Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình hàm là một nhánh của toán học hiện đại, từ năm 171? đến 1750 nhà toán học J. Ð'Alembert đã công bó 3 bài báo liên quan về phương trình hàm, đây được xem là các kết quả đầu tiên về phương trình hàm. Mặc dì phương trình hàm đã được nghiên cứu trên 260 năm, nhưng nó thực sự được nghiên cứu mạnh trong các lĩnh vực lý thuyết và ứng dụng của toán học chỉ khoảng 100 năm trở lại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương trình hàm Cauchy và ứng dụng

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN THÀ MN V PH×ÌNG TRNH HM CAUCHY V ÙNG DÖNG THI NGUYN, 5/2017
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC o0o NGUYN THÀ MN V PH×ÌNG TRNH HM CAUCHY V ÙNG DÖNG Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p M¢ sè: 60 46 01 13 LUN VN THC S TON HÅC GIO VIN H×ÎNG DN TS. TRN XUN QUÞ THI NGUYN, 5/2017
1 Möc löc Mð ¦u 2 Ch÷ìng 1. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy 4 1.1. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mët bi¸n . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. V· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh . . . . . . 6 1.1.2. Ph÷ìng tr¼nh h m cëng t½nh tr¶n khæng gian phùc 11 1.1.3. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô . . . . . . . . . . . 14 1.1.4. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Logarit . . . . . . . . 17 1.1.5. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nh¥n t½nh . . . . . . . 18 1.2. Ph÷ìng tr¼nh Cauchy nhi·u bi¸n . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.1. Ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh nhi·u bi¸n . . . 23 1.2.2. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nh¥n t½nh nhi·u bi¸n . 27 1.2.3. Hai ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nhi·u bi¸n kh¡c . 28 1.3. Mð rëng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy . . . . . . . . . . 29 1.4. Mët sè b i to¡n ¡p döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Ch÷ìng 2. Mët sè ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy 37 2.1. Têng c¡c lôy thøa cõa sè nguy¶n . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1. Têng cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n . . . . . . . . . . 38 2.1.2. Têng b¼nh ph÷ìng cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n . . 39 2.1.3. Têng lôy thøa k cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n . . . 39 2.2. Têng lôy thøa cõa c¡c sè trong d¢y c§p sè cëng . . . . . 42 2.3. Sè c°p câ thº rót ra tø n ph¦n tû . . . . . . . . . . . . . 43 2.4. Têng cõa chuéi húu h¤n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 K¸t luªn 47 T i li»u tham kh£o 48
2 Mð ¦u Ph÷ìng tr¼nh h m l mët nh¡nh cõa to¡n håc hi»n ¤i, tø n«m 1747 ¸n 1750 nh to¡n håc J. D'Alembert ¢ cæng bè 3 b i b¡o li¶n quan v· ph÷ìng tr¼nh h m, ¥y ÷ñc xem l c¡c k¸t qu£ ¦u ti¶n v· ph÷ìng tr¼nh h m. M°c dò ph÷ìng tr¼nh h m ¢ ÷ñc nghi¶n cùu tr¶n 260 n«m, nh÷ng nâ thüc sü ÷ñc nghi¶n cùu m¤nh trong c¡c l¾nh vüc lþ thuy¸t v ùng döng cõa to¡n håc ch¿ kho£ng 100 n«m trð l¤i ¥y. ¦u th¸ k 20, k¸ ti¸p nhúng âng gâp quan trång cõa D. Hilbert trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ¢ l m cho lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh h m trð n¶n r§t quan trång v thu ÷ñc nhi·u k¸t qu£ thó và, ch¯ng h¤n nh÷ S. Pincherle (1906, 1912); E. Picard (1928); G. Hardy, J.E. Littlewood and G. Polya (1934); M. Ghermanescu (1960); J.Aczel (1966); and M. Kuczma (1968). G¦n ¥y, ph÷ìng tr¼nh h m ÷ñc r§t nhi·u nh To¡n håc nêi ti¸ng cõa th¸ giîi nghi¶n cùu, v câ nhúng âng gâp lîn lao cho c£ to¡n lþ thuy¸t v to¡n ùng döng, ch¯ng h¤n nh÷ qua c¡c cuèn s¡ch cõa A.N. Sarkovskii and G.P.Reljuch (1974); J. Aczel and Z. Daroczy (1975); J. Dhombres (1979).... Ch½nh sü ph¡t triºn m¤nh m³ cõa lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh h m m c¡c k¸t qu£ cõa nâ ¢ ÷ñc xem x²t nghi¶n cùu cho èi t÷ñng håc sinh trung håc phê thæng. Thº hi»n qua c¡c ký thi håc sinh giäi quèc gia, c¡c b i to n v· ph÷ìng tr¼nh h m luæn thu hót BTC quan t¥m v lüa chån. V¼ vªy, · t i luªn v«n th¤c s¾ ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p s³ tªp trung v o lîp ph÷ìng tr¼nh h m cì b£n, â l : V· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v ùng döng. Luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng.
3 Ch÷ìng 1: Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Ch÷ìng n y tr¼nh b y c¡c ành ngh¾a, ành lþ, chùng minh v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v c¡c d¤ng cõa nâ. T¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh, ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nh¥n t½nh, ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô v ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Logarit. Tr¼nh b y mð rëng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. ÷a ra mët sè b i to¡n vªn döng ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh º gi£i quy¸t. Mët sè b i to¡n l · thi håc sinh giäi c¡c n÷îc, ÷ñc tr½ch tø t i li»u [9] cõa t¡c gi£ Titu Andreescu v Iurie Boreico. Ch÷ìng 2: Mët sè ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Ch÷ìng n y tr¼nh b y ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy trong t½nh têng lôy thøa cõa sè nguy¶n (têng cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n, têng b¼nh ph÷ìng cõa n sè tü nhi¶n ¥u ti¶n, têng lôy thøa k cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n), t½nh têng lôy thøa cõa c¡c sè trong d¢y c§p sè cëng, t¼m sè c°p câ thº rót ra tø n ph¦n tû, lüc l÷ñng cõa mët tªp hñp v têng cõa chuéi húu h¤n. º ho n thi»n luªn v«n tr÷îc h¸t tæi xin gûi líi c£m ìn s¥u sc tîi TS. Tr¦n Xu¥n Quþ ¢ d nh thíi gian h÷îng d¨n, ¡nh gi¡, ch¿ b£o, tªn t¼nh gióp ï trong qu¡ tr¼nh x¥y düng · t i v ho n thi»n luªn v«n. Qua ¥y tæi công xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi t§t c£ c¡c th¦y cæ, Ban gi¡m hi»u, Khoa To¡n - Tin - Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n, gióp ï trong suèt qu¡ tr¼nh ho n th nh khâa håc. Tæi mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa th¦y, cæ v c¡c b¤n. Th¡i Nguy¶n, ng y 05 th¡ng 5 n«m 2017 T¡c gi£ luªn v«n Håc vi¶n Nguy¹n Thà Mªn
4 Ch÷ìng 1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Vi»c nghi¶n cùu v· h m cëng t½nh câ tø thíi A.M. Legendre l ng÷íi ¦u ti¶n cè gng t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ R. Vi»c nghi¶n cùu h» thèng ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh ¢ ÷ñc khði x÷îng bði A.L. Cauchy trong cuèn s¡ch cõa æng "Coursd d'Analyse" n«m 1821. Mët ph÷ìng tr¼nh bao gçm mët h m ch÷a bi¸t v mët ho°c nhi·u ¤o h m cõa nâ ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. V½ dö nh÷ f 0 (x) + mx = 5 v 00 0 f (x) + f (x) + sin(x) = 0. C¡c ph÷ìng tr¼nh gçm t½ch ph¥n cõa h m sè ch÷a bi¸t ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. Mët v i v½ dö v· ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Zx f (x) = ex − ex−t f (t) dt, 0 Z1 f (x) = sin(x) + [1 − xcos(xt)]f (t)dt, 0
5 v Zx f (x) = [tf 2 (t) − 1]dt. 0 Ph÷ìng tr¼nh h m l ph÷ìng tr¼nh trong â c¡c ©n l c¡c h m sè. V½ dö v· ph÷ìng tr¼nh h m l f (x + y) = f (x) + f (y), f (x + y) = f (x)f (y), f (xy) = f (x)f (y), f (xy) = f (x) + f (y), f (x + y) = f (x)g(y) + g(x)f (y), f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y), f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x)f (y), f (x + y) = g(xy) + h(x − y), f (x) − f (y) = (x − y)h(x + y), f (pr, qs) + f (ps, qr) = 2f (p, q) + 2f (r, s), g(f (x)) = g(x) + β, g(f (x)) = αg(x), α 6= 1 v f (t) = f (2t) + f (2t − 1). Ph¤m vi cõa ph÷ìng tr¼nh h m bao gçm c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n.... C¡c ph÷ìng tr¼nh h m l mët l¾nh vüc cõa to¡n håc tr¶n 200 n«m tuêi. Hìn 5000 b i b¡o ¢ ÷ñc cæng bè trong l¾nh vüc n y. Tuy nhi¶n èi vîi luªn v«n th¤c s¾ tæi ch¿ tªp trung nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v mët sè ùng döng cõa nâ. N«m 1747 v 1750, d'Alambert ¢ cæng bè 3 b i b¡o trong â b i thù nh§t l ph÷ìng tr¼nh h m (xem Acz²l (1966)). Ph÷ìng tr¼nh h m ÷ñc nghi¶n cùu bði d'Alambert (1747), Euler (1768), Poisson (1804), Cauchy (1821), Darboux (1875) v nhi·u nh to¡n håc kh¡c. Hilbert
6 (1902) · xu§t trong sü nèi ti¸p vîi v§n · 5 cõa æng l ành lþ h m vi ph¥n cung c§p ph÷ìng ph¡p µp v m¤nh º gi£i ph÷ìng tr¼nh h m, trong â gi£ thi¸t kh£ vi l i·u ki»n khæng thº thi¸u. Nhí · xu§t cõa Hilbert nhi·u nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh h m ¢ xem x²t vîi c¡c ph÷ìng tr¼nh h m kh¡c nhau khæng câ mët v i ho°c ½t c¡c gi£ thi¸t ·u. Sü né lüc n y ¢ gâp ph¦n ph¡t triºn ành lþ hi»n ¤i v· ph÷ìng tr¼nh h m. Lþ thuy¸t c¡c d¤ng quy tc to¡n håc hi»n ¤i cõa ph÷ìng tr¼nh h m ng y c ng ph¡t triºn nhanh châng ð cuèi thªp k¿ 6. Gi£i ph÷ìng tr¼nh h m ngh¾a l t¼m t§t c£ c¡c h m sè thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m. º thu ÷ñc mët nghi»m, c¡c h m sè ph£i bà giîi h¤n bði mët °t tr÷ng ri¶ng (nh÷ l gi£i t½ch, bà ch°n, li¶n töc, lçi, kh£ vi, o ÷ñc hay ìn i»u). 1.1. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mët bi¸n 1.1.1. V· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh Ph¦n n y giîi thi»u v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh v x¡c ành nghi»m cõa nâ (÷ñc tr½ch tø t i li»u[7]). Cho f : R → R trong â R l tªp sè thüc, f l h m sè thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1) vîi måi x, y ∈ R. Ph÷ìng tr¼nh h m n y ¢ ÷ñc bi¸t l ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. Ph÷ìng tr¼nh h m (1.1) ÷ñc nghi¶n cùu ¦u ti¶n bði A.M. Legendre (1791) v C.F. Gauss (1809) nh÷ng A.L. Cauchy (1821) l ng÷íi ¦u ti¶n t¼m ra nghi»m trong lîp h m li¶n töc. Ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ và tr½ quan trång trong to¡n håc nâ ÷ñc · cªp tîi trong h¦u h¸t c¡c kh½a c¤nh cõa to¡n håc. ành ngh¾a 1.1 H m sè f : R → R ÷ñc gåi l h m cëng t½nh n¸u nâ thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ R. ành ngh¾a 1.2 H m sè f : R → R ÷ñc gåi l h m tuy¸n t½nh khi v ch¿ khi nâ câ d¤ng f (x) = cx (∀x ∈ R),
7 trong â c l mët h¬ng sè tòy þ. ç thà cõa h m tuy¸n t½nh f (x) = cx l mët ÷íng khæng th¯ng, i qua gèc do â nâ ÷ñc gåi l tuy¸n t½nh. H m sè tuy¸n t½nh thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. C¡c c¥u häi ÷ñc ÷a ra l câ h m n o kh¡c thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy hay khæng? Ta th§y r¬ng ch¿ câ nghi»m li¶n töc cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy l tuy¸n t½nh. ¥y l k¸t qu£ ÷ñc chùng minh bði Cauchy v o n«m 1821. ành lþ 1.1 Cho f : R → R l li¶n töc v thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh (1.1). Khi â f tuy¸n t½nh, ngh¾a l f (x) = cx trong â c l mët h¬ng sè tòy þ. Chùng minh. Tr÷îc ti¶n ta cè ành x rçi l§y t½ch ph¥n hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) theo bi¸n y ta ÷ñc Z1 f (x) = f (x)dy 0 Z1 = [f (x + y) − f (y)]dy 0 Z1+x Z1 = f (u)du − f (y)dy, khi u = x + y. x 0 V¼ h m sè f li¶n töc n¶n suy ra f 0 (x) = f (1 + x) − f (x). (1.2) Tø t½nh cëng t½nh cõa f ta câ f (1 + x) = f (1) + f (x). (1.3) Thay (1.3) v o (1.2) ta câ f 0 (x) = f (1) = c. Suy ra f (x) = cx + d thay v o (1.1) suy ra d = 0. Trong ành lþ 1.1 ta sû döng t½nh li¶n töc cõa f º k¸t luªn r¬ng f kh£ t½ch. T½nh t½ch ph¥n cõa f bt buëc nghi»m f cõa ph÷ìng tr¼nh
8 Cauchy cëng t½nh l tuy¸n t½nh. Do â méi nghi»m kh£ t½ch cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh công tuy¸n t½nh. ành ngh¾a 1.3 Mët h m f : R → R ÷ñc gåi l kh£ t½ch àa ph÷ìng khi v ch¿ khi nâ l t½ch ph¥n tr¶n måi kho£ng húu h¤n. Theo tr¶n méi nghi»m kh£ t½ch àa ph÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh công l tuy¸n t½nh. Ta ÷a ra mët c¡ch chùng minh ÷ñc ÷a ra bði Shapiro 1973. Gi£ sû f l mët nghi»m kh£ t½ch àa ph÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh. Do â f (x + y) = f (x) + f (y) óng vîi måi x, y ∈ R. Tø â sû döng t½nh kh£ t½ch àa ph÷ìng cõa f ta ÷ñc Zy yf (x) = f (x)dz 0 Zy = [f (x + z) − f (z)]dz 0 Zx+y Zy = f (u)du − f (z)dz x 0 Zx+y Zx Zy = f (u)du − f (u)du − f (u)du. 0 0 0 V¸ ph£i cõa ¯ng thùc tr¶n b§t bi¸n khi ta thay êi vai trá cõa x v y tø â suy ra yf (x) = xf (y) vîi måi x, y ∈ R. Do â vîi x 6= 0 ta ÷ñc f (x) = c, x vîi c l mët h¬ng b§t ký. i·u n y suy ra f (x) = cx vîi måi x ∈ R \ {0}. Cho x = 0 v y = 0 ð (1.1) ta ÷ñc f (0) = 0. Nh÷ vªy f l mët h m tuy¸n t½nh tr¶n R. M°c dò chùng minh cõa ành lþ 1.1 ngn gån v ch¿ gçm c¡c ph²p t½nh vi ph¥n, t½ch ph¥n nh÷ng nâ l¤i khæng hi»u qu£ cao v câ nhi·u ki¸n thùc. Gií ta s³ tr¼nh b y mët c¡ch chùng minh kh¡c s³ gióp ta hiºu hìn v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh. Ta x²t ành ngh¾a sau.
9 ành ngh¾a 1.4 Mët h m sè f : R → R ÷ñc gåi l thu¦n nh§t húu t¿ khi v ch¿ khi f (rx) = rf (x) (1.4) vîi måi x ∈ R v måi sè húu t¿ r. ành lþ sau s³ cho th§y måi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh l thu¦n nh§t húu t¿. ành lþ 1.2 Cho h m sè f : R → R l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh th¼ f thu¦n nh§t húu t¿. Ngo i ra f tuy¸n t½nh tr¶n tªp húu t¿ Q. Chùng minh. Thay x = 0, y = 0 v o (1.1) ta th§y f (0) = f (0) + f (0) v ta câ f (0) = 0. (1.5) Thay y = −x trong (1.1) v dòng (1.5), ta th§y f l h m l´ tr¶n R ngh¾a l f (−x) = −f (x) vîi måi x ∈ R. (1.6) Nh÷ vªy ta ¢ ch¿ ra ÷ñc mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh b¬ng 0 t¤i iºm gèc v l h m sè l´. Ti¸p theo ta ch¿ ra r¬ng nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh l thu¦n nh§t húu t¿. Thªt vªy, vîi måi x ∈ R, ta câ f (2x) = f (x + x) = f (x) + f (x) = 2f (x). Tø â f (3x) = f (2x + x) = f (2x) + f (x) = 2f (x) + f (x) = 3f (x). Têng qu¡t hìn, ta câ f (nx) = nf (x) (1.7) vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n. N¸u n l mët sè nguy¶n ¥m khi â −n l sè nguy¶n d÷ìng v tø (1.7) v (1.6) ta ÷ñc f (nx) = f (−(−n)x) = −f (−nx) v¼ f l h m sè l´ = −(−n)f (x) = nf (x).
10 Do â ta ¢ ch¿ ra r¬ng f (nx) = nf (x) vîi måi sè nguy¶n n v måi sè thüc x ∈ R. Ti¸p theo ta x²t r l sè húu t¿ tòy þ th¼ k r= , l trong â k l sè nguy¶n (kh¡c khæng), l l sè nguy¶n d÷ìng. Ta câ kx = l(rx). Sû döng t½nh thu¦n nh§t nguy¶n cõa f ta ÷ñc kf (x) = f (kx) = f (l(rx)) = lf (rx); ngh¾a l k f (rx) = f (x) = rf (x). l Do â f l thu¦n nh§t húu t¿. M°t kh¡c vîi x = 1 th¼ tø ph÷ìng tr¼nh tr¶n °t c = f (1) ta ÷ñc f (r) = cr vîi måi sè húu t¿ r ∈ Q. Vªy f tuy¸n t½nh tr¶n tªp húu t¿ v ta câ i·u ph£i chùng minh. B¥y gií ta ÷a ra c¡ch chùng minh thù hai cõa ành lþ 1.1. Chùng minh. Cho f l nghi»m li¶n töc cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh. Vîi x ∈ R b§t ký tçn t¤i mët d¢y {rn } c¡c sè húu t¿ hëi tö v· x. V¼ f thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh. Tø ành lþ 1.2 ta câ f tuy¸n t½nh tr¶n tªp húu t¿ ngh¾a l f (rn ) = crn vîi måi n. B¥y gií dòng t½nh li¶n töc cõa h m f ta ÷ñc f (x) = f ( lim rn ) n→∞ = lim f (rn ) n→∞ = lim crn n→∞ = cx. Ta câ i·u ph£i chùng minh. ành lþ 1.3 (Darboux (1875)) Gi£ sû f l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh (1.1). N¸u f li¶n töc t¤i mët iºm t ∈ R th¼ nâ li¶n töc tr¶n R.
11 Chùng minh. Gi£ sû f li¶n töc t¤i t v x l mët iºm b§t ký do â ta câ lim f (y) = f (t). Ti¸p theo ta s³ chùng minh r¬ng f li¶n töc t¤i x. y→t X²t lim f (y) = lim f (y − x + x − t + t) y→x y→x = lim [f (y − x + t) + f (x − t)] y→x = lim f (y − x + t) + lim f (x − t) y→x y→x = f (t) + f (x − t) = f (t) + f (x) − f (t) = f (x). i·u â chùng minh ÷ñc f li¶n töc t¤i x v v¼ x tòy þ n¶n f li¶n töc t¤i måi iºm. ành lþ sau ¥y ÷ñc suy ra tø ành lþ 1.1 v ành lþ 1.3. ành lþ 1.4 Cho f l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh (1.1). N¸u f li¶n töc t¤i mët iºm th¼ f l tuy¸n t½nh ngh¾a l f (x) = cx vîi måi x ∈ R. ành lþ 1.5 N¸u mët h m cëng t½nh thüc f ho°c l bà ch°n mët ph½a ho°c l ìn i»u th¼ nâ l tuy¸n t½nh. ành lþ 1.6 N¸u f l mët h m cëng t½nh thüc f bà ch°n tr¶n mët o¤n [a, b] th¼ nâ l tuy¸n t½nh ngh¾a l tçn t¤i mët h¬ng sè c sao cho f (x) = cx vîi måi x ∈ R. 1.1.2. Ph÷ìng tr¼nh h m cëng t½nh tr¶n khæng gian phùc Ð ph¦n n y ta tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ câ li¶n quan ¸n h m cëng t½nh vîi gi¡ trà phùc trong khæng gian phùc ÷ñc tr½ch tø t i li»u [7]. Mët h m b§t ký f : C → C câ thº vi¸t f (z) = f1 (z) + if2 (z), (1.8) khi f1 : C → R v f2 : C → R ÷ñc cho bði f1 (z) = Ref (z) v f2 (z) = Imf (z). (1.9)
12 N¸u f l cëng t½nh th¼ tø (1.8) v (1.9) ta câ f1 (z1 + z2 ) = Ref (z1 + z2 ) = Re[f (z1 ) + f (z2 )] = Ref (z1 ) + Ref (z2 ) = f1 (z1 ) + f1 (z2 ), v f2 (z1 + z2 ) = Imf (z1 + z2 ) = Im[f (z1 ) + f (z2 )] = Imf (z1 ) + Imf (z2 ) = f2 (z1 ) + f2 (z2 ). ành lþ 1.7 N¸u f : C → C l cëng t½nh th¼ tçn t¤i h m cëng t½nh fkj : R → R (k, j = 1, 2) sao cho f (z) = f11 (Rez) + f12 (Imz) + if21 (Rez) + if22 (Imz). ành lþ ti¸p theo li¶n quan tîi d¤ng cõa h m phùc li¶n töc cëng t½nh trong m°t ph¯ng phùc. ành lþ 1.8 N¸u f : C → C l mët h m li¶n töc cëng t½nh th¼ tçn t¤i hai sè phùc c1 v c2 sao cho f (z) = c1 z + c2 z (1.10) vîi z l sè phùc li¶n hñp cõa z . Chùng minh. V¼ f cëng t½nh n¶n theo ành lþ 1.8 ta câ f (z) = f11 (Rez) + f12 (Imz) + if21 (Rez) + if22 (Imz), vîi fkj : R → R (k, j = 1, 2) l c¡c h m sè cëng t½nh nhªn gi¡ trà thüc, x¡c ành tr¶n tªp sè thüc. V¼ f li¶n töc n¶n c¡c h m fkj công li¶n töc v¼ vªy fkj (x) = ckj x, vîi ckj (k, j = 1, 2) l c¡c sè thüc. Do â ta câ
13 f (z) =c11 Rez + c12 Imz + ic21 Rez + ic22 Imz = (c11 + ic21 )Rez + (c12 + ic22 )Imz = a Re z + b Im z Khi a = c11 + ic21 , b = c12 + ic22 = a Re z − i(bi)Imz a + bi a − bi a + bi a − bi = Rez + Rez − iImz + iImz 2 2 2 2 a − bi a − bi a + bi a + bi = Rez + iImz + Rez − iImz 2 2 2 2 a − bi a + bi = (Rez + iImz) + (Rez − iImz) 2 2 a − bi a + bi = z+ z 2 2 = c1 z + c2 z a − bi a + bi vîi c1 = v c2 = l c¡c sè phùc. 2 2 Rã r ng r¬ng khæng gièng h m cëng t½nh nhªn gi¡ trà thüc x¡c ành tr¶n tªp sè thüc h m nhªn gi¡ trà phùc cëng t½nh li¶n töc tr¶n m°t ph¯ng phùc khæng tuy¸n t½nh. Ta s³ t¼m i·u ki»n º nâ tuy¸n t½nh. ành ngh¾a 1.5 Mët h m sè f : C → C ÷ñc gåi l gi£i t½ch khi v ch¿ khi f kh£ vi tr¶n C. ành lþ 1.9 N¸u f : C → C l h m gi£i t½ch cëng t½nh th¼ tçn t¤i mët sè phùc c sao cho f (z) = cz; ngh¾a l f l tuy¸n t½nh. Chùng minh. V¼ f l gi£i t½ch n¶n f l kh£ vi. ¤o h m f (z1 + z2 ) = f (z1 ) + f (z2 ) (1.11) theo bi¸n z1 , ta ÷ñc f 0 (z1 + z2 ) = f 0 (z1 ) vîi måi z1 v z2 trong C. V¼ th¸ ta chån z1 = 0 v z2 = z ta ÷ñc f 0 (z) = f (0) = c. Tø â ta th§y r¬ng f (z) = cz + b. Trong â b l mët sè phùc. Thay biºu thùc cõa f (z) v o (1.11) ta ÷ñc b = 0.
14 Chó þ 1.1 Ta th§y ành lþ 1.13 khæng óng cho h m phùc trong m°t ph¯ng phùc, công bi¸t r¬ng câ mët tü çng c§u giai o¤n cõa m°t ph¯ng phùc (theo Kamke (1927)) mët tü çng c§u giai o¤n l mët ¡nh x¤ 1-1 to n ¡nh, cëng t½nh v nh¥n t½nh tr¶n C. Trong cuèn Cours D'Analyse, Cauchy (1821) ¢ nghi¶n cùu th¶m 3 ph÷ìng tr¼nh h m kh¡c l f (x + y) = f (x)f (y) (1.12) f (xy) = f (x) + f (y) (1.13) v f (xy) = f (x)f (y) (1.14) b¶n c¤nh ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh f (x + y) = f (x) + f (y) (1.15) vîi måi x, y ∈ R. Trong c¡c ph¦n ti¸p theo ta gi£i 3 ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy tr¶n. Nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m n y ÷ñc x¡c ành theo c¡c h m cëng t½nh. Cuèi còng sû döng nghi»m têng qu¡t ta thu ÷ñc nghi»m li¶n töc cõa méi ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n. 1.1.3. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô Trong möc n y ta s³ x²t ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng (1.12), d¤ng ph÷ìng tr¼nh n y ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô. Ta s³ x¡c ành nghi»m têng qu¡t cõa h m sè mô Cauchy (1.12) m khæng gi£ sû c¡c i·u ki»n ch½nh quy nh÷ t½nh li¶n töc, t½nh bà ch°n hay t½nh kh£ vi tr¶n h m f . ành lþ 1.10 N¸u h m sè f : R → R thäa m¢n f (x + y) = f (x)f (y), vîi måi x, y th¼ nghi»m têng qu¡t cõa (1.12) ÷ñc cho bði f (x) = eA(x) v f (x) = 0 ∀x ∈ R (1.16) vîi A : R → R l h m cëng t½nh.
15 Chùng minh. D¹ th§y f (x) = 0 vîi måi x ∈ R l nghi»m cõa (1.12). Ta x²t f (x) khæng çng nh§t b¬ng 0. Ta s³ chùng minh r¬ng f (x) 6= 0 ∀x ∈ R. Gi£ sû i·u ng÷ñc l¤i tçn t¤i sè y0 sao cho f (y0 ) = 0. Tø (1.12) ta câ f (y) = f ((y − y0 ) + y0 ) = f (y − y0 )f (y0 ) = 0 vîi måi y ∈ R. i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t l f (x) khæng çng nh§t b¬ng 0. Do â f (x) 6= 0 ∀x ∈ R. t Cho x = = y trong (1.12) ta th§y 2 2 t f (t) = f 2 vîi måi t ∈ R. Vªy f (x) > 0 vîi måi x ∈ R. L§y loga cì sè e hai v¸ cõa (1.12) ta ÷ñc ln f (x + y) = ln f (x) + ln f (y). X²t ¡nh x¤ A : R → R vîi A(x) = ln f (x) ta ÷ñc A(x + y) = A(x) + A(y). (1.17) Vªy f (x) = eA(x) vîi A l h m cëng t½nh. Ta câ h» qu£ sau l k¸t qu£ hiºn nhi¶n cõa ành lþ tr¶n. H» qu£ 1.1 N¸u h m sè f : R → R thäa m¢n f (x + y) = f (x)f (y), vîi måi x, y th¼ nghi»m têng qu¡t li¶n töc cõa (1.12) ÷ñc cho bði f (x) = ecx v f (x) = 0 ∀x ∈ R, (1.18) vîi c l mët h¬ng sè tòy þ. Cho n l mët sè nguy¶n d÷ìng. Gi£ sû câ ph÷ìng tr¼nh h m f (x + y + nxy) = f (x)f (y) (1.19) 1 1 thäa m¢n vîi sè thüc x > − v y > − khi â n → 0, ph÷ìng tr¼nh n n h m (1.19) trð ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô. Ph÷ìng tr¼nh n y ÷ñc nghi¶n cùu bði Thielman (1949).
16 ành lþ 1.11 Måi nghi»m f cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (x + y + nxy) = 1 f (x)f (y), vîi måi x, y > − câ d¤ng n f (x) = 0 ho°c f (x) = eA(ln(1+nx)) , (1.20) vîi A : R → R l h m cëng t½nh. Chùng minh. Ta câ ph÷ìng tr¼nh h m (1.19) t÷ìng ÷ìng vîi (1 + nx)(1 + ny) − 1 f = f (x)f (y). (1.21) n °t 1 + nx = eu v 1 + ny = ev . Suy ra u = ln(1 + nx) v v = ln(1 + ny). Vi¸t l¤i (1.21) ta ÷ñc u+v u v e −1 e −1 e −1 f =f f (1.22) n n n vîi måi u, v ∈ R °t ev − 1 φ(u) = f (1.23) n trong ph÷ìng tr¼nh (1.22) ta câ φ(u + v) = φ(u)φ(v) (1.24) vîi måi u,v ∈ R. V¼ vªy theo ành lþ 1.10 ta câ φ(x) = eA(x) ho°c φ(x) = 0 ∀x ∈ R, (1.25) vîi A : R → R l h m cëng t½nh. Do â tø (1.23) v (1.25) chóng ta thu ÷ñc f (x) = 0 ho°c f (x) = eA(ln(1+nx)) vîi A : R → R l h m cëng t½nh. Tø â ta câ h» qu£ sau. H» qu£ 1.2 Måi nghi»m li¶n töc f cõa ph÷ìng tr¼nh h m (1.19) vîi 1 1 måi sè thüc x > − v måi y > − câ d¤ng l n n f (x) = 0 ho°c f (x) = (1 + nx)k , (1.26) trong â k l mët h¬ng sè tòy þ.
17 1.1.4. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Logarit B¥y gií ta xem x²t ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy thù hai (1.13). ¥y l ph÷ìng tr¼nh h m ÷ñc bi¸t ¸n nh÷ ph÷ìng tr¼nh Cauchy logarit. ành lþ 1.12 N¸u ph÷ìng tr¼nh h m (1.13), tø ph÷ìng tr¼nh l f (xy) = f (x) + f (y) óng vîi måi x, y ∈ R \ {0} th¼ nghi»m têng qu¡t cõa (1.13) l f (x) = A(ln|x|) ∀x ∈ R \ {0} (1.27) vîi A l mët h m cëng t½nh. Chùng minh. ¦u ti¶n ta thay x = t v y = t v o ph÷ìng tr¼nh (1.13) ta ÷ñc f (t2 ) = 2f (t). T÷ìng tü thay x = −t v y = −t v o (1.13) ta câ f (t2 ) = 2f (−t). Do â ta ÷ñc f (t) = f (−t) ∀t ∈ R \ {0}. (1.28) Ti¸p theo gi£ sû ph÷ìng tr¼nh h m (1.13) óng vîi måi x > 0 v y > 0. X²t x = es v y = et (1.29) suy ra s = ln x v t = ln y. (1.30) Chó þ s, t ∈ R do x, y ∈ R+ trong â R+ = {x ∈ R|x > 0}. Tø (1.29) v (1.13) ta câ f (es+t ) = f (es ) + f (et ). °t A(s) = f (es ). (1.31) Sû döng ph÷ìng tr¼nh cuèi còng ta câ A(s + t) = A(s) + A(t)
18 vîi måi s, t ∈ R. Tø (1.31) ta câ f (x) = A(ln x) ∀x ∈ R+ . (1.32) Do f (t) = f (−t) n¶n nghi»m têng qu¡t cõa (1.13) l f (x) = A(ln |x|) ∀x ∈ R \ {0}. Theo ành lþ tr¶n ta câ c¡c h» qu£ sau. H» qu£ 1.3 Nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (xy) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ R+ l f (x) = A(ln x), (1.33) vîi A : R → R l mët h m cëng t½nh. H» qu£ 1.4 Nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (xy) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ R l f (x) = 0 ∀x ∈ R. (1.34) H» qu£ 1.5 Nghi»m li¶n töc têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (xy) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ R \ {0} ÷ñc cho bði f (x) = c ln |x| ∀x ∈ R \ {0}, (1.35) vîi c l mët h¬ng sè thüc tòy þ. 1.1.5. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nh¥n t½nh X²t ph÷ìng tr¼nh Cauchy cuèi còng (1.14). ¥y l ph÷ìng tr¼nh phùc t¤p nh§t trong ba ph÷ìng tr¼nh ÷ñc x²t trong ch÷ìng n y. Tr÷îc ti¶n ta c¦n sû döng kh¡i ni»m h m d§u. H m d§u ÷ñc kþ hi»u bði sgn(x), ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau  1 n¸u x > 0  sgn(x) = 0 n¸u x = 0 (1.36) −1 n¸u x < 0  Ph÷ìng tr¼nh h m câ d¤ng (1.14) ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nh¥n t½nh. Mët h m sè f ÷ñc gåi l nh¥n t½nh khi v ch¿ khi f (xy) = f (x)f (y) vîi måi x v y .