Mô hình toán học tiền tệ

Chia sẻ: Nguyen Van Cuong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

110
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Toán học và tài chính luôn gắn liền với nhau. Cùng với khái niệm tiền bạc, là các phép tính cộng trừ nhân chia, mà những người bán hàng dong cũng thành thạo. Nếu như thời cổ, các nhà triết học còn cãi nhau xem số âm có tồn tại hay không, thì ngày nay không ai còn nghi ngờ về sự tồn tại của số âm, khi nhìn vào các bảng cân đối tài chính hay thông báo tài khoản ngân hàng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Mô hình toán học tiền tệ

Lời mở đầu Toán học tài chính ra đời hơn 100 năm nay nhưng đặc biệt phát triển trong khoảng ba, bốn thập kỷ nay và ngày càng tỏ ra hữu ích trong thực tiễn đời sống kinh tế của quốc gia và các cộng đồng kinh tế thế giới. Nó gắn liền với việc phân tích một cách khoa học những sự kiện tăng trưởng, rủi ro, lạm phát, khủng hoảng tài chính và bảo hiểm ... vốn là những vấn đề tài chính, thời sự nhất là trong cơn suy thoái nền kinh tế toàn cầu hiện nay. Mục đích của toán học tài chính là dùng các công cụ toán học để nghiên cứu về thị trường tài chính, giúp ta đưa ra các cách định giá các sản phẩm tài chính. Các thị trường tài chính quan trọng nhất là các thị trường cổ phiếu, thị trường trái phiếu, các thị trường hợp đồng quyền chọn, thị trường hợp đồng giao sau và thị trường tiền tệ trong đó thị trường tiền tệ là lớn nhất. Giá trị buôn bán trao đổi trong thị trường này trên toàn thế giới là hơn 300 tỷ USD mỗi ngày. Vì lý do quan trọng của thị trường tiền tệ nên đã có nhiều phương pháp toán tài chính định giá các hợp đồng về tiền tệ, tỷ giá hối đoái vì các hợp đồng quyền chọn tính theo nhiều chỉ tệ. Trong luận văn này chúng tôi tổng hợp một số phương pháp toán học để nghiên cứu thị trường tiền tệ. Luận văn gồm 3 chương: Chương I: Trình bày một số khái niệm cơ bản về toán tài chính. Chương II: Nêu các phương pháp toán trong hợp đồng ký kết trước; các quyền chọn ngoại tệ, Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi, mô hình lãi suất ngoại tệ. Chương III: Dành nghiên cứu một loại hợp đồng đặc biệt trong thị trường tiền tệ. Loại hợp đồng này có tên là hợp đồng chuyển đổi giá hay hợp đồng 1
Quanto. Cuối cùng trong phần phụ lục, tôi nêu một số kiến thức cơ sở về lý thuyết xác suất như kỳ vọng toán có điều kiện, martingale và ứng dụng của martingale trong tài chính. Qua đây tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Trần Hùng Thao, người đã tận tình giảng giải và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn này. Tôi xin cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên - ĐH Quốc Gia Hà Nội đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp của tôi đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Hà Nội, tháng 12 năm 2009 Phạm Thị Yến 2
Mục lục 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 7 1.1 Thị trường tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Cổ phiếu và các phái sinh tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Các hợp đồng quyền chọn mua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Các điều kiện của hợp đồng quyền chọn mua . . . . . . . . 9 1.3.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Các hợp đồng Quyền Chọn Bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Các điều kiện của hợp đồng Quyền Chọn Bán . . . . . . . 11 1.4.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Định giá Quyền chọn, mô hình Black–Scholes . . . . . . . . . . . . 12 1.5.1 Giới thiệu mô hình và kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2 Mô hình Blacks – Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.3 Công thức Black – Scholes về giá của hợp đồng quyền chọn mua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Lý thuyết về độ chênh lệch thị giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.1 Các khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.2 Cơ hội có độ chênh lệch thị giá và nguyên lý AAO . . . . . 18 1.6.3 Nguyên lý đáp ứng và các khái niệm thị trường đầy đủ . . 19 1.6.4 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.5 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá . . . . . . . 21 3
1.6.6 Xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale . . . . . . 23 2 CÁC HỢP ĐỒNG VỀ TIỀN TỆ 25 2.1 Khái niệm về thị trường, cơ chế, lãi suất . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Thị trường tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Cơ chế buôn bán ngoại tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3 Khái niệm về lãi suất định trước và lãi suất giao ngay . . . 26 2.1.4 Khái niệm về đường hoa lợi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.5 Tính lãi suất định trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Sự trao đổi ngoại tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Các hợp đồng ký kết trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2 Mô hình tiền tệ Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Quan điểm của các nhà đầu tư đồng đô la . . . . . . . . . 30 2.2.4 Ba bước của quá trình đáp ứng (trao đổi ngoại tệ) . . . . . 30 2.2.5 Những chứng khoán có thể buôn bán được . . . . . . . . . 31 2.2.6 Giá thị trường tổng quát của rủi ro . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Hợp đồng ký kết trước về tiền tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.1 Hợp đồng ký kết trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.2 Các điều kiện của hợp đồng ký kết trước . . . . . . . . . . 34 2.3.3 Mối liên hệ giữa giá định trước và giá hiện tại . . . . . . . 34 2.3.4 Tính giá định trước trao đổi ngoại tệ . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Các quyền chọn ngoại tệ, công thức Garman-Kohlhagen . . . . . . 36 2.4.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.4.2 Ta sử dụng các ký hiệu sau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.3 Ta sử dụng các giả thiết sau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.4 Thiết lập các phương trình giá quyền chọn . . . . . . . . . 38 2.4.5 Các điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4.6 Công thức Garman-Kohlhagen . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.5 Quyền chọn mua bán tiền tệ cặp đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.5.1 Lý do phải có sự phối hợp giữa hợp đồng quyền chọn bán và hợp đồng quyền chọn mua . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4
2.5.2 Tình huống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5.3 Phân tích tình huống . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5.4 Công thức cặp đôi mua bán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.5.5 Công thức Black-Scholes cho quyền chọn bán châu Âu . . 42 2.6 Quyền chọn mua châu Âu nhị phân (hay số hóa) . . . . . . . . . . 43 2.7 Tỷ giá hối đoái . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.7.1 Tỷ giá hối đoái đảm bảo (GER: Guarauteed Exchange Rates) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.7.2 Định giá hợp đồng ký kết trước về tỷ giá hối đoái đảm bảo viết trên một cổ phiếu (GER Forward on a Stock) . . 46 2.8 Mô hình lãi suất ngoại tệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 CÁC HỢP ĐỒNG CHUYỂN ĐỔI GIÁ (QUANTO) TRONG THỊ TRƯỜNG TIỀN TỆ 53 3.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Mô hình hợp đồng chuyển đổi giá (quanto) . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Các sản phẩm tài chính buôn bán được . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Hợp đồng ký kết trước Quanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5 Hợp đồng nhị phân (số hóa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6 Bảo hộ trái phiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6.1 Tình huống và biện pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.6.2 Bảo hộ giá bằng các “ Bảo đảm lãi suất bị chặn” . . . . . . 59 3.6.3 Bảo hộ giá bằng biện pháp “ Mua bán cổ phần cặp đôi” . 60 3.6.4 Bảo hộ giá bằng hợp đồng quyền chọn . . . . . . . . . . . . 60 3.6.5 Bảo hộ tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6.6 Định nghĩa và lựa chọn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6.7 Vấn đề bảo hộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tài liệu tham khảo 71 5
Chương 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Trong chương này chúng tôi nêu ra một số khái niệm cơ bản, cần thiết để nghiên cứu các thị trường tiền tệ như: hợp đồng quyền chọn, hợp đồng ký kết trước, hợp đồng giao sau và lý thuyết về độ lệch chênh thị giá. 1.1 Thị trường tài chính Hầu như ai cũng nghe nói tới các trung tâm giao dịch chứng khoán New York, London và Tokyo. Các báo cáo về hoạt động buôn bán tại các thị trường này thường xuất hiện trên trang nhất của các tờ báo hàng ngày và trên các bản tin thời sự buổi tối tại các quốc gia có nền kinh tế thị trường. Có rất nhiều thị trường tài chính trước nữa. Mỗi thị trường đều có một đặc trưng xác định bởi loại hàng hóa tài chính được mang ra trao đổi. Các thị trường tài chính quan trọng nhất là các thị trường cổ phiếu (stock market), các thị trường trái phiếu (bond market), các thị trường tiền tệ (currency market), các thị trường hợp đồng sau và hợp đồng quyền chọn (future and option market). Hàng hóa mua bán có thể là một tài sản cơ sở (basic equity) như: một cổ phiếu, một trái phiếu, một đơn vị tiền tệ. Tài sản cơ sở cũng được gọi là tài sản 6
nguyên khởi (Primitve equity) hay tài sản nền tảng (underlyring equity) còn lại các loại hàng hóa khác gọi là phái sinh tài chính (financial derivative) hay tài sản phụ thuộc (contigent asset; contigent claim) tức là hàng hóa mà giá trị của nó rút ra được từ giá trị của các tài sản cơ sở. Phái sinh tài chính là đối tượng nghiên cứu chính của Toán học tài chính. 1.2 Cổ phiếu và các phái sinh tài chính Một công ty cần có tiền có thể bán các cổ phiếu của họ cho các nhà đầu tư. Những người này sở hữu cổ phần hoặc những chứng từ tài sản và có thể nhận được cổ tức hoặc không, phục thuộc vào công ty đó làm ăn có lãi hay không và có quyết định chia lãi cho cổ đông hay không. Giá của cổ phiếu công ty là gì? Giá trị đó phản ánh cách nhìn và dự đoán của nhà đầu tư về các chi trả cổ tức, về khoản kiếm được trong tương lai và nguồn vốn mà công ty đó sẽ kiểm soát. Việc kiểm soát những điều không chắc chắn ấy được giải quyết trong từng ngày giao dịch bởi người mua và người bán các cổ phiếu trong các thị trường chứng khoán. Cho một chứng khoán, tức là một loại cổ phiếu hoặc trái phiếu. Khi đó một phái sinh chứng khoán là một hợp đồng đặc biệt mà giá của nó vào một ngày nào đó trong tương lại phụ thuộc hoàn toàn vào giá trị trương lai của chứng khoán đó. 1.3 Các hợp đồng quyền chọn mua 1.3.1 Định nghĩa Người ta có thể mua "một cơ hội mua một cổ phần chứng khoán trong tương lai với một giá đảm bảo trước". Cái quyền cho phép có thể mua như vậy trong tương lai được gọi là Quyền Chọn Mua. 7
1.3.2 Các điều kiện của hợp đồng quyền chọn mua ∙ Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng (người mua) có thể trả cho người viết hợp đồng (người bán) số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng. ∙ Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người giữ trả, thì người viết phải giao một cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáo hạn. 1.3.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn Gần như lúc nào cũng vậy, hợp đồng sẽ được đặt sao cho người viết trả cho người giữ khoản chênh lệch giữa giá cổ phiếu và giá thực thi giá cổ phiếu và giá thực thi. Điều đó cho phép ta mô tả khoản chi trả có thể theo giá 𝑆𝑇 của cổ phiếu và giá thực thi 𝑋 vào ngày đáo hạn. Ta có thể nói: Số tiền chi trả = max {𝑆𝑇 − 𝑋, 0} = (𝑆𝑇 − 𝑋)+ 1.3.4 Ví dụ Một hợp đồng quyền chọn mua 100 cổ phần X sẽ cho người mua hợp đồng này cái quyền mua 100 cổ phiếu với giá 100 đôla/1cổ phần bất cứ lúc nào trong 3 tháng tới. Người mua phải trả phí mua quyền chọn là 2 đô la/1cổ phần. Nếu giá chứng khoán tăng 120 đô la/1cổ phần trong 3 tháng người mua hợp đồng có thể thực hiện hợp đồng là mua 100 cổ phần với giá 100 đô la/1cổ phần( người bán hợp đồng quyền chọn trước đây phải bán 100 cổ phần với giá là 100 đô la/1cổ phần) sau đó đem bán ra thị trường với giá 120 đôla/cổ phần. Như vậy người mua sẽ kiếm được một khoản lợi nhuận (sau khi đã trả phí mua quyền chọn) là. (120x100) – (100x100) – (100x2) = 1800 đô la. Ngược lại nếu giá chứng khoán X trên thị trường sụt giá dưới 100 đô la và đứng yên trong đó 3 tháng thì người mua sẽ không thực hiện được hợp đồng(vì 8
không có lãi mà lại bị lỗ) thì người mua phải mất 200 đô la phí mua quyền chọn. Người giữ hợp đồng quyền chọn mua có một quyền chọn đầu tư nếu người này không muốn có một cổ phần thì người đó sẽ tránh không trả khoản giá thực thi của hợp đồng điều này xảy ra nếu giá cổ phiếu vào ngày đáo hạn thấp hơn giá thực thi. Nếu người giữ hợp đồng thấy giá cổ phiếu vào ngày đáo hạn cao hơn giá thực thi thì người đó sẽ trả giá thực thi của hợp đồng và có được một cổ phần có giá trị (quyền chọn được thực thi). 1.4 Các hợp đồng Quyền Chọn Bán 1.4.1 Định nghĩa Người ta có thể "mua một cơ hội được phép bán một cổ phần chứng khoán trong tương lai với một giá đảm bảo", ngay cả khi mà người ta không sở hữu bất kỳ một cổ phiếu nào cả. Đó là nội dung các hợp đồng Quyền Chọn Bán hay gọi tắt là Quyền Chọn Bán. 1.4.2 Các điều kiện của hợp đồng Quyền Chọn Bán ∙ Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng này có thể đưa cho người viết hợp đồng một cổ phần chứng khoán, hoặc tương đương, một số tiền theo giá thị trường lúc ấy của một cổ phần chứng khoán. ∙ Nếu người viết hợp đồng nhận cổ phần chứng khoán hoặc số tiền tương đương do người giữ hợp đồng giao cho thì anh ta phải trả chi phí thực thi cho người giữ hợp đồng vào ngày đáo hạn của hợp đồng. 1.4.3 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn Thông thường thì với hợp đồng Quyền Chọn Bán này thì hoặc là hợp đồng không được thực thi, hoặc là người viết hợp đồng sẽ trả cho người giữ hợp đồng một khoản chênh lệch giữa giá thực thi và giá chứng khoán vào lúc đáo hạn. 9
Ký hiệu giá chứng khoán lúc đáo hạn là 𝑆𝑇 còn giá thực thi là 𝑋 thì ta có thể nói rằng thu hoạch của người giữ quyền chọn bán này là: Thu hoạch quyền chọn bán = max {𝑋 − 𝑆𝑇 ; 0} = (𝑋 − 𝑆𝑇 )+ quyền chọn bán có hạn chế là chỉ được thực thi vào lúc đáo hạn. 1.5 Định giá Quyền chọn, mô hình Black–Scholes 1.5.1 Giới thiệu mô hình và kết quả Năm 1973, trong một tạp chí về kinh tế chính trị, hai nhà kinh tế kiêm toán học Mỹ là Fisher Black và Myron Scholes đã công bố một bài báo quan trọng về định giá Quyền Chọn. Từ đó ra đời Mô hình Blacks – Scholes để định giá tài sản không rủi ro trong một thị trường với thời gian liên tục. Ngay lập tức, mô hình đó cùng với công thức Blacks – Scholes nổi tiếng rút ra từ mô hình đó đã có một tác động có tính chất cách mạng đến các thị trường chứng khoán Mỹ lúc đó. Người ta thấy rõ sự đơn giản mà rất hiệu quả của mô hình này để định giá chứng khoán và định giá hợp đồng Quyền Chọn có kể đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị trường. Năm 1996, Scholes đã nhận được giải thưởng Nobel về kinh tế học nhờ các công trình về tài chính với sự cộng tác của R.C. Merton, một chuyên gia lão luyện về Tài chính tại Viện Công nghệ Massachusetts Gọi 𝑆 = 𝑆𝑡 là giá cổ phiếu tại thời điểm 𝑡. Vì giá cổ phiếu chịu nhiều tác động ngẫu nhiên của thị trường, nên ta coi 𝑆𝑡 là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục 𝑆𝑡 = 𝑆(𝑡, 𝜔). 1.5.2 Mô hình Blacks – Scholes Mô hình Blacks – Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính như sau: 𝑑𝑆𝑡 = 𝜎𝜇𝑆𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡 𝑑𝐵𝑡 (1.1) 10
trong đó 𝜇, 𝜎 là những hằng số, còn 𝐵𝑡 là chuyển động Brown lời giải của phương trình này là một quá trình ngẫu nhiên 𝑆𝑡 = 𝑆(𝑡, 𝜔) hơn nữa lời giải này là một chuyển động Brown hình học [ ( ) ] 𝜎2 𝑆𝑡 = 𝑆0 . exp 𝜎𝐵𝑡 + 𝜇− 𝑡 (1.2) 2 Giả sử có một thị trường: ∙ Hoạt động liên tục ∙ Có lãi suất không đổi ∙ Không chia lợi tức cho cổ đông trước khi đáo hạn ∙ Không có phí giao dịch ∙ Không trao đổi chứng khoán Và ký hiệu: ∙ 𝑆𝑡 : là giá cổ phiếu tại thời điểm 𝑡 (là một quá trình ngẫu nhiên liên tục vì chịu nhiều tác động ngẫu nhiên của thị trường). ∙ 𝑑𝑆𝑡 : là lượng giá cổ phiếu thay đổi trong khoảng thời gian [𝑡; 𝑡 + 𝑑𝑡]. 𝑑𝑆𝑡 ∙ 𝜇: là hằng số (biểu thị độ thay đổi tương đối về giá tỷ lệ với độ dài thời 𝑆𝑡 gian 𝑑𝑡) ∙ 𝜎 : là hằng số và được gọi là độ biến động của giá cổ phiếu 𝑆𝑡 (vì 𝜎 càng lớn thì tác động ngẫu nhiên càng lớn). ∙ 𝐵𝑡 : là chuyển động Brown (quá trình Wiener) 𝑆0 là giá cổ phiếu được quan sát tại thời điểm 𝑡 = 0. Nhận xét: Trong chuyển động Brown hình học (1.2) thì 𝜇 và 𝜎 đã biết, vì vậy ta xác định được 𝑆𝑡 , nhưng trong thực tế thì 𝜇 và 𝜎 thường là chưa biết mà người ta phải xác định nó bằng phương pháp thống kê, ước lượng, quan sát... như sau. 11
Giả sử ta ghi nhận được một số liệu về giá cổ phiếu trong một khoảng thời gian [0, 𝑇 ]. Ta chia [0, 𝑇 ] thành 𝑛 khoảng bằng nhau, có độ dài Δ𝑡𝑖 = 𝑡𝑖 − 𝑡𝑖−1 với 𝑖 = 0, 1, ..., 𝑛. Giả sử ta biết giá chứng khoán tại điểm cuối 𝑡𝑖 của mỗi khoảng nhỏ [𝑡𝑖−1 , 𝑡𝑖 ]. Như vậy ta có 𝑛 + 1 quan sát 𝑆1 , 𝑆2 , ..., 𝑆𝑛+1 . Đặt 𝑈𝑖 = ln(𝑆𝑖 + 1) − ln(𝑆𝑖) với 𝑖 = 1, 2, ..., 𝑛. Kết hợp với (1.2) ta được ( ) 𝜎2 𝑈𝑖 = 𝜎 (𝐵𝑡𝑖+1 − 𝐵𝑡𝑖 ) + 𝜇− Δ𝑡 (1.3) 2 Trong đó (𝐵𝑡𝑖+1 − 𝐵𝑡𝑖 ) là một biến ngẫu nhiên chuẩn có kì vọng 0 và phương sai Δ𝑡 , hơn nữa, các biến ngẫu nhiên (𝐵𝑡𝑖+1 − 𝐵𝑡𝑖 ) là các biến ngẫu nhiên độc lập với 𝑖 = 0, 1, ..., 𝑛. Theo công thức thống kê thì trung bình mẫu 𝑈 và phương sai mẫu 𝑆 2 của dãy số liệu 𝑈1 , 𝑈2 , ..., 𝑈𝑛 được tính bởi công thức: ⎧   1∑ 𝑛 ⎨𝑈 = 𝑈𝑖 𝑛 𝑖=1  1 ∑ 𝑛 ( )2  ⎩𝑆 2 = 𝑈𝑖 − 𝑈 𝑛 − 1 𝑖=1 Đây là những ước lượng trung bình và phương sai lý thuyết của biến ngẫu nhiên 𝑈0 . Nếu căn cứ vào (1.3) thì phương trình phương sai của 𝑈 là: ( ) 𝜎2 𝑈= 𝜇− Δ𝑡 (1.4) 2 𝑆 2 = 𝜎 2 Δ𝑡 (1.5) Giải hệ phương trình (1.4) và (1.5) ta có: ⎧   𝑈 + 12 𝑆 2 ⎨𝜇 = Δ𝑡   𝑆 ⎩𝜎 = Δ𝑡 1.5.3 Công thức Black – Scholes về giá của hợp đồng quyền chọn mua 𝑉 = 𝑆𝑡 𝑁 (𝑑1 ) − 𝑋.𝑒−𝑟(𝑇 −𝑡) 𝑁 (𝑑2 ) (1.6) 12
Trong đó (1.6) là công thức Black – Scholes để xác định giá 𝑉 của một quyền chọn mua kiểu châu Âu tại thời điểm hiện tại 𝑡, trên cơ sở giá cổ phiếu 𝑆𝑡 tuân theo mô hình Black – Scholes . Trong đó 𝑋 là giá thực thi của quyền chọn mua kiểu châu Âu (tại thời điểm 𝑇 ); 𝑇 là thời điểm đáo hạn; 𝑟 là lãi suất không rủi ro 𝑟 = 𝜇; 𝑆𝑡 là giá cổ phiếu tại thời điểm 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ]; 𝑁 ký hiệu cho hàm phân phối 𝑁 (0, 1) ∫ 𝑥 1 2 𝑢 𝑁 (𝑥) = 𝑒− 2 𝑑𝑢 (1.7) 2𝜋 −∞ 𝑑1 , 𝑑2 là hai giá trị được xác định bởi: [ ( ) ] 1 𝑆𝑡 𝜎2 𝑑1 = √ ln + 𝑟+ (𝑇 − 𝑡) 𝜎 𝑇 −𝑡 𝑋 2 √ 𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎 𝑇 − 𝑡 Nhận xét: * Nếu chọn thời điểm hiện tại làm thời điểm gốc 𝑡 = 0 thì công thức Black – Scholes trở thành 𝑉 = 𝑆𝑡 𝑁 (𝑑1 ) − 𝑋.𝑒−𝑟𝑇 ) 𝑁 (𝑑2 ) với [ ( ) ] 1 𝑆0 𝜎2 𝑑1 = √ ln + 𝑟+ 𝑇 𝜎 𝑇 −𝑡 𝑋 2 √ 𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎 𝑇 − 𝑡 ∫ 𝑥 1 𝑢2 𝑁 (𝑥) = 𝑒− 2 𝑑𝑢 2𝜋 −∞ * Nếu kí hiệu thời điểm đáo hạn là 𝑇 ; thời điểm ban đầu là 𝑡 thì chứng khoán ban đầu sẽ là 𝑆𝑡 , còn khoảng thời gian từ lúc ban đầu đến lúc đáo hạn sẽ là 𝑇 − 𝑡, lúc này công thức Black – Scholes sẽ viết là : 𝑉 = 𝑆𝑡 𝑁 (𝑑1 ) − 𝑋.𝑒−𝑟(𝑇 −𝑡) 𝑁 (𝑑2 ) Đây là công thức Black – Scholes với : [ ( ) ] 𝑆𝑡 𝜎2 1 𝑑1 = ln + 𝑟+ (𝑇 − 𝑡) √ 𝑋 2 𝜎 𝑇 −𝑡 √ 𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎 𝑇 − 𝑡 với 𝑋 là giá thực thi của Quyền Chọn Mua 13
1.6 Lý thuyết về độ chênh lệch thị giá 1.6.1 Các khái niệm chung 1.6.1.1 Phương án đầu tư (portfolio) Một phương án đầu tư là một tổ hợp của một số hữu hạn các chứng khoán với các trọng số nào đấy. Giả sử có 𝑛 chứng khoán với giá tại thời điểm 𝑡 là: 𝑆1 (𝑡), ..., 𝑆𝑛 (𝑡). Một phương án đầu tư là một cách chọn ra 𝛼1 (𝑡) chứng khoán 𝑆1 , ..., 𝛼𝑛 (𝑡) chứng khoán 𝑆𝑛 tại mỗi thời điểm 𝑡 để đầu tư. Vậy giá trị của phương án ấy tại thời điểm 𝑡, ký hiệu bởi 𝑉 𝛼 (𝑡) được xác định bởi. 𝑛 ∑ 𝛼 𝑉 (𝑡) = 𝛼1 (𝑡)𝑆1 (𝑡) + ... + 𝛼𝑛 (𝑡)𝑆𝑛 (𝑡) = 𝛼𝑖 (𝑡)𝑆𝑖 (𝑡) (1.8) 𝑖=1 Vì các chứng khoán 𝑆1 (𝑡), ..., 𝑆𝑛 (𝑡) là các quá trình ngẫu nhiên nên giá của phương án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên. Các 𝛼𝑖 (𝑡) ở đây là các hàm số tất định của 𝑡. Một phương án đầu tư có thể ký hiệu là (𝛼, 𝑆) hay 𝜙 = (𝛼, 𝑆). 1.6.1.2 Phương án mua và bán Một phương án đầu tư (𝛼, 𝑆) được gọi là phương án bán đối với chứng khoán 𝑆𝑖 (𝑖 = 1, ..., 𝑛) tại thời điểm 𝑡 nếu 𝛼𝑖 (𝑡) > 0 và được gọi là phương án mua đối với chứng khoán ấy nếu 𝛼𝑖 (𝑡) < 0. Giá của chứng khoán 𝑆𝑖 tại thời điểm 𝑡 được ký hiệu là 𝑆𝑖 (𝑡) 1.6.1.3 Thị trường không có độ chênh lệch thị giá Ta nói rằng thị trường ℳ = (𝑆, Φ) là một thị trường không có cơ hội chênh lệch thị giá, nếu không tồn tại một phương án đầu tư tự tài trợ nào trong Φ mà có độ chênh lệch thị giá. Giả thiết "không có độ chênh lệch thị giá" gọi là nguyên lý AAO (Absence of Arbitrage Opportunity) 14
1.6.1.4 Cân đối và tự tài trợ (a) Tại một thời điểm 𝑡, phương án đầu tư có thể được cân đối lại tức là điều chỉnh lại việc mua và bán chứng khoán 𝑆𝑖 (𝑖 = 1, 𝑛). Điều đó cũng có nghĩa là thay đổi các trọng số của chúng từ 𝛼1 (𝑡), ..., 𝛼𝑛 (𝑡) sang 𝛽1 (𝑡), ..., 𝛽𝑛 (𝑡). (b) Nếu sau sự cân đối lại đó mà giá của phương án đầu tư không thay đổi, tức là: 𝛽1 (𝑡)𝑆1 (𝑡) + ... + 𝛽𝑛 (𝑡)𝑆𝑛 (𝑡) = 𝛼1 (𝑡)𝑆1 (𝑡) + ... + 𝛼𝑛 (𝑡)𝑆𝑛 (𝑡) thì ta gọi sự cân đối đó là cân đối tự tài trợ. Nhận xét: Một phương án đầu tư (𝛼, 𝑆) là một phương án tự tài trợ nếu ∑ 𝑛 và chỉ nếu 𝑑𝑉 𝛼 (𝑡) = 𝛼𝑖 (𝑡)𝑑𝑆𝑖 (𝑡) 𝑖=1 1.6.1.5 Độ chênh thị giá Một phương án đầu tư tự tài trợ 𝜙 ∈ Φ được gọi là một cơ hội chênh lệch thị giá nếu quá trình 𝑉𝑡 (𝜙) của phương án đầu tư thỏa mãn các điều kiện. (i) 𝑃 {𝑉0 (𝜙) = 0} = 1 (ii) 𝑃 {𝑉𝑇 (𝜙) ≥ 0} = 1, 𝑇 là thời điểm đáo hạn của hợp đồng. (iii) 𝑃 {𝑉𝑇 (𝜙) > 0} > 0 Điều kiện (𝑖) nói lên rằng hầu chắc chắn tại thời điểm bán đi vốn đầu tư là bằng không, điều kiện (𝑖𝑖) có nghĩa là hầu chắc chắn đến lúc kết thúc hợp đồng, phương án đầu tư có lợi nhuận ≥ 0; điều kiện (𝑖𝑖𝑖) nói rằng có khả năng kiếm lời thực sự tại thời điểm kết thúc hợp đồng. Cả ba điều kiện có nghĩa là phương án 𝜙 là một phương án tay không mà kiếm được lợi nhuận. 1.6.2 Cơ hội có độ chênh lệch thị giá và nguyên lý AAO 1.6.2.1 Cơ hội có độ chênh lệch thị giá Xét một mô hình thị trường ℳ gồm các chứng khoán 𝑆 và một họ các phương án đầu tư tự tài trợ Φ = {𝜙 = (𝛼, 𝑆)} 15
Ta ký hiệu ℳ = (𝑆, Φ) Các giá chứng khoán 𝑆𝑡 trong 𝑆 được xem là các quá trình ngẫu nhiên xem xét trong một không gian xác suất được lọc (Ω, ℱ, (ℱ𝑡 ), 𝑃 ) với (ℱ𝑡 ) là một họ tăng các 𝜎−trường con của ℱ và thỏa mãn các điều kiện thông thường (tức là một họ tăng theo 𝑡, liên tục phải và chứa mọi tập ℱ -đo được và 𝑃 -bỏ qua được, đồng thời ℱ = {Ω, 𝜙} (theo định nghĩa). Họ (ℱ𝑡 ) chính là luồng thông tin về thị trường, nó ghi nhận mọi biến cố xảy ra trên thị trường. 1.6.2.2 Tài sản phái sinh kiểu Châu Âu Gọi 𝑋 là biến ngẫu nhiên bất kỳ ℱ−đo được. Một hợp đồng tài chính chỉ thực thi tại thời điểm đáo hạn 𝑇 với giá trị là 𝑋𝑇 được gọi là một tài sản phái sinh kiểu Châu Âu và được ký hiệu là 𝑋 . Tài sản phái sinh Châu Âu cũng được gọi là một quyền tài chính Châu Âu. Nếu không nói gì thêm từ nay ta gọi tắt một phái sinh hay một quyền. 1.6.3 Nguyên lý đáp ứng và các khái niệm thị trường đầy đủ 1.6.3.1 Định nghĩa chiến lược đáp ứng Chiến lược đáp ứng đối với một phái sinh có giá trị đáo hạn 𝑋𝑇 tại thời điểm đáo hạn 𝑇 là một phương án đầu tư tự tài trợ sao cho 𝑉𝑇 (𝜙) = 𝑋𝑇 tức là sao cho giá trị lúc đáo hạn của phương án đầu tư ấy bằng đúng với giá trị tự đáo hạn 𝑋𝑇 đã xác định trước và đã ghi trong hợp đồng. Quá trình 𝑉𝑡 (𝜙) của phương án đấy được gọi là quá trình đáp ứng. Ký hiệu Φ𝑋 là lớp tất cả các phương án đầu tư 𝜙 đáp ứng cho phái sinh 𝑋 . 1.6.3.2 Định nghĩa phái sinh đạt được Một tài sản phái sinh 𝑋 được gọi là đạt được trong thị trường ℳ nếu nó có ít nhất một phương án đáp ứng cho nó. 16
Tức là Φ ∕= ∅ 1.6.3.3 Định nghĩa thị trường đầy đủ Một thị trường ℳ được gọi là đầy đủ nếu mọi tài sản phái sinh 𝑋 đều đạt được trong ℳ, hay nói một cách tương đương, nếu với mọi biến ngẫu nhiên 𝑋 đo được đối với ℱ𝑇 thì tồn tại ít nhất một phương án đầu tư 𝜙 ∈ Φ sao cho 𝑉𝑇 (𝜙) = 𝑋𝑇 Nói chung tính đầy đủ là một đòi hỏi khá cao trong thị trường. Với đòi hỏi này thì mọi tài sản phái sinh kiểu Châu Âu đều có thể định giá bằng phương pháp độ chênh lệch thị giá và quá trình giá có thể xây dựng tương tự như phương án tự tài trợ. 1.6.4 Ví dụ Xét một hợp đồng cho phép người giữ hợp đồng có quyền mua 1 số cổ phiếu tại thời điểm 𝑇 với giá thị trường 𝑆(𝑇 ) còn giá của hợp đồng này tại thời điểm 𝑡 = 0 là 𝐶(0) ∙ Nếu 𝐶(0) > 𝑆(0) ta có thể bán hợp đồng với giá 𝐶(0) và mua cổ phiếu với giá 𝑆(0). Hiệu 𝐶(0) − 𝑆(0) có thể đem đầu tư vào một ngân hàng không rủi ro với lãi suất 𝑟. Vào thời điểm 𝑇 , ta tung cổ phiếu ra và thu được lợi nhuận là (𝐶(0) − 𝑆(0)).𝑒𝑟𝑇 ∙ Nếu 𝐶(0) < 𝑆(0) ta mua hợp đồng với giá 𝐶(0) và bán cổ phiếu với giá 𝑆(0). Hiệu 𝑆(0) − 𝐶(0) đem đầu tư vào ngân hàng không rủi ro. Tại thời điểm 𝑇 lợi nhuận là (𝑆(0) − 𝐶(0)).𝑒𝑟𝑇 ∙ Nếu 𝐶(0) = 𝑆(0) thì không có lợi nhuận do sự chênh lệch thị giá. Nếu 𝑆(𝑡) là một chuyển động Brown hình học 𝑆(𝑡) = 𝑆0 .𝑒𝜇𝑡+𝜎𝐵(𝑡) 1 2 thì 𝐸.𝑆(𝑡) = 𝑆(0).𝑒(𝜇+ 2 𝜎 ).𝑇 17
1.6.5 Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá 1.6.5.1 Quan hệ giữa nguyên lý AAO và nguyên lý đáp ứng Giả thiết rằng 𝑋 là một phái sinh thực thi tại thời điểm đáo hạn 𝑇 . Định nghĩa: Ta nói rằng phái sinh 𝑋 được đáp ứng một cách duy nhất trong thị trường ℳ nếu tồn tại một quá trình đáp ứng duy nhất đối với 𝑋 . tức là nếu có hệ thức: 𝑉𝑡 (𝜙) = 𝑉𝑡 (Ã) ∀𝑡 ≤ 𝑇 với hai phương án đầu tư bất kỳ 𝜙 và Ã thuộc về Φ𝑋 . Định lý sau đây nói lên sự tương quan giữa nguyên lý không có độ chênh thị giá (AAO) và nguyên lý đáp ứng. Định lý: Giả sử ℳ là một thị trường không có độ chênh thị giá. Khi đó mọi tài sản phái sinh đạt được 𝑋 đều được đáp ứng duy nhất trong thị trường ℳ. 1.6.5.2 Ý tưởng chính của việc định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá Gọi là định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá nhưng thực chất là dựa vào nguyên lý AAO và nguyên lý đáp ứng để tính ra giá của một tài sản phái sinh tại một thời điểm 𝑡 trước lúc đáo hạn 𝑇 , đặc biệt là tính ra được giá ban đầu 𝑉0 của phương án cần đầu tư để đạt được giá trị đáo hạn 𝑋 đặt ra trước của hợp đồng. Công cụ để thực hiện phương pháp này là một độ đo xác suất mới mà ta sẽ gọi là xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale. Vì thế phương pháp này cũng được gọi là phương pháp rủi ro trung tính. Giả sử 𝑉𝑡 là giá của một phương án đầu tư tại thời điểm 𝑡 nhằm thực hiện một hợp đồng phái sinh có giá trị đáo hạn là 𝑋 đó là một quá trình ngẫu nhiên xét trên một không gian được lọc (Ω, ℱ, (ℱ𝑡 ) , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇, 𝑃 ), trong đó (ℱ𝑡 ) là luồng thông tin về thị trường với ℱ0 = {Ω, ∅} và 𝑃 là xác suất ban đầu. Nói chung dưới độ đo ban đầu 𝑃 thì (𝑉𝑡 ) không phải là một martingale đối với ℱ𝑡 . Người ta đi tìm một độ đo xác suất 𝑄 mới và một hệ số tất định 𝑘(𝑡) sao cho: 18
(a) 𝑄 tương đương với độ đo xác suất 𝑃 (b) Dưới độ đo 𝑄 thì quá trình 𝑉˜𝑡 = 𝑘(𝑡).𝑉𝑡 là một martingale đối với luồng thông tin thị trường ℱ𝑡 , tức là 𝐸𝑄 (𝑉˜𝑡 ∣ℱ𝑠 ) = 𝑉˜𝑠 với mọi 𝑠 ≤ 𝑡 Đặc biệt nếu 𝑠 = 0 và 𝑡 = 𝑇 thì hệ thức trên cho ta: 𝐸𝑄 (𝑉˜𝑡 ∣ℱ0 = 𝑉˜0 nhưng vì ℱ0 = {Ω, ∅} nên 𝐸𝑄 (.∣ℱ0 ) = 𝐸𝑄 (.), tức là kỳ vọng có điều kiện ℱ0 cũng như không có điều kiện. Vậy ta có: 𝐸𝑄 (𝑉˜𝑇 ) = 𝑉˜0 hay 𝐸𝑄 (𝑘(𝑇 )𝑉𝑇 ) = 𝑘(0)𝑉0 Vì 𝑘(𝑡) là một hàm tất định nên ta rút ra 𝑘(𝑇 ) 𝑉0 = .𝐸𝑄 (𝑉𝑇 ) 𝑘(0) Vì giả thiết có nguyên lý AAO nên tồn tại một phương án đáp ứng 𝜙 với giá 𝑉𝑡 = 𝑉𝑡 (𝜙) sao cho 𝑉𝑇 = 𝑋𝑇 . Cuối cùng ta có 𝑘(𝑇 ) 𝑉0 = 𝐸𝑄 (𝑋𝑇 ) 𝑘(0) Hệ thức này cho ta biết cần đầu tư vốn ban đầu bằng 𝑉0 như trên để đạt được giá trị của hợp đồng bằng 𝑋𝑇 như mong muốn. Ngoài ra, ta cũng biết được giá của hợp đồng phái sinh tại một thời điểm 𝑡 bất kỳ 𝑘(𝑇 ) 𝑉𝑡 = 𝐸𝑄 (𝑋𝑇 ) 𝑘(𝑡) 1.6.6 Xác suất rủi ro trung tính hay độ đo martingale Xét một tài sản phái sinh kiểu châu Âu 𝑋 có giá trị đáo hạn là 𝑋𝑇 , được viết trên tài sản cơ sở 𝑆 𝑆 = (𝑆𝑡 , 0 ≤≤ 𝑇 ) 19
có thời gian đáo hạn là 𝑇 . Giả thiết rằng 𝑆 là một chiều (ví dụ như là một cổ phiếu), các giá của 𝑆 đều là một quá trình ngẫu nhiên trên một không gian xác suất được lọc (Ω, ℱ, (ℱ𝑡 ), 𝑃 ) trong đó ℱ𝑡 là bộ lọc mang thông tin về thị trường. 1 Giả sử hệ số chiết khấu là 𝑘(𝑡) = trong đó 𝛽(𝑡) cũng là một quá trình 𝛽(𝑡) ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất được lọc nói trên. Thông thường ta hay chọn 𝛽(𝑡) = 𝑒𝑟(𝑇 −𝑡) , do đó hệ số chiết khấu là 𝑒−𝑟(𝑇 −𝑡) ; nếu lãi suất không có rủi ro thì 𝑟 là tất định và hệ số chiết khấu là tất định. 1.6.6.1 Định nghĩa Một độ đo xác suất 𝑄 trên (Ω, ℱ) sẽ được gọi là xác suất rủi ro trung tính nếu: (i) 𝑄 tương đương với 𝑃 (ii) Hầu chắc chắn có [ ] 𝑆𝑡 𝑆𝑠 𝐸𝑄 ∣ℱ𝑠 = với mọi 0 ≤ 𝑠 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇 𝛽(𝑡) 𝛽(𝑠) 1.6.6.2 Chú ý ∙ Tính chất (ii) là một tính chất martingale của quá trình giá chiết khấu. Do đó xác suất 𝑄 được gọi là độ đo martingale. ∙ Giả sử 𝑄 là một độ đo martingale. Gọi 𝑉𝑡 là quá trình giá của một chiến lược đầu tư tự tài trợ xây dựng trên tài sản cơ sở 𝑆 . Người ta đã chứng minh được rằng khi đó quá trình giá chiếu khấu 𝑉𝑡 𝑉˜𝑡 = 𝛽(𝑡) cũng là một martingale đối với (𝑄, ℱ𝑡 ) ∙ Người ta đã chứng minh được kết quả quan trọng được gọi là định lý cơ bản để định giá tài sản: Một thị trường là không có độ chênh thị giá (AAO) nếu và chỉ nếu tồn tại một xác suất rủi ro trung tính 𝑄 (hay độ đo martingale 𝑄) 20