Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tối ưu trên đa tạp Riemann

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:75

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày một số khái niệm, tính chất của đa tạp và một số khái niệm liên quan. Đồng thời các ví dụ về đa tạp, đường trắc địa, ánh xạ mũ được chúng tôi quan tâm trình bày chi tiết. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tối ưu trên đa tạp Riemann

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG NGỌC THẾ VỀ TỐI ƯU TRÊN ĐA TẠP RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 9/2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG NGỌC THẾ VỀ TỐI ƯU TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên, 9/2018
Mục lục Mở đầu 1 1 Đa tạp và một số khái niệm liên quan 3 1.1 Khái niệm đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Đa tạp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 Ánh xạ trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5 Đạo hàm của ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.6 Một số ánh xạ khả vi đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.7 Phân thớ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.8 Trường vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.4 Liên thông affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.5 Liên thông Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.6 Cung trắc địa, ánh xạ mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.7 Toán tử Hessian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Thuật toán Tìm theo đường thẳng trên đa tạp 26
2.1 Thuật toán Tìm theo đường thẳng trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Phương pháp giảm sâu nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Tìm theo đường thẳng trên đa tạp Riemann tổng quát . . . . . . . . . 29 2.2.1 Phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Thuật toán Tìm theo đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.3 Sự hội tụ của thuật toán Tìm theo đường thẳng . . . . . . . . . 34 2.2.4 Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Phương pháp Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.1 Phương pháp Newton trên đa tạp Riemann với hàm mục tiêu giá trị thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.2 Sự hội tụ địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Ví dụ về bài toán tối ưu trên mặt cầu 40 3.1 Bài toán K-mean trên mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.1 Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.1.2 Thực hành với MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Bài toán điểm trung chuyển hàng không . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.2 Bài toán điểm trung chuyển hàng không . . . . . . . . . . . . 45 3.2.3 Thực hành với MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Bài toán giá trị riêng dưới góc độ tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.1 Bài toán giá trị riêng dưới góc độ tối ưu . . . . . . . . . . . . 51 3.3.2 Thuật toán thương Rayleigh trên mặt cầu . . . . . . . . . . . . 52 3.3.3 Thực hành với MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61
i Phụ lục 62 A Chương trình trong MATLAB 62 A.1 Bài toán K-mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 A.2 Bài toán điểm trung chuyển hàng không . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 A.3 Bài toán giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
ii Bảng ký hiệu ⊗ tích tenxơ của các không gian vectơ C ∞ (M) tập tất cả các hàm trơn trên M F(U ) tập tất cả hàm trơn, giá trị thực xác định trên U gradf (x) Gradient của hàm số f Hessf Hessian của hàm số f S m−1 mặt cầu đơn vị trong Rm Tx M không gian tiếp xúc của M tại x tr(A) tổng các phần tử trên đường chéo của ma trận vuông A X(M) tập các trường vectơ trơn trên M.
1 Mở đầu Bài toán tối ưu trên đa tạp xuất hiện rất tự nhiên và khá phổ biến. Chẳng hạn, khi xét một bài toán tối ưu có ràng buộc, trong rất nhiều trường hợp, tập chấp nhận được là một đa tạp. Khi đó, ta có một bài toán tối ưu trên đa tạp. Câu hỏi tự nhiên là những phương pháp tối ưu quen thuộc, chẳng hạn Tìm theo đường thẳng, có thể được dùng cho bài toán tương ứng trên đa tạp hay không? Trong Rn , việc tịnh tiến theo hướng của một vectơ rất rõ ràng: ta chỉ cần cộng vào tọa độ của điểm cần tịnh tiến với tọa độ vectơ tịnh tiến. Nhưng trên một đa tạp, gradient của hàm mục tiêu lại là một vectơ thuộc không gian tiếp xúc của đa tạp chấp nhận được. Khi đó, về nguyên tắc, ta không thể cộng một điểm trên đa tạp với một vectơ trên không gian tiếp xúc. Nếu giả sử có cộng được một cách máy móc thì kết quả đó sẽ không còn là một điểm nằm trên đa tạp nữa. Để góp phần làm sáng tỏ những vấn đề này, chúng tôi đã chọn đề tài "Về tối ưu trên đa tạp Riemann" để làm đề tài luận văn thạc sĩ. Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1. Đa tạp và một số khái niệm liên quan Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất của đa tạp và một số khái niệm liên quan. Đồng thời các ví dụ về đa tạp, đường trắc địa, ánh xạ mũ được chúng tôi quan tâm trình bày chi tiết. Chương 2. Thuật toán Tìm theo đường thẳng trên đa tạp Chương này trình bày những ý tưởng và xây dựng thuật toán Tìm theo đường thẳng và phương pháp Newton trên đa tạp Riemann. Chúng tôi cũng trình bày một số tính chất về tính hội tụ của thuật toán.
2 Chương 3. Ví dụ về bài toán tối ưu trên mặt cầu Trong chương này, chúng tôi áp dụng những thuật toán đã xây dựng cho môt số bài toán trên mặt cầu đơn vị S n−1 với các ví dụ số cụ thể. Luận văn kết thúc với phần kết luận và tài liệu tham khảo. Mặc dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Kính mong sự góp ý của các thầy cô để luận văn này được hoàn chỉnh và ý nghĩa hơn. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thanh Sơn. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K10A; Nhà trường và các phòng chức năng của Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, ủng hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2018 Tác giả luận văn Hoàng Ngọc Thế
3 Chương 1 Đa tạp và một số khái niệm liên quan Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách chi tiết những khái niệm, tính chất quan trọng liên quan đến đa tạp. Những nội dung này chủ yếu dựa vào tài liệu [1]. Người đọc cũng có thể tham khảo tài liệu [2]. 1.1 Khái niệm đa tạp 1.1.1 Đa tạp khả vi Định nghĩa 1.1.1 (Xem [1]). Giả sử (M, τ ) là không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được. Khi đó M được gọi là một đa tạp tô pô m− chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian Rm , nghĩa là với mỗi điểm x ∈ M, tồn tại một lân cận U của x, có một tập con mở V ⊂ Rm và một phép đồng phôi ϕ : U → V . Cặp (U, ϕ) được gọi là một bản đồ địa phương hay gọi tắt là bản đồ trong M. Ta viết Mm để thể hiện đa tạp M có m chiều. Với U là một tập mở bất kỳ của Rn , ta nhắc lại các kí hiệu C k (U, Rm ), C ∞ (U, Rm ), và C ω (U, Rm ) lần lượt là tập tất cả các ánh xạ khả vi liên tục tới cấp k , tập tất cả các ánh xạ trơn và tập tất cả các ánh xạ giải tích từ U vào Rm . Định nghĩa 1.1.2 (Xem [1]). Xét đa tạp tô pô Mm . Họ A = {(Ui , ϕi ) : i ∈ I} các bản đồ trên M được gọi là một atlas lớp C k (k ≥ 1) hay C k − atlas nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
4 (i) họ {Ui } là một phủ mở của M; (ii) với hai bản đồ (Ui , ϕi ) và (Uj , ϕj ) mà Ui ∩ Uj 6= ∅ thì ánh xạ chuyển tiếp ϕj ◦ ϕ−1 i xác định trên ϕi (Ui ∩ Uj ) là ánh xạ khả vi lớp C k từ ϕi (Ui ∩ Uj ) lên ϕj (Ui ∩ Uj ). Một bản đồ (U, ϕ) được gọi là tương thích với C k − atlas A nếu hợp A ∪ {(U, ϕ)} là một C k − atlas. ˆ được gọi là atlas cực đại nếu nó chứa tất cả các bản đồ tương thích với Atlas A ˆ cũng được gọi là một C k − cấu trúc trên Mm . nó. Khi đó A ˆ ) được gọi là một C k − đa tạp hay đa tạp khả vi lớp C k . Cặp (M, A Nhận xét 1.1.3. Một C k − atlas A trên một đa tạp tô pô M xác định duy nhất một C k − cấu trúc trên M. Ví dụ 1.1.4. 1. Xét M = Rm với tô pô Euclide. Ta có một C ω − cấu trúc tầm thường A = {(Rm , ϕ) : ϕ : x 7→ x}.
5 2. Xét không gian vectơ Rn×p các ma trận thực cỡ n × p. Ta xây dựng tích vô hướng hX1 , X2 i := tr X1> X2 , ở đây tr(X) là tổng các phần tử trên đường chéo chính của X . Chuẩn tương ứng được gọi là chuẩn Frobenius q kXkF = tr X > X , tức là kXk2F là tổng bình phương các phần tử của X . Khi đó Rn×p là một không gian tô pô Haussdorff với cơ sở đếm được. Xét ánh xạ vec : Rn×p → Rnp X 7→ vec(X), ở đây vec(X) là vectơ được tạo thành bằng cách xếp chồng theo thứ tự các cột của X . Ánh xạ này cho ta một C k − cấu trúc trên Rn×p . 3. Ký hiệu S m là mặt cầu đơn vị trong Rm+1 được trang bị tô pô Euclide. Ký hiệu N = (0, 0, ..., 0, 1), S = (0, 0, ..., 0, −1) lần lượt là cực bắc và cực nam của S m . Đặt UN = S m \{N }, US = S m \{S} và định nghĩa ϕN : UN → Rm x1 xm (x1 , ..., xm+1 ) 7→ , ..., , 1 − xm+1 1 − xm+1 ϕ S : U S → Rm x1 xm (x1 , ..., xm+1 ) 7→ , ..., . 1 + xm+1 1 + xm+1 Do vậy, hai ánh xạ chuyển tiếp ϕ−1 S ϕN và ϕN ϕS được cho bởi công thức −1 Rm \ {0} → Rm \ {0} x x 7→ . kxk2
6 Khi đó A = {(UN , ϕN ), (US , ϕS )} là một C ω − Atlas trên S m . Đa tạp lớp C ∞ ˆ ) được gọi là mặt cầu tiêu chuẩn m chiều. (S m , A Phát biểu sau đây xây dựng tích Descartes của hai đa tạp. Mệnh đề 1.1.5 (Xem [2]). Cho (M1 , A ˆ 1 ) và (M2 , A ˆ 2 ) là hai đa tạp khả vi lớp C k . Cho M = M1 × M2 là tích Descartes của hai không gian tô pô. Khi đó, tồn tại một ˆ ) là một đa tạp khả vi lớp C k có số chiều atlas A trên M sao cho (M, A dim M = dim M1 + dim M2 . ˆ ) được gọi là đa tạp tích Descartes của hai đa tạp (M1 , Aˆ1 ) và Đa tạp (M, A (M2 , Aˆ2 ). 1.1.2 Đa tạp con Định nghĩa 1.1.6. Cho m ≤ n là các số nguyên dương và (N n , A ˆ N ) là một đa tạp khả vi lớp C k . Một tập con M của N được gọi là một đa tạp con của N nếu với mỗi ˆ N sao cho x ∈ Ux và ϕx : Ux ⊂ N → điểm x ∈ M, tồn tại một bản đồ (Ux , ϕx ) ∈ A Rm × Rn−m thỏa mãn ϕx (Ux ∩ M ) = ϕx (Ux ) ∩ (Rm × {0}), số n − m được gọi là đối chiều của M trong N . Phát biểu sau đây cung cấp chi tiết hơn về cấu trúc khả vi trên đa tạp con. Mệnh đề 1.1.7 (Xem [2]). Cho m ≤ n là các số nguyên dương và (N n , A ˆ N ) là một đa tạp khả vi lớp C k . Cho M là một đa tạp con của N và được trang bị tô pô con. Ký hiệu π : Rm × Rn−m → Rm là phép chiếu lên thành phần thứ nhất. Khi đó AM := {(Ux ∩ M, (π ◦ ϕx ) |Ux ∩M ) : x ∈ M}
7 ˆ M ) là một đa tạp khả vi m chiều lớp C k . là một atlas lớp C k trên M. Vì thế (M, A ˆ M trên M xác định trong mệnh đề trên được gọi là cấu trúc cảm Cấu trúc khả vi A ˆN. sinh từ A Ta nhắc lại rằng một ma trận A cỡ m × n được gọi là hạng đủ nếu rankA = min{m, n}, một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian hữu hạn chiều đều có thể coi tương đương như một ma trận. Định lý sau đây cho ta một nguồn dồi dào những ví dụ về đa tạp con. Định lí 1.1.8 (Ánh xạ ẩn). Cho m ≤ n là các số nguyên dương và f : U → Rm là một ánh xạ lớp C k từ một tập mở U ⊂ Rn . Nếu x ∈ U, f (x) = y và Jacobian của nó df |x : Rn → Rm là hạng đủ thì f −1 ({y}) là một đa tạp con khả vi lớp C k của Rn có số chiều n − m. Ví dụ 1.1.9. Cho f : Rm+1 → R m+1 x2i . P x 7→ i=1 Dễ thấy f thuộc lớp C ω . Khi đó, đạo hàm của f được tính bằng dfx = 2x. Có thể thấy ngay 1 ∈ R là giá trị thỏa mãn điều kiện của định lý ánh xạ ẩn và vì thế S m := x ∈ Rn+1 : kxk2 = 1 = f −1 ({1}) là một đa tạp lớp C ω và có số chiều m. Đây chính là mặt cầu tiêu chuẩn đã được nêu ở Ví dụ 1.1.4. 1.1.3 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc Trước tiên, ta định nghĩa khái niệm này trong không gian Rn quen thuộc. Định nghĩa 1.1.10. Cho x là một điểm trong Rm và ký hiệu Tx Rm là tập các toán tử vi phân tuyến tính tại x triệt tiêu hằng số. Tức là Tx Rm gồm các ánh xạ α : ε(x) → R thỏa mãn
8 (i) α(λf + µg) = λα(f ) + µα(g), (ii) α(f g) = α(f ) · g(x) + f (x)α(g), với mọi α, µ ∈ R và f, g ∈ ε(x). Dễ dàng nhận thấy tập Tx Rm có cấu trúc của một không gian vectơ thực với hai phép toán (α + µ)(f ) := α(f ) + β(f ), (λα)(f ) := λα(f ). Định lí 1.1.11. Cho x ∈ Rm . Khi đó, ánh xạ φ : Rm → Tx Rm v 7→ ∂v là một đẳng cấu giữa các không gian vectơ. Bây giờ ta xét các khái niệm đó đối với đa tạp. Định nghĩa 1.1.12. Cho M là một đa tạp khả vi, x ∈ M và ε(x) là tập các hàm thực định nghĩa trên một lân cận mở của x. Một vectơ tiếp xúc ξx tại x là một ánh xạ ξx : ε(x) → R thỏa mãn (i) ξx (λf + µg) = λξx (f ) + µξx (g), (ii) ξx (f g) = ξx (f )g(x) + f (x)ξx (g), với mọi λ, µ ∈ R và f, g ∈ ε(x). Tập các vectơ tiếp xúc của M tại x được gọi là không gian tiếp xúc tại x và ký hiệu Tx M. Phép cộng và phép nhân với vô hướng trong Tx M được định nghĩa như sau (ξx + ζx )(f ) = ξx (f ) + ζx (f ),
9 (λξx )(f ) = λξx (f ), với mọi ξx , ζx ∈ Tx M, f ∈ ε(x) và λ ∈ R. Ví dụ 1.1.13. Cho γ : I → S m là một cung trên mặt cầu đơn vị trong Rm+1 sao cho γ(0) ˙ = ξ . Do γ(t) nằm trên S m nên γ(t)> γ(t) = 1, ∀ t ∈ I. Đạo hàm hai vế cho ta ˙ > γ(t) = γ(t)> γ(t) γ(t) ˙ > = 0, hay ˙ > γ(t) = 0. γ(t) Từ đó, ta suy ra rằng với x ∈ S m , ξ là vectơ tiếp xúc x thì ξ > x = 0 hay ∀ ξ ∈ Tx S m , ξ⊥x. Do vậy, ta viết Tx S m = ξ ∈ Rm+1 : ξ > x = 0 . 1.1.4 Ánh xạ trên đa tạp Định nghĩa 1.1.14. Cho (Mm , A ˆ M ) và (N n , A ˆ N ) là các đa tạp khả vi lớp C k . Ánh ˆ M và xạ f : M → N được gọi là khả vi lớp C k nếu với mỗi bản đồ (U, ϕ1 ) ∈ A ˆ N , ánh xạ (V, ϕ2 ) ∈ A ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1 −1 (V ) ⊂ Rm → Rn 1 : ϕ1 U ∩ f thuộc lớp C k . Ánh xạ khả vi γ : I → M xác định trên khoảng mở I ⊂ R được gọi là một cung khả vi trong M. Một ánh xạ khả vi f : M → R được gọi là một hàm số khả vi trên M. Tập tất cả các hàm trơn trên M được ký hiệu là C ∞ (M).
10 1.1.5 Đạo hàm của ánh xạ Định nghĩa 1.1.15. Cho φ : M → N là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp khả vi. Đạo hàm Dφ(x) của φ tại x trong M là ánh xạ Dφ(x) : Tx M → Tφ(x) N sao cho mỗi ξx ∈ Tx M và f ∈ ε(φ(x)), ta có Dφ(x)[ξx ] = ξx (f ◦ φ). Giả sử γ : I → M là một cung trên M sao cho γ(0) = x và γ(0) ˙ = ξx . Ký hiệu c : I → N là ảnh của cung γ qua φ, tức là c = φ ◦ γ với c(0) ˙ = φ(x) và đặt ζφ(x) = c(0) ˙ . Khi đó, với f ∈ ε(φ(x)), ta có (Dφ(x)[ξx ])(f ) = ξx (f ◦ φ) d = (f ◦ φ ◦ γ(t))|t=0 dt d = (f ◦ c(t))|t=0 dt = ζφ(x) (f ). Đặc biệt, nếu M và N là các đa tạp tuyến tính thì Dφ(x) chính là đạo hàm theo
11 nghĩa cổ điển φ(x + tξx ) − φ(x) Dφ(x)[ξx ] = lim . (1.1) t→0 t Mệnh đề 1.1.16. Cho φ : M1 → M2 và ψ : M2 → M3 là các ánh xạ khả vi giữa các đa tạp khả vi. Khi đó, với mỗi điểm x ∈ M1 , ta có (i) Ánh xạ Dφ(x) : Tx M1 → Tφ(x) M2 là tuyến tính; (ii) D(idM1 )(x) = idTx M1 ; (iii) D(ψ ◦ φ)(x) = Dψ(φ(x)) ◦ Dφ(x). Một hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên là. Hệ quả 1.1.17. Cho φ : M → N là một vi phôi với ánh xạ ngược φ−1 : N → M. Khi đó, đạo hàm Dφ(x) : Tx M → Tφ(x) N tại x là một song ánh và (Dφ(x))−1 = Dφ−1 (φ(x)). (1.2) Định lý sau đây cung cấp cho ta thông tin về số chiều của không gian tiếp xúc. Định lí 1.1.18. Cho Mm là một đa tạp khả vi m chiều và x ∈ M. Khi đó, không gian tiếp xúc Tx M của M tại x là một không gian vectơ m chiều. 1.1.6 Một số ánh xạ khả vi đặc biệt Định nghĩa 1.1.19. Cho φ : Mm → N n là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp khả vi, (i) với m ≤ n, φ được gọi là một dìm nếu với mỗi x ∈ M, đạo hàm của φ tại x, Dφ(x) : Tx M → Tφ(x) N là một đơn ánh; (ii) φ được gọi là một nhúng nếu nó là một dìm và đồng thời là một đồng phôi lên φ(M). (iii) với m ≥ n, φ được gọi là 1 ngập nếu với mỗi x ∈ M, Dφx là một toàn ánh.
12 Ví dụ 1.1.20. 1. Phép nhúng thông thường từ Rm+1 vào Rn+1 là một dìm, đồng thời là một nhúng. Ngoài ra, nó cũng là một nhúng từ S m vào S n . 2. Phép chiếu chính tắc từ Rm+1 lên Rn+1 , m ≥ n là một ngập. Định nghĩa 1.1.21. Cho M là một đa tạp khả vi m chiều và U là một tập mở trong Rm . Một dìm φ : U → M được gọi là một tham số hóa địa phương của M. Nếu φ đồng thời là một toàn ánh thì nó được gọi là một tham số hóa toàn cục. Kết quả sau đây mở rộng Định lý Ánh xạ ngược. Định lí 1.1.22. Cho φ : M → N là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp cùng chiều. Nếu x ∈ M thỏa mãn Dφ(x) : Tx M → Tφ(x) N là song ánh thì tồn tại một lân cận mở Ux của x và Uy của y = φ(x) sao cho ψ = φ|Ux : Ux → Uy là song ánh và ánh xạ ngược ψ −1 : Uy → Ux cũng khả vi. Tiếp theo, ta sẽ mở rộng Định lý ánh xạ ẩn. Trước tiên ta sẽ bổ sung một số khái niệm. Định nghĩa 1.1.23. Cho φ : Mm → N n là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp. Một điểm x ∈ M được gọi là chính quy nếu đạo hàm Dφ(x) : Tx M → Tφ(x) N là hạng đủ. Ngược lại, ta gọi x là điểm dị thường. Một điểm y ∈ φ(M) được gọi là một giá trị chính quy nếu ∀ x ∈ φ−1 {y}, x là điểm chính quy. Định lí 1.1.24. Cho φ : Mm → N n là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp với m > n. Nếu y ∈ φ(M) là một giá trị chính quy thì nghịch ảnh của nó, φ−1 ({y}) là một đa tạp con của Mm có số chiều m − n. Không gian tiếp xúc Tx φ−1 ({y}) của φ−1 ({y}) tại x là nhân của đạo hàm ánh xạ Dφ(x), tức là Tx φ−1 ({y}) = {ξ ∈ Tx M : Dφ(x)[ξ] = 0}.
13 1.1.7 Phân thớ tiếp xúc Cho đa tạp M, kí hiệu T M là tập tất cả không gian tiếp xúc với M [ T M := Tx M. x∈M Vì với mỗi ξ ∈ T M, có một và chỉ một không gian tiếp xúc Tx M, nên M là một thương của T M với phép chiếu tự nhiên π : TM → M ξ ∈ Tx M 7→ x. Xét bản đồ (U, ϕ) của M, ánh xạ ξ ∈ Tx M 7→ (ϕ1 (x), ..., ϕm (x), ξϕ1 , ..., ξϕm )> , người ta chứng minh được ánh xạ trên cho ta một cấu trúc đa tạp trên T M. Ta gọi T M là một phân thớ tiếp xúc của M. 1.1.8 Trường vectơ Ta nhắc lại khái niệm trường vectơ dọc một cung tham số trong Rn . Trường vectơ dọc cung tham số γ : I → Rn là ánh xạ ξ : I → T Rn sao cho ξ(t) ∈ Tγ(t) Rn . Ta khái quát hóa khái niệm này cho đa tạp. Định nghĩa 1.1.25. Cho đa tạp M và một cung tham số γ : I → M. Ánh xạ trơn đặt tương ứng mỗi t ∈ I , một vectơ tiếp xúc với M tại γ(t) được gọi là một trường vectơ dọc cung γ . Ví dụ 1.1.26. Dễ thấy t 7→ γξγ(t) và t 7→ γ(t) ˙ là những trường vectơ dọc cung γ . Định nghĩa 1.1.27. Cho đa tạp M. Ánh xạ trơn ξ : M → TM x 7→ ξx ∈ Tx M được gọi là một trường vectơ trên đa tạp M.
14 Cho một trường vectơ ξ trên đa tạp M và một hàm (giá trị thực) trơn f ∈ F(M), phép cộng hai trường vectơ và phép nhân một trường vectơ với một hàm f ∈ F(M) được định nghĩa như sau (f ξ)x := f (x)ξx , (ξ + ζ)x := ξx + ζx , ∀x ∈ M. Tập tất cả trường vectơ trơn trên M được trang bị hai phép toán trên được kí hiệu là X(M). Với mỗi ξ ∈ X(M) và hàm khả vi f ∈ Fx (M), ta xác định hàm ξ(f ) ∈ ε(x) như sau: với x ∈ M,