Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tuyến tính hóa của phương trình động lực trên thang thời gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của luận văn là định lý tuyến tính hóa trên thang thời gian chứng minh sự tương đương topo giữa hệ phương trình nửa tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tuyến tính hóa của phương trình động lực trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN TRẦN THỊ HOÀI TUYẾN TÍNH HÓA CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2014
Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Đạo hàm trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Nguyên lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Tuyến tính hóa trên thang thời gian 12 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Định lí tuyến tính hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Tuyến tính hóa hệ tuần hoàn trên thang thời gian 29 3.1 Thang thời gian tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Tuyến tính hóa trong trường hợp tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . 30 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tài liệu tham khảo 34 i
Lời cảm ơn Để hoàn thành được chương trình đào tạo và hoàn thiện luận văn này, trong thời gian vừa qua tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ quí báu của gia đình, thầy cô và bạn bè. Vì vậy, nhân dịp này, tôi muốn được gửi lời cảm ơn tới mọi người. Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Huy Tiễn, thầy đã rất nhiệt tình hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các thầy cô trong khoa, những người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, giảng dạy tôi trong quá trình học cao học. Tôi xin cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau Đại Học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thiện các thủ tục bảo vệ luận văn. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn cha mẹ tôi, những người luôn yêu thương và ủng hộ tôi vô điều kiện. ii
Lời nói đầu Gần đây, lí thuyết phương trình động lực trên thang thời gian được phát triển một cách có hệ thống nhằm hợp nhất và suy rộng lí thuyết phương trình vi phân và phương trình sai phân. Luận văn trình bày lí thuyết phương trình động lực trên thang thời gian với bài toán tuyến tính hóa. Xét hệ phương trình tuyến tính x∆ = A(t)x, (1) và hệ phương trình nửa tuyến tính x∆ = A(t)x + f (t, x) (2) trong đó, t ∈ T, A ∈ Crd (T, L(X)). Bằng việc giới thiệu khái niệm hàm tương đương tôpô chúng tôi sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa hệ phương trình tuyến tính (1) và hệ phương trình nửa tuyến tính (2). Trong luận văn, chúng tôi sẽ giới thiệu một vài điều kiện đủ đảm bảo cho sự tồn tại của hàm tương đương H (t, x) biến nghiệm (c, d) - tựa bị chặn của hệ phương trình nửa tuyến tính (2) lên hệ phương trình tuyến tính (1). Chúng tôi mở rộng định lí tuyến tính hóa của Palmer về phương trình hệ động lực trên thang thời gian. Ở đây, chúng tôi cũng trình bày một phương pháp giải tích mới để nghiên cứu bài toán tương đương tôpô trên thang thời gian. Kết quả là mới ngay trong trường hợp T = R. Để đưa ra một cách đầy đủ các phương pháp khác nhau nghiên cứu bài toán tương đương tôpô, chúng tôi xem xét các kết quả khác nhau từ công trình nghiên cứu đầu tiên của Higler. Hơn nữa, chúng tôi sẽ chứng minh hàm tương đương H (t, x) cũng là ω - tuần hoàn khi hệ là ω - tuần hoàn. Nội dung chính của luận văn là định lí tuyến tính hóa trên thang thời gian chứng minh sự tương đương tôpô giữa hệ phương trình nửa tuyến tính (2) và hệ phương trình tuyến tính (1). Chìa khóa để giải quyết vấn đề này là các khái niệm nhị phân mũ, và xây dựng hàm tương đương tôpô H (t, x). Nội dung luận văn trình bày kết quả chính trong bài báo " A new analytical method for the linearization of dynamic equation on measure chains" của Yonghui Xia, Jinde Cao và Maoan Han. Luận văn được chia thành ba chương iii
Chương 1: trình bày khái niệm cơ bản trên thang thời gian và các kí hiệu, khái niệm nhị phân mũ của phương trình vi phân, phương trình sai phân và khái niệm nhị phân mũ trên thang thời gian. Chương 2: chứng minh sự tồn tại hàm tương đương tôpô của hệ phương trình nửa tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính. Đây chính là mục đích chính của luận văn. Chương 3: chứng minh hàm tương đương là ω - tuần hoàn nếu hệ tuyến tính là ω - tuần hoàn trên thang thời gian. Do thời gian và năng lực có hạn, có thể trong luận văn còn những sai sót. Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cô và các bạn đồng nghiệp. Hà nội, tháng 12 năm 2014 Trần Thị Hoài iv
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Thang thời gian là tập con đóng, khác rỗng tùy ý của tập số thực R. Kí hiệu thang thời gian là T. Các tập R, Z, N, [0, 1] ∪ [2, 3] là ví dụ về thang thời gian. Sau đây ta định nghĩa toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lui và hàm graininess trên thang thời gian. Định nghĩa 1.2. Cố định t ∈ T. Toán tử σ : T −→ T xác định bởi σ (t) := inf {s ∈ T : s > t} được gọi là toán tử nhảy tiến trên thang thời gian T. Ví dụ: Nếu T = Z thì σ (n) = n + 1. Nếu T = R thì σ (t) = t. Định nghĩa 1.3. Cố định t ∈ T. Toán tử ρ : T −→ T xác định bởi ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} được gọi là toán tử nhảy lui trên thang thời gian T. 1
Ví dụ: Nếu T = Z thì ρ(n) = n − 1. Nếu T = R thì ρ(t) = t. Ta giới thiệu khái niệm điểm rời rạc trái, rời rạc phải, trù mật trái, trù mật phải, điểm bị cô lập và điểm trù mật như sau. Nếu σ (t) > t, ta nói t là rời rạc phải. Nếu ρ(t) < t, ta nói t là rời rạc trái. Nếu ρ(t) < t < σ (t), ta nói t bị cô lập. Nếu σ (t) = t, ta nói t trù mật phải. Nếu ρ(t) = t, ta nói t trù mật trái. Nếu ρ(t) = t = σ (t), ta nói t trù mật. Định nghĩa 1.4. Hàm µ : T −→ [0, ∞) xác định bởi µ(t) := σ (t) − t được gọi là hàm graininess. Ví dụ: Nếu T = Z, ta có µ(n) = 1. Nếu T = R, ta có µ(t) = 0. Ta định nghĩa tập ( T \ (ρ (supT) , supT) nếu supT < ∞ Tκ = T nếu supT = ∞. Sau đây ta giới thiệu một số khái niệm liên quan đến hàm mũ trên thang thời gian. 1.1.2 Hàm mũ Ta kí hiệu tập tất cả các hàm regressive và rd - liên tục f : T −→ R bởi R = R(T) = R(T, R). Định nghĩa 1.5. Giả sử p ∈ R, ta định nghĩa hàm mũ tổng quát trên thang thời gian như sau Z t ep (t, s) = exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ , t, s ∈ T. s 1 trong đó, ξµ(τ ) (p(τ )) = Log (1 + µ(τ )p(τ )). µ (τ ) 2
Bổ đề 1.1. Với p ∈ R, ta có ep (t, τ )ep (τ, s) = ep (t, s), τ, s, t ∈ T. Chứng minh. Giả sử p ∈ R với τ, s, t ∈ T, ta có Z t Z τ ep (t, τ )ep (τ, s) = exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ τ s Z t Z τ = exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ + ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ τ s Z t = exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ s = ep (t, s). Bổ đề được chứng minh. Chúng ta giới thiệu một số tính chất của hàm mũ trong định lí sau. Định lý 1.1. Giả sử các hàm p, q ∈ R. Khi đó ta có (i) e0 (t, s) ≡ 1 và ep (t, t) ≡ 1; (ii)ep (σ (t), s) = (1 + µ(t)p(t))ep (t, s); 1 (iii) = e p (t, s); ep (t, s) 1 (iv) ep (t, s) = = e p (s, t); ep (s, t) (v) ep (t, s)eq (t, s) = ep⊕q (t, s); ep (t, s) (vi) = ep q (t, s). eq (t, s) Chứng minh. Xem [ 1 ]. Bây giờ ta sẽ giới thiệu một số kí hiệu được dùng trong luận văn. 1.1.3 Một số kí hiệu Giả sử T là thang thời gian tùy ý với hàm bị chặn graininess µ và X là không gian Banach thực hoặc phức với chuẩn k · k. Gọi L (X1 , X2 ) là không gian tuyến tính các ánh xạ tuyến tính liên tục với chuẩn xác định bởi kT k := sup kT xk, ∀T ∈ L (X1 , X2 ) . kxk=1 3
Gọi GL (X1 , X2 ) là tập các đẳng cấu tuyến tính giữa hai không gian con X1 , X2 của X. IX1 là ánh xạ đồng nhất trên X1 . L (X) := L (X, X). N (T ) = T −1 ({0}) là không gian nhân. R (T ) := TX là khoảng biến thiên của T ∈ L (X). Một vài kí hiệu đặc trưng cho phép toán trên thang thời gian T+ τ := {t ∈ T : t ≥ τ }, ∀τ ∈ T. T− τ := {t ∈ T : t ≤ τ }, ∀τ ∈ T. Ta cũng dùng kí hiệu ρ+ để chỉ toán tử nhảy tiến, tức là ρ+ (t) = σ (t), ∀t ∈ T. Tập J ⊆ T được gọi là không bị chặn trên (tương ứng dưới) nếu tập {µ (t, τ ) ∈ R : t ∈ J, ∀τ ∈ T} không bị chặn trên (tương ứng dưới). Đạo hàm riêng cấp 1 của ánh xạ Φ : T × T −→ X, kí hiệu là ∆1 Φ. Crd (Tκ , X) là tập các ánh xạ rd - liên tục từ Tκ đến X. Crd R+ (Tκ , R) là không gian tuyến tính của các hàm regressive với các phép toán đại số (a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t) + µ(t)a(t)b(t), a(t) − b(t) (a b)(t) := , 1 + µ(t)b(t) (1 + ha(t))α − 1 (α
a)(t) := lim , t ∈ Tκ , h&µ(t) h trong đó a, b ∈ Crd R+ (Tκ , R) , α ∈ R và Crd R+ (Tκ , R) := {a ∈ Crd (Tκ , R) : 1 + µ (t) a (t) > 0, t ∈ Tκ }. Nếu T = R thì (a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t), (a b)(t) := a(t) − b(t). 4
Nếu T = Z thì (a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t) + a(t)b(t), a(t) − b(t) (a b)(t) := . 1 + b(t) Với τ ∈ T cố định và c, d ∈ Crd R+ (Tκ , R) ta định nghĩa + (X) := {λ ∈ Crd T+ Bτ,c τ , X : sup kλ(t)ke c (t, τ ) < ∞}, τ t − − Bτ,d (X) := {λ ∈ Crd Tτ , X : sup kλ(t)ke d (t, τ ) < ∞}, tτ ± Bτ,c,d (X) := λ ∈ Crd (Tκ , X) |∃τ ∈ T : sup kλ(t)ke c (t, τ ) < ∞, τ t sup kλ(t)ke d (t, τ ) < ∞ . tτ là không gian tuyến tính các ánh xạ c+ - tựa bị chặn và d− - tựa bị chặn. Các không gian trên là không gian Banach với chuẩn kλk+ τ,c := sup kλ(t)ke c (t, τ ), kλk− τ,d := sup kλ(t)ke d (t, τ ), τ t tτ kλk± τ,c,d := max{kλ|T+ τ k+ τ,c , kλ|T− τ k− τ,d }. trong đó ec (t, τ ) là hàm mũ thực trên T. Có thể dễ dàng thấy rằng kλ(t)k ≤ kλk+ + τ,c ec (t, τ ), ∀t ∈ Tτ , kλ(t)k ≤ kλk− − τ,d ed (t, τ ), ∀t ∈ Tτ , ± kλ(τ )k ≤ kλk+ τ,c ≤ kλkτ,c,d , kλ(τ )k ≤ kλk− ± τ,d ≤ kλkτ,c,d . Một số kí hiệu viết tắt bb − ac := infκ {b(t) − a(t)}, t∈T a b :⇔ 0 < bb − ac, a b :⇔ 0 ≤ bb − ac. trong đó hai hàm regressive a, b ∈ Crd R+ (Tκ , R) được kí hiệu là bậc tăng nếu sup µ(t)a(t) < ∞ và sup µ(t)b(t) < ∞. t∈Tκ t∈Tκ Khi đó ta thu được các giới hạn sau lim ea b (t, τ ) = 0, lim eb a (t, τ ) = 0. t→∞ t→−∞ với bậc tăng a b không bị chặn trên (tương ứng dưới) trên thang thời gian. Khái niệm khả vi delta trên thang thời gian được giới thiệu dưới đây. 5
1.1.4 Đạo hàm trên thang thời gian Định nghĩa 1.6. Giả sử hàm f : T → R khả vi tại t ∈ Tκ . Với mọi ε > 0, tồn tại một lân cận U của t sao cho |[f (σ (t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ (t) − s]| ≤ ε|σ (t) − s|, s ∈ U. Khi đó f ∆ (t) là đạo hàm của hàm f tại t. Ví dụ 1.1. Nếu T = R thì |f (t) − f (s) − A(t − s)| ≤ ε|t − s|, f (t) − f (s) ⇔| − A| < ε, ∀|s − t| < δ. t−s Do đó, f (t) − f (s) lim = A = f 0 (t). s→t t−s Ví dụ 1.2. Nếu T = Z thì |f (n + 1) − f (n) − A(n + 1 − n)| ≤ ε|n + 1 − n|, ⇔ |f (n + 1) − f (n) − A| < ε. Do đó, f (n + 1) − f (n) = ∆f = A. Ví dụ 1.3. Hàm f : T −→ R xác định bởi f (t) = α, ∀t ∈ T, α ∈ R. Khi đó f ∆ (t) ≡ 0. Thật vậy, với mọi ε > 0 ta có |f (σ (t0 )) − f (t) − µ(σ (t0 ), t).0| = |α − α| = 0 ≤ ε|µ(σ (t0 ), t)|, ∀t ∈ T. Ví dụ 1.4. Hàm f : T −→ R xác định bởi f (t) = t, ∀t ∈ T, α ∈ R. Khi đó f ∆ (t) ≡ 1. Thật vậy, với mọi ε > 0 ta có |f (σ (t0 )) − f (t) − µ(σ (t0 ), t).1| = |σ (t0 ) − t − µ(σ (t0 ), t)| = 0 ≤ ε|µ(σ (t0 ), t)|, ∀t ∈ T. Một vài tính chất của đạo hàm trên thang thời gian được giới thiệu trong định lí sau đây. 6
Định lý 1.2. Giả sử f, g : T −→ R khả vi tại t ∈ Tκ . Khi đó ta có: i) f + g : T −→ R khả vi tại t với (f + g )∆ (t) = f ∆ (t) + g ∆ (t). ii) Với hằng số α, αf : T −→ R khả vi tại t với (αf )∆ (t) = αf ∆ (t). iii) Hàm f g : T −→ R khả vi tại t với (f g )∆ (t) = f ∆ (t)g (t) + f (σ (t))g ∆ (t) = f (t)g ∆ (t) + f ∆ (t)g (σ (t)). 1 iv) Nếu f (t)f (σ (t)) 6= 0 thì khả vi tại t với f ∆ 1 f ∆ (t) (t) = − . f f (t)f (σ (t)) f v) Nếu g (t)g (σ (t)) 6= 0 thì khả vi tại t với g ∆ f f ∆ (t)g (t) − f (t)g ∆ (t) (t) = . g g (t)g (σ (t)) Chứng minh. Giả sử f, g khả vi tại t ∈ Tκ . i) Cho ε > 0, khi đó tồn tại lân cận U1 , U2 của t sao cho ε | [f (σ (t)) − f (s)] − f ∆ (t)(σ (t) − s)| ≤ |σ (t) − s|, ∀s ∈ U1 , 2 ε | [g (σ (t)) − g (s)] − g ∆ (t)(σ (t) − s)| ≤ |σ (t) − s|, ∀s ∈ U2 . 2 Cho U = U1 ∩ U2 . Khi đó ∀s ∈ U ta có | [(f + g )(σ (t)) − (f + g )(s)] − [f ∆ (t) + g ∆ (t)](σ (t) − s)| ≤ | [f (σ (t)) − f (s)] − f ∆ (t)(σ (t) − s)| + | [g (σ (t)) − g (s)] − g ∆ (t)(σ (t) − s)| ε ε ≤ |σ (t) − s| + |σ (t) − s| = ε|σ (t) − s|. 2 2 Do đó f + g khả vi tại t và (f + g )∆ = f ∆ + g ∆ với mọi t. ii) iii) iv) và v) xem [1]. Định lí được chứng minh. Phần tiếp theo chúng tôi giới thiệu khái niệm nhị phân mũ của phương trình vi phân, phương trình sai phân. 7
1.2 Nhị phân mũ Xét phương trình x0 = Ax, x ∈ X, (1.1) với nghiệm x(t) = etA x(0). Định nghĩa 1.7. Phương trình (1.1) được gọi là hyperbolic (hay có nhị phân mũ) nếu tồn tại N ≥ 1, α > 0, X = E s ⊕ E u sao cho ketA xk ≤ N e−αt kxk, t ≥ 0, x ∈ E s , ke−tA xk ≤ N eαt kxk, t < 0, x ∈ E u . Ví dụ 1.5. Xét hệ phương trình ( x0 = x y 0 = −y Khi đó nghiệm của hệ phương trình trên là ( x = x0 e t y = y0 e−t Do đó, sup k (x(t), y (t))k ≤ M t∈R ( ( sup |x(t)| ≤ M x0 = 0 ⇔ ⇔ sup |y (t)| ≤ M y0 = 0 Ta có định nghĩa tương đương sau. Định nghĩa 1.8. Phương trình (1.1) được gọi là hyperbolic (hay có nhị phân mũ) nếu tồn tại N ≥ 1, α > 0, và phép chiếu P : X −→ X, với X = ImP ⊕ Im(IX − P ) sao cho ketA P yk ≤ N e−αt kyk, t ≥ 0, y ∈ X, ke−tA (IX − P )yk ≤ N eαt kyk, t < 0, y ∈ X. Để ý rằng E s = ImP, E u = Im(IX − P ). Sau đây ta sẽ giới thiệu khái niệm nhị phân mũ đối với hệ phương trình không ôtônôm. Xét phương trình x0 = A(t)x, x ∈ X, t ∈ R. (1.2) 8
Định nghĩa 1.9. Phương trình (1.2) được gọi là có nhị phân mũ nếu tồn tại N ≥ 1, α > 0, và họ phép chiếu P (t) thỏa mãn sup kP (t)k < +∞, X = ImP (t) ⊕ Im(IX − P (t)) t∈R sao cho kU (t, s)P (s)xk ≤ N e−α(t−s) kxk, x ∈ X, t ≥ s, U (t, s) khả nghịch trên Im(IX − P (t)), kU (t, s)−1 (IX − P (t))xk ≤ N eα(t−s) kxk, x ∈ X, t < s, trong đó, (U (t, s))t≥s là họ toán tử giải (Cauchy) của phương trình (1.2). Dưới đây, ta giới thiệu khái niệm nhị phân mũ đối với hệ phuơng trình sai phân. Xét phương trình xn+1 = An xn , xn ∈ X, n ∈ Z. (1.3) Định nghĩa 1.10. Phương trình (1.3) được gọi là có nhị phân mũ nếu tồn tại N ≥ 1, λ ≥ 0, họ phép chiếu Pn thỏa mãn sup kPn k < +∞, X = ImPn ⊕ Im(IX − Pn ) n sao cho kΦn,m Pm xk ≤ N λn kxk, n ≥ m, Φn,m khả nghịch trên Im(IX − Pn ), kΦ−1 −n n,m Pm xk ≤ N λ kxk, n < m, trong đó, Φn,m = An−1 An−2 ...Am , với mọi n > m, Φn,n = I. Chú ý rằng: 1) Các điều kiện U (t, s) khả nghịch trên Im(IX − P (t)) và Φn,m khả nghịch trên Im(IX − Pn ) luôn được thỏa mãn khi X = Rd . 2) U (t, s), Φn,m nói chung không khả nghịch trên toàn không gian X. Trong trường hợp tổng quát, ta xét nhị phân mũ của phương trình động lực trên thang thời gian. 9
Xét phương trình động lực tuyến tính x∆ = A(t)x, (1.4) với A ∈ Crd (Tκ , L(X)) và toán tử dịch chuyển ΦA (t, τ ) ∈ L(X) nghĩa là toán tử giải của bài toán giá trị ban đầu X ∆ = A(t)X, X (τ ) = IX , ∀τ, t ∈ T, τ ≤ t. ΦA (t, τ ) trong trường hợp tổng quát không khả ngược và chỉ tồn tại với τ ≤ t. Ta định nghĩa toán tử chiếu bất biến như sau. Định nghĩa 1.11. P : T −→ L(X) được gọi là phép chiếu bất biến của phương trình (1.4) nếu P 2 (t) = P (t), P (t)ΦA (t, s) = ΦA (t, s)P (s), ∀s ≤ t, s, t ∈ T. P được gọi là thỏa mãn điều kiện chính quy nếu ánh xạ [IX + µ(t)A(t)] |KerP (t) : KerP (t) −→ KerP (σ (t)) là song ánh. Trong trường hợp T = R ta không cần điều kiện phép chiếu chính quy vì khi đó µ(t) = 0 nên IX + µ(t)A(t) = IX luôn là song ánh. Ta định nghĩa toán tử dịch chuyển mở rộng như sau. Định nghĩa 1.12. Toán tử ΦA (t, s) : KerP (s) −→ KerP (t) được xác định bởi ( −1 ΦA (s, t)|KerP (t) ,t
Định nghĩa 1.13. P : T −→ L(X) là phép chiếu bất biến của phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện chính quy. Khi đó phương trình (1.4) được gọi là có nhị phân mũ nếu kΦA (t, s)P (s)k ≤ Kea (t, s), s ≤ t, s, t ∈ T, kΦA (t, s)[IX − P (s)]k ≤ Keb (t, s), s ≥ t, s, t ∈ T. với K ≥ 1 là hằng số thực và bậc tăng a, b ∈ Crd R+ (T, R) , a b. Định nghĩa trên suy rộng định nghĩa nhị phân mũ khi T = R, T = Z. Dưới đây ta chỉ xét trường hợp thang thời gian T không bị chặn trên, không bị chặn dưới. Bổ đề 1.2. Phương trình (1.4) có nhị phân mũ với bậc tăng a, b và các phép chiếu bất biến P, Q trên T. Với τ ∈ T cố định và c, d ∈ Crd R+ (T, R). Khi đó P = Q và a c b, a d b phương trình (1.1) không có nghiệm không tầm thường (c, d) - tựa bị chặn trên T. Bổ đề 1.3. Giả sử τ, t, t1 , t2 ∈ TK , t1 ≤ t2 và a, b ∈ Crd R+ (T, R) . Khi đó ta có e (t, τ )  Z t2  a  [eb a (t2 , τ ) − eb a (t1 , τ )] nếu a b, bb − ac ea (t, ρ+ (s))eb (s, τ )∆s ≤ t1  ea (t, τ ) [eb a (t1 , τ ) − eb a (t2 , τ )] nếu b a.  ba − bc Bổ đề 1.4. Giả sử phương trình (1.4) có nhị phân mũ với a, b, K1 , K2 và P trên T. Xét phương trình tuyến tính không thuần nhất x∆ = A(t)x + r(x) (1.5) ± và cố định c, d ∈ Crd R+ (T, R) , a c b, a d b. Khi đó, với r ∈ Bc,d (X ) phương ± trình (1.5) có duy nhất nghiệm λ ∈ Bc,d (X ) sao cho Z t Z +∞ λ(t) = ΦA (t, ρ+ (s))P (ρ+ (s))r(s)∆(s) − ΦA (t, ρ+ (s))[IX − P (ρ+ (s))]r(s)∆(s). −∞ t 1.3 Nguyên lí điểm bất động Định lý 1.3. (nguyên lý ánh xạ co Banach). Giả sử (X, d) là không gian metric đầy đủ và F : X −→ X là ánh xạ co. Khi đó F có duy nhất điểm bất động u và F n (y ) → u với mọi y ∈ X. Chứng minh. Xem [ 8 ] 11
Chương 2 Tuyến tính hóa trên thang thời gian 2.1 Giới thiệu bài toán Định lí tuyến tính hóa của Hartman cho phương trình vi phân thường phát biểu rằng tồn tại tương ứng 1 : 1 giữa nghiệm của hệ tuyến tính ôtônôm x0 = Ax và các hệ bị nhiễu x0 = Ax + f (x) trong đó, f thỏa mãn một vài điều kiện tốt như liên tục hoặc Lipschitz. Sau đó Palmer mở rộng kết quả trên cho lớp hệ tuyến tính không ôtônôm x0 = A(t)x + f (t, x). Bài toán tuyến tính hóa phát biểu rằng, nếu một hệ phương trình nửa tuyến tính là tương đương tôpô với hệ phương trình tuyến tính thì có nhiều tính chất của hệ phương trình nửa tuyến tính tương tự hoặc đồng nhất với tính chất của hệ phương trình tuyến tính. Do đó, việc nghiên cứu sự tương đương tôpô của phương trình động lực trên thang thời gian rất quan trọng trong thực tiễn và lí luận. Một phương pháp giải tích mới để nghiên cứu bài toán tương đương tôpô được trình bày trong chương này. Trước tiên ta sẽ giới thiệu khái niệm tương đương tôpô trong trường hợp ôtônôm. 12
Định nghĩa 2.1. Hai hệ phương trình sai phân xn+1 = f (xn ), xn ∈ X yn+1 = g (yn ), yn ∈ X được gọi là liên hợp tôpô nếu tồn tại đồng phôi h sao cho h ◦ f = g ◦ h. Điều kiện h◦f = g◦h có nghĩa h◦f n = g n ◦h hay h(f n (x0 )) = g n (h(x0 )), ∀x0 , ∀n. Nói cách khác, đồng phôi h biến nghiệm của hệ xn+1 = f (xn ) với điều kiện ban đầu x0 thành nghiệm của hệ yn+1 = g (yn ) với điều kiện ban đầu h(x0 ). Ta có định lí Hartman - Grobman như sau Định lý 2.1. Hai hệ phương trình xn+1 = Axn + f (xn ) yn+1 = Ayn với điều kiện i) σ (A) ∩ S 1 = ∅, ii) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz |f (x) − f (y )| ≤ L|x − y|. Khi đó, nếu L đủ bé thì hai hệ phương trình trên là liên hợp tôpô. Định nghĩa 2.2. Hai hệ phương trình x0 = f (x), x ∈ X (2.1) y 0 = g (y ), y ∈ X (2.2) được gọi là liên hợp tôpô nếu tồn tại đồng phôi h sao cho h ◦ ϕt = ψt ◦ h. Định nghĩa 2.3. Hai hệ phương trình (2.1) và (2.2) được gọi là tương đương tôpô nếu tồn tại đồng phôi h : X −→ X và đồng phôi tăng τ : R −→ R sao cho h ◦ ϕt = ψτ (t) ◦ h trong đó, τ là phép tham số hóa thời gian. 13
Ta có định lí Hartman - Grobman như sau. Định lý 2.2. Hai hệ phương trình x0 = Ax y 0 = Ay + f (y ) với điều kiện i) σ (A) ∩ iR = ∅, ii) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz |f (x) − f (y )| ≤ L|x − y|. Khi đó, nếu L đủ bé thì ta nói hai hệ phương trình trên là tương đương tôpô. Sau đây ta sẽ giới thiệu khái niệm tương đương tôpô trong trường hợp không ôtônôm. Định nghĩa 2.4. Hai hệ phương trình xn+1 = f (xn , n), xn ∈ X yn+1 = g (yn , n), yn ∈ X được gọi là liên hợp tôpô nếu tồn tại họ các đồng phôi {hn } sao cho hn (xn ) = yn . Định lý 2.3. (Định lí Hartman - Grobman) Hai hệ phương trình xn+1 = An xn + f (xn , n) yn+1 = An yn với điều kiện i) Hệ phương trình yn+1 = An yn có nhị phân mũ, ii) f thỏa mãn điều kiện Lipschitz kf (x) − f (y )k ≤ Lkx − yk. Khi đó, nếu L đủ bé thì ta nói hai hệ phương trình trên là tương đương tôpô. Xét các hệ sau x0 = f (t, x) (2.3) y 0 = g (t, y ) (2.4) 14