . Trong các ph n sau, ta s s d ng m t gi thi t y u hơn v tính liên t c (xem [17, Definition 1.63]). Đ nh nghĩa 1.2. Ta nói F là n a liên t c bên trong (inner semicontinuous, hay isc) t i (x, y) ∈ X × Y n u v i m i t p m D ⊂ Y mà y ∈ D, t n t i U ∈ V(x) sao cho F (x ) ∩ D = ∅ v i m i x ∈ U. D th y r ng khái ni m nói trong Đ nh nghĩa 1.2 y u hơn khái ni m nói trong Đ nh nghĩa 1.1. Trên th c t , F là n a liên t c dư i t i x khi và ch khi nó là n a liên t c bên trong t i m i đi m (x, y) v i m i y ∈ F (x). Ví d 1.1. Cho ánh x đa tr F : R R xác đ nh b i F (0) = [−1, 1] và F (x) = {0} v i m i x = 0. F n a liên t c bên trong t i (0, 0), nhưng không n a liên t c dư i t i 0. C th , F không n a liên t c bên trong t i m i đi m (0, y), v i y ∈ F (0)\{0}, t c là y ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]. Th t v y, xét t p m D ⊂ R v i y ∈ D, nhưng 0 ∈ D. Khi đó, v i m i U ∈ V(0), ta có F (x ) ∩ D = ∅ / v i m i x ∈ U \ {0}. 6
  10. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n Bây gi , ta gi s X và Y là các không gian đ nh chu n. Ký hi u B(x, r) và D(x, r) l n lư t là các hình c u m và hình c u đóng tâm x bánh kính r. Đôi khi, ta ký hi u BX , DX , SX là các hình c u m , hình c u đóng, và m t c u đơn v trong X. Kho ng cách t x ∈ X đ n A ⊂ X đư c đ nh nghĩa như sau: d(x, A) := inf{ x − a | a ∈ A}. Thông thư ng, ta quy ư c d(x, ∅) = +∞. Ta xét chu n t ng khi làm vi c v i không gian tích X × Y , t c là ta đ t (x, y) = x + y (∀(x, y) ∈ X × Y ). Đ nh nghĩa 1.3. Ta nói ánh x đa tr F là m (open) t i (¯, y ) ∈ GrF n u nh c a m t lân c n b t kỳ c a x qua F là x ¯ ¯ m t lân c n c a y . ¯ Ta đ ý r ng F là n a liên t c bên trong t i (¯, y ) ∈ GrF x ¯ khi và ch khi F −1 là m t i (¯, x). y ¯ Tính m v i t l tuy n tính như trong đ nh nghĩa sau đây là m nh hơn tính m nói trong Đ nh nghĩa 1.3. Đ nh nghĩa 1.4. Ta nói F : X Y là m v i t l tuy n tính (open with linear rate) quanh (¯, y ) ∈ GrF n u t n t i hai x ¯ lân c n U ∈ V(¯), V ∈ V(¯) và m t s ε > 0 sao cho v i m i x y (x, y) ∈ GrF ∩ (U × V ) và v i m i ρ ∈ (0, ε) ta có B(y, ρc) ⊂ F (B(x, ρ)). Tính m v i t l tuy n tính tương đương (xem J.-P. Penot [19], J. M. Borwein và D. M. Zhuang [5]) v i tính ch t mêtric chính quy c a F quanh (¯, y ) đư c phát bi u như sau. x ¯ 7
  11. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n Đ nh nghĩa 1.5. Ánh x đa tr F : X Y đư c g i là mêtric chính quy (metrically regular) quanh (¯, y ) ∈ GrF n u t n t i x ¯ a > 0 và hai lân c n U ∈ V(¯), V ∈ V(¯) sao cho v i m i u ∈ U x y và v i m i v ∈ V ta có d(u, F −1 (v)) ≤ ad(v, F (u)). Tính ch t mêtric chính quy trong Đ nh nghĩa 1.5 là m t trư ng h p đ c bi t c a tính mêtric chính quy c a hàm n đa tr mà ta s bàn t i Chương 3. Lưu ý r ng tính mêtric chính quy c a hàm n đa tr là khái ni m do S. M. Robinson [20] đưa ra năm 1976. M t tính ch t khác có liên quan m t thi t v i tính m v i t l tuy n tính và tính mêtric chính quy là tính ch t gi Lipschitz như trong đ nh nghĩa sau đây. Đ nh nghĩa 1.6. Ta nói F : X Y là gi Lipschitz (pseudo- Lipschitz) quanh (¯, y ) ∈ GrF v i môđun > 0 n u t n t i hai x ¯ lân c n U ∈ V(¯) và V ∈ V(¯) sao cho x y F (x) ∩ V ⊂ F (u) + x − u DY (∀x ∈ U, ∀u ∈ U ). Tính ch t quan tr ng này do J.-P. Aubin [2] đưa ra năm 1984. Đ ghi công J.-P. Aubin trong vi c phát tri n Gi i tích đa tr và các ng d ng, A. L. Dontchev và R. T. Rockafellar [8] đã đ ngh g i tính gi Lipschitz c a ánh x đa tr là tính ch t Aubin (the Aubin property). M t s tác gi khác đ ngh s d ng thu t ng tính gi ng-Lipschitz (the Lipschitz-like property) cho khái ni m này (xem B. S. Mordukhovich [17]). 8
  12. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n 1.2 Nguyên lý bi n phân Ekeland Nguyên lý bi n phân do I. Ekeland [11] đ xu t năm 1974 là m t công c m nh trong Gi i tích phi tuy n, Gi i tích không trơn, Gi i tích đa tr , Gi i tích bi n phân, và trong các hư ng khác nhau c a toán h c ng d ng. Đ nh lý 1.1. Cho (X, d) là không gian mêtric đ y đ và f : X → R ∪ {+∞} là m t hàm chính thư ng (t c là mi n xác đ nh domf := {x ∈ X | f (x) ∈ R} c a f là khác r ng), n a liên t c dư i và b ch n dư i trên X. Khi đó, v i m i x ∈ domf và v i m i ε > 0, t n t i xε ∈ X sao ¯ cho f (xε ) ≤ f (¯) − εd(¯, xε ) x x và v i m i x ∈ X \ {xε }, f (xε ) < f (x) + εd(x, xε ). Ch ng minh c a đ nh lý này có th xem trong [1, 3, 11, 17]. 1.3 Nón pháp tuy n, dư i vi phân, đ i đ o hàm Chúng ta trình bày l i nh ng nét chính c a phép xây d ng nón pháp tuy n, dư i vi phân, đ i đ o hàm - nh ng khái ni m chính c a Gi i tích bi n phân theo cách ti p c n b ng không gian đ i ng u c a B. S Mordukhovich và các c ng s . 9
  13. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n Trư c h t, ta nh c l i r ng X ∗ ký hi u đ i ng u tôpô c a không gian đ nh chu n X. Giá tr c a phi m hàm x∗ ∈ X ∗ t i x ∈ X đư c ký hi u b i x∗ , x . Các ký hi u w và w∗ đư c dùng đ ch tôpô y u và tôpô y u∗ c a c p đ i ng u (X, X ∗ ). Cho t p h p khác r ng S và m t hàm f : X → R, đó ¯ ¯ R = [−∞, +∞], ta dùng các ký hi u sau: S x → x n u x → x và x ∈ S, ¯ ¯ f x → x n u x → x và f (x) → f (¯). ¯ ¯ x Đ nh nghĩa 1.7. Cho X là m t không gian đ nh chu n, S là m t t p con khác r ng c a X, và x ∈ S. ¯ (a) V i m i x ∈ S và v i m i ε ≥ 0, t p các véctơ ε-pháp tuy n c a S t i x là x∗ , u − x Nε (S, x) := x∗ ∈ X ∗ | lim sup ≤ε . (1.1) u→x S u−x N u ε = 0 thì các ph n t v ph i c a (1.1) đư c g i là các véctơ pháp tuy n Fréchet. T p các véctơ pháp tuy n đó đư c ký hi u b i N (S, x), và đư c g i là nón pháp tuy n Fréchet c a S t i x. (b) Nón pháp tuy n cơ s (còn đư c nón pháp tuy n qua gi i h n, hay nón pháp tuy n Mordukhovich) c a S t i x là t p h p ¯ N (S, x) := ¯ x∗ ∈ X ∗ | ∃ε ↓ 0, S w∗ xn → x, x∗ → x∗ , x∗ ∈ Nεn (S, xn ) ∀n ∈ N , ¯ n n (1.2) đó N = {1, 2, . . . }. N u X là không gian Asplund (t c là không gian Banach mà m i hàm l i liên t c xác đ nh trên m t t p l i m đ u kh vi 10
  14. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n trên m t t p con trù m t c a t p m đó), thì công th c tính nón pháp tuy n cơ s (1.2) có d ng đơn gi n hơn. C th là, S N (S, x) = x∗ ∈ X ∗ | ∃xn → x, ¯ ¯ w∗ x∗ → x∗ , x∗ ∈ N (S, xn ) ∀n ∈ N . n n (1.3) 1.4 Quy t c t ng m Cho f : X → R h u h n t i x ∈ X. Dư i vi phân Fréchet c a f ¯ t i x là t p h p ¯ ∂f (¯) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −1) ∈ N (epif, (¯, f (¯)))}. x x x Dư i vi phân cơ s (còn đư c g i là dư i vi phân qua gi i h n, ho c dư i vi phân Mordukhovich) c a f t i x là ¯ ∂f (¯) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −1) ∈ N (epif, (¯, f (¯)))}, x x x đó epif kí hi u t p trên đ th (epigraph) c a f . Ta luôn có ∂f (¯) ⊂ ∂f (¯). x x Đ ý r ng ∂f (¯) là t p l i, đóng y u∗ . x N u X là không gian h u h n chi u, thì ∂f (¯) là t p đóng, x có th không l i (xem [17, p. 11] và [1]). N u X là không gian vô h n chi u, thì ∂f (¯) có th không đóng [17, Example 1.7] x Trong không gian Asplund, ta có ∂f (¯) = lim sup ∂f (x). x f x→¯ x 11
  15. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n N u f là l i, thì c hai dư i vi phân ∂f (¯) và ∂f (¯) đ u trùng x x v i dư i vi phân c a f t i x theo nghĩa Gi i tích l i [21]. ¯ N u kí hi u δΩ là hàm ch c a m t t p khác r ng Ω ⊂ X (t c là δΩ (x) = 0 n u x ∈ Ω, δΩ = +∞ n u x ∈ Ω), thì v i m i x ∈ Ω / ¯ ta có ∂δΩ (¯) = N (Ω, x) và ∂δΩ (¯) = N (Ω, x). x ¯ x ¯ Cho Ω ⊂ X là m t t p khác r ng và x ∈ Ω. Khi đó, ta có ¯ ∂d(., Ω)(¯) = N (Ω, x) ∩ DX ∗ , x ¯ N (Ω, x) = ¯ λ∂d(., Ω)(¯). x λ>0 N u Ω là t p đóng thì N (Ω, x) = ¯ λ∂d(., Ω)(¯). x λ>0 M i ph n t x∗ ∈ ∂f (¯) đư c g i là m t dư i gradient Fréchet x c a f t i x. Ta có mô t bi n phân trơn (xem [17, Theorem ¯ 1.88(i)]) cho các dư i gradient Fréchet như sau. M nh đ 1.1. (Mô t bi n phân trơn c a dư i gradient Fréchet) Cho f : X → R h u h n t i x và cho x∗ ∈ X ∗ . N u có m t lân ¯ c n U c a x và m t hàm s : U → R kh vi Fréchet t i x v i đ o ¯ ¯ hàm s(¯) = x∗ sao cho f − s đ t c c ti u đ a phương t i x, thì x ¯ ∗ ∗ x ∈ ∂f (¯). Đi u ngư c l i cũng đúng, t c là n u x ∈ ∂f (¯) thì x x có m t lân c n U c a x và m t hàm s : U → R kh vi Fréchet ¯ t i x sao cho ¯ s(¯) = f (¯), x x s(¯) = x∗ , x s(x) ≤ f (x) v i m i x ∈ U. Quy t c t ng m (a fuzzy sum rule) [17, Theorem 2.33] sau 12
  16. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n đây cho dư i vi phân Fréchet là m t trong nh ng công c chính đ thu đư c các k t qu v tính m c a ánh x đa tr . Đ nh lý 1.2. (Quy t c t ng m ) Cho X là không gian Apslund và ϕ1 , ϕ2 : X → R ∪ {∞} sao cho ϕ1 liên t c Lipschitz quanh x ∈ domϕ1 ∩ domϕ2 và ϕ2 n a liên t c dư i quanh x. Khi đó, ¯ ¯ v i m i γ > 0 ta có ∂(ϕ1 + ϕ2 )(¯) ⊂ x {∂ϕ1 (x1 ) + ∂ϕ2 (x2 )|xi ∈ x + γDX , ¯ |ϕi (xi ) − ϕi (¯)| ≤ γ, i = 1, 2} + γDX . x Dư i vi phân cơ s th a mãn quy t c t ng thô [17, Theorem 2.33] sau đây. Đ nh lý 1.3. (Quy t c t ng thô) N u X là không gian Apslund và f1 , f2 , . . . , fn−1 : X → R là Lipschitz quanh x và fn : X → R ¯ là n a liên t c dư i quanh x (t c là fn n a liên t c dư i t i m i ¯ đi m thu c m t lân c n nào đó c a x), thì ¯ n n ∂( fi (¯)) ⊂ x ∂fi (¯). x i=1 i=1 Đ nh nghĩa 1.8. Cho F : X Y là ánh x đa tr và (¯, y ) ∈ x ¯ GrF . Khi đó, đ i đ o hàm Fréchet (the Fréchet coderivative) t i (¯, y ) c a F là ánh x đa tr D∗ F (¯, y ) : Y ∗ x ¯ x ¯ X ∗ xác đ nh b i D∗ F (¯, y )(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −y ∗ ) ∈ N (GrF, (¯, y ))}. x ¯ x ¯ Tương t , đ i đ o hàm chu n t c (the normal coderivative), còn g i là đ i đ o hàm Mordukhovich (the Mordukhovich coderiva- tive), c a F t i (¯, y ) là ánh x đa tr DN F (¯, y ) : Y ∗ x ¯ ∗ x ¯ X∗ 13
  17. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n xác đ nh b i DN F (¯, y )(y ∗ ) := {x∗ ∈ X ∗ |(x∗ , −y ∗ ) ∈ N (GrF, (¯, y ))}. ∗ x ¯ x ¯ Khái ni m đ i đ o hàm chu n t c, đ c l p v i nón pháp tuy n dùng trong đ nh nghĩa c a nó, đã đư c đưa ra b i B. S. Mordukhovich [14] vào năm 1980. N u xét các ánh x đa tr có đ th l i, thì ta có m t d ng bi u di n đ c bi t cho đ i đ o hàm Fréchet và đ i đ o hàm chu n t c. M nh đ 1.2. (xem [17, Proposition 1.37]) Cho F : X Y là ánh x đa tr có đ th l i và (¯, y ) ∈ GrF . Khi đó, v i m i x ¯ y ∗ ∈ Y ∗ , ta có công th c tính giá tr c a đ i đ o hàm như sau: D∗ F (¯, y )(y ∗ ) x ¯ = DN F (¯, y )(y ∗ ) ∗ x ¯ = x∗ ∈ X ∗ | x∗ , x − y ∗ , y = ¯ ¯ max [ x∗ , x − y ∗ , y ] . ¯ (x,y)∈GrF Trong trư ng h p này, hai toán t đ i đ o hàm D∗ F (¯, y )(·) và x ¯ DN F (¯, y )(·) cùng đư c ký hi u b i D∗ F (¯, y )(·). ∗ x ¯ x ¯ 14
  18. Chương 2 Các k t qu v tính m Trong chương này, chúng ta s ch ng minh m t s k t qu v tính m c a ánh x đa tr . Các trư ng h p ánh x không có tham s và ánh x có tham s s đư c xét riêng r . 2.1 Đ nh lý ánh x m Ta b t đ u v i m t k t qu v tính m c a ánh x đa tr . Ph n k t lu n và k thu t chúng minh trong k t qu sau đây là cơ b n, theo nghĩa t đó ta có th rút ra các k t qu v tính m c a ánh x đa tr có tham s và các đ nh lý hàm n. K thu t này cũng như k t qu sau đây đã có trong [19, Theorem 2.3], nhưng [10] các tác gi M. Durea và R. Strugariu đã thu đư c m t đánh giá chính xác hơn cho các lân c n c a đi m (¯, y ) nói x ¯ trong tính ch t m . Đ nh lý 2.1. Cho X, Y là các không gian Asplund, F : X Y là ánh x đa tr và (¯, y ) ∈ GrF . Gi s các gi thi t sau th a x ¯ mãn: (i) GrF là đóng 15
  19. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n (ii) T n t i c > 0, r > 0, s > 0 sao cho v i m i (x, y) ∈ GrF ∩ [B(¯, r) × B(¯, s)] và m i y ∗ ∈ Y ∗ , x∗ ∈ D∗ F (x, y)(y ∗ ), x y c||y ∗ || ≤ ||x∗ ||. Khi đó, v i m i a ∈ (0, c) và m i ρ ∈ (0, ε), trong đó 1 c a r s ε := min − , , , 2 c+1 a+1 a + 1 2a ta có B(¯, ρa) ⊂ F (B(¯, ρ)). y x Ch ng minh. L y a ∈ (0, c), b ∈ a+1 , 1 ( c+1 + a 2 c a a+1 ) , và ρ ∈ (0, ε). Ta có c b+ρ< (2.1) c+1 và r b−1 aρ < b−1 a < r. (2.2) r+1 Ch n v ∈ B(¯, ρa) và f : GrF → R xác đ nh b i f (x, y) := y ||v − y||. Do GrF là đóng, ta có th áp d ng Nguyên lý bi n phân Ekeland trong Đ nh lý 1.1 cho hàm f trên t p GrF đ thu đư c (ub , vb ) ∈ GrF sao cho f (ub , vb ) ≤ f (¯, y ) − bd (ub , vb ), (¯, y )) x ¯ x ¯ (2.3) và f (ub , vb ) ≤ f (x, y) + bd (ub , vb ), (x, y)) ∀(x, y) ∈ GrF. (2.4) Suy ra ||vb − v|| ≤ ||¯ − v|| − b(||¯ − ub || + ||¯ − vb ||) y x y (2.5) 16
  20. Lu n văn th c sĩ toán h c Dương Th Kim Huy n và ||vb − v|| ≤ ||y − v|| + b(||x − ub || + ||y − vb ||) v i m i (x, y) ∈ GrF . T (2.2) và (2.5) ta có ||¯ − ub || ≤ b−1 ||¯ − v|| < b−1 aρ < r, x y ||¯ − vb || ≤ ||¯ − v|| + ||v − vb || ≤ 2||¯ − v|| < 2ρa < s. y y y T đó suy ra r ng (ub , vb ) ∈ GrF ∩[B(¯, r)×B(¯, s)]. N u vb = v x y thì b||¯ − ub || ≤ (1 − b)||¯ − v|| < (1 − b)aρ < bρ. x y Suy ra ub ∈ B(¯, ρ) và v ∈ F (B(¯, ρ)). Ta kh ng đ nh r ng x x vb = v là trư ng h p duy nh t có th x y ra. Th t v y, gi s v = vb . Xét hàm h : X × Y → R, v i h(x, y) := ||y − v|| + b(||x − ub || + ||y − vb ||). Do tính ch t (2.4), ta có (ub , vb ) là đi m c c ti u c a h trên GrF , hay (ub , vb ) là đi m c c ti u toàn c c c a hàm h + δGrF . Áp d ng quy t c Fermat m r ng, ta có (0, 0) ∈ ∂(h(·) + δGrF (·))(ub , vb ). S d ng s ki n h là Lipschitz và δGrF là n a liên t c dư i, ta áp d ng Quy t c t ng m (Đ nh lý 1.2) cho dư i vi phân Fréchet. Ch n γ ∈ (0, ρ) sao cho D(ub , γ) ⊂ B(¯, r), x v ∈ D(vb , γ) ⊂ B(¯, s). y 17

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản