Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tập nghiệm của đa thức nhiều biến trên trường thực

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài toán xác định mối quan hệ giữa các nghiệm và các nhân tử của một đa thức là một bài toán được nhiều nhà toán học quan tâm. Chú ý rằng nếu a ∈ K là một nghiệm của f(x) ∈ K[x] thì x − a là một nhân tử của f(x). Do đó, nếu f(x) và g(x) là hai đa thức với hệ số trên K có cùng tập nghiệm thì ước chung lớn nhất d(x) = gcd(f, g) cũng có tập nghiệm trùng với tập nghiệm chung của f và g. Mục đích của luận văn này này là mở rộng kết quả trên cho trường hợp nhiều biến.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tập nghiệm của đa thức nhiều biến trên trường thực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ TRÍ HÀO VỀ TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN TRÊN TRƯỜNG THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ TRÍ HÀO VỀ TẬP NGHIỆM CỦA ĐA THỨC NHIỀU BIẾN TRÊN TRƯỜNG THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. LÊ THỊ THANH NHÀN THÁI NGUYÊN - 2017
LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tôi được nhận đề tài nghiên cứu "Về tập nghiệm của đa thức nhiều biến trên trường thực" dưới sự hướng dẫn của GS.TS Lê Thị Thanh Nhàn. Đến nay, luận văn đã được hoàn thành. Có được kết quả này là do sự dạy bảo và hướng dẫn hết sức tận tình và nghiêm khắc của Cô. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Cô và gia đình! Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo và Khoa Toán - Tin của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại Trường và trong thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn này. Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn, Trường THPT Vũ Lễ nơi tôi đang công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa học này. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K9A (Khóa 2015-2017) đã quan tâm, tạo điều kiện, cổ vũ và động viên để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 19 tháng 5 năm 2017
Mục lục Lời mở đầu 4 Chương 1. Định lý cơ sở Hilbert và Định lý không điểm Hilbert 6 1.1 Đa thức một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Đa thức nhiều biến và Định lý cơ sở Hilbert . . . . . . 12 1.3 Tập nghiệm của họ đa thức và iđêan trong vành đa thức 17 1.4 Định lý không điểm Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Bài toán về hai đa thức có cùng tập nghiệm 27 2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Trường hợp một biến và trường hợp đóng đại số . . . 28 2.3 Trường hợp đa thức hai biến trên trường thực . . . . . 32 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 3
Lời mở đầu Bài toán xác định mối quan hệ giữa các nghiệm và các nhân tử của một đa thức là một bài toán được nhiều nhà toán học quan tâm. Cho K là một trường. Chú ý rằng nếu a ∈ K là một nghiệm của f (x) ∈ K[x] thì x − a là một nhân tử của f (x). Do đó, nếu f (x) và g(x) là hai đa thức với hệ số trên K có cùng tập nghiệm thì ước chung lớn nhất d(x) = gcd(f, g) cũng có tập nghiệm trùng với tập nghiệm chung của f và g. Mục đích của luận văn này này là mở rộng kết quả trên cho trường hợp nhiều biến. Cụ thể, chúng tôi quan tâm đến bài toán sau. Cho f, g là hai đa thức n biến với hệ số trên một trường K sao cho f, g có cùng tập nghiệm trong Kn . Tìm điều kiện để tồn tại một ước chung d của f và g sao cho f, g, d có cùng tập nghiệm. Luận văn gồm 2 chương. Chương 1 tập trung trình bày kiến thức chuẩn bị về đa thức một biến, đa thức nhiều biến, đa thức thuần nhất, tập nghiệm của họ đa thức, iđêan trong vành đa thức, đồng thời nêu lại chứng minh hai định lý của Hilbert là Định lý cơ sở Hilbert và Định lý không điểm Hilbert. Định lý cơ sở Hilbert cho phép quy mỗi tập đại số về tập nghiệm của hữu hạn đa thức và Định lý không điểm Hilbert là sự tổng quát của Định lý cơ bản của Đại số. Chương 2 là nội dung chính của luận văn, chương này trình bày bài toán về hai đa thức có cùng tập nghiệm. Tài liệu tham khảo chính của luận văn bài báo [3] của M. Balaich 4
và M. Cocos và bài báo [2] của R. M. Aron and P. Hajek. Ngoài ra còn tham khảo hai cuốn sách [1,4]. Trong luận văn này luôn giả thiết V là một vành giao hoán có đơn vị và K là một trường. Ta ký hiệu N, N0 , R, C lần lượt là tập số nguyên dương, tập các số nguyên không âm, trường các số thực, trường các số phức, V [x], K[x], V [x1 , ..., xn ], K[x1 , ..., xn ] lần lượt vành đa thức một biến trên V , K, vành đa thức n biến trên V và trên K. Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn! Tác giả 5
Chương 1 Định lý cơ sở Hilbert và Định lý không điểm Hilbert Trong chương này ta luôn giả thiết V là một vành giao hoán, K là một trường. Kí hiệu N là tập các số nguyên dương và N0 là tập các số nguyên không âm. Trong chương này chúng tôi tập trung trình bày kiến thức chuẩn bị về đa thức như đa thức một biến, đa thức nhiều biến, đa thức thuần nhất, tập nghiệm của họ đa thức, iđêan trong vành đa thức, đồng thời nêu lại chứng minh hai định lý của Hilbert là Định lý cơ sở Hilbert và Định lý không điểm Hilbert. Định lý cơ sở Hilbert cho phép quy mỗi tập đại số về tập nghiệm của hữu hạn đa thức và Định lý không điểm Hilbert là sự tổng quát của Định lý cơ bản của Đại số. 1.1 Đa thức một biến Định nghĩa 1.1.1. Một đa thức một biến với hệ số trên V có thể được viết dưới dạng f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , trong 6
đó a0 , . . . , an ∈ V và x là một ký hiệu gọi là biến (hay biến không ∞ ai xi hoặc P xác định). Ta cũng viết đa thức này dưới dạng f (x) = i=0 i ai xi và P P f (x) = ai x , trong đó ai = 0 với mọi i > n. Hai đa thức P i bi x là bằng nhau nếu ai = bi với mọi i. Ký hiệu V [x] là tập các đa thức một biến x với hệ số trên V . Định nghĩa 1.1.2. Cho f (x) = an xn +an−1 xn−1 +. . .+a1 x+a0 ∈ V [x] là một đa thức. i) Ta gọi a0 là hệ số tự do của f (x). ii) Nếu an 6= 0 thì n được gọi là bậc của f (x) và được ký hiệu là deg f (x). Trong trường hợp này, an được gọi là hệ số cao nhất của f (x). iii) Nếu an = 1 thì f (x) được gọi là đa thức dạng chuẩn (monic polynomial). Chú ý 1.1.1. i) Ta không định nghĩa bậc cho đa thức 0. ii) Nếu f (x) = a ∈ V thì f (x) được gọi là đa thức hằng. iii) Các đa thức bậc 1 được gọi là đa thức tuyến tính. ai xi và g(x) = bi xi P P Định nghĩa 1.1.3. Với hai đa thức f (x) = trong V [x], định nghĩa X f (x) + g(x) = (ai + bi )xi , X f (x).g(x) = ck xk , P trong đó ck = ai bj , ∀k. i+j=k Chú ý 1.1.2. Với các phép toán trên thì V [x] là vành giao hoán. Định nghĩa 1.1.4. Vành V [x] được gọi là vành đa thức một biến x với hệ số trong V . Phần tử không của vành là đa thức 0, phần tử đơn vị là đa thức 1. 7
Tiếp theo là một số tính chất sau đây về bậc của tổng và tích các đa thức một biến. Bổ đề 1.1.1. Cho f (x), g(x), h(x) ∈ V [x] là các đa thức khác 0. Khi đó (i) Nếu f (x) + g(x) 6= 0 thì deg((f (x) + g(x)) ≤ max{deg f (x), deg g(x)}. (ii) Nếu f (x)g(x) 6= 0 thì deg((f (x)g(x)) ≤ deg f (x) + deg g(x). Định nghĩa 1.1.5. Cho V là vành giao hoán khác 0. i) V được gọi là miền nguyên nếu ab = 0 kéo theo a = 0 hoặc b = 0. ii) Cho V là miền nguyên. Phần tử a ∈ V được gọi là bất khả quy nếu a 6= 0, a không khả nghịch và a không có ước thực sự. iii) Miền nguyên V được gọi là miền phân tích duy nhất (UFD) nếu mọi phần tử khác không, không khả nghịch đều phân tích được thành tích của các nhân tử bất khả quy và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các nhân tử và các nhân tử khả nghịch. iv) Miền nguyên V được gọi là miền iđêan chính nếu mọi iđêan của V đều là iđêan chính, (tức là: Nếu I là iđêan của V thì tồn tại phần tử a ∈ I sao cho I = {ax | x ∈ V } = (a)). Ví dụ 1.1.1. Ta thấy Z là miền chính vì mọi iđêan của Z có dạng mZ = {mx | x ∈ Z}. Tuy nhiên vành Z[x] không là miền chính vì iđêan I = (x, 2) không là iđêan chính. Bổ đề 1.1.2. Cho V là miền nguyên khi đó với mọi f (x), g(x) ∈ V [x] ta có deg(f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x), 8
với mọi f (x), g(x) ∈ V [x], f (x), g(x) 6= 0. Mệnh đề dưới đây cho ta điều kiện cần và đủ để vành đa thức là miền phân tích duy nhất, miền iđêan chính (xem Mệnh đề 1.4.2 của [1]). Mệnh đề 1.1.1. i) Nếu V là miền phân tích duy nhất thì V [x] là miền phân tích duy nhất. ii) Cho V là một miền nguyên. Khi đó V [x] là miền iđêan chính khi và chỉ khi V là một trường. Định nghĩa 1.1.6. Một ánh xạ ϕ : V → V 0 giữa hai vành V , V 0 được gọi là một đồng cấu vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau i) ϕ(1) = 1; ii) ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b); iii) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b), với mọi a, b ∈ V . Định nghĩa 1.1.7. Một đồng cấu ϕ được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu ϕ là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Hai vành V và V 0 được gọi là đẳng cấu với nhau, viết V ∼ = V 0 , nếu có một đẳng cấu giữa chúng. Chú ý 1.1.3. Chú ý rằng hợp thành của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành, ánh xạ ngược của một đẳng cấu vành là một đẳng cấu vành, ánh xạ nhúng j : V → V [x] cho bởi j(a) = a với mọi a ∈ V là một đơn cấu vành. Ta gọi j là phép nhúng tự nhiên hay phép nhúng chính tắc. ai xi = a0 là P Ví dụ 1.1.2. Ta có ánh xạ ϕ : V [x] → V cho bởi ϕ một toàn cấu và ker ϕ = (x). Do đó V [x]/(x) ∼ = V. Định lý dưới đây là một kết quả rất quan trọng trong lý thuyết đa thức. Nó giúp chúng ta xây dựng được thuật toán tìm ước chung lớn nhất của các đa thức (xem Định lý 1.2.2 của [1]). 9
Định lý 1.1.1. (Định lý chia với dư). Giả sử g(x) ∈ V [x] là đa thức có hệ số cao nhất khả nghịch trong V . Khi đó với mỗi f (x) ∈ V [x], tồn tại duy nhất một cặp đa thức q(x), r(x) thuộc V [x] sao cho f (x) = q(x)g(x) + r(x) với r(x) = 0 hoặc deg r(x) < deg g(x). Kết quả dưới đây, được gọi là Định lý Bezout bé, là một hệ quả trực tiếp từ Định lý 1.1.1. Hệ quả 1.1.1. Cho a ∈ V và f (x) ∈ V [x]. Khi đó dư của phép chia f (x) cho x − a là f (a). Chứng minh. Hệ số cao nhất của x − a là 1 (là phần tử khả nghịch). Theo Định lý 1.1.1, tồn tại q(x), r(x) ∈ V [x] sao cho f (x) = (x − a)q(x) + r(x), trong đó r(x) = r ∈ V là một đa thức hằng. Thay x = a vào đẳng thức trên ta được r = r(a) = f (a). Định nghĩa 1.1.8. i) Cho hai đa thức f (x), g(x) ∈ K[x]. Sao cho g(x) 6= 0. Tồn tại q(x) ∈ K[x] sao cho f (x) = g(x)q(x) thì ta nói g(x) là ước của f (x) hoặc f (x) là bội của g(x). ii) Một đa thức d(x) ∈ K[x] được gọi là một ước chung của các đa thức f1 (x), . . . , fs (x) ∈ K[x] nếu d(x) là ước của fi (x) với mọi i = 1, . . . , s. iii) Một ước chung d(x) của các đa thức f1 (x), . . . , fs (x) được gọi là ước chung lớn nhất nếu d(x) là bội của mọi ước chung f1 (x), . . . , fs (x). Ví dụ 1.1.3. Cho f (x) = x2 − 1 và g(x) = x − 1 là các đa thức trên trường số hữu tỷ Q. Khi đó f (x) = (x − 1)(x + 1) = g(x)(x + 1). Suy 1 ra, g(x) là ước của f (x). Ta có 1, , (x − 1) là ước chung của f (x) và 2 1 g(x). Khi đó x − 1, (x − 1), 2(x − 1) . . ., là các ước chung lớn nhất 2 của f (x) và g(x). 10
Bổ đề 1.1.3. Cho d(x) ∈ K[x] là ước chung lớn nhất của f (x), g(x) ∈ K[x]. Khi đó đa thức t(x) ∈ K[x] cũng là ước chung lớn nhất của f (x), g(x) nếu và chỉ nếu tồn tại 0 6= a ∈ K sao cho t(x) = ad(x). Bổ đề 1.1.4. Giả sử f (x) = g(x)q(x) + r(x), trong đó r(x) = 0 hoặc deg r(x) < deg g(x). Khi đó đa thức d(x) là ước chung lớn nhất của f (x), g(x) nếu và chỉ nếu nó là ước chung lớn nhất của g(x) và r(x). Tiếp theo chúng tôi trình lại định lý về thuật toán tìm ước chung lớn nhất. Định lý 1.1.2. (Thuật toán Euclid tìm ước chung lớn nhất) Giả sử f (x), g(x) là hai đa thức trong K[x] và g(x) 6= 0. Khi đó tồn tại một số tự nhiên k và các đa thức ri (x), qi (x) ∈ K[x] sao cho f (x) = g(x)q0 (x) + r0 (x), r0 (x) 6= 0, deg r0 (x) < deg g(x); g(x) = r0 (x)q1 (x) + r1 (x), r1 (x) 6= 0, deg r1 (x) < deg r0 (x); r0 (x) = r2 (x)q2 (x) + r2 (x), r2 (x) 6= 0, deg r2 (x) < deg r1 (x); ........................................................................... rk−2 (x) = rk−1 (x)qk (x) + rk (x), rk (x) 6= 0, deg rk (x) < deg rk−1 (x); rk−1 (x) = rk (x)qk+1 (x). Hơn nữa đa thức dư cuối cùng rk (x) 6= 0 là một ước chung lớn nhất của f (x) và g(x). Ví dụ 1.1.4. Tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức với hệ số trên Q là x2 − 1 và x3 − 3x + 2. Giải. Theo thuật toán Euclid ta có x3 − 2x + 2 = x2 − 1 x − 2x + 2 x2 − 1 = (−2x + 2) − 21 x − 1 2 . Do đó −2x + 2 là một ước chung lớn nhất của x2 − 1 và x3 − 3x + 2. 11
1.2 Đa thức nhiều biến và Định lý cơ sở Hilbert Định nghĩa 1.2.1. i) Mỗi bộ n số nguyên không âm i = (i1 , . . . , in ) ∈ Nn0 cho ta một đơn thức xi11 . . . xinn của n biến x1 , . . . , xn với bậc là i1 + . . . + in . ta thường viết đơn thức này đưới dạng xi . ii) Với j = (j1 , . . . , jn ) ∈ Nn0 , hai đơn thức xi , xj là bằng nhau nếu i = j, tức là ik = jk với mọi k. iii) Một từ là biểu thức có dạng axi với a ∈ V (được gọi là hệ số của từ) và xi được gọi là đơn thức của từ. Hai từ được gọi là đồng dạng nếu hai đơn thức của chúng bằng nhau. Hai từ được gọi là bằng nhau nếu chúng đồng dạng và có cùng hệ số. iv) Một đa thức là tổng hữu hạn các từ. Nếu u = axi và v = bxi là hai từ đồng dạng thì chúng ta có u + v = (a + b)xi . Vì vậy, mỗi đa thức ai xi P f (x1 , . . . , xn ) có một cách biểu diễn chính tắc f (x1 , . . . , xn ) = i∈Nn0 thành tổng của các từ đôi một không đồng dạng, trong đó chỉ hữu hạn các từ khác 0 (tức là hệ số của từ khác không), và biểu diễn này là duy nhất nếu không kể đến thứ tự các hạng tử. v) Mỗi từ khác 0 xuất hiện trong biểu diễn chính tắc của đa thức được gọi là một từ của đa thức đó. ai xi và bi xi là bằng nhau nếu ai = bi với P P vi) Hai đa thức i∈Nn0 i∈Nn0 mọi i ∈ Nn0 . Định nghĩa 1.2.2. Bậc của một từ khác không là bậc của đơn thức từ đó. Bậc (hay bậc tổng thể ) của đa thức f (x1 , . . . , xn ) 6= 0, kí hiệu bởi deg f (x1 , . . . , xn ), là số lớn nhất trong các bậc của từ của f (x1 , . . . , xn ). Bậc theo biến xk của một đa thức là số lớn nhất trong các số mũ của xk xuất hiện trong các từ của đa thức đó. Chú ý 1.2.1. i) Ta không định nghĩa cho bậc của đa thức 0. 12
ii) Đa thức hằng khác không là đa thức có bậc 0. iii) Các đa thức bậc 1 là đa thức tuyến tính. Đa thức thuần nhất bậc m (hay một dạng bậc m) là một đa thức mà các từ của nó đều có bậc m. iv) Đa thức thuần nhất bậc hai được gọi là dạng toàn phương. Định nghĩa 1.2.3. Ký hiệu V [x1 , . . . , xn ] là tập các đa thức n biến x1 , . . . , xn với hệ số trong V . Với i, j ∈ Nn0 , trong đó i = (i1 , . . . , in ) và j = (j1 , ..., jn ), ta định nghĩa i + j = (i1 + j1 , . . . , in + jn ). Khi đó V [x1 , . . . , xn ] là một vành với phép cộng và phép nhân ai x i + bi xi = (ai + bi )xi ; P P P i∈Nn0 i∈Nn0 i∈Nn0 ai x i bi xi = ck xk , ck = P P P P ai b j i∈Nn0 i∈Nn0 k∈Nn0 i+j=k ai x i , bi xi ∈ V [x1 , . . . , xn ]. P P với mọi đa thức i∈Nn0 i∈Nn0 Chú ý 1.2.2. i) Vành V [x1 , . . . , xn ] được gọi là vành đa thức n biến x1 , . . . , xn với hệ số trong V. ii) Vành đa thức n biến x1 , . . . , xn với hệ số trong V có thể được xây dựng bằng quy nạp theo n như sau. Khi n = 1, vành đa thức một biến V [x1 ] đã được định nghĩa trong mục 1.2.3. Với n = 2, vành đa thức hai biến V [x1 , x2 ] với hệ số trong V chính là vành đa thức một biến x2 với hệ số trong V [x1 ]. Bằng quy nạp, vành đa thức n biến V [x1 , . . . , xn ] với hệ số trong V chính là vành đa thức một biến xn với hệ số trong vành V [x1 , . . . , xn−1 ]. Theo Mệnh đề 1.1.1. Nếu V là miền phân tích duy nhất thì V [x] là miền phân tích duy nhất. Bằng quy nạp theo số biến ta có hệ quả sau. Hệ quả 1.2.1. Nếu V là miền phân tích duy nhất thì V [x1 , . . . , xn ] cũng là miền phân tích duy nhất. 13
Chú ý rằng, nếu K là trường thì K là miền phân tích duy nhất, do đó vành đa thức K[x1 , . . . , xn ] luôn là miền phân tích duy nhất. Định nghĩa 1.2.4. Cho đa thức f (x1 , . . . , xn ) ∈ V [x1 , . . . , xn ]. Khi đó ta có ánh xạ f : V n → V cho ứng mỗi phần tử (a1 , . . . , an ) ∈ V n với phần tử f (a1 , . . . , an ) ∈ V. Ta gọi f là hàm đa thức n biến trên V tương ứng với đa thức f (x1 , . . . , xn ). Kết quả quan trọng sau đây cho phép ta có thể đồng nhất mỗi đa thức với một hàm đa thức. Từ đó, ta có thể liên hệ các đối tượng đại số (trong vành đa thức V [x1 , . . . , xn ]) với các đối tượng hình học (trong tập V n ) (xem Định lý 3.1.9 của [1]). Định lý 1.2.1. Nếu V là miền nguyên vô hạn thì ánh xạ ϕ cho tương ứng mỗi đa thức f (x1 , . . . , xn ) với hàm đa thức f là một song sánh từ tập các đa thức V [x1 , . . . , xn ] đến tập các hàm đa thức n biến trên V. Đặc biệt, đa thức f (x1 , . . . , xn ) là đa thức 0 khi và chỉ khi hàm đa thức f là hàm không. Định nghĩa 1.2.5. Cho V là vành giao hoán. Ta nói V là vành Noether nếu nó thỏa mãn điều kiện các dãy tăng dừng trên các iđêan, tức là với mọi dãy tăng I1 ⊆ I2 ⊆ . . . ⊆ In ⊆ . . . các iđêan của V, tồn tại một số tự nhiên n0 sao cho In = In0 với mọi n > n0 . Tiếp theo là các đặc trưng của vành Noether (xem Mệnh đề 3.4.1 của [1]). Mệnh đề 1.2.1. Cho V là vành giao hoán. Khi đó các phát biểu sau là tương đương. (i) V là vành Noether. (ii) Mỗi iđêan của V là hữu hạn sinh. (iii) Mỗi họ khác rỗng những iđêan của V đều có phần tử cực đại (theo quan hệ bao hàm). 14
Hệ quả 1.2.2. Cho V là vành Noether và I là iđêan của vành V khi đó vành thương V /I là vành Noether. Ta thấy rằng, nếu V là miền nguyên (miền phân tích duy nhất), thì vành đa thức một biến V [x] tương ứng là miền nguyên (miền phân tích duy nhất). Định lý tiếp theo của Hilbert chỉ ra tính chất Noether được giữ nguyên trên vành đa thức. Định lý 1.2.2. (Định lý cơ sở Hilbert) Cho V là vành Noether. Khi đó V [x] cũng là vành Noether. Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.2.1, ta cần chứng minh mọi iđêan của V [x] đều hữu hạn sinh. Cho J là iđêan của V [x]. Nếu J = 0 thì rõ ràng J là hữu hạn sinh. Cho J 6= 0. Gọi m là số bé nhất trong các bậc của các đa thức khác 0 thuộc J. Với n ≥ m ta định nghĩa n X { a ∈ V | ∃f (x) = ai xi ∈ J, deg f (x) = n, an = a } ∪ {0} . i=0 Khi đó In là iđêan của V và In ⊆ In+1 . Vì V là vành Noethher, nên In hữu hạn sinh theo Mệnh đề 1.2.1. Do đó ta có thể viết In = (an,1 , . . . , an,in ) với mọi n > m. Hơn nữa, do V là vành Noether nên tồn tại một số tự nhiên k ≥ m sao cho In = Ik với mọi n ≥ k. Với mỗi n = m, . . . , k và mỗi j = 1, . . . , in , gọi fn,j (x) ∈ J là đa thức bậc n và hệ số cao nhất là an,j . Đặt An = {fn,j (x) | j = 1, . . . , in } k S và A = An . Khi đó A là tập hữu hạn. Ta chứng minh J = (A). n=m Rõ ràng (A) ⊆ J. Cho 0 6= p(x) ∈ J với a là hệ số cao nhất của p(x). Khi đó deg p(x) ≥ m. Ta chứng minh p(x) ∈ (A) bằng quy nạp theo deg p(x). Cho deg p(x) = m. Khi đó a ∈ Im . Do đó tồn tại im P im P c1 , . . . , cim ∈ V sao cho a = cj am,j . Đặt q(x) = p(x) − cj fm,j (x). j=1 j=1 15
Khi đó q(x) hoặc bằng 0 hoặc có bậc bé hơn m. Chú ý rằng q(x) ∈ J. Do đó q(x) = 0 theo cách chọn m. Suy ra p(x) ∈ (A). Cho deg p(x) = n > m và giả thiết rằng với mọi đa thức trong J với bậc nhỏ hơn n đều thuộc (A). Khi đó a ∈ In . Đặt t = min{n, k}. Suy ra In = It it P và vì thế a ∈ It . Do đó tồn tại c1 , . . . , cit ∈ V sao cho a = cj at,j . j=1 it P Đặt q(x) = p(x) − cj ft,j (x). Khi đó q(x) ∈ J và q(x) hoặc bằng 0 j=1 hoặc có bậc nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp, q(x) ∈ (A). Suy ra p(x) ∈ (A). Do đó J = (A). Cho V là vành và S là vành chứa V , với α1 , . . . , αn ∈ S. Đặt V [α1 , . . . , αn ] = {f (α1 , . . . , αn )|f (x1 , . . . , xn ) ∈ V [x1 , . . . , xn ]} ⊆ S. Từ Định lý 1.2.2 và bằng quy nạp theo số biến ta suy ngay hệ quả sau. Hệ quả 1.2.3. Các phát biểu sau đây là đúng. (i) Nếu V là vành Noether thì V [x1 , . . . , xn ] cũng là vành Noether. (ii) Nếu V là vành Noether, S là vành chứa V và α1 , . . . , αn ∈ S thì V [α1 , . . . , αn ] cũng là vành Noether. Chứng minh. i) Vì V [x1 , . . . , xn ] = (V [x1 ])[x2 , ..., xn ] nên ttheo quy nạp ta suy ra điều phải chứng minh. ii) Cho α1 , . . . , αn ∈ S là phần tử của S. Xét đồng cấu ϕ : V [x1 , . . . , xn ] → S sao cho f (x1 , . . . , xn ) 7→ ϕ(f ) = f (α1 , . . . , αn ). Khi đó ta có Imϕ = V [α1 , . . . , αn ]. Theo định lý đồng cấu vành ta có V [x1 , . . . , xn ]/ ker ϕ ∼ = V [α1 , . . . , αn ]. Do đó V [x1 , . . . , xn ] là Noether nên theo Hệ quả 1.2.2 ta có V [α1 , . . . , αn ] là Noether. 16
1.3 Tập nghiệm của họ đa thức và iđêan trong vành đa thức Định nghĩa 1.3.1. Giả sử V là một vành con của một vành giao hoán S và 0 6= f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ∈ V [x]. Một phần tử c ∈ S được gọi là một nghiệm của f (x) trong S nếu f (c) = an cn +. . .+a1 c+a0 = 0. Trong trường hợp này ta cũng nói c là một nghiệm của phương trình f (x) = 0. Ví dụ 1.3.1. Xét hai đa thức f (x) = x2 − 3 và g(x) = x2 + 1 trong √ vành Q[x]. Rõ ràng R và C đều chứa Q. Ta có ± 2 ∈ R là các nghiệm của f (x) và ±i ∈ C là các nghiệm của g(x). Bổ đề 1.3.1. Phần tử a ∈ V là nghiệm của f (x) nếu và chỉ nếu tồn tại một đa thức g(x) ∈ V [x] sao cho f (x) = (x − a)g(x). Chứng minh. Nếu f (x) = (x − a)g(x) với g(x) ∈ V [x] thì rõ ràng a là nghiệm của f (x). Ngược lại, nếu a là nghiệm của f (x) thì f (a) = 0. Theo Hệ quả 1.1.1, dư của phép chia f (x) cho x − a là f (a) = 0. Vì thế tồn tại g(x) ∈ V [x] sao cho f (x) = (x − a)g(x). Định nghĩa 1.3.2. Cho f (x) ∈ V [x]. Giả sử k > 0 là một số nguyên và S là một vành giao hoán chứa V . Một phần tử a ∈ S được gọi là một nghiệm bội k của f (x) nếu trong vành S[x], đa thức f (x) chia hết cho (x − a)k nhưng f (x) không chia hết cho (x − a)k+1 . Nếu k = 1 thì a được gọi là nghiệm đơn. Nếu k = 2 thì a được gọi là nghiệm kép. Ví dụ 1.3.2. Cho f (x) = x5 + x4 + 2x3 + 2x2 + x + 1 ∈ Q[x]. Khi đó i và −i là hai nghiệm kép của f (x) và −1 là nghiệm đơn của f (x), bởi vì trong C[x] ta có phân tích f (x) = (x − i)2 (x + i)2 (x + 1). Bổ đề 1.3.2. Phần tử a ∈ V là nghiệm bội k của f (x) ∈ V [x] nếu và chỉ nếu tồn tại một đa thức g(x) ∈ V [x] sao cho f (x) = (x − a)k g(x) và g(a) 6= 0. 17
Chứng minh. Giả sử a là nghiệm bội k của f (x). Vì f (x) chia hết cho (x − a)k nên f (x) = (x − a)k g(x) với g(x) ∈ V [x]. Nếu g(a) = 0 thì theo Bổ đề 1.3.1 ta có g(x) = (x − a)h(x) với h(x) ∈ V [x] và do đó f (x) chia hết cho (x − a)k+1 , vô lý. Vậy g(a) 6= 0. Ngược lại, vì f (x) = (x − a)k g(x) nên f (x) chia hết cho (x − a)k . Nếu f (x) chia hết cho (x − a)k+1 thì f (x) = (x − a)k+1 h(x) với h(x) ∈ V [x]. Do đó (x − a)k g(x) = (x − a)k+1 h(x). Suy ra (x − a)k (g(x) − (x − a)h(x)) = 0. Do hệ số cao nhất của (x − a)k bằng 1 nên g(x) − (x − a)h(x) = 0. Do đó g(a) = 0, mâu thuẫn. Vì thế f (x) không chia hết cho (x − a)k+1 . vậy a là nghiệm bội k của f (x). Từ các bổ đề trên ta suy ra hai hệ quả sau (xem Hệ quả 1.5.5 của [1]). Hệ quả 1.3.1. Cho V là miền nguyên và f (x) ∈ V [x]. Giả sử a1 , . . . , ar thuộc V là những phần tử đôi một khác nhau và ai là nghiệm bội bội ki của f (x) với i = 1, . . . , r. Khi đó tồn tại u(x) ∈ V [x] sao cho f (x) = (x − a1 )k1 . . . (x − ar )kr u(x) và u(ai ) 6= 0 với mọi i = 1, . . . , r. Hệ quả 1.3.2. Cho V là miền nguyên và f (x) ∈ V [x]. Nếu f (x) 6= 0 thì số nghiệm của f (x), mỗi nghiệm tính với số bội của nó, không vượt quá bậc của f (x). Chứng minh. Giả sử a1 , . . . , an là các nghiệm của f (x) với số bội lần lượt là k1 , . . . , kr . Theo Hệ quả 1.3.1 ta có f (x) = (x − a1 )k1 . . . (x − ar )kr g(x), 18
trong đó g(x) ∈ V [x]. Do V là miền nguyên nên ta có deg f (x) = (k1 + . . . + kr ) + deg g(x) ≥ k1 + . . . kr . Chú ý 1.3.1. Đối với đa thức một biến trên trường K, bài toán tìm nghiệm là bài toán cơ bản. Chú ý rằng mỗi đa thức khác không trong K[x] chỉ có hữu hạn nghiệm (số nghiệm không vượt quá bậc của nó). Trong khi đó đa thức nhiều biến nhìn chung có vô số nghiệm và việc nghiên cứu một nghiệm riêng lẻ là không khả thi. Thay vào đó, người ta nghiên cứu tập các nghiệm của một đa thức hay một họ đa thức. Những tập nghiệm như vậy gọi là tập đại số. Ký hiệu Kn = {(a1 , . . . , an ) | ai ∈ K, i = 1, . . . , n}. Ta gọi Kn là không gian affin n chiều. Đặc biệt K = K1 được gọi là đường thẳng affin, K2 được gọi là mặt phẳng affin. Với mỗi tập con S của K[x1 , . . . , xn ], ký hiệu Z(S) = {(a1 , . . . , an ) ∈ Kn | f (a1 , . . . , an ) = 0, ∀f ∈ S}. Tập Z(S) được gọi là tập nghiệm của S (hay tập các không điểm chung của S). Định nghĩa 1.3.3. Mỗi tập con X của Kn được gọi là tập đại số (hay đa tạp affin) nếu tồn tại S ∈ K[x1 , . . . , xn ] sao cho X = Z(S). Khi đó ta nói X là tập đại số định nghĩa bởi S. Cho X = Z(S) là một tập đại số trong Kn . Nếu S = {f } thì ta viết X = Z(f ). Nếu f khác hằng thì Z(f ) được gọi là một siêu mặt trong K n . Nếu S = {f1 , . . . , fk } là tập hữu hạn thì ta viết X = Z(f1 , . . . , fk ). Chú ý rằng mỗi tập đại số (khác ∅ và khác Kn ) đều là giao của một T họ siêu mặt, vì ta có X = Z(S) = Z(f ). f ∈S 19