Luận văn Thạc sĩ Toán học: Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:83

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn hướng tới việc tìm hiểu một số tính chất của trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm hữu hạn. Trước tiên chúng tôi nghiên cứu cách xây dựng bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn như: Các nhóm tuyến tính tổng quát GL(2; q), GL(3; q) và các nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2; q), SL(3; q).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Quản Thị Hoài Thu TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2020
BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Quản Thị Hoài Thu TRƯỜNG GIÁ TRỊ CỦA CÁC ĐẶC TRƯNG PHỨC BẤT KHẢ QUY CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 8 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Phạm Hữu Tiệp PGS. TS. Đoàn Trung Cường Hà Nội – 2020
1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những gì viết trong luận văn là do sự tìm tòi, học hỏi của bản thân dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy Phạm Hữu Tiệp và thầy Đoàn Trung Cường. Mọi kết quả nghiên cứu cũng như ý tưởng của tác giả khác, nếu có đều được trích dẫn cụ thể. Đề tài luận văn này cho đến nay chưa được bảo vệ tại bất kì một hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ nào và cũng chưa hề được công bố trên bất kì một phương tiện nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan. Hà Nội, tháng 12 năm 2020 Học viên Quản Thị Hoài Thu
2 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất của mình đến GS. TSKH. Phạm Hữu Tiệp và PGS. TS. Đoàn Trung Cường. GS. TSKH. Phạm Hữu Tiệp là người hướng dẫn tôi tìm ra hướng nghiên cứu, thầy đã dành rất nhiều thời gian quý báu của mình để hướng dẫn và giảng giải cho tôi. Đồng thời, PGS. TS. Đoàn Trung Cường là người trực tiếp trao đổi, dẫn dắt và theo sát tôi, thầy luôn quan tâm và động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của các thầy trong suốt một thời gian dài. Hơn nữa, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô thuộc phòng Đại số và lý thuyết số, Viện Toán học vì những sự góp ý và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn. Đặc biệt, tôi xin cảm ơn PGS. TS. Nguyễn Duy Tân vì những sự giúp đỡ và chỉ dẫn quý báu của thầy. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi của cơ sở đào tạo là Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam trong quá trình thực hiện luận văn. Lời cảm ơn cuối cùng tôi xin được gửi đến gia đình, người thân và bạn bè đã luôn sát cánh, động viên và khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 12 năm 2020 Học viên Quản Thị Hoài Thu
Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mở đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Các biểu diễn và đặc trưng của một nhóm . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Đặc trưng hạn chế và đặc trưng cảm sinh . . . . . . . . . . . . . 17 2 Bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn 25 2.1 Nhóm tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1. Bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q) . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2. Bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q) . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.1. Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q) . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2. Bảng đặc trưng của nhóm SL(3, q) . . . . . . . . . . . . . 48 3 Trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ 53 3.1 Trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ . . . . . . . . 53 3.2 Chứng minh của Định lý 3.1.8 đối với nhóm tuyến tính đặc biệt . 63 3.3 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80 3
4 DANH MỤC CÁC BẢNG Số hiệu bảng Tên bảng Trang 2.1 Bảng các lớp liên hợp của GL(2, q) 30 2.2 Bảng các lớp liên hợp của P(1,1) 33 2.3 Bảng đặc trưng của nhóm GL(2, q) 35 2.4 Bảng các lớp liên hợp của GL(3, q) 36 2.5 Bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q) 41 2.6 Bảng các lớp liên hợp của SL(2, q), q lẻ 45 2.7 Các đặc trưng của GL(2, q) khi hạn chế 45 xuống SL(2, q) 2.8 Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q lẻ 47 2.9 Bảng các lớp liên hợp của SL(2, q), q 48 chẵn 2.10 Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q 48 chẵn 2.11 Bảng các lớp liên hợp của SL(3, q) 49 2.12 Bảng đặc trưng của nhóm SL(3, q) 51 3.1 Bảng đặc trưng của nhóm GL(2, 4) 76
5 MỞ ĐẦU Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn là một lĩnh vực trong Đại số có liên hệ sâu sắc với nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học. Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường F, biểu diễn của một nhóm G là một đồng cấu nhóm từ G vào nhóm các tự đẳng cấu của V . Nếu ta cố định một cơ sở của V thì mỗi tự đẳng cấu trên V tương ứng với một ma trận khả nghịch lấy hệ số trên F, hay ta có tương ứng mỗi phần tử của G với một ma trận khả nghịch. Đặc trưng của một nhóm được định nghĩa là một ánh xạ tương ứng mỗi phần tử của G với vết của ma trận khả nghịch đó. Nếu ta xét F là trường số phức C thì giá trị của các đặc trưng này nằm trong vành các số nguyên đại số của C. Trường giá trị của một đặc trưng là một mở rộng trên Q bởi các giá trị của đặc trưng. Cho tới bây giờ, còn rất nhiều bài toán và câu hỏi hấp dẫn liên quan đến các đặc trưng của một nhóm. Đối với luận văn này, chúng tôi hướng tới việc tìm hiểu một số tính chất của trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm hữu hạn. Trước tiên chúng tôi nghiên cứu cách xây dựng bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn như: các nhóm tuyến tính tổng quát GL(2, q), GL(3, q) và các nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, q), SL(3, q). Tiếp theo chúng tôi tập trung tìm hiểu một số kết quả về trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ của một nhóm hữu hạn được công bố trong bài báo "I.M. Isaacs, M.W. Liebeck, G. Navarro, P.H. Tiep, Fields of values of odd-degree irreducible characters, Advances in Mathematics 354 (2019), 1-26", đưa ra một số ví dụ tính toán trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy, dựa trên bảng đặc trưng của một số nhóm được tìm hiểu. Nội dung của luận văn gồm này gồm 3 chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của biểu diễn và đặc trưng của nhóm hữu hạn để chuẩn bị cho các chương tiếp theo. Một số định
6 lý quan trọng trong chương này là Định lý Clifford (Định lý 1.2.3) và Định lý thuận nghịch Frobenius (Định lý 1.2.11) nói về mối quan hệ giữa đặc trưng của một nhóm với các nhóm con của nó. Chương 2: Bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn. Chương này gồm 2 mục lớn, trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng của một số nhóm hữu hạn. Trong mục thứ nhất, chúng tôi trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng của các nhóm tuyến tính tổng quát: nhóm GL(2, q), nhóm GL(3, q). Bảng đặc trưng của các nhóm này được xây dựng chủ yếu dựa trên các đặc trưng cảm sinh từ nhóm con và được dựa theo các kết quả của R. Steinberg. Ở mục thứ hai, chúng tôi trình bày cách xây dựng bảng đặc trưng của các nhóm tuyến tính đặc biệt: nhóm SL(2, q), nhóm SL(3, q). Bảng đặc trưng của các nhóm này được xây dựng chủ yếu dựa trên các đặc trưng hạn chế từ các nhóm GL(2, q), GL(3, q) và được dựa theo các kết quả của Simpson-Frame. Chương 3: Trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ. Trong chương này, chúng tôi tập trung tìm hiểu một số tính chất của trường giá trị của các đặc trưng bất khả quy bậc lẻ được nghiên cứu bởi nhóm các nhà Toán học Isaacs-Liebeck-Navarro-Tiệp. Một trong những kết quả độc đáo về trường giá trị của các đặc trưng này là Định lý 3.1.4. Ở mục thứ hai, chúng tôi trình bày chứng minh của Định lý 3.1.8, chỉ xét đối với nhóm tuyến tính đặc biệt. Định lý 3.1.8 cho ta một kết quả quan trọng, là một công cụ được sử dụng trong chứng minh của Định lý 3.1.4. Trong mục thứ ba, chúng tôi đưa ra một số ví dụ tính toán trường giá trị của đặc trưng bất khả quy, dựa trên các nhóm đã được tìm hiểu.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày ngắn gọn một số kiến thức cơ bản về biểu diễn và đặc trưng của nhóm hữu hạn, các kết quả chính như Bổ đề Schur, Định lý Clifford và Định lý thuận nghịch Frobenius. Các kiến thức này được sử dụng cho các chương tiếp theo và được tham khảo theo các tài liệu [1], [2]. Trong luận văn này, ta luôn ký hiệu G là một nhóm hữu hạn. 1.1 Các biểu diễn và đặc trưng của một nhóm Ký hiệu GL(n, F) là nhóm các ma trận khả nghịch cỡ n × n lấy hệ số trên một trường F. Nếu F là trường hữu hạn chứa q phần tử thì GL(n, F) được ký hiệu là GL(n, q). Định nghĩa 1.1.1. Một biểu diễn của nhóm G trên F là một đồng cấu nhóm ρ từ G vào nhóm GL(n, F) với số nguyên n > 1. Số n được gọi là bậc của ρ. Ví dụ 1.1.2. 1. Cho G là nhóm hữu hạn bất kỳ, đồng cấu nhóm ρ : G → C, g 7→ 1 là một biểu diễn bậc 1 của nhóm G. Biểu diễn này còn được gọi là biểu diễn tầm thường của G. 2. Nhóm D8 = a, b | a4 = b2 = 1, b−1 ab = a−1 có một biểu diễn bậc hai 7
8 là ρ : D8 → GL(2, C) thỏa mãn      0 1 1 0  ρ(a) =   , ρ(b) =  . −1 0 0 −1 Định nghĩa 1.1.3. Cho V là một không gian véctơ hữu hạn chiều trên F. Khi đó V được gọi là một FG-môđun nếu trên V có một phép nhân G × V → V, (g, v) 7→ vg thỏa mãn các điều kiện sau (1) vg ∈ V , (2) v(gh) = (vg)h, (3) v1 = v , (4) (λv)g = λ(vg), (5) (u + v)g = ug + vg . Trong đó, u, v ∈ V , g, h ∈ G và λ ∈ F. Ví dụ 1.1.4. 1. Giả sử V là C-không gian véctơ 1 chiều và G là nhóm hữu hạn bất kỳ. Trên V ta định nghĩa phép nhân vg := v với mọi v ∈ V, g ∈ G. V cùng với phép nhân định nghĩa như trên lập thành một CG-môđun. 2. Cho V là C-không gian véctơ 2 chiều với một cơ sở {v1 , v2 } và nhóm D8 = a, b | a4 = b2 = 1, b−1 ab = a−1 . Trên V định nghĩa phép nhân v1 a := v2 , v2 a := −v1 ; v1 b := v1 , v2 b := −v2 . V cùng với phép nhân định nghĩa như trên lập thành một CD8 -môđun.
9 Từ định nghĩa của FG-môđun, nếu ta xét một ánh xạ trên V xác định bởi ϕg : v 7→ vg thì ϕg là một ánh xạ tuyến tính trên V . Khi đó, cố định một cơ sở B của V , ϕg có ma trận biểu diễn tương ứng là ma trận vuông lấy hệ số trên F, ma trận này ta đặt là [g]B . Khi đó, ánh xạ g 7→ [g]B cũng là một biểu diễn của nhóm G. Định nghĩa 1.1.5. Cho V là một FG-môđun. Một không gian véctơ con W của V được gọi là một FG-môđun con của V nếu wg ∈ W với mọi w ∈ W và g ∈ G. Định nghĩa 1.1.6. Một FG-môđun V được gọi là bất khả quy nếu V 6= 0 và V không có bất kỳ môđun con nào khác ngoại trừ 0 và chính nó. Nếu FG-môđun V có ít nhất một FG-môđun con khác 0 và khác chính nó thì V được gọi là khả quy. Ví dụ 1.1.7. Cho nhóm xyclic C3 = a | a3 = 1 . Giả sử V là một F-không gian véctơ 3 chiều với một cơ sở {v1 , v2 , v3 }. Xét phép nhân trên V được cho bởi v1 a = v2 , v2 a = v3 , v3 a = v1 . V cùng với phép nhân định nghĩa như trên lập thành một FC3 -môđun. V có một FC3 -môđun con W sinh bởi v1 + v2 + v3 . Hơn nữa, W còn là FC3 -môđun bất khả quy vì W có chiều bằng 1. Định lý 1.1.8 (Định lý Maschke). [2, Định lý 8.1] Cho F = R hoặc C và V là một FG-môđun. Nếu U là một FG-môđun con của V thì tồn tại một FG-môđun con W của V sao cho V = U ⊕ W . Định lý Maschke nói chung là không đúng nếu F là trường có đặc số p. Thật vậy, cho nhóm xyclic G = Cp = ha | ap = 1i và Fp là trường hữu hạn gồm p phần tử. Xét Fp G-môđun V với một cơ sở {v1 , v2 } và v1 aj = v1 , v2 aj = jv1 + v2 ,
10 trong đó 0 ≤ j ≤ p − 1. Rõ ràng, U = hv1 i là một Fp G-môđun con của V . Giả sử tồn tại một Fp G-môđun con 1 chiều W của V sao cho V = U ⊕ W , giả sử W = hλ1 v1 + λ2 v2 i. Khi đó (λ1 v1 + λ2 v2 )aj = k(λ1 v1 + λ2 v2 ) với k ∈ F× p. Mặt khác, (λ1 v1 + λ2 v2 )aj = (λ1 + λ2 j)v1 + λ2 v2 . Do đó, kλ2 = λ2 và (k − 1)λ1 − λ2 j = 0. Ta suy ra λ2 = 0 hay U = W (mâu thuẫn). Nhờ định lý Maschke, một CG-môđun V bất kỳ đều có thể viết được thành tổng trực tiếp của các CG-môđun con bất khả quy V = U1 ⊕ U2 ⊕ . . . ⊕ Ur , trong đó các Ui là các CG-môđun con bất khả quy của V . Bổ đề Schur cho ta một số kết quả về biểu diễn của nhóm giao hoán. Bổ đề 1.1.9 (Bổ đề Schur). [2, Bổ đề 9.1] Cho V và W là hai CG-môđun bất khả quy. (1) Nếu ϕ : V → W là một CG-đồng cấu thì hoặc ϕ là một CG-đẳng cấu hoặc ϕ(v) = 0 với mọi v ∈ V . (2) Nếu ϕ : V → V là một CG-đẳng cấu thì ϕ = λ1V với λ ∈ C nào đó. Một kết quả quan trọng nhờ Bổ đề Schur được phát biểu như sau. Mệnh đề 1.1.10. [2, Mệnh đề 9.5] Mọi biểu diễn bất khả quy của nhóm giao hoán G đều có bậc 1. Ví dụ 1.1.11. Cho nhóm giao hoán G = Cn1 × Cn2 với Cni , i = 1, 2, là các nhóm xyclic cấp ni sinh bởi gi . Gọi i , i = 1, 2, là các căn nguyên thủy bậc ni của đơn vị trong C. Khi đó, với mọi 0 ≤ j1 ≤ n1 − 1 và 0 ≤ j2 ≤ n2 − 1, ta có ρj1 j2 (g1 , g2 ) = j11 j22
11 là các biểu diễn bậc 1 của nhóm G. Hai phần tử x, y ∈ G được gọi là liên hợp với nhau nếu tồn tại phần tử g ∈ G sao cho y = xg := g −1 xg. Tập hợp tất cả các phần tử trong G liên hợp với x được ký hiệu là xG := {xg : g ∈ G} và được gọi là lớp liên hợp của x trong G. Ví dụ 1.1.12. Giả sử G = S3 là nhóm hoán vị bậc 3. Khi đó S3 có đúng 3 lớp liên hợp là 1G , (1 2)G = {(1 2), (1 3), (2 3)} và (1 2 3)G = {(1 2 3), (1 3 2)}. Mệnh đề 1.1.13. [2, Định lý 12.8] Số phần tử của lớp liên hợp của x ∈ G là
G
x
= |G| , |CG (x)| trong đó |CG (x)| là nhóm tâm hóa của phần tử x trong G. Từ bây giờ, ta luôn giả sử F là trường số phức C. Định nghĩa 1.1.14. Giả sử G là nhóm hữu hạn và V là một CG-môđun với một cơ sở là B . Khi đó hàm χ : G → C cho bởi χ(g) = tr[g]B , được gọi là đặc trưng của nhóm G tương ứng với CG-môđun V . Số chiều của không gian V được gọi là bậc của đặc trưng χ. Các đặc trưng có bậc bằng 1 được gọi là đặc trưng tuyến tính. Đặc trưng tương ứng với CG-môđun bất khả quy được gọi là đặc trưng bất khả quy. Tập hợp tất cả các đặc trưng bất khả quy của một nhóm G được ký hiệu là Irr(G). Lưu ý rằng giá trị của χ không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở của V nhờ tính chất của hàm vết. Hơn nữa, giá trị của χ là bằng nhau tại mọi phần tử thuộc cùng một lớp liên hợp. Mặt khác, nếu ρ : G → GL(n, C) là biểu diễn của
12 nhóm G thì χ(g) = tr(ρ(g)) cũng là một đặc trưng của nhóm G và tương ứng với CG-môđun Cn . Định nghĩa 1.1.15. Cho χ là một đặc trưng của G. Khi đó hạt nhân của χ được định nghĩa là Kerχ := {g ∈ G | χ(g) = χ(1)} . Nếu ρ là một biểu diễn tương ứng với đặc trưng χ thì Kerρ = Kerχ [2, Định lý 13.11]. 1. Cho nhóm xyclic C3 = a | a3 = 1 . Ánh xạ a 7→ e2πi/3 là Ví dụ 1.1.16. một đặc trưng tuyến tính của C3 . 2. Xét nhóm D8 như trong Ví dụ 1.1.2(2), giá trị của đặc trưng χ tương ứng với biểu diễn ρ trong ví dụ này, trên đại diện của mỗi lớp liên hợp của D8 là 1 a a2 b ab χ 2 0 −2 0 0 Mệnh đề 1.1.17. [2, Mệnh đề 13.15] Giả sử χ là một đặc trưng của nhóm G. Định nghĩa hàm χ : G → C qua phép liên hợp phức như sau χ(g) := χ(g). Hàm χ cũng là một đặc trưng của nhóm G. Hơn nữa, χ là bất khả quy khi và chỉ khi χ là bất khả quy. Sau đây ta có một số tính chất của đặc trưng của nhóm. Với g ∈ G bất kỳ, ký hiệu |g| là cấp của phần tử g trong nhóm G. Mệnh đề 1.1.18. [2, Mệnh đề 13.9] Giả sử χ là một đặc trưng của nhóm G tương ứng với CG-môđun V , giả sử g ∈ G và |g| = m. Khi đó
13 (1) χ(1) = dimV , (2) χ(g) là tổng của các căn đơn vị bậc m, (3) χ(g −1 ) = χ(g), (4) χ(g) là số thực nếu g liên hợp với g −1 . Mệnh đề 1.1.19. [2, Định lý 22.11] Nếu χ là một đặc trưng bất khả quy của G thì χ(1) | |G|. Theo Mệnh đề 1.1.18(2), χ(g) nằm trong vành số nguyên đại số của C với mọi g ∈ G. Hơn nữa, mệnh đề sau cho ta một điều kiện để χ(g) là số nguyên. Mệnh đề 1.1.20. [2, Hệ quả 22.6] Cho g là một phần tử có cấp bằng n trong G. Giả sử g liên hợp với mọi phần tử g i với 1 ≤ i ≤ n và (i, n) = 1. Khi đó χ(g) là số nguyên với mọi đặc trưng χ của G. Nếu χ(g) ∈ Z và g có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố p thì giá trị χ(g) có liên hệ với bậc của đặc trưng bởi tính chất như sau. Mệnh đề 1.1.21. [2, Hệ quả 22.27] Cho p là một số nguyên tố. Giả sử g ∈ G và g có cấp là lũy thừa của p. Khi đó, nếu χ là một đặc trưng của nhóm G sao cho χ(g) ∈ Z thì χ(g) ≡ χ(1) (mod p). Khái niệm tích vô hướng của hai đặc trưng cho ta một công cụ quan trọng để xác định tính bất khả quy của một đặc trưng, mối quan hệ giữa một đặc trưng bất kỳ với các đặc trưng bất khả quy. Định nghĩa 1.1.22. Giả sử χ, ψ là các ánh xạ từ G vào C. Khi đó tích vô hướng của χ, ψ được định nghĩa như sau 1 X hχ, ψi = χ(g)ψ(g). |G| g∈G
14 Để ý, nếu χ, ψ là hai đặc trưng của nhóm G thì ta có 1 X hχ, ψi = hψ, χi = χ(g)ψ(g −1 ). |G| g∈G Hơn nữa, nếu G có l lớp liên hợp và các đại diện của mỗi lớp liên hợp là g1 , . . . , gl thì l X χ(gi )ψ(g −1 ) i hχ, ψi = . (1.1.1) i=1 |CG (gi )| Tính trực giao giữa các đặc trưng bất khả quy của một nhóm là một tính chất thú vị và quan trọng, là cơ sở để ta có các quan hệ trực giao trên một bảng đặc trưng và là công cụ để xét tính bất khả quy của một đặc trưng. Trước tiên, tính chất trực giao được phát biểu như sau. Định lý 1.1.23. [2, Định lý 14.12] Giả sử χ và ψ là hai đặc trưng bất khả quy phân biệt của nhóm G. Khi đó hχ, χi = 1, hχ, ψi = 0. Mặt khác, nhờ tính trực giao của các đặc trưng bất khả quy, một đặc trưng bất kỳ của một nhóm luôn viết được thành một tổ hợp tuyến tính của các đặc trưng bất khả quy với hệ số là các số nguyên không âm. Định lý 1.1.24. [2, Định lý 14.17] Giả sử Irr(G) = {χ1 , . . . , χk } và ψ là một đặc trưng bất kỳ của G. Khi đó ψ có thể được viết thành ψ = d1 χ1 + . . . + dk χk , trong đó d1 , . . . , dk là các số nguyên không âm. Hơn nữa, k X di = hψ, χi i và hψ, ψi = d2i . i=1