Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về môđun Cohen - Macaulay dãy

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong phạm trù các môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò trung tâm và cấu trúc của chúng đã được biết đến một cách khá trọn vẹn thông qua nhiều lý thuyết quan trọng của Đại số giao hoán: Phân tích nguyên sơ, đối đồng điều địa phương,.... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về môđun Cohen - Macaulay dãy

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY DÃY LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY DÃY Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 604. 601. 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. NGUYỄN TỰ CƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2016
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi xin cam đoan mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2016 Tác giả Nguyễn Thị Thu i
Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành vào tháng 03/2016 dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Tự Cường. Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, những bài học quý giá từ trang giấy và cả những bài học trong cuộc sống thầy dạy giúp tôi tự tin hơn và trưởng thành hơn nhiều. Tôi xin cảm ơn Phòng Sau đại học - Đại học sư phạm Thái nguyên đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành sớm khóa học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả các thầy cô ở Đại học Thái Nguyên và các thầy ở Viện toán với những bài giảng đầy nhiệt thành và tâm huyết, xin cảm ơn các thầy cô đã luôn quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, tạo điều kiện cho tôi tham gia các buổi xemina và các lớp học ngoài chương trình. Tôi xin cảm ơn tất cả các anh em bạn bè nghiên cứu sinh đã động viên giúp đỡ tôi nhiệt tình trong quá trình học và làm luận văn. Tôi xin được gửi cảm ơn tới tất cả thành viên trong gia đình đã tạo điều kiện cho tôi được học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Chiều Krull của vành và môđun . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Hệ tham số và bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Đồng điều Koszul và đối đồng điều địa phương . . . . . . 7 1.4 Môđun Cohen-Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Môđun Cohen-Macaulay dãy 13 2.1 Lọc chiều và hệ tham số tốt . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Tính chất của môđun Cohen-Macaulay dãy . . . . . . . . 22 2.3 Đặc trưng tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 iii
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 iv
Lời nói đầu Luận văn trình bày về môđun Cohen-Macaulay dãy và sử dụng tài liệu tham khảo chính là bài báo [5]: N. T. Cường and D. T. Cuong (2007), "On Sequentialy Cohen-Macaulay Modules", Kodal Math. J., 30, 409-428. Nội dung của luận văn bao gồm: Định nghĩa và các tính chất cơ bản của lọc chiều, hệ tham số tốt; định nghĩa và tính chất cơ bản của môđun Cohen-Macaulay dãy, đặc trưng của lớp môđun này với đầy đủ chứng minh. Khái niệm về môđun Cohen-Macaulay dãy được giới thiệu đầu tiên bởi Stanley trong [11] cho vành phân bậc. Tương tự, các tác giả hai bài báo [6] và [9] định nghĩa Môđun Cohen-Macaulay dãy trên vành địa phương. Cho M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương R với dim M = d. Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu tồn tại một lọc các môđun con của M D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M sao cho mỗi môđun Di /Di−1 là Cohen-Macaulay và 0 < dim D1 /D0 < dim D2 /D1 < ... < dim Dt /Dt−1 = d. Khi đó lọc D ở trên được gọi là lọc Cohen-Macaulay. Lọc này xác định duy nhất và trùng với lọc chiều của M ([6], Bổ đề 4.4 (ii)). Lọc chiều của M được định nghĩa như sau: Một lọc D của M được gọi là lọc chiều nếu thỏa mãn hai tính chất: D0 = Hm0 (M ) (đối đồng điều địa phương thứ 0 của M ứng với giá iđêan cực đại m) và Di−1 là môđun con lớn nhất của Di thỏa mãn dim Di−1 < dim Di với mọi i = t, t − 1, ..., 1. ([5], Định nghĩa 2.1). Nếu t = 1, khi đó M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu `R (D0 ) < ∞ và D1 /D0 là Cohen-Macaulay. Theo lý thuyết về bội thì 1
trong trường hợp này M là Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu tồn tại hệ tham số tốt x = (x1 , ..., xd ) của M sao cho `(M/xM ) = `R (D0 )+e(x; D1 ). Trong đó hệ tham số tốt x = (x1 , ..., xd ) của M được định nghĩa là hệ tham số tốt ứng với lọc chiều D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M của M , tức là Di ∩ (xdi +1 , ..., xd )M = 0, với mọi i = 0, 1, ..., t − 1 ([5], Định nghĩa 2.2). Ta biết rằng với môđun N hữu hạn sinh trên một vành Noether địa phương, y là một hệ tham số của N thì N là Cohen- Macaulay nếu và chỉ nếu `(N/yN ) = e(y; N ) ([3], Định lý 4.7.10). Đối với môđun Cohen-Macaulay dãy trong [4] đã chỉ ra rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay dãy thì `(M/xM ) = ti=0 e(x1 , ..., xdi ; Di ). Câu hỏi đặt P ra rằng các khẳng định sau có đúng không. 1) M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu với mọi hệ tham số tốt x = (x1 , ..., xd ) của M thì `(M/xM ) = ti=0 e(x1 , ..., xdi ; Di ) P với mọi i = 0, ..., t, với d = dim M và di = dim(Di ). 2) M là môđun Cohen-Macaulay dãy nếu và chỉ nếu với một hệ tham số tốt x = (x1 , ..., xd ) của M thì `(M/xM ) = ti=0 e(x1 , ..., xdi ; Di ) P với mọi i = 0, ..., t, với d = dim M và di = dim(Di ). Bài báo [5] đã chứng minh được khẳng định thứ nhất là đúng (xem Định lý 2.3.2), khẳng định thứ hai nói chung không đúng (xem Ví dụ 2.3.7). Luận văn được chia làm hai chương: Chương 1: Chương này nhắc lại một số kiến thức được dùng trong chương tiếp theo: Chiều Krull của vành và môđun, hệ tham số và bội, phức Koszul và đồng điều Koszul, môđun Cohen-Macaulay. Chương 2: Chương này gồm ba phần. Phần một nói về lọc chiều và hệ tham số tốt. Phần hai trình bày tính chất của môđun Cohen- 2
Macaulay dãy, dd-dãy và chứng minh đặc trưng thứ nhất của môđun Cohen-Macaulay dãy. Phần ba đưa ra câu trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở trên (Định lý 2.3.2 và Định lý 2.3.3). 3
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chiều Krull của vành và môđun Định nghĩa 1.1.1. Cho R là vành giao hoán. (i) Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của R P0 ! P1 ! ... ! Pn được gọi là một xích nguyên tố độ dài n. (ii) Cho P là một iđêan nguyên tố của R. Cận trên của tất cả các độ dài của xích nguyên tố với P0 = P được gọi là độ cao của P , kí hiệu là ht(P ). Nghĩa là: ht(P ) = sup{độ dài của các xích nguyên tố với P0 = P }. Cho I là iđêan của R, ta định nghĩa độ cao của iđêan I là ht(I) = inf{ht(P )|P ∈ Spec(R), P ⊇ I}. (iii) Cận trên của tất cả các độ dài của xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dim R. Ta có dim R = sup{ht(P )|P ∈ Spec(R)}. 4
Cho M là R-môđun. Khi đó dim R/ AnnR M được gọi là chiều Krull của môđun M , kí hiệu là dim M . Như vậy dim M 6 dim R. Bổ đề 1.1.2. Cho R là vành giao hoán Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó các mệnh đề sau tương đương: (i) `(M ) < ∞. (ii) R/ AnnR (M ) là vành Artin. (iii) dim M = 0. Nếu thêm điều kiện (R, m) là vành địa phương thì mỗi mệnh đề trên tương đương với √ (iv) AnnR M = m. Chứng minh. (ii) ⇔ (iii): Giả sử R/ AnnR (M ) là vành Artin. Khi đó mọi iđêan nguyên tố trong R/ AnnR (M ) đều cực đại. Suy ra dim M = dim(R/ AnnR (M )) = 0. Ngược lại giả sử dim M = 0 và P là một iđêan nguyên tố bất kỳ của R/ AnnR (M ), khi đó tồn tại iđêan cực đại Q của R/ AnnR (M ) sao cho Q ⊇ P , do dim(R/ AnnR (M )) = 0 nên Q = P . Vì thế P tối đại, hơn nữa R/ AnnR (M ) là vành Noether nên R/ AnnR (M ) là vành Artin. (i) ⇒ (ii): Giả sử `(M ) < ∞ và M sinh bởi hữu hạn phần tử x1 , ..., xn . Xét tương ứng ϕ : R → M n cho bởi với a ∈ R thì ϕ(a) = (ax1 , ..., axn ). Dễ thấy ϕ là ánh xạ và là một đồng cấu. Có ker ϕ = {a ∈ R | a ∈ AnnR (xi ), ∀i = 1, n} = AnnR M nên ta coi R/ AnnR M là môđun con của M n . Do M là môđun Artin nên môđun M n là Artin, suy ra R/ AnnR M là vành Atin. (ii) ⇒ (i): Giả sử có R/ AnnR M là vành Artin. Xét tương ứng φ : (R/ AnnR M )n → M cho bởi với phần tử (a1 , ..., an ) ∈ (R/ AnnR M )n thì φ(a1 , ..., an ) = ni=1 ai xi . Nếu a1 = b1 trong R/ AnnR (M ) thì ai xi = bi xi P Pn Pn với mọi i = 1, ..., n. Suy ra i=1 a i x i = i=1 bi xi nên φ là ánh xạ. 5
Dễ kiểm tra được φ là đồng cấu và là toàn cấu. Vậy ta có đẳng cấu (R/ AnnR M )n / Ker φ ∼ = M , mà từ giả thiết suy ra (R/ AnnR M )n / Ker φ là vành Artin, từ đó suy ra M là môđun Artin. Thêm điều kiện (R, m) là vành địa phương ta chứng minh (iii) ⇔ (iv). √ Dễ thấy nếu AnnR M = m thì dim M = 0. Ngược lại, giả sử √ T dim M = 0. Có AnnR M = P ∈V (AnnR M ) P , vì dim(R/ AnnR M ) = 0 nên P là cực đại với mọi P ∈ V (AnnR M ). Vì R là vành địa phương với √ iđêan cực đại m duy nhất nên suy ra AnnR M = m. 1.2 Hệ tham số và bội Định nghĩa 1.2.1. Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là R- môđun hữu hạn sinh với dim M = d và x = (x1 , ..., xs ) là hệ s phần tử trong m. Ta nói x là hệ bội của M nếu `(M/xM ) < ∞. Khi s = d ta gọi x là hệ tham số của M . Chú ý 1.2.2. Nếu (x1 , ..., xd ) là hệ tham số của M thì với mọi số nguyên dương α1 , ..., αn ta có (xα1 1 , ..., xαnn ) cũng là hệ tham số của M . Mệnh đề 1.2.3. Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh, và r phần tử x1 , ..., xn trong m. Khi đó dim M/(x1 , ..., xr )M > dim M − r. Đẳng thức xảy ra nếu và chỉ nếu x1 , ..., xr là một phần của một hệ tham số của M . Bổ đề 1.2.4. Phần tử x ∈ m là phần tử tham số của M nếu và chỉ nếu x∈ / P với mọi P ∈ AssR M sao cho dim(R/P ) = d. Bổ đề 1.2.5. ([3], Bổ đề 4.7.1) Cho (R, m) là vành Noether địa phương, x là dãy các phần tử trong m và 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp 6
ngắn giữa các R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó x là hệ bội của M nếu và chỉ nếu x là hệ bội của M 0 và M 00 . Bổ đề trên cho ta hệ quả trực tiếp sau. Hệ quả 1.2.6. ([3], Hệ quả 4.7.2) Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh và x = (x1 , ..., xs ) là hệ bội của M . Khi đó x0 = (x2 , ..., xs ) là hệ bội của M/x1 M và 0 :M x1 . Từ hệ quả này ta định nghĩa bội bằng quy nạp. Định nghĩa 1.2.7. ([3], Định nghĩa 4.7.3) Cho (R, m) là vành Noether địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh và x = (x1 , ..., xs ) là hệ bội của M . Khi đó kí hiệu bội e(x; M ) của M đối với hệ bội x được định nghĩa quy nạp như sau. Nếu s = 0 thì `(M ) < ∞ nên đặt e(x, M ) = `(M ); nếu s > 0 thì đặt e(x, M ) = e(x0 ; M/x1 M ) − e(x0 ; 0 :M x1 ), trong đó x0 = (x2 , ..., xs ). Định lý 4.7.4 và Định lý 4.7.6 trong [3] đã chỉ ra rằng nếu x là hệ tham số của M và I là iđêan sinh bởi x thì các số bội e(x; M ), e(I; M ) và đặc trưng Euler-Poincare’ χ(x; M ) là như nhau. Khi đó ta gọi e(x; M ) là bội Serre của M đối với hệ bội x. 1.3 Đồng điều Koszul và đối đồng điều địa phương Định nghĩa 1.3.1. Cho vành R, K• và L• là các phức các R môđun. dp+1 dp dp−1 K• : ... → Kp+1 −−→ Kp − → Kp−1 −−→ ... d0p+1 d0p d0p−1 L• : ... → Lp+1 −−→ Lp − → Lp−1 −−→ .... Tích tenxơ K• ⊗R L• là phức d∗n+1 n d∗ d∗n−1 ... → (K ⊗ L)n+1 −−→ (K ⊗ L)n −→ (K ⊗ L)n−1 −−→ ... 7
được định nghĩa như sau (K ⊗ L)n := ⊕p+q=n Kp ⊗R Lq , vi phân d∗ cho bởi d∗n (x ⊗ y) = dp (x) ⊗ y + (−1)p x ⊗ d0q (y), trong đó x ∈ Kp và y ∈ Lq . Vì ta có các đẳng cấu giữa các phức: K• ⊗ L• ∼ = L• ⊗ K• cho bởi x ⊗ y 7→ (−1)pq y ⊗ x với x ∈ Kp , y ∈ Lq và đẳng cấu (K• ⊗L• )⊗P• ∼ = K• ⊗(L• ⊗P• ) cho bởi (x⊗y)⊗z 7→ x⊗(y ⊗z) nên phép toán tích tenxơ giữa các phức có tính chất giao hoán và kết hợp. Định nghĩa 1.3.2. Cho vành R và x = (x1 , ..., xn ) là bộ các phần tử trong R, ta định nghĩa phức K• (x1 , ..., xn ) hoặc K• (x) như sau: K0 = R, Kp := 0 nếu p nguyên không thuộc [0, n], với 1 6 p 6 n thì đặt Kp := ⊕Rei1 ...ip là R-môđun tự do hạng np với cơ sở {ei1 ...ip |1 6 i1 < ... < ip 6 n}. Vi phân dp : Kp → Kp−1 cho bởi dp (ei1 ...ip ) = pr=1 (−1)r+1 xir ei1 ...ibr ...ip . P (Với p = 1, đặt d1 (ei ) = xi ). Dễ kiểm tra được rằng dp−1 dp = 0. Phức này được gọi là phức Koszul. x Đặc biệt khi n = 1 phức K• (x) là 0 → R → − R → 0, và kiểm tra được rằng K• (x1 , ..., xn ) = K• (x1 ) ⊗ ... ⊗ K• (xn ), vì thế phức Koszul là xác định (sai khác đẳng cấu) với mọi hoán vị của x1 , ..., xn . Mỗi R-môđun M ta đồng nhất với phức ... → 0 → M → 0. Ta đặt K• (x, M ) := K• (x) ⊗R M và với phức C• các R-môđun ta đặt C• (x) := C• ⊗ K• (x). Phức Koszul K• (x, M ) có các đồng điều Hp (x, M ) := Hp (K• (x, M )). Mệnh đề 1.3.3. Cho R là vành, M là R-môđun. Xét phức Koszul K• (x, M ), khi đó H0 (x, M ) = M/xM và Hn (x, M ) = 0 :M (x). Mệnh đề 1.3.4. ([3], Mệnh đề 1.6.11) Cho R là vành, x = (x1 , ..., xn ) là bộ các phần tử trong R và 0 → M 0 → M → M 00 → 0 là dãy khớp các 8
R-môđun. Khi đó ta có dãy khớp giữa các phức 0 → K• (x, M 0 ) → K• (x, M ) → K• (x, M 00 ) → 0. Từ đó ta có dãy khớp dài đồng điều ... → Hp (x, M 0 ) → Hp (x, M ) → Hp (x, M 00 ) → Hp−1 (x, M 0 ) → .... Định nghĩa 1.3.5. Cho I là iđêan của vành R. Với mỗi R−môđun M , đặt ΓI (M ) = ∞ n S n=0 (0 :M I ). Ta có ΓI (M ) là một môđun con của M và mỗi R−đồng cấu f : M → N ta có f (ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ). Vì thế có một R-đồng cấu ΓI (f ) : ΓI (M ) → ΓI (N ) xác định bởi ΓI (f )(x) = f (x) với mỗi x ∈ ΓI (M ). Khi đó ΓI là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái trên phạm trù các R−môđun. Hàm tử ΓI được gọi là hàm tử I-xoắn. Mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I-xoắn kí hiệu là HIi và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i ứng với giá iđêan I. Với một R-môđun M , ảnh của M qua hàm tử HIi kí hiệu là HIi (M ) và được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với giá iđêan I. Chú ý 1.3.6. (i) Từ định nghĩa trên ta có thể xác định HIi (M ) như sau. Lấy giải nội xạ của M α d0 d1 di−1 di − E0 − 0→M → → E1 − → ... −−→ E i − → .... Tác động hàm tử ΓI vào ta được đối phức ΓI (di−1 ) 0 ΓI (d0 ) 1 ΓI (d1 ) ΓI (di−1 ) i ΓI (di ) 0 −−−−→ ΓI (E ) −−−→ ΓI (E ) −−−→ ... −−−−→ ΓI (E ) −−−→ .... Khi đó Ker ΓI (di ) HIi (M ) = . Im ΓI (di−1 ) (ii) HIi (M ) không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của M . (iii) H 0 (M ) ∼ I = ΓI (M ). (iv) Nếu M là nội xạ thì HIi (M ) = 0 với mọi i > 0. 9
Mệnh đề 1.3.7. Cho I là iđêan của vành R và dãy khớp ngắn các R-môđun 0 → M → N → P → 0. Khi đó ta có dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương 0 → ΓI (M ) → ΓI (N ) → ΓI (P ) → HI1 (M ) → HI1 (N ) → HI1 (P ) → .... 1.4 Môđun Cohen-Macaulay Định nghĩa 1.4.1. (i) Dãy các phần tử a1 , ..., an của vành Noether R gọi là một dãy chính quy của R-môđun M nếu (a1 , ..., an )M 6= M và ai không là ước của 0 trong M/(a1 , ..., ai−1 )M với mọi i = 1, ..., n. (ii) Cho I là một iđêan của vành R. Một dãy các phần tử a1 , ..., an ∈ I được gọi là dãy chính quy cực đại của M nếu không tồn tại b ∈ I để a1 , ..., an , b là dãy chính quy của M . Chú ý 1.4.2. (i) Với n = 1 ta có định nghĩa phần tử chính quy. Phần tử a ∈ R là phần tử chính quy của M nếu aM 6= M và ax 6= 0 với mọi x 6= 0 trong M . Nếu (R, m) là vành địa phương thì ta có những điều sau. (ii) Nếu a1 , ..., an ∈ m thì điều kiện (a1 , ..., an )M 6= M trong định nghĩa dãy chính quy có thể bỏ đi. (iii) Phần tử a ∈ m là phần tử chính quy của M khi và chỉ khi a ∈ / P với mọi P ∈ AssR M . (iv) Mọi hoán vị của của dãy M -chính quy cũng là M -chính quy. Mệnh đề 1.4.3. Cho I là một iđêan của vành Noether R, khi đó độ dài của hai dãy M -chính quy cực đại trong I là bằng nhau. Định nghĩa 1.4.4. Cho (R, m) là vành Noether địa phương, I là một iđêan của R. Độ dài của một dãy M -chính quy cực đại trong I được gọi 10
là độ sâu của của M đối với iđêan I, kí hiệu là depthI M . Đặc biệt khi I = m thì depthm M được gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth M . Độ sâu của một môđun có thể đặc trưng qua đối đồng điều địa phương. Định lý 1.4.5. Cho I là iđêan của vành Noether địa phương R và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó các điều sau là tương tương. (i) depthI M = t. (ii) HIi (M ) = 0 với mọi i < t và HIt (M ) 6= 0. Chú ý 1.4.6. Theo Bổ đề 1.2.4 và Chú ý 1.4.2 (iii) thì nếu a1 , ..., an là M -dãy chính quy thì nó cũng là một phần của hệ tham số của M , do đó depth M 6 dim M . Định nghĩa 1.4.7. Cho (R, m) là một vành địa phương Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh. M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu dim M = depth M. Nếu R không là vành địa phương thì M gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu MP là RP -môđun Cohen-Macaulay với mọi P ∈ SuppR M . Định lý 1.4.8. ([3], Định lý 4.7.10) Cho (R, m) là một vành địa phương Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh, x = (x1 , ..., xn ) là hệ tham số của M . Khi đó a) `(M/(x1 , ..., xn )M ) > e(x, M ). b) Các điều sau tương đương. (i) M là môđun Cohen-Macaulay. (ii) `(M/(x1 , ..., xn )M ) = e(x, M ). i (iii) Hm (M ) = 0 với mọi i < n. (iv) Hi (x, M ) = 0 với mọi i > 0. (v) H1 (x, M ) = 0. 11
Ngoài kiến thức chuẩn bị trên, luận văn cần chuẩn bị một số bổ đề, mệnh đề và định lý sau. Bổ đề 1.4.9. Cho R là vành Noether và M là R-môđun, N là môđun con của M . Nếu N là môđun con P -nguyên sơ của M thì (i) n>0 N :M I n = M với mọi I ⊆ P . S (ii) n>0 N :M I n = N với mọi I * P. S Định lý 1.4.10. (Định lý giao Krull) Nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R và iđêan I ⊆ J(R) với J(R) là căn Jacobson của R. Khi đó \ I n M = 0. n>0 Mệnh đề 1.4.11. ([3], Hệ quả 1.6.19) Cho (R, m) là vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh khác 0. Hệ x = (x1 , ..., xn ) gồm các phần tử của m. Khi đó các điều sau là tương đương. (i) Hi (x, M ) = 0 với mọi i > 0. (ii) x là M -dãy chính quy. Kết hợp với Định lý 1.4.5 ta có định lý sau. Định lý 1.4.12. (Định lý triệt tiêu Grothendieck) Cho I là iđêan của vành Noether địa phương (R, m). M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d > 0 có depthI (M ) = t. Khi đó ta có (i) HIi (M ) = 0 với mọi i < t và i > d. (ii) HIt (M ) 6= 0 và `(Hmd (M )) = ∞. 12
Chương 2 Môđun Cohen-Macaulay dãy 2.1 Lọc chiều và hệ tham số tốt Đến hết luận văn này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether địa phương với iđêan cực đại duy nhất là m và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Định nghĩa 2.1.1. (i) Ta nói rằng một lọc hữu hạn các môđun con của M F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M thỏa mãn điều kiện chiều nếu dim Mi−1 < dim Mi với mọi i = 1, 2, ..., t. (ii) Một lọc thỏa mãn điều kiện chiều D : D0 ⊂ D1 ⊂ ... ⊂ Dt = M được gọi là lọc chiều của M nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn a, D0 = Hm0 (M ) là môđun đối đồng điều địa phương thứ 0 của M ứng với giá iđêan cực đại m. b, Di−1 là môđun con lớn nhất của Di với mọi i = t, t − 1, ..., 1. Định nghĩa 2.1.2. Cho F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt = M là một lọc thỏa mãn điều kiện chiều và di = dim Mi . Một hệ tham số x = (x1 , ..., xd ) được gọi là một hệ tham số tốt ứng với lọc F nếu Mi ∩ (xdi +1 , ..., xd )M = 0, với mọi i = 0, 1, ..., t − 1. 13
Hệ tham số tốt ứng với lọc chiều được gọi là hệ tham số tốt của M. Trong [9], Schenzel định nghĩa lọc chiều của M là một dãy tăng các môđun con {Mi }06i6d sao cho Mi là môđun con lớn nhất của M thỏa mãn dim Mi 6 i. Khi đó đánh lại số thứ tự các môđun con đó thì ta được lọc chiều trong cách định nghĩa của ta ở trên. Vì thế hệ tham số tốt của M là hệ tham số tách biệt đã định nghĩa bởi Schenzel trong [8], điều ngược lại chưa chắc đúng. Chú ý 2.1.3. (i) Do tính chất Noether của môđun M nên luôn tồn tại một lọc chiều D của M và nó là duy nhất. T Hơn nữa, nếu cho p∈AssR (M ) N (p) = 0 là phân tích nguyên sơ T thu gọn của môđun con 0 của M thì Di = dim(R/p)>di+1 N (p), trong đó di = dim Di . (ii) Cho N là môđun con của M và dim N < dim M , khi đó tồn tại một Di trong lọc chiều D của M sao cho N ⊆ Di và dim N = dim Di . Vì thế, nếu F : M0 ⊂ M1 ⊂ ... ⊂ Mt0 = M cũng là một lọc thỏa mãn điều kiện chiều thì với mỗi Mj tồn tại một Di sao cho Mj ⊆ Di và dim Mj = dim Dj . (iii) Nếu hệ tham số x = (x1 , ..., xd ) là hệ tham số tốt ứng với lọc F thì x(n) = (xn1 1 , ..., xnd d ) cũng là hệ tham số tốt ứng với lọc F với bất kì những số nguyên dương n1 , ..., nd . (iv) Hệ tham số tốt của M cũng là hệ tham số tốt ứng với bất kỳ lọc thỏa mãn điều kiện chiều nào của M . Chứng minh. (i) Gọi Σ là tập tất cả các môđun con của M có chiều nhỏ hơn d. Do 0 ∈ Σ nên Σ 6= ∅, do đó theo tính chất Noether của M thì tồn tại phần tử cực đại của Σ, chẳng hạn là M 0 . 14