ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN TRỌNG NGHĨA
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
VÀ TÍCH CÓ HƯỚNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN TRỌNG NGHĨA
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
VÀ TÍCH CÓ HƯỚNG
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI
Thái Nguyên - 2015
i
Mục lục
Mở đầu 2
Danh sách hình vẽ 4
1 Tích vô hướng trong không gian vector Euclid 5
1.1 Định nghĩa không gian vector Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Các đẳng thức vector và bất đẳng thức vector . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Các đẳng thức vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Các bất đẳng thức vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Tích vô hướng trong hình học phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Chứng minh hệ thức hình học và tính biểu thức . . . . . . . 9
1.3.2 Chứng minh bất đẳng thức hình học . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Chứng minh quan hệ vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.4 Sáng tạo các bất đẳng thức nhờ tích vô hướng . . . . . . . . 24
1.4 Tích vô hướng trong Hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Chứng minh tính vuông góc trong không gian . . . . . . . . 27
1.4.2 Tính góc, khoảng cách, diện tích, thể tích . . . . . . . . . . 30
1.5 Ứng dụng tích vô hướng giải bài toán đại số . . . . . . . . . . . . . 39
1.5.1 Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5.2 Giải bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.3 Giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5.4 Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5.5 Tìm cực trị hình học và cực trị đại số . . . . . . . . . . . . 46
1.6 Bàitập................................. 49
Kết luận Chương 1 52
2 Tích giả vô hướng và tích có hướng 53
2.1 Tích giả vô hướng của hai vector trong E2.............. 53
2.1.1 Nhắc lại một số thuật ngữ và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.2 Tích giả vô hướng (tích ngoài) của hai vector . . . . . . . . 54
ii
2.1.3 Biểu diễn một số sự kiện hình học theo tích giả vô hướng . . 57
2.1.4 Ứng dụng vào diện tích đại số . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.1.5 Các ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2 Tích có hướng của hai vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.2 Tích hỗn tạp của 3 vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.3 Biểu diễn các sự kiện hình học . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.4 Ứng dụng của tích có hướng trong hình học . . . . . . . . . 67
2.2.5 Ứng dụng của tích có hướng trong Vật lý . . . . . . . . . . 72
2.3 Bàitập................................. 75
Kết luận và Đề nghị 77
Tài liệu tham khảo 79
1
Lời cảm ơn
Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng
dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, giảng viên cao cấp Trường
Đại học Hải Phòng. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy và xin
gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều Thầy đã dành cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo Sau đại học, các quý
Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K7B (khóa 2013-2015) Trường Đại học Khoa học -
Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo
điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn
động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực
hiện luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!
Tác giả
Nguyễn Trọng Nghĩa