Lý thuyết phân phối giá trị trong trường hợp không Ácsimét

Kỷ yếu công trình khoa học 2014 – Phần I<br /> <br /> LÝ THUYẾT PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ TRONG TRƯỜNG HỢP<br /> KHÔNG ÁCSIMÉT<br /> GS. TSKH. VS Hà Huy Khoái<br /> Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Thăng Long<br /> Tóm tắt: Trong báo cáo này, chúng tôi trình bày một tổng quan ngắn về lý thuyết phân<br /> phối giá trị các hàm phân hình, trên trường phức và trường số p-adic. Ngoài ra, báo cáo cũng<br /> giới thiệu một số kết quả nhận được trong những năm gần đây, tập trung vào những bài toán<br /> như sự xác định hàm bởi nghịch ảnh, giả thuyết Hayman về toán tử vi phân xác định bởi hàm<br /> phân hình.<br /> I. Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình.<br /> Ra đời vào khoảng những năm 1930-40, lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình<br /> được đánh giá là một trong những lý thuyết sâu sắc nhất của giải tích toán học thế kỷ 20. Tư<br /> tưởng chính của nó bắt đầu từ Định lý cơ bản của đại số:<br /> Định lý: Giả sử f(z) = aozn+ a1zn-1+…+ an là đa thức hệ số phức, bậc ≥ 1. Khi đó với<br /> mọi giá trị phức a, phương trình f(z) = a có đúng n nghiệm (kể cả bội).<br /> Câu hỏi tự nhiên đặt ra là: nếu f (z) là hàm chỉnh hình, hay hàm phân hình, thì có thể<br /> nói gì về số nghiệm của phương trình f( z) = a ?<br /> Định lý cơ bản của đại số nói rằng, số nghiệm của phương trình đúng bằng bậc của đa<br /> thức. Tuy nhiên trong trường hợp hàm chỉnh hình hay hàm phân hình, khái niệm bậc không tồn<br /> tại nữa. Để mở rộng sang trường hợp này, ta cần nhìn nhận định lý cơ bản của đại số như là sự<br /> khẳng định mối liên quan giữa số nghiệm của phương trình với cấp tăng của đa thức. Như vậy,<br /> đối với hàm chỉnh hình hay hàm phân hình f(z), cần xét mối liên quan giữa số nghiệm của<br /> phương trình f(z)= a trong hình tròn bán kính r với cấp tăng của hàm.<br /> Kết quả quan trọng đầu tiên theo hướng trên được cho bởi định lý Hadamard:<br /> Định lý (Hadamard). Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trên toàn mặt phẳng phức, a là một<br /> giá trị phức tùy ý. Khi đó ta có<br /> {Số nghiệm của phương trình f(z)=a, |z|≤ r} ≤ log max {|f(z)|, |z|≤ r} + O(1),<br /> trong đó O(1) là đại lượng giới nội khi r→∞.<br /> Như vậy, định lý Hadamard cho một tương tự của Định lý cơ bản của đại số đối với<br /> trường hợp các hàm chỉnh hình.<br /> Tuy nhiên, so với Định lý cơ bản của đại số thì có thể nhận thấy Định lý Hadamard có<br /> hai thiếu sót lớn:<br /> 1/ Tồn tại những hàm không có không điểm, nhưng cấp tăng rất lớn (chẳng hạn hàm f<br /> (z) = e . Khi đó vế trái của bất đẳng thức bằng 0 và định lý trở nên tầm thường.<br /> z<br /> <br /> 2/ Khi f (z) là hàm phân hình (có cực điểm) thì vế phải bằng ∞ và định lý không cho một<br /> ước lượng gì về số nghiệm của phương trình.<br /> Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình (còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna) ra đời<br /> nhằm khắc phục hai thiếu sót trên.<br /> Trường Đại học Thăng Long<br /> <br /> 22<br /> <br /> Kỷ yếu công trình khoa học 2014 – Phần I<br /> <br /> Đối với thiếu sót thứ nhất, Nevanlinna nhận xét rằng: trong khi hàm mũ không nhận giá<br /> trị 0, nó nhận rất nhiều giá trị “gần 0”. Vì thế, Nevanlinna định nghĩa hàm xấp xỉ m(f, a, r) nhằm<br /> “đo độ lớn tập hợp các giá trị tại đó f(z) gần với 0” (khi hàm càng gần giá trị a thì m(f, a, r) càng<br /> lớn).<br /> Như thường lệ, hàm đếm N (f, a, r) dùng để tính số nghiệm của phương trình đang xét<br /> trong hình tròn bán kính r. Như vậy, hàm đặc trưng<br /> T(f, a, r) = m (f,a,r) + N (f, a, r)<br /> cho biết “độ lớn của tập hợp các điểm tại đó hàm nhận giá trị a hoặc gần a”.<br /> Định lý cơ bản thứ nhất. Giả sử f là hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Khi đó tồn<br /> tại hàm T (f, r) sao cho với mọi giá trị phức a ta có:<br /> T(f, a, r) = T(f, r) + 0(1),<br /> trong đó 0(1) là đại lượng giới nội khi r → ∞.<br /> Do vế trái có thể xem là không phụ thuộc a nên Định lý cơ bản thứ nhất nói rằng, số<br /> điểm tại đó hàm nhận giá trị a hoặc gần a không phụ thuộc vào a, và được tính bằng hàm đặc<br /> trưng T(f,r). Như vậy đây đúng là một tương tự của Định lý cơ bản của đại số (trong đó hàm<br /> đặc trưng đóng vai trò như bậc của đa thức).<br /> Tuy nhiên, để nhận được tương tự của Định lý cơ bản của đại số, ngoài hàm N(f,a,r)<br /> tính số nghiệm của phương trình, Nevanlinna đã phải thêm vào hàm xấp xỉ m(f,a,r). Nếu phần<br /> thêm này mà lớn thì định lý nói trên trở nên ít ý nghĩa. Nevanlinna chứng minh một định lý sâu<br /> sắc hơn rất nhiều, mà một cách sơ lược, có thể phát biểu như sau :<br /> Định lý cơ bản thứ hai. Nhìn chung, đại lượng m(f,a,r) rất nhỏ so với N(f,a,r).<br /> Với hai Định lý cơ bản trên đây, ta có một tương tự hoàn hảo của Định lý cơ bản của<br /> đại số cho trường hợp các hàm phân hình. Chính vì thế mà lý thuyết hàm phân hình được phát<br /> triển dựa trên hai định lý cơ bản của Nevanlinna.<br /> Trong khỏang 30 năm gần đây, người ta phát hiện ra nhiều mối liên quan chặt chẽ giữa<br /> lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình và lý thuyết xấp xỉ Diophant trong số học. Nhiều<br /> giả thuyết lớn của số học có thể được phát biểu như là một kết quả của “lý thuyết Nevanlinna<br /> số học”. Vì thế nhu cầu xây dựng một lý thuyết như vậy trở nên cấp thiết.<br /> Trên tinh thần của nguyên lý địa phương – toàn cục Hasse-Minkovski, ta hy vọng có<br /> một kết quả “số học” nếu có nó trên trường thực, phức và p-adic.<br /> Lý thuyết Nevanlinna p-adic (tổng quát hơn, trên trường không Acsimét) được xây dựng<br /> lần đầu tiên trong [ ], và được phát triển trong nhiều công trình tiếp theo của nhiều nhà toán<br /> học khác (xem, chẳng hạn).<br /> Trong lý thuyết Nevanlinna p-adic, chúng tôi đã chứng minh các định lý cơ bản thứ nhất<br /> và thứ hai, đồng thời xây dựng lý thuyết này cho trường hợp nhiều chiều (xem).<br /> II. Sự xác định hàm phân hình theo nghịch ảnh.<br /> Một trong những kết quả nổi tiếng của lý thuyết Nevanlinna là định lý sau đây, nổi tiếng<br /> với tên gọi “Định lý 5 điểm”<br /> <br /> Trường Đại học Thăng Long<br /> <br /> 23<br /> <br /> Kỷ yếu công trình khoa học 2014 – Phần I<br /> <br /> Định lý 5 điểm. Giả sử f, g là hai hàm phân hình trên toàn mặt phẳng. Khi đó nếu tồn<br /> tại 5 giá trị phân biệt ai i=1,2,3,4,5 sao cho f-1(ai) = g-1(ai) thì f và g trùng nhau, hoặc f, g là<br /> hằng số.<br /> Định lý trên đây đã mở đầu cho một hướng nghiên cứu mới, bắt đầu từ những năm 1980,<br /> về việc tìm những tập hợp xác định duy nhất hàm phân hình.<br /> Định nghĩa. Tập con S trong mặt phẳng phức mở rộng được gọi là tập xác định duy<br /> nhất các hàm phân hình nếu với hai hàm phân hình f, g, điều kiện f-1(S) = g-1(S) kéo theo f=f<br /> hoặc f, g là hằng số.<br /> Vấn đề đặt ra là tìm những tập xác định duy nhất hàm phân hình với số điểm càng ít<br /> càng tốt, và cho những đặc trưng của các tập hợp xác định duy nhất hàm phân hình.<br /> Vấn đề nêu trên đã được nghiên cứu đối với trường hợp p-adic trong những công trình<br /> của nhiều tác giả (xem).<br /> Gần đây, bài toán tìm những tập xác định duy nhất được mở rộng sang cho trường hợp<br /> chiều cao. Cụ thể, chúng tôi xét những tập xác định duy nhất các đường cong chỉnh hình trong<br /> không gian xạ ảnh (xem).<br /> Vấn đề nêu trên cũng liên quan trực tiếp đến câu hỏi: bao giờ phương trình P(f)= P(g)<br /> (trong đó P là đa thức) có các nghiệm là những hàm phân hình khác hằng?<br /> Vấn đề tổng quát hơn đối với phương trình P(f) = Q(g) được xét lần đầu tiên năm 2004<br /> ([ ]).<br /> Gần đây, trong [ ] đã nghiên cứu bài toán trên, trong đó các hàm phân hình được thay<br /> bởi các đường cong trong không gian xạ ảnh.<br /> III. Giả thuyết Hayman trên trường không Acsimét.<br /> Liên quan đến những vấn đề nêu trên, năm 1967 Hayman đưa ra giả thuyết sau:<br /> Giả thuyết Hayman. Nếu hàm chỉnh hình f(z) thỏa mãn điều kiện fn(z) f’(z )≠ 1 với số<br /> nguyên dương n nào đó và z tùy ý, thì f hàm hàm hằng.<br /> Giả thuyết trên có nhiều tương tự cho trường hợp các hàm phân hình trên trường không<br /> Acsimét. Trong [] chúng tôi thiết lập kết quả sau:<br /> Định lý. Giả sử f là hàm phân hình trên trường không Acsimét K, thỏa mãn điều kiện<br /> (f ) ≠ 1 nguyên dương n nào đó và z tùy ý, thì f hàm hàm hằng.<br /> n (k)<br /> <br /> Chứng minh chi tiết có thể xem trong những công trình được liệt kê ở phần Tai liệu<br /> tham khảo.<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> [1]. Vu Hoai An and Tran Dinh Duc, Uniqueness theorems and uniqueness polynomials<br /> for holomorphic curves; Complex Variables and Elliptic Equations, Vol. 56, N. 1-4, pp.253262.<br /> [2]. D. Barsky. Theorie de Nevanlinna p-adique d’apres Ha Huy Khoai. Groupe d’Etude<br /> Analyse Ultrametrique, 1984.<br /> [3] Ha Huy Khoai. On p -adic meromorphic functions. Duke Math. J., Vol. 50, 1983.<br /> Trường Đại học Thăng Long<br /> <br /> 24<br /> <br /> Kỷ yếu công trình khoa học 2014 – Phần I<br /> <br /> [4]. Ha Huy Khoai and My Vinh Quang. p-adic Nevanlinna Theory. Lecture Notes in<br /> Math. 1351, 138-152.<br /> [5] Ha Huy Khoai and Mai Van Tu. P -adic Nevanlinna-Cartan Theorem, Internat. J.<br /> Math, Vol.6, N.5, 1995, 710-731.<br /> [6]. Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An. On uniqueness polynomials and bi-URS for padic meromorphic functions. Journal of Number Theory, Vol. 87 (2001), N.2, 211-221.<br /> [7]. Ha Huy Khoai and Vu Hoai An. Value Distribution for p-adic hypersurfaces.<br /> Taiwanese J. Math., Vol. 7, N.1, 2003.<br /> [8]. Ha Huy Khoai. Some remarks on the genericity of unique range sets for<br /> meromorphic functions. Sci in China, Ser. A. 2005. Vol. 48, 62-267.<br /> [9] Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An. A survey on uniqueness polynomials and unique<br /> range sets. Mathematics Monograph Series 11, Sci. Press, Beijing, 2008, pp. 161-180,<br /> [10] Ha Huy Khoai. Unique range sets and decomposition of meromorphic functions.<br /> Contemp. Math. Vol. 475, 2008; pp. 95-105.<br /> [11] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An. Value distribution problem for p-adic<br /> meromorphic functions and their derivatives, Annales de la Faculte des Sciences de<br /> Toulouse,T. 2, 2011, 137-151,<br /> [12] Ha Huy Khoai and Vu Hoai An. Value sharing problem for p-adic meromorphic<br /> function and their difference polynomials. Ukranian Math. J., Vol.64, N.2, 2012, 147-164,<br /> [13] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Nguyen Xuan Lai. Value sharing problem and<br /> uniqueness for p-adic meromorphic functions. Ann. Univ. Budapest, Sect Comp. 38, 2012, 7192.<br /> [14] Ha Huy Khoai, Vu Hoai An and Lê Quang Ninh.Uuniqueness theorems for<br /> holomorphic curves with hypersurfaces of Fermat-Waring type. Complex Anal. Oper. Theory,<br /> 2014 (to appear).<br /> [15]. Ha Huy Khoai and C.-C., Yang. On the functional equation P(f)=Q(g). Adv.<br /> Complex Anal. Appl., 3, Kluwer Acad. Publ., Boston, MA, 2004.<br /> <br /> Trường Đại học Thăng Long<br /> <br /> 25<br /> <br />