Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ước lượng Gradient cho phương trình p-laplacian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung luận văn chủ yếu đề cập đến các kết quả đối với nghiệm dương của phương trình dạng p-Laplacian Lichnerowicz trên không gian đo metric trơn. Nhắc lại rằng không gian đo metric trơn là một bộ ba (M, g, dµ), trong đó (M,g) là một đa tạp Riemann n chiều, đủ và dµ:= e−fdv với f là một hàm trơn giá trị thực cố định trên M, trong đó dv là dạng thể tích Riemann. Trên M, ta xét toán tử vi phân ∆f, gọi là f-Laplacian. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Ước lượng Gradient cho phương trình p-laplacian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Lê Văn Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Lê Văn Đại ƯỚC LƯỢNG GRADIENT CHO PHƯƠNG TRÌNH p-LAPLACIAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. Nguyễn Thạc Dũng Hà Nội - Năm 2019
Mục lục Lời cảm ơn i Danh mục ký hiệu 1 Lời nói đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Hệ frame địa phương, toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Đa tạp Riemann và các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Trường tenxơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Đa tạp Riemann đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.4 Các toán tử trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.5 Độ cong m-Bakry-Émery Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Tích phân trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian 12 2.1 Ước lượng tích phân gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Ước lượng chuẩn Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Ước lượng gradient cho nghiệm phương trình p-Laplacian . . . . . 28 2.4 Các hệ quả và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 i
LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy, PGS. TS Nguyễn Thạc Dũng về sự hướng dẫn tận tình và sự truyền cảm hứng trong khoa học cũng như những mối quan tâm đặc biệt trong cuộc sống. Tiếp theo, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các cán bộ trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, đặc biệt là các thầy thuộc môn Giải tích, về những bài giảng sâu sắc, lôi cuốn và sự giúp đỡ chân thành. Tôi cũng cảm ơn các thành viên lớp Cao học khóa 2017-2019 về những sự giúp đỡ, trao đổi, sẻ chia trong suốt quá trình học tập tại trường ĐHKHTN- ĐHQGHN. Cuối cùng, tôi cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn động viên tôi trong học tập và cuộc sống. ii
Danh mục ký hiệu Rn Không gian Euclid thực n chiều A := B A định nghĩa bởi B Tp M Không gian tiếp xúc của đa tạp M tại điểm p TM Phân thớ tiếp xúc T ∗M Phân thớ đối tiếp xúc Tp∗ M Không gian đối ngẫu của Tp M tại điểm p (M, g) Đa tạp Riemann với metric g hX, Y i gp (X, Y ) p |X| Chuẩn của vectơ X: g(X, Y ) ∇ Toán tử gradient ui Tọa độ thứ i của véc tơ ∇u ∆ Toán tử Laplace div Toán tử divergence Hess Toán tử Hessian ⊗ Tích tensơ Ricf Tensor Barky-Émery Ricci trên đa tạp M B0 (R) Quả cầu trắc địa tâm 0, bán kính R k . kLp Phép lấy chuẩn trên không gian Lp . Ck Hàm trơn cấp k C0∞ Hàm trơn, có giá compact ∇X Y Liên thông Riemann của trường vectơ X, Y [X, Y ] Toán tử móc Lie du Toán tử vi phân của hàm thực u 1
MỤC LỤC V Thể tích quả cầu B0 (R) ∂/∂i Trường vectơ tọa độ ∂i Trường vectơ tọa độ 2 Kết thúc chứng minh 2
Lời nói đầu Nội dung luận văn chủ yếu đề cập đến các kết quả đối với nghiệm dương của phương trình dạng p-Laplacian Lichnerowicz trên không gian đo metric trơn. Nhắc lại rằng không gian đo metric trơn là một bộ ba (M, g, dµ), trong đó (M, g) là một đa tạp Riemann n chiều, đủ và dµ := e−f dv với f là một hàm trơn giá trị thực cố định trên M , trong đó dv là dạng thể tích Riemann. Trên M , ta xét toán tử vi phân ∆f , gọi là f -Laplacian, được định nghĩa bởi ∆f . := ∆. − h∇f, ∇.i . Trên không gian đo metric trơn có một sự tương tự rất tự nhiên của độ cong Ricci, gọi là độ cong m-Bakry-Émery Ricci, được xác định như sau ∇f ⊗ ∇f Ricm f := Ric + Hessf − (n < m ≤ ∞). m−n Đặc biệt, khi m = ∞, Ric∞ f := Ricf := Ric + Hessf gọi là độ cong Bakry-Émery. Độ cong này được giới thiệu ở [2] bởi Bakry-Émery khi nghiên cứu về sự khuếch tán trong lí thuyết về dòng Ricci. Trường hợp sử dụng m = n chỉ được xác định khi f là hàm hằng. Toán tử p-Laplace có trọng trên đa tạp M tác động trên các 1,p hàm u ∈ Wloc (M ) được định nghĩa theo nghĩa phân phối như sau ∆p,f u = ef div(e−f |∇u|p−2 ∇u), nghĩa là Z Z −f ∇|u|p−2 ∇u, ∇ϕ e−f dv ∆p,f uϕe dv = − Ω Ω với mọi Ω ⊂ M mở và ϕ ∈ W01,p (Ω) bất kì. Ước lượng gradient là một công cụ quan trọng trong giải tích hình học và đang được sử dụng rộng rãi ở nhiều lĩnh vực khác nhau, từ các định lí Liouville, các bất đẳng thức Harnack về nghiệm dương tới các dạng phương trình phi tuyến trên đa tạp Riemann. Kotschwar và Ni [1] đã thiết lập một ước lượng gradient địa phương cho các hàm p-harmonic với giả thiết độ cong bị chặn dưới. Gần 3
Lời nói đầu đây, Wang và Zhang [12] đã nghiên cứu về hàm p-hamonic và dẫn đến ước lượng gradient địa phương và bất đẳng thức Harnack với các hằng số mà chúng chỉ phụ thuộc vào cận dưới của độ cong Ricci, chiều đa tạp, bán kính hình cầu. Đối với phương trình p-Laplacian trên không gian đo trơn, một vài kết quả về ước lượng gradient và tính Liouville được trình bày ở [7]và [8]. Đặc biệt, hai tác giả L. Zhao và D. Yang [6] đã đưa ra ước gradient cho một dạng riêng của phương trình Lichnerowicz vốn xuất phát từ phương trình Halminton ràng buộc, đó là phương trình p -Laplacian Lichnerowicz ∆p,f u + cuσ = 0 trên không gian đo metric trơn,với c > 0, p > 1, σ ≤ p − 1 khi u > 0. Bên cạnh đó, tác giả L. Zhao cũng chứng minh các ước lượng gradient cho một số dạng khác, xem ở [5]. Luận văn sẽ thiết lập ước lượng gradient địa phương cho nghiệm dương của phương trình p-Laplacian phi tuyến tổng quát ∆p,f u + F (u) = 0, p>1 (∗) 0 với hàm F khả vi liên tục, thỏa mãn với u > 0 thì F (u) ≥ 0 và Fp−1 (u) u ≤ F (u). Khi đó, dễ thấy rằng bài toán mà hai tác giả L. Zhao và D. Yang nói đến ở [6] là một trường hợp riêng của bài toán (*). Do đó, luận văn đã mở rộng kết quả của bài báo [6]. Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ đưa ra một số hệ quả khi F là các hàm quan trọng thường gặp trong Vật lý Toán, chẳng hạn phương trình Allen-Cahn, phương trình Fisher. Ngoài ra, việc trình bày ước lượng gradient cho phương trình ∆p,f u + F (u) = 0 cũng đưa ra chứng minh chính xác hơn, và đính chính được các lỗi kỹ thuật tương đối nghiêm trọng trong bài báo [6]. Hà Nội, ngày 26 tháng 11 năm 2019 Lê Văn Đại 4
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này trình bày một số khái niệm liên quan đến hệ frame địa phương, đa tạp Riemann, các toán tử và định nghĩa tích phân trên đa tạp Riemann, từ đó làm tiền đề xây dựng chương 2. 1.1 Hệ frame địa phương, toàn cục Cho M là đa tạp trơn, có biên hoặc không có biên. Định nghĩa 1.1.1. (xem [9] tr.178) Cho M là đa tạp trơn và T M là phân thớ tiếp xúc của nó. Một trường vectơ trên M là một ánh xạ liên tục X : M → T M , thỏa mãn với mỗi p ∈ M thì X(p) = Xp , Xp ∈ Tp M . Nếu X là một ánh xạ trợn thì trường véc tơ tiếp xúc X được gọi là một trường véc tơ trơn. Lưu ý, xuyên suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm thì ta luôn giả thiết rằng trường véc tơ trên đa tạp trơn M là trơn. Định nghĩa 1.1.2. (xem [9] tr.178) Một hệ frame địa phương xác định trên tập mở U ⊆ M là bộ n thành phần trường vectơ (E1 , ..., En ) sao cho (E1 |p , ..., En |p ) lập nên cơ sở của Tp M với mỗi p ∈ U , khi U ≡ M thì nó được gọi là hệ frame toàn cục. Đặc biệt, nếu mỗi Ei là hàm trơn thì gọi là hệ frame trơn. 1.2 Đa tạp Riemann và các toán tử 1.2.1 Trường tenxơ Định nghĩa 1.2.1. (xem [9] tr.255) Cho π : E → M là một phân thớ véctơ. Một nhát cắt địa phương của E là một ánh xạ liên tục σ : M → E xác định trên tập mở U ⊆ M thỏa mãn πσ = IdU . Khi U ≡ M thì σ gọi là nhát cắt toàn cục. Sau đây, ta sẽ định nghĩa các phân thớ tenxơ trên M . 5
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.2.2. (xem [9] tr.316) Cho M là đa tạp trơn, có biên hoặc không có biên. Phân thớ k-tenxơ hiệp biến trên đa tạp M được định nghĩa bởi a T k T ∗ M := T k (Tp∗ M ), p∈M với T k (Tp∗ M ) = Tp∗ M ⊗ Tp∗ M ⊗ ... ⊗ Tp∗ M, (k lần), trong đó Tp∗ M là không gian đối ngẫu của không gian tiếp xúc Tp M . Tương tự, ta định nghĩa phân thớ k-tenxơ phản biến a T k T M := T k (Tp M ), p∈M và phân thớ tenxơ hỗn hợp dạng (k, `) bởi a T (k,`) T M := T (k,`) (Tp M ). p∈M Chú ý rằng, các phân thớ véctơ T k (T ∗ M ), T k (T M ) và T (k,`) (T M ) có cấu trúc tự nhiên là các phân thớ véctơ trơn trên M . Từ đây ta có định nghĩa về các trường tenxơ. Định nghĩa 1.2.3. (xem [9] tr.317) Một nhát cắt của một phân thớ tenxơ được gọi là một trường tenxơ (hiệp biến, phản biến, hỗn hợp) trên đa tạp M . Không gian các nhát cắt trơn của phân thớ k -tenxơ hiệp biến, k -tenxơ phản biến, (k, `)-tenxơ hỗn hợp được kí hiệu lần lượt là Γ(T k (T ∗ M )), Γ(T k (T M )) và Γ(T (k,`) (T M )), chúng là các không gian véctơ vô hạn chiều trên R. Nói riêng, không gian tất cả các trường k -tenxơ hiệp biến trơn được kí hiệu ngắn gọn là T k (M ). Trong bất kì hệ tọa độ trơn (xi ), các trường k -tenxơ hiệp biến có thể biểu diễn A = Ai1 ...ik dxi1 ⊗ . . . ⊗ dxik , các hàm Ai1 ...ik được gọi là các hàm thành phần của A trong hệ tọa độ đã chọn. 1.2.2 Đa tạp Riemann Định nghĩa 1.2.4. (xem [10] tr.24) Một metric Riemann trên M là một trường 2-tenxơ hiệp biến đối xứng, xác định dương tại mọi điểm trên M . Nói cách khác, một metric Riemann g trên M là một ánh xạ p 7→ gp ∈ L2 (Tp M ; R) sao cho các tính chất sau thỏa mãn 6
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị (i) gp (X, Y ) = gp (Y, X) với mỗi X, Y ∈ Tp M , (ii) gp (X, Y ) > 0 khi X , Y 6= 0, (iii) các hệ số gij trong mỗi biểu diễn địa phương X gp = gij (p)dxi |p ⊗dxj |p i;j đều là các hàm khả vi. Chú ý rằng, với mỗi p ∈ M thì gp là một tích vô hướng trên Tp M . Vì thế, ta thường sử dụng hX, Y i để biểu thị số thực g(X, Y ) với X, Y ∈ Tp M . Hơn nữa, giống như hình học Euclid, chiều dài hay chuẩn của véctơ X ∈ Tp M được định nghĩa là |X| := hX, Xi1/2 . Định nghĩa 1.2.5. (xem [9] tr.330) Đa tạp Riemann là một cặp (M, g), trong đó M là đa tạp trơn và g là một metric Riemann trên M . Đến đây, áp dụng thuật toán Gram- Schmidt cho các hệ frame địa phương, ta có bổ đề về sự tồn tại hệ frame địa phương trực giao sau: Bổ đề 1.2.1. Cho (M, g) là đa tạp có biên hoặc không biên. Với mỗi p ∈ M , tồn tại một hệ frame trực giao, trơn trên một lân cận của điểm p. Bổ đề này có ý nghĩa quan trọng trong quá trình tính toán trên các hệ tọa độ địa phương. Nó giúp việc tính toán trở nên thuận tiện và gọn nhẹ. 1.2.3 Đa tạp Riemann đủ Một trong những công cụ quan trọng nhất mà metric Riemann mang lại đó là khả năng xác định độ dài cung. Định nghĩa 1.2.6. (xem [9] tr.337) Cho (M, g) là đa tạp Riemann liên thông có biên hoặc không biên. Nếu γ : [a, b] → M là một đoạn cong trơn từng khúc, độ dài γ được định nghĩa như sau: Z b Lg (γ) = |γ 0 (t)|g dt. a Sau đây, khi nói đến đa tạp Riemann, ta luôn giả thiết rằng đa tạp đó là liên thông. Với p, q ∈ M , khoảng cách Riemann từ p đến q , kí hiệu dg (p, q), là giá trị infimum của Lg (γ) trên tất cả các đoạn cong trơn từng khúc từ p đến q . Từ đây ta có định lí về không gian metric của đa tạp M . 7
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Định lý 1.2.1. (xem [9] tr.339) Cho (M, g) là đa tạp Riemann liên thông. Với hàm khoảng cách Riemann, M là một không gian metric mà topo metric của nó trùng với topo đa tạp ban đầu. Định nghĩa 1.2.7. (xem [9] tr.340) Đa tạp Riemann liên thông (M, g) được gọi là đủ nếu (M, dg ) là một không gian metric đủ. Tức là, mọi dãy Cauchy trong M hội tụ tới một điểm trong M . 1.2.4 Các toán tử trên đa tạp Riemann Định nghĩa 1.2.8. (xem [13] tr.41) Gradient của hàm ϕ theo metric Riemann g là toán tử ∇g : C ∞ (M ) → Γ(T M ) thỏa mãn g(∇g ϕ, X) = dϕ(X), với mỗi X ∈ Γ(T M ). Với ϕ, ψ ∈ C 1 (M ), ta có các tính chất sau: (i) ∇g (ϕ + ψ) = ∇g (ϕ) + ∇g (ψ); (ii) ∇g (ϕ.ψ) = ϕ∇g ψ + ψ∇g ϕ. Định nghĩa 1.2.9. (xem [13] tr.42) Toán tử divergence, kí hiệu div trên (M, g) là ánh xạ divg : Γ(T M ) → C ∞ (M ) sao cho d(ιX ωg ) = divg X.ωg , với mỗi X ∈ Γ(T M ), trong đó ιX là phép nhân trong và ωg là dạng thể tích Riemann ứng với metric g của đa tạp M . Với X, Y là các trường véctơ trơn bất kì, ϕ ∈ C ∞ (M ), ta có: (i) divg (X + Y ) = divg X + divg Y ; (ii) divg (ϕX) = ϕdivg X + h∇g ϕ, Xig . Định nghĩa 1.2.10. (xem [10] tr.49,50) Một liên thông Riemann ∇ trên đa tạp Riemann (M, g) là một ánh xạ ∇ : T (M ) × T (M ) → T (M ), (X, Y ) 7→ ∇X Y. nó biến hai trường vectơ khả vi đã cho X, Y thành trường vectơ khả vi thứ ba ∇X Y sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: 8
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị (i) ∇X Y tuyến tính trên C ∞ (M ) trong X : ∇f X1 +gX2 Y = f ∇X1 Y + g∇X2 Y với f, g ∈ C ∞ (M ); (ii) ∇X Y tuyến tính trên R trong Y : ∇X (aY1 + bY2 ) = a∇X Y1 + b∇X Y2 với a, b ∈ R. (iii) ∇ thỏa mãn luật nhân: ∇X (f Y ) = f ∇X Y + (Xf )Y f ∈ C ∞ (M ). Định nghĩa 1.2.11. (xem [4] tr.246) Hessian của hàm f , kí hiệu Hessf là một trường 2-tenxơ hiệp biến thỏa mãn Hessf (X, Y ) = X(Y f ) − (∇X Y )f, ở đây, kí hiệu ∇ là liên thông Rienman. Định nghĩa 1.2.12. (xem [13] tr.43) Toán tử Laplace trên (M, g) là ánh xạ ∆g : C ∞ (M ) → C ∞ (M ) (1.1) sao cho ∆g = divg ∇g . Khi ϕ, ψ ∈ C ∞ (M ) thì (i) ∆g (ϕ + ψ) = ∆g ϕ + ∆g ψ ; (ii) ∆g (ϕψ) = ψ∆g ϕ + ϕ∆g ψ + 2 h∇g ϕ + ∇g ψig . 1.2.5 Độ cong m-Bakry-Émery Ricci Định nghĩa 1.2.13. Không gian đo metric trơn là một bộ ba (M, g, dµ), trong đó (M, g) là một đa tạp Riemann n chiều đủ và dµ := e−f dv với f là một hàm trơn giá trị thực cố định trên M . Sau đây, ta sẽ định nghĩa độ cong m-Bakry-Émery Ricci trên không gian đo metric trơn. Định nghĩa 1.2.14. (xem [10] tr.117) Cho M là đa tạp Riemann, tự đồng cấu độ cong (Riemann) là ánh xạ R: T (M ) × T (M ) × T (M ) → T (M ) được xác định như sau: R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z, trong đó [X, Y ] là tích Lie của hai trường véctơ X và Y . 9
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong hệ tọa độ địa phương (xi ),tự đồng cấu độ cong có biểu diễn ` R = Rijk dxi ⊗ dxj ⊗ dxk ⊗ ∂` , ` được xác định bởi với các hệ số Rijk ` R(∂i , ∂j )∂k = Rijk ∂` . Định nghĩa 1.2.15. (xem [10] tr.124) Độ cong Ricci hay tenxơ Ricci, kí hiệu Ric là một trường 2-tenxơ hiệp biến được định nghĩa dựa trên vết của tự đồng cấu độ cong sao cho k Rij := Rkij . Định nghĩa 1.2.16. Độ cong m-Bakry-Émery Ricci, được xác định như sau ∇f ⊗ ∇f Ricm f := Ric + Hessf − (n < m ≤ ∞). m−n Khi m = ∞, Ric∞ f := Ricf := Ric + Hessf gọi là độ cong Bakry-Émery Ricci cổ điển. 1.3 Tích phân trên đa tạp Riemann Cho M là đa tạp trơn, n chiều, định hướng, có biên hoặc không có biên. Ta kí hiệu không gian véctơ các k -dạng trơn là Ωn (M ). Định nghĩa 1.3.1. (xem [9] tr.404) Giả sử rằng ω là một n-dạng vi phân trên M , có giá compact tương đối trong miền thuộc bản đồ đơn, trơn xác định dương hoặc âm (U, ϕ). Tích phân của ω trên M được định nghĩa như sau Z Z ω=± (ϕ−1 )∗ ω. M ϕ(U ) Tiếp theo, giả sử ω có giá compact trong M , gọi {ϕj }∞ j=1 là một phân hoạch đơn vị của M gồm các bản đồ địa phương trơn. Khi đó, ta định nghĩa Z X∞ Z ω= ϕj ω, M j=1 M trong đó Z ϕj ω M được định nghĩa như trên. Chúng ta có thể chứng minh được rằng định nghĩa tích phân của ω trên M là đúng đắn, tức là định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn phân hoạch dơn vị trên M . 10
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Mệnh đề 1.3.1. (xem [9] tr.389) Tồn tại duy nhất một dạng trơn, định hướng ωg ∈ Ωn (M ), gọi là dạng thể tích Riemann, thỏa mãn ωg (E1 , . . . , En ) = 1 với mọi cơ sở frame định hướng địa phương, trực giao (Ei ) trên M . Mệnh đề 1.3.2. (xem [9] tr.389) Cho (M, g) là đa tạp Riemann, trong bất kì hệ bản đồ trơn (xi ), dạng thể tích Riemann có biểu diễn địa phương p ωg = det(gij )dx1 ∧ . . . ∧ dxn . Định nghĩa 1.3.2. (xem [9] tr.422) Gọi ωg là dạng thể tích Riemann của đa tạp Riemann (M, g), f là hàm thực liên tục có giá compact tương đối trên M , R khi đó giá trị M f ωg gọi là tích phân của f trên M . R Nếu M là compact thì thể tích của M được xác định là Vol(M ) = M ωg . Do vậy, dạng thể tích Riemann thường được kí hiệu là dvg . Theo đó, tích phân của R f trên M được viết thành M f dvg . Nếu f có giá trong miền thuộc bản đồ đơn, trơn, định hướng (U, ϕ), từ các mệnh đề trên suy ra Z Z p f dvg = f (x) det(gij )dx1 ∧ . . . ∧ dxn . M ϕ(U ) 11
Chương 2 Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian Xét phương trình p-Laplacian ∆p,f u + F (u) = 0 (2.1) 1,p trên không gian đo metric trơn, với u ∈ Wloc (M ), hàm F khả vi liên tục thỏa F 0 (u) mãn F (u) ≥ 0 và p−1 u ≤ F (u) khi u > 0. Trong đó, ∆p,f u là toán tử p-Laplace có trọng với p > 1, tức là ∆p,f u = ef div(e−f |∇u|p−2 ∇u) theo nghĩa phân phối. Chúng ta sẽ từng bước xây dựng ước lượng gradient địa phương cho các nghiệm dương đối với phương trình (2.1). Đầu tiên ta phát biểu nội dung định lí chính: Định lý 2.0.1. Cho (M, g, dµ) là một không gian đo metric trơn với Ricm f ≥ −(m − 1)K , K là một hằng số không âm. Giả sử rằng u là một nghiệm dương của (2.1) trên hình cầu B0 (R) ⊂ M . Khi đó tồn tại một hằng số Cp,m chỉ phụ thuộc vào p và m sao cho √ |∇u| 1 + KR ≤ Cp,m (2.2) u R trên hình cầu B0 ( R2 ). Nhờ vào việc chứng minh Định lí 2.0.1 mà ta có thể chứng minh được một số kết quả khi f là những hàm thường gặp quan trọng. Đầu tiên là phương trình Allen-Cahn. Hệ quả 2.0.1. Cho (M, g, dµ) là một không gian đo metric trơn không compact với Ricm f ≥ −(m − 1)K , K là hằng số không âm. Nếu u là nghiệm của phương trình ∆p,f u + u(1 − u2 ) = 0, 2 ≤ p ≤ 4, 12
Chương 2. Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian thỏa mãn 0 < u ≤ 1 trên hình cầu B0 (R) ⊂ M thì √ |∇u| 1 + KR ≤ Cp,m u R trên hình cầu B0 ( R2 ), trong đó Cp,m là hằng số chỉ phụ thuộc vào p và m. Đặc biệt, khi K = 0 và 0 < u ≤ 1 trên M thì u ≡ 1 trên M . Tương tự, ta có phương trình Fisher. Hệ quả 2.0.2. Cho (M, g, dµ) là một không gian đo metric trơn không compact với Ricm f ≥ −(m − 1)K , hằng số K ≥ 0. Nếu u là nghiệm dương, không lớn 1 của phương trình ∆p,f u + cu(1 − u) = 0, 2 ≤ p ≤ 3, c > 0, trên hình cầu B0 (R) ⊂ M thì √ |∇u| 1 + KR ≤ Cp,m u R trên hình cầu B0 ( R2 ), với Cp,m chỉ phụ thuộc vào p và m. Khi K = 0 và 0 < u ≤ 1 trên M thì u ≡ 1 trên M . Cuối cùng, ta có hệ quả sau liên quan đến phương trình Lichnerowicz tổng quát trong lý thuyết tương đối. Hệ quả 2.0.3. Giả sử (M, g, dµ) là một không gian đo metric trơn không compact với Ricm f ≥ −(m − 1)K , K là hằng số không âm. Gọi u là nghiệm của phương trình ∆p,f u + ua − ub = 0, với p nằm giữa 1 + a và 1 + b. Khi đó nếu 0 ≤ a < b mà 0 < u ≤ 1 hoặc nếu a > b ≥ 0 mà u ≥ 1 trên hình cầu B0 (R) ⊂ M . Khi đó tồn tại một hằng số Cp,m chỉ phụ thuộc vào p và m sao cho √ |∇u| 1 + KR ≤ Cp,m u R trên hình cầu B0 ( R2 ). Đặc biệt, nếu K = 0 và 0 < u ≤ 1 trên M khi 0 ≤ a < b hoặc u ≥ 1 trên M khi a > b ≥ 0 thì u ≡ 1 trên M . Sau đây, ta đến với phần chứng minh định lí chính. Để thuận tiện, giả sử u là nghiệm của phương trình (2.1), ta đặt v và w như sau: v = (p − 1)lnu, w = |∇v|2 . Với các khái niệm như trên, để chứng minh Định lí 2.0.1, ta chủ yếu dựa vào hai bổ đề: 13
Chương 2. Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian Bổ đề 2.0.1. Ước lượng tích phân gradient Cho η ∈ C0∞ (B0 (R)) là không âm và với giả thiết như Định lí 2.0.1. Khi đó tồn tại các hệ số d1 , d2 , d3 chỉ phụ thuộc vào p và m sao cho Z Z p+b−1 |∇(w 2 η)|2 + b2 d1 wp+b η 2 B0 (R) B0 (R) Z Z p+b−1 2 2 ≤ bd2 w |∇η| + Kb d3 p(m − 1)wp+b−1 η 2 . B0 (R) B0 (R) Bổ đề 2.0.2. Ước lượng chuẩn Lp Với giả thiết như Định lí 2.0.1 và b0 > 0 đủ lớn và R > 0, tồn tại d4 (p, m) > 0 sao cho b20 m−2 kwk L 0 m (b +p−1) m−2 (B0 ( 34 R)) ≤ d4 2 V m(b0 +p−1) . R Kết cấu chương 2 gồm có 4 phần. Phần 1 (Mục 2.1) là chứng minh Bổ đề 2.0.1, nội dung bổ đề này là đưa ra được một bất đẳng thức về ước lượng tích phân gradient của hàm w, đây là một kết quả quan trọng để chứng minh Bổ đề 2.0.2. Trong Mục 2.2, ta sẽ chứng minh Bổ đề 2.0.2, nhờ bổ đề này, ta thu được một chặn trên của k w k trên không gian Lp . Tiếp theo bằng cách sử dụng phép lặp Moser (thực chất là một phép truy hồi) và lấy giới hạn, ta có được một chặn trên của k w kL∞ , đây là chìa khóa dẫn đến cách chứng minh Định lí 2.0.1 ở mục 2.3. Phần cuối (Mục 2.4) dùng để chứng minh các hệ quả đã nói ở trên. 2.1 Ước lượng tích phân gradient Trước khi chứng minh định lí này, ta cần một số định nghĩa và bổ đề sau: Định nghĩa 2.1.1. (xem [14]) Toán tử tuyến tính hóa của toán tử p-Laplace có trọng tương ứng với u ∈ C 2 (M ) sao cho ∇u 6= 0 được cho bởi Lf (ψ) = ef div(e−f |∇u|p−2 A(∇ψ)), trong đó ψ là một hàm trơn trên M và A là một tenxơ được xác định bởi ∇u ⊗ ∇u A = Id + (p − 2) . |∇u|2 Bằng tính toán trực tiếp, ta có h∇u, ∇ψi Lf (ψ) =(p − 2)∆p,f u + (p − 2)|∇u|p−4 Hessψ(∇u, ∇u) |∇u|2 p−2 p−4 ∇u ∇u + |∇u| ∆f ψ + 2(p − 2)|∇u| Hessu ∇u, ∇ψ − , ∇ψ . |∇u| |∇u| 14
Chương 2. Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian Kí hiệu Lf là tổng các thành phần bậc hai của Lf , do vậy h∇u, ∇ψi Lf = (p − 2)∆p,f u + (p − 2)|∇u|p−4 Hessψ(∇u, ∇u). |∇u|2 Bổ đề 2.1.1. (xem [14]) Cho (M, g, dµ) là một không gian đo metric trơn và hàm u ∈ C 3 (M ). Khi đó nếu |∇u| = 6 0 thì 1 Lf (|∇u|p ) =|∇u|2p−4 |Hessu| + p(p − 2)(∆∞ u)2 + Ricf (∇u, ∇u) p (2.3) p−2 + |∇u| ∇∆p,f u, ∇u − (p − 2)∆∞ u∆p,f u , Hessu(∇u,∇u) với ∆∞ u := |∇u|2 , hơn nữa 1 Lf (|∇u|p ) = |∇u|2p−4 |Hessu|2A + Ricf (∇u, ∇u) + |∇u|p−2 ∇u, ∇∆p,f u , (2.4) p trong đó |Hessu|2A = Aik Ajl uij ukl và A xác định như trên. Chứng minh. Chọn hệ frame địa phương trực giao của trường vectơ e1 , ..., en với en = n là véctơ pháp tuyến trên ∂M , kí hiệu ui = du(ei ), uij = Hessu(ei , ej ). Đặt w := |∇u|2 . Khi đó wi = 2uk uki , wj = 2u` u`j và wij = 2ukj uki + 2uk ukij , dẫn đến ∆∞ u = ui uwij uj = h∇w,∇ui 2w . Bây giờ tính ∆∞ (|∇u|p ) và Hess(|∇u|p ). Áp dụng công thức Bochner [11], ta có |∇w|2 1 p 1 p p ∆f (w 2 ) = w 2 −1 ∆f w + ( − 1) p 2 2 w |∇w|2 p −1 2 =w 2 |Hessu| + Ricf (∇u, ∇u) + ∇u, ∇∆f u + (p − 2) , 4w và 1 p 1 p p wi wj ∇i ∇j (w 2 ) = w 2 −1 wij + ( − 1) p 2 2 w p −1 uk uki ul ulj =w 2 ukj uki + uk ukij + (p − 2) , w với ∇i = ∇ei . Điều này dẫn đến p 1 (∇i ∇j w 2 )ui uj −1 ukj uj uki ui uk ui uj ukij uk uki ui ul ulj uj p =w 2 + + (p − 2) p w w w w2 |∇w |2 uk ui uj ukij p = w 2 −1 + + (p − 2)(∆∞ u)2 . 4w w 15
Chương 2. Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian Ta đạt được p 1 1 p p (∇i ∇j w 2 )ui uj Lf (|∇u|p ) = w 2 −1 ∇f w + (p − 2) 2 p p w |∇w|2 p−2 2 =w |Hessu| + Ricf (∇u, ∇u) + ∇u, ∇∆f u + (p − 2) 4w |∇w |2 uk ui uj ukij + (p − 2) + + (p − 2)(∆∞ u)2 . 4w w Mặt khác u u u i j ij h∇u, ∇∆∞ ui = uk w k uijk ui uj uk uk uik uj uij uk ujk ui uij 2uk u` uk` ui uj uij = + + − w w w w2 uijk ui uj uk |∇w| 2 = + − 2(∆∞ u)2 , w 2w và p ∇u, ∇∆p,f u = ∇u, ∇ w 2 −1 (∆f u + (p − 2)∆∞ u) p =w 2 −1 ( ∇u, ∇∆f u + (p − 2) h∇u, ∇∆∞ ui p p + ( − 1)w− 2 h∇u, ∇wi ∆p,f ) 2 Do đó, ta có được 1 p Lf (|∇u|p ) =wp−2 |Hessu|2 + Ricf (∇u, ∇u) + w1− 2 ∇u, ∇∆p,f u p p + (p − 2)wp−2 ∆∞ u p∆∞ u − w1− 2 ∆p,f u . Điều này dẫn tới (2.3). Hơn nữa, thành phần bậc nhất của L được cho bởi 1 p 1 p Lf (w 2 ) − Lf (w 2 ) p p p −1 h∇u, ∇wi h∇u, ∇wi = (p − 2)w 2 ∆p,f u + (p − 2)wp−3 Hess ∇u, ∇w − ∇u 2w w |∇w|2 p −1 = (p − 2)w 2 ∆p,f u∆∞ u + (p − 2) − 2(∆∞ u)2 . 2w 16