Một số công thức phần xác suất thống kê

Chia sẻ: Lê đăng Vũ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

457
lượt xem 194
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

xác suất thống kê là một môn học khó.tổng hợp những công thức trên đây giúp bạn dễ dàng ôn thi cho môn học khó nhằn này..

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số công thức phần xác suất thống kê

A. Mét sè c«ng thøc phÇn x¸c suÊt X¸c suÊt cña biÕn cè: I. m(A) P(A) = * n(A) P(B)+P(C) nÕu B vµ C lµ xung kh¾c A=B+C ⇒ P(A)=P(B+C) = * P(B)+P(C)-P(B.C) nÕu B vµ C lµ kh«ng xung kh¾c P(B).P(C) nÕu B vµ C lµ ®éc lËp • A=B.C ⇒ P(A)=P(B.C) = P(B).P(C/B)=P(C).P(B/C) nÕu B vµ C lµ kh«ng ®éc lËp A1A 2 ...An =A1 +A 2 +... +A n * * A 1 + A 2 + ...An = A 1 . A 2 ... A n * P(A)+ P(A ) =1 Pn ( x) = Cnpx (1 − p) n −x x • C«ng thøc Bernoulli: , x = 0,1,2,…,n n P(A) = ∑P(Hi )P(A/Hi ) C«ng thøc X¸c suÊt ®Çy ®ñ: • i =1 C«ng thøc Bayes : • P(H i )P(H i /A) P(H i )P(H i /A) P(H i /A) = =n ∀ i = 1,2,..,n P(A) ∑P(H i )P(H i /A) i=1 BiÕn ngÉu nhiªn vµ quy luËt ph©n phèi x¸c suÊt : II. 1. C¸c tham sè ®Æc trng: n ∑ ipi nÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c x i=1 E(X) = +∞ ∫ xf(x) nÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc −∞ n ∑ 2 x p i nÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c i i=1 2 E(X ) = +∞ ∫ x 2 f ( x) nÕu X lµ biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc −∞ () = E X 2 − ( E( X ) ) V(X)= E ( X − E ( X ) ) 2 2 Phạm Hương Huyền-TKT 1
σ( X ) = V ( X ) 2. Mét sè quy luËt ph©n phèi x¸c suÊt th«ng dông : ♦X∼ A(P) ⇒ X 0 1 P 1-p p P ( X = x ) = p x (1 − p ) 1− x x = 0;1 * * E(X)=p ; V(X)=p(1-p) ; σ ( X ) = p (1 − p ) ♦ X∼ B(n,p) ⇒ X 0 1 x n … … P C 0 p 0 q n− 0 C 1 p1q n−1 … C x p x q n− x … C nn p n q 0 n n n ( q=1-p ) P( X = x ) = C nx p x (1 − p ) n− x x = 0,1,..., n * σ ( X ) = npq * E(X)=np ; V(X)=npq ; x0 ∈ N * Mèt cña X∼ B(n,p): x0 = np + p −1 ≤ x 0 ≤ np + p ♦ X∼ P(λ) ⇒ λx e − λ P ( X = x ) = C p (1 − p ) n− x ≈ x x * ; x=0,1,2,… n x! ( n kh¸ lín, p kh¸ nhá; λ=np ) σ( X ) = λ * E(X)=V(X)= λ; * Mèt cña X∼ P(λ): λ − 1 ≤ x 0 ≤ λ ; x0∈ N (x− )2 μ 1 − ♦ X∼ N(µ ,σ 2) ⇒ f(x) = 2 (σ>0) e 2σ 2∏ * E(X)=µ ; V(X)=σ 2 ; σ (X)=σ  b −µ   a −µ  * P ( a < X < b) = Φ   −Φ   σ σ 0 0 µ + ,5 b−   * P(Xa) ≈ 0,5 − 0  Φ  σ Phạm Hương Huyền-TKT 2
ε  ( ) * P X − µ < ε = 2Φ   σ  0 • Gi¸ trÞ tíi h¹n chuÈn : P (U >U α ) =α U∼ N(),1) * §Þnh nghÜa: , * Chó ý: U 1− =− α U 0 , 025 = ,96 U 0 , 05 = ,645 U ; 1 ; 1 α • Gi¸ trÞ tíi h¹n Student : ( ) P T > Tα( n ) = α T∼ T(n) * §Þnh nghÜa: , n ≥ 30 T1( n ) = − α n ) Tα n ) ≈ U α T( ( ; * Chó ý: víi α − • Gi¸ trÞ tíi h¹n Khi b×nh ph¬ng: ( ) P χ 2 > χ α2( n ) = α χ2∼χ 2(n) * §Þnh nghÜa: , • Gi¸ trÞ tíi h¹n Fisher- Snedecor : ( ) ( n ,n ) * §Þnh nghÜa: P F > Fα 1 2 =α F ∼ F(n1,n2) , 1 Fα1 , n2 ) = (n2 , n1 ) (n * Chó ý: F− 1α III. BiÕn ngÉu nhiªn hai chiÒu rêi r¹c X …. …. Tæng x1 x2 xi xn Y P(x1,y1) P(x2,y1) …. P(xi,y1) …. P(xn,y1) P(Y=y1) y1 P(x1,y2) P(x2,y2) ….. P(xi,y2) ….. P(xn,y2) P(Y=y2) y2 … …. …. … … … …. …. P(x1,yj) P(x2,yj) …. P(xi,yj) …… P(xn,yj) P(Y=yj) yj …. …. …. …. …. …. ….. …. P(x1,ym) P(x2,ym) …. P(xi,ym) ….. P(xn,ym) P(Y=ym) ym Tæng P(X=x1) P(X=x2) … P(X=xi) …. P(X=xn) 1 ( ) ( ) • P xi , y j = P X = xi , Y = y j ) = P (xi , ) P ( =y j ) = P (x ) m n P(X = i ∑ ∑ • x yj ; Y , yj i j= i= 1 1 (X ) =x i , Y = y j )) = P • P (( X =x i ) / (Y = y j P (Y = y j ) • µ XY = Cov ( X , Y ) = E ( ( ( X − E ( X ) ) ( (Y − E (Y ) ) ) = ∑ ∑ xi y j P ( xi , y j ) − E ( X ) E (Y ) n m i =1 j =1 Phạm Hương Huyền-TKT 3
µ ρ = XY • σX ) ( ) σ ( XY Y V ( aX +bY ) = a 2V ( X ) +b 2V (Y ) + 2abCov ( X , Y ) • III. Mét sè quy luËt sè lín: • BÊt ®¼ng thøc TrªbsÐp: X bÊt kú; E(X), V(X) h÷u h¹n; ε>0 V (X ) P ( X − E ( X ) < ε ) ≥1 − ε2 ⇔ P ( X − (X ≥ )≤ ε V (X ) ) E ε 2 • §Þnh lý TrªbsÐp: X1, X2,…, Xn ®éc lËp tõng ®«i; E(Xi), V(Xi) h÷u h¹n ∀i=1,2,…,n; ε>0 1 n  1n ε= Lim P  ∑i − ∑ X i ) <  1 E( X n  n i= n→ ∞   i= 1 1 • §Þnh lý Bernoulli: f lµ tÇn suÊt xuÊt hiÖn biÕn cè A trong lîc ®å Bernoulli víi 2 tham sè n, p ε Lim P ( f − < )= p 1 ε > 0 , ta cã n→ ∞ B. Mét sè c«ng thøc trong phÇn Thèng kª to¸n I. Mét sè c«ng thøc trªn mÉu: () 1k 1k x = ∑ i xi ; x = ∑ i xi2 2 Ms = x 2 − x 2 n n ; n i =1 n i =1 1k n = ∑ i ( xi − µ) 2 s= *2 Ms ; s n n −1 n i =1 * TÇn suÊt mÉu f lµ h×nh ¶nh cña tham sè p trong tæng thÓ ë trªn mÉu. σ ( )  2 µ Tæng thÓ : X∼ N µ , σ X ∼ N , n  ⇒ 2 ⇒ *     () () σ2 E X =µ VX = , n  pq  pq  ⇒ E( f ) = p , V( f )= Tæng thÓ X∼ A(p) ⇒ f ∼ N p, *  n n ( khi n ®ñ lín). II. Mét sè c«ng thøc vÒ íc lîng: Phạm Hương Huyền-TKT 4
1. Ưíc lîng gi¸ trÞ tham sè µ trong quy luËt N ( µ , σ 2 ) Trêng hîp ®· biÕt σ 2 Trêng hîp cha biÕt σ 2 (thêng gÆp) C« (Ýt gÆp) n ≤ 30 n>30 ng thøc σ σ s s s s Tα( n−1) < µ < x + Tα( n−1) x − Uα < µ < x + Uα < µ < x + x− x− Uα Uα KTC n n n n n n ®èi 2 2 2 2 2 2 xøng σ µ< KTC s s Tα −) (n 1 x+ µ< x+ µ < x+ Uα Uα í c l- n n n îng µ max σ KTC s s µ> Tα( n −1) µ > x− µ > x− x− Uα Uα í c l- n n n îng µ min C«ng 4σ 2 2 4s 2 2 4s 2 ≥ * (Tα( n −1) ) 2 ≥ ≥ n Uα / 2 * * thøc n Uα / 2 n 2 /2 I0 2 x¸c I 02 I0 ®Þnh kÝch thíc mÉu míi I ε (n*) sao = cho: Gi÷ Chó ý : nguyªn 2 ®é tin cËy (1-α ) vµ muèn ®é dµi kho¶ng tin cËy ®èi xøng I ≤ I0 2. Ưíc lîng gi¸ trÞ tham sè p trong quy luËt A(p ) f (1 − f ) f (1 − f ) f− Uα < p < f + KTC ®èi xøng Uα n n 2 2 p max KTC íc lîng f (1 − f ) p< f + Uα n KTC íc lîng p min f (1 − f ) p>f − Uα n Phạm Hương Huyền-TKT 5
4 f (1 − f )U2 C«ng thøc x¸c ®Þnh kÝch ≥ n* thíc mÉu míi (n*) sao cho: α/ 2 2 I0 Gi÷ nguyªn ®é tin cËy (1-α) vµ muèn ®é dµi kho¶ng tin I cËy ®èi xøng I ≤ I0 Chó ý : ε = 2 Chó ý: M NÕu P= th× cã thÓ íc lîng M qua P vµ N (quan hÖ M vµ P lµ thuËn chiÒu), cã N thÓ íc lîng N qua P lµ M (quan hÖ N vµ P lµ ngîc chiÒu). ( ) 2 3. Ưíc lîng gi¸ trÞ tham sè σ 2 trong quy luËt N μ,σ Trêng hîp ®· biÕt µ Trêng hîp cha biÕt µ C«ng thøc (Ýt gÆp) (thêng gÆp) ( n −1) s ( n −1) s 2 σ *2 *2 2 ns ns > 2 σ 2 χ 2(n − ) min 2( n ) χ 1 α α III. Mét sè c«ng thøc vÒ kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª ♦KiÓm ®Þnh vÒ tham sè cña quy luËt ph©n phèi gèc 1. Bµi to¸n kiÓm ®Þnh vÒ tham sè µ trong quy luËt N ( µ , σ 2 ) : a. Bµi to¸n so s¸nh µ víi gi¸ trÞ thùc cho tríc µ 0 Tr êng hîp σ 2 ®· biÕt (Ýt gÆp) CÆp gi¶ thuyÕt cÇn MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 kiÓm ®Þnh ( ) H0: µ = µ 0 x −µ     n Wα = = ; U >U α  0 U H1: µ > µ 0 σ     ( ) H0: µ = µ 0 x −µ     n Wα =  = ; U U α / 2  U µ ≠ µ0 H1: σ     Trêng hîp σ cha biÕt (thêng gÆp) 2 MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 Phạm Hương Huyền-TKT 6
Trêng hîp n ≤ 30 CÆp gi¶ Trêng hîp n>30 thuyÕt cÇn kiÓm ®Þnh ( ) H0: µ = µ 0   x − µ0   n ( ) ; T > Tα( n −1)  Wα = T =   x − µ0 H1: µ > µ 0   n   s Wα = U = ; U > Uα      s   ( ) ( ) H0: µ = µ 0     x − µ0 x − µ0     n n ; T < −Tα( n −1)  Wα = T = Wα = U = ;U < −U α  H1: µ < µ 0     s s     ( ) ( ) H0: µ = µ 0  ( n −1)    x − µ0 n x − µ0 n     Wα = T = ; T > Tα / 2  Wα = U = ; U > Uα / 2  H1: µ ≠ µ 0     s s     b. Bµi to¸n so s¸nh hai tham sè µ1 víi µ 2 cña 2 quy luËt ph©n phèi chuÈn Tr êng hîp σ 12 , σ 22 ®· biÕt (Ýt gÆp) CÆp gi¶ thuyÕt cÇn MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 kiÓm ®Þnh H0: µ1 = µ 2     H1: µ1 > µ 2 x −x   Wα =  = ; U >U α  1 2 U σ σ2 2 2   + 1   n1 n2       µ1 = µ 2 H0: x1 − x 2   Wα =  = ; U U α / 2  U µ1 ≠ µ 2 H1: σ1 σ 2 2   +2   n1 n2   Trêng hîp σ 1 , σ 2 cha biÕt; n1 ≥ 30 , n2 ≥ 30 (thêng gÆp) 2 2 CÆp gi¶ thuyÕt cÇn MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 kiÓm ®Þnh     H0: µ1 = µ 2 x1 − x 2   = = ; U >U α  Wα U H1: µ1 > µ 2 2 2 s1 s2   +   n1 n2   Phạm Hương Huyền-TKT 7
    µ1 = µ 2 H0: x1 − x 2   Wα =  = ;U Uα / 2  U H1: µ1 ≠ µ 2 2 2 s1 s   +2   n1 n 2   Trêng hîp σ 1 , σ 2 cha biÕt 2 2 CÆp gi¶ thuyÕt cÇn MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 kiÓm ®Þnh H0: µ1 = µ 2     H1: µ1 > µ 2 x1 −x 2   ; T > α ) T (k = = Wα T 2 2 s1 s2   +   n1 n2   µ1 = µ 2   H0:   µ1 < µ 2 H1: x1 − 2   x ; T < Tα )  − (k =T= Wα  2 2 s1 s2   +   n1 n2   H0: µ1 = µ 2     H1: µ1 ≠ µ 2 x1 −x 2  ( ) = = ; T >Tαk 2  Wα T / 2 2 s1 s2   +   n1 n2   (n1 − )(n 2 − ) 2 1 1 s1 / n1 k= c= ; (s / n1 ) +(s 2 / n 2 ) (n 2 − )c 2 +(n1 − )(1 −c ) 2 2 2 1 1 1 2. Bµi to¸n kiÓm ®Þnh vÒ tham sè σ 2 trong quy luËt N ( µ , σ 2 ) : a. Bµi to¸n so s¸nh σ 2 víi gi¸ trÞ thùc cho tríc σ 0 2 Phạm Hương Huyền-TKT 8
CÆp gi¶ thuyÕt cÇn MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 kiÓm ®Þnh ( n −1) s 2 ; χ 2 > χ 2( n −1)  H0: σ 2 = σ 02 2 Wα = χ =  H1: σ 2 > σ 02 α σ0 2   ( n −1) s 2 ; χ 2 < χ 2( n −1)  H0: σ 2 = σ 02 2 Wα = χ =  H1: σ 2 < σ 02 1−α σ02    2 ( n − 1) s 2  χ 2 > χ α2 (/n−1) hay χ 2 < χ 12−(αn−1)  Wα =  χ = ; H0: σ = σ 2 2 0 2 /2 σ 02   H1: σ 2 ≠ σ 02 b. Bµi to¸n so s¸nh hai tham sè σ 12 víi σ 22 cña 2 quy luËt ph©n phèi chuÈn CÆp gi¶ thuyÕt MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 cÇn kiÓm ®Þnh H0: σ 12 = σ 22   2 s1 Wα = = 2 ; F >Fα 1 − , n2 − ) (n 1 1 F  H1: σ 1 > σ 2 2 2 s2   H0: σ 12 = σ 22  ( n1 − , n2 − )  2 s1 = = 2 ; F Fα( n12− 1, n2 −1) hay F < F1(−nα1 −/ 1, n2 − 1)  Wα =  F = 2 ; H1: σ 12 ≠ σ 2 2 / 2 s2   3. Bµi to¸n kiÓm ®Þnh vÒ tham sè p trong quy luËt A(p) : a. Bµi to¸n so s¸nh gi¸ trÞ tham sè p víi gi¸ trÞ thùc p0 cho tríc: CÆp gi¶ thuyÕt cÇn MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 kiÓm ®Þnh p = p0 ( f − p0 ) n   H0:   = = ; U >U α  Wα U p 0 (1 − p 0 ) p > p0   H1:   ( f − p0 ) n p = p0   H0:   = = ; U H0:     Wα = = U U α/ 2  p ≠ p0 H1: p0 (1 −p0 )     b. Bµi to¸n so s¸nh hai tham sè p1 víi p 2 cña 2 quy luËt Kh«ng-Mét Phạm Hương Huyền-TKT 9
CÆp gi¶ thuyÕt cÇn MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0 kiÓm ®Þnh       f 1 −f 2 H0: p1 = p 2 =U = ; U > α Wα U  ( ) 1 1   H1: p1 > p 2 f 1 −f   n +    n2  1         f1 − f 2 H0: p1 = p 2 = = ; U α/ 2  Wα U U ( ) 1 1   H1: p1 ≠ p 2 f 1 −f n +n     1 2   n f +2 f 2 n =1 1 f Trong ®ã: n1 + 2 n ♦ KiÓm ®Þnhphi tham sè • KiÓm ®Þnh vÒ d¹ng quy luËt ph©n phèi gèc: * CÆp gi¶ thuyÕt cÇn kiÓm ®Þnh: H0: X ∼ Quy luËt A H1: X ∼ Quy luËt A (XÐt quy luËt A lµ rêi r¹c) * MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0: (ni − i′)2 2   χ( r 1  n k Wα = χ = χ ∑ n′ > αk − −)  2 2 ;      i= 1 i Trong ®ã: k ∑n = n ; ni′ = npi ; MÉu ngÉu nhiªn 1 chiÒu vÒ X lµ X (n); xi xuÊt hiÖn ni lÇn ; i i =1 pi = P( X = xi ) ; r lµ sè tham sè trong quy luËt A cÇn íc lîng, tham sè cña quy luËt A ®îc íc lîng b»ng ph¬ng ph¸p íc lîng hîp lý tèi ®a; Phạm Hương Huyền-TKT 10
• KiÓm ®Þnh vÒ tÝnh ®éc lËp hay phô thuéc cña 2 dÊu hiÖu ®Þnh tÝnh: * CÆp gi¶ thuyÕt cÇn kiÓm ®Þnh: H0: X , Y lµ ®éc lËp H1: X , Y lµ phô thuéc * MiÒn b¸c bá cña gi¶ thuyÕt H0: 2  h  2 nij   k χ =n ∑ ∑= n m −  χ >χ 2 (( h − )( k − ))  = 2 1 1 Wα 1 ;  α        i= j 1 1 i j Trong ®ã: MÉu ngÉu nhiªn 2 chiÒu vÒ X,Y lµ X (n); gi¸ trÞ (xi,yj )xuÊt hiÖn nij lÇn; h k h k h k ∑ ∑ ∑n ∑ =∑ i =∑ j =n . =m j , =ni , n n n m ij ij ij i= j= i= j= i= j= 1 1 1 1 1 1 • KiÓm ®Þnh Jarque-Bera vÒ d¹ng ph©n phèi chuÈn: H0 : X tu©n theo quy luËt ph©n phèi chuÈn H1: X kh«ng tu©n theo quy luËt ph©n phèi chuÈn +>   2 (a4 − 2  a3 3) Wα = JB =  + ; JB > α  χ2(2) n → MBB cña H0 :   6 24    ( a3 lµ hÖ sè bÊt ®èi xøng, a4 lµ hÖ sè nhän) ------------------------------------------------------------------------------------- Phạm Hương Huyền-TKT 11