Mục đích chính của luận văn là giới thiệu một số nghiên cứu gần đây của Zhang, Yang, Banerjee, Chakraborty một số tác giả khác theo hướng nghiên cứu nói trên. Mời các bạn tham khảo!
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vấn đề duy nhất của lũy thừa một hàm phân hình chung nhau một tập với đạo hàm cấp cao của chúng
- ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TỐNG THÁI DƯƠNG
VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA LŨY THỪA MỘT
HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU MỘT TẬP
VỚI ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA CHÚNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2020
- ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TỐNG THÁI DƯƠNG
VẤN ĐỀ DUY NHẤT CỦA LŨY THỪA MỘT
HÀM PHÂN HÌNH CHUNG NHAU MỘT TẬP
VỚI ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA CHÚNG
Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS HÀ TRẦN PHƯƠNG
Thái Nguyên - 2020
- Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung
thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng các
kết quả nêu trong luận văn, tài liệu tham khảo và nội dung trích dẫn đảm
bảo tính trung thực chính xác.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020
Người viết luận văn
Tống Thái Dương
Xác nhận Xác nhận
của trưởng khoa Toán của người hướng dẫn
Trần Nguyên An PGS. TS. Hà Trần Phương
i
- Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô
giáo Khoa Toán, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường và các Quý
Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K26 trường Đại học Sư phạm- Đại học
Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu, đã trang bị
kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập
và nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS. Hà Trần Phương,
người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến
thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn một
cách hoàn chỉnh.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã
động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô
và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020
Người viết luận văn
Tống Thái Dương
ii
- Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Các hàm Nevanlinna và định lý cơ bản thứ nhất . . . . . . 3
1.2 Định lý cơ bản thứ hai và quan hệ số khuyết . . . . . . . . 8
1.3 Một số tính chất nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Vấn đề duy nhất 16
2.1 Một số bổ đề chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Trường hợp hàm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Trường hợp hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Kết luận 40
Tài liệu tham khảo 42
iii
- Mở đầu
Cho f là một hàm phân hình trên mặt phẳng phức C. Ta kí hiệu
E f (a) = f −1 (a) = {z ∈ C : f (z) = a}
Ef (a) = {(z, n) ∈ C × N : f (z) = a, ordf −a (z) = n}.
Cho S là một tập con của mặt phẳng phức mở rộng, ta kí hiệu
[ [
E(S) = E f (a) và Ef (S) = Ef (a).
a∈S a∈S
Cho f và g là hai hàm trên mặt phẳng phức C và a là một giá trị phức. Ta
nói rằng f và g chung nhau a kể cả bội nếu Ef (a) = Eg (a). Ta nói rằng f
và g chung nhau a không kể bội nếu E f (a) = E g (a). Tương tự, ta nói f và
g tập S kể cả bội nếu Ef (S) = Eg (S), ta nói rằng f và g chung nhau tập
S không kể bội nếu E f (S) = E g (S).
Cho f là một hàm phân hình, một hàm phân hình a(z) được gọi là hàm
nhỏ của f nếu T (r, a) = o(T (r, f )). Với hàm phân hình f , ta ký hiệu
log log T (r, f )
ρ2 (f ) = lim sup .
r→∞ log r
Năm 1976, Rubel và Yang ([3]) đã chứng minh: Cho f là một hàm nguyên
khác hằng, nếu f và f 0 chung nhau hai giá trị hữu hạn phân biệt a và b
kể cả bội thì f = f 0 . Năm 1979, Mues và Steinmetz ([2]) đã chứng minh
kết quả tương tự khi thay điều kiện chung nhau kể cả bội bởi chung nhau
không kể bội. Từ những công trình này của các tác giả đã nảy sinh vấn đề
duy nhất cho các hàm phân hình với đạo hàm của chúng.
1
- Năm 2008, Yang ([4]) đã xem xét vấn đề nghiên cứu của Rubel và Yang
khi thay thế f với lũy thừa bậc n của nó và đã chứng minh: Nếu F và
F 0 chung nhau nhau giá trị 1 kể cả bội thì F = F 0 , trong đó F = f n ,
với f là hàm nguyên và n > 7 hoặc f là hàm phân hình và n > 12. Năm
2009, Zhang ([4]) đã nghiên cứu lại vấn đề trên theo hướng giảm n xuống
và chứng minh được các kết quả đó vẫn còn đúng khi n > 6 đối với hàm
nguyên và n > 7 đối với hàm phân hình. Gần đây các tác giả xem xét mở
rộng kết quả của Rubel, Yang và Zhang theo các hướng:
Xem xét lại các vấn đề trên khi thay đạo hàm bậc nhất bởi đạo hàm
bậc cao.
Xem xét lại các vấn đề trên khi thay giá trị 1 bởi một tập hợp.
Xem xét lại các vấn đề trên khi thay giá điều kiện chung nhau kể cả
bội bởi chung nhau không kể bội.
Mục đích chính của luận văn là giới thiệu một số nghiên cứu gần đây
của Zhang, Yang, Banerjee, Chakraborty một số tác giả khác theo hướng
nghiên cứu nói trên.
Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020
Người viết luận văn
Tống Thái Dương
2
- Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Các hàm Nevanlinna và định lý cơ bản thứ nhất
Định nghĩa 1.1.1. Cho f là một hàm xác định trên mặt phẳng phức C,
lấy giá trị trên C, D ⊂ C là một miền. Ta nói f chỉnh hình tại z0 ∈ C nếu
tồn tại một lân cận U của z0 sao cho
∞
X
f (z) = cn (z − z0 )n
n=0
với mọi z ∈ U , trong đó cn ∈ C là các hằng số. Hàm f (z) được gọi là chỉnh
hình trên D nếu nó chỉnh hình tại mọi z ∈ D.
Ví dụ 1.1.2. Hàm f (z) = z chỉnh hình trên tập mở bất kỳ trong C. Bất
kỳ đa thức
P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n
chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng thức.
Ví dụ 1.1.3. Hàm 1/z chỉnh hình trong tập mở bất kỳ của C mà không
chứa điểm gốc tọa độ.
Định nghĩa 1.1.4. Hàm f (z) được gọi là hàm nguyên nếu nó chỉnh hình
trong toàn mặt phẳng phức C.
2
Ví dụ 1.1.5. Hàm f (z) = ez , g(z) = e−πz chỉnh hình trên toàn mặt phẳng
phức C nên chúng là hàm nguyên.
3
- Với hàm f : C → C, điểm z0 ∈ C được gọi là điểm bất thường cô lập của
hàm f (z) nếu f (z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của z0 , trừ ra tại
chính z0 . Điểm bất thường cô lập của z0 của hàm f (z) được gọi là
(i) Điểm bất thường khử được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lim f (z).
z→z0
(ii) Cực điểm của f (z) nếu lim f (z) = ∞.
z→z0
(iii) Điểm bất thường cốt yếu của hàm f (z) nếu không tồn tại lim f (z).
z→z0
Định nghĩa 1.1.6. Hàm f (z) được gọi là phân hình trong miền D ⊂ C nếu
nó chỉnh hình trong miền D, trừ ra một số hữu hạn các điểm bất thường
cực điểm. Nếu D = C thì ta nói f (z) là hàm phân hình trên C, hay đơn
giản là hàm phân hình.
Nhận xét 1.1.7. Nếu f (z) là hàm phân hình trên D thì trong mỗi lân cận
của z ∈ D hàm f (z) biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnh
hình.
Định nghĩa 1.1.8. Điểm z0 được gọi là không điểm cấp m của hàm f (z)
nếu trong lân cận của z0 , hàm f (z) có biểu diễn f (z) = (z − z0 )m h(z),
trong đó h(z) chỉnh hình trong lân cận của z0 và h(z0 ) 6= 0. Điểm z0 được
gọi là cực điểm cấp m ≥ 0 của hàm f (z) nếu z0 là không điểm cấp m của
1
hàm .
f (z)
Với hàm phân hình f , ta kí hiệu
m nếu z0 là không điểm cấp m của f (z)
ordf (z0 ) = 0 nếu f (z0 ) 6= 0, ∞
−m nếu z là cực điểm cấp m của f (z)
0
Nhận xét 1.1.9. Nếu f (z) là hàm phân hình trên D thì f 0 (z) cũng là hàm
phân hình trên D. Hàm f (z) và f 0 (z) có cùng cực điểm, đồng thời nếu z0
là cực điểm cấp m ≥ 0 của f (z) thì nó là cực điểm cấp m + 1 của f 0 (z).
Hơn nữa, hàm f (z) có không quá đếm được các cực điểm trên D.
4
- Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm, hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng Nevanlinna
của một hàm phân hình. Với mỗi số thực dương x ∈ R∗+ , kí hiệu
(
log x nếu x ≥ 1
log+ (x) =
0 nếu 0 < x < 1.
Như vậy
log+ (x) = max{log x, 0}
và
1
log x = log+ x − log+ .
x
Cho f : C → C là một hàm phân hình, với một số thực R > 0, ta có
Z2π
1
log
- f (Reiϕ )
- dϕ
-
-
2π
0
Z2π Z2π
-
-
1 1 1
-
log+
- f (Reiϕ )
- dϕ − +
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
