Bài giảng Toán cao cấp: Bài 3 - Nguyễn Hải Sơn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

40
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bài giảng Toán cao cấp - Bài 3: Phép tính tích phân" trình bày nguyên hàm của một hàm số, tích phân bất định, tính chất, các công thức cơ bản, các phương pháp tính tích phân bất định; tích phân bất định của hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm vô tỉ; phân xác định, tính chất, mối liên hệ với nguyên hàm, các phương pháp tính tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định; tích phân suy rộng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Bài 3 - Nguyễn Hải Sơn

BÀI 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 1 v1.0
LÝ THUYẾT 1. Nguyên hàm của một hàm số, tích phân bất định, tính chất, các công thức cơ bản, các phương pháp tính tích phân bất định. 2. Tích phân bất định của hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm vô tỉ. 3. Tích phân xác định, tính chất, mối liên hệ với nguyên hàm, các phương pháp tính tích phân xác định, ứng dụng của tích phân xác định. 4. Tích phân suy rộng. 2 v1.0
VÍ DỤ 1 Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số: f(x)  3x 2  2 a. x3  2x  1 b. 6x c. 3x3  2x d. 3x2  2x 3 v1.0
VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số: f(x)  3x 2  2 a. x3  2x  1   x +2x+1  '=3x +2 3 2 b. 6x  (6x) '  6 c. 3x3  2x  (3x 3 +2x)'=9x 2 +2 d. 3x2  2x  (3x 2  2x) '  6x  2 Hướng dẫn: Xem định nghĩa nguyên hàm (mục 3.1.1.1) Định nghĩa: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên một khoảng D nếu: F '(x)  f(x), x  D, hay dF(x)  f(x)dx Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Nhầm lẫm giữa nguyên hàm và đạo hàm, cho rằng F(x) là nguyên hàm của f(x) thì f’(x) = F(x). Chẳng hạn trong ví dụ 1, chọn đáp án b. . 4 v1.0
VÍ DỤ 2 1 Hàm số f(x)   1 có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau? 1 x 2 a.   arccos x b. arccos x   c. arcsinx  x   d. arcsinx  C 5 v1.0
VÍ DỤ 2 (tiếp theo) 1 Hàm số f(x)   1 có nguyên hàm là hàm số nào trong các hàm số sau? 1 x 2 a.   arccos x  b. arccos x    c. arcsinx  x    d. arcsinx  C  6 v1.0
VÍ DỤ 3 dx Tích phân  3  2x 2 bằng: 1  x  a. arctg   3  3 1  x  b. arctg  C 3  3 1 x c. arctg   3 3 1 x d. arctg    C 3 3 7 v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Xem bảng các công thức tích phân cơ bản 8 v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo) dx Tích phân  3  2x 2 bằng: 1  x  a. arctg    3  3 dx dx 1  x  b. 1 3  x  arctg   3 C   3 x 2   ( 3)  x 2 2  3 arctg   3 C 1 x c. arctg    3 3 1 x d. arctg    C  3 3 Nhận xét: Sai lầm thường gặp là thiếu hằng số C. 9 v1.0
VÍ DỤ 4 dx Tích phân  2  3x 2 bằng: 3 3 a. arctgx  C 2 2 1 3 b. arctgx  C 6 2 3 x c. arctg C 2 6 1 x d. arctg C 6 6 10 v1.0
VÍ DỤ 4 (tiếp theo) dx Tích phân  2  3x 2 bằng: 3 3 a. arctgx  C  2 2 Gợi ý: 1 3 dx dx b. 6 arctgx  C 2   2  3x 2   2  3   x2  3  3 x c. 2 arctg C  6 1 x d. arctg C  6 6 11 v1.0
VÍ DỤ 5 Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó,  xf(x 2 )dx là: F(x2 ) a. C 2 b. F(x2 )  C c. xF(x2 )  C d. F(x2 ) 12 v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem mục 3.1.2.2, tr.46 Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân Nhận xét: 1 Chú ý: d(u(x))  u'(x)dx; d(x 2 )  (x 2 ) ' dx  2xdx  xdx  d(x 2 ) 2 13 v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó,  xf(x 2 )dx là: F(x2 ) 1 1 a. 2 C   xf(x 2 )dx   2 f(x 2 )d(x 2 )  F(x 2 )  C 2 b. F(x2 )  C  c. xF(x2 )  C  d. F(x2 )  Nhận xét: Khó khăn ở đây là việc biểu diễn f(x)  g(u(x)).u '(x) 14 v1.0
VÍ DỤ 6  Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, sin xf(cos x)dx là: a. F(cosx)  C b.  F(cosx)  C c. F(sinx)  C d.  F(sinx)  C 15 v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo)  Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Khi đó, sin xf(cos x)dx là: a. F(cosx)  C  b.  F(cosx)  C  c. F(sinx)  C  d.  F(sinx)  C  16 v1.0
VÍ DỤ 7 x2 Tìm hàm số f(x) biết f '(x)  xe và f(1)  2e 1 x2 3e a. f(x)  e  2 2 2 b. f(x)  e x  e 1 2 5 c. f(x)   e x  e 2 2 2 d. f(x)  e x  3e 17 v1.0
VÍ DỤ 7 (tiếp theo) x2 Tìm hàm số f(x) biết f '(x)  xe và f(1)  2e 1 2 3e 1 1 2    2 2 a. f(x)  e x   f(x)  f '(x)dx  xe x dx  e x dx 2  e x  C 2 2 2 2 2 b. f(x)  e x  e  1 f(1)  2e  f(1)  e  C  2e  C  e 3 1 x2 5 2 2 c. f(x)   e  e  1 2 3 2 2  f(x)  e x  e 2 2 2 d. f(x)  e x  3e   f '(x)dx x2 Hướng dẫn: f(x) là một nguyên hàm của xe ; f(x)  18 v1.0
VÍ DỤ 8 Tìm hàm số f(x) biết f '(x)  x sin(x 2 ) và f(0) = 1/2. 1 a.  sin(x 2 )  1 2 1 b.  cos(x 2 )  1 2 1 c. sin(x 2 )  2 d.  cos(x 2 )  1 19 v1.0
VÍ DỤ 8 (tiếp theo) Tìm hàm số f(x) biết f '(x)  x sin(x 2 ) và f(0) = 1/2. 1 a.  2 sin(x 2 )  1  1 b.  cos(x 2 )  1  2 1  c. sin(x 2 )  2 d.  cos(x 2 )  1  20 v1.0