intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Một số đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12

Chia sẻ: Nguyễn Anh Tuấn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:164

Thêm vào BST
Báo xấu
483
lượt xem 150
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Kì thi học sinh giỏi là kì thi quan trọng đối với mỗi học sinh. Dưới đây là một số đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Một số đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12

  1. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá M TS ð TOÁN THI H C SINH GI I 1. ð THI CH N HSG 12 T NH B C NINH 2009 Bài 1 (6 ñi m) 1/ So sánh hai s 20092010 và 20102009.  1 1  2/ Tìm gi i h n lim  − . x →0 3 x ( 1 + 4 x + 1)   2 x( 3 (1 + 6 x) 2 + 3 1 + 6 x + 1)   Bài 2 (4 ñi m) 1/ Cho ba s th c không âm x, y, z tho mãn x2009 + y2009 + z2009 = 3. Tìm giá tr l n nh t c a F = x2 + y2 + z2. 1 1 1 1 2/ Cho s nguyên dương n. Ch ng minh r ng 1 + 2 + ... + n+1 < . C 2009 C 2010 C 2009+n 2007 Bài 3 (4 ñi m) Hình chóp S.ABC có t ng các m t (góc ñ nh) c a tam di n ñ nh S b ng 180o và các c nh bên SA = SB = SC = 1. Ch ng minh r ng di n tích toàn ph n c a hình chóp này không l n hơn 3 . Bài 4 (4 ñi m) 1/ G i m, n, p là 3 nghi m th c c a phương trình ax3 + bx2 + cx – a = 0 (a≠0). Ch ng minh r ng 1 2 2+ 3 + - ≤ m2 + n 2 + p2 . m n p  x3 + y 3 + x 2 ( y + z ) = xyz + 14  3 3 2/ Gi i h phương trình  y + z + y ( z + x) = xyz − 21 . 2  z 3 + x3 + z 2 ( x + y ) = xyz + 7  Bài 5 (2 ñi m) 1/ Ch ng minh r ng b n ñư ng tròn có các ñư ng kính là b n c nh c a m t t giác l i thì ph kín mi n t giác ñó. 2/ Cho y = a0x + a1x3 + a2x5 + … + anx2n+1 + … tho mãn (1 – x2)y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1). Tìm các h s a0, a1, a2, …, an. 2. ð THI H C SINH GI I NĂM H C 2006 -2007 BÀI 1: (3 ñi m) Tìm t t c các giá tr a sao cho b t phương trình sau có m t s h u h n nghi m và tính các nghi m này: ( ) ( ) tan 2 cos 4π 2 − x 2 − 4a.tan cos 4π 2 − x 2 + 2 + 2 a ≤ 0 . BÀI 2: (3 ñi m) x 3 2x V i nh ng giá tr nào c a a thì hàm s f ( x ) = x (1 − a ) + 3 (1 − 2a ) sin + sin + π a có không quá 3 2 3 hai ñi m c c tr trên kho ng ( π ; 5π ) ? BÀI 3: (4ñi m) ð thi HSG môn Toán Trang 1
  2. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá V i nh ng giá tr nào c a a t p h p nghi m c a b t phương trình sau ch a không quá b n giá tr x nguyên. x(x − 4) + a 2 (a + 4) ≤ ax(a + 1) . ðÁP ÁN BÀI 1 (3 ñi m) ( ) ð t t = tan cos 4π 2 − x2 , v i t ≤ ta n 1 . D th y r ng v i t0 ∈ [ −tan1, tan1] phương trình ( ) tan cos 4π 2 − x2 = t0 có s nghi m h u h n. Do ñó ta tìm t t c a sao cho h t 2 − 4at + 2 + 2a ≤ 0   −tan1 ≤ t ≤ tan1 có s nghi m h u h n. ði u này ch có th khi h có ñúng m t nghi m. N u bi u th c ∆ c a tam th c b c hai tương ng âm thì rõ ràng h vô nghi m. 1 N u ∆ = 0, t c là a = 1 hay a = − , thì nghi m c a b t phương trình th nh t c a h s ch là 2 1 1 m t ñi m t = 2a. T hai giá tr tìm ñư c c a a ch có a = − là thích h p, v i a = − ta ñư c 2 2 π ( t = 1 ∈ [ −tan1; tan1] t ñây suy ra tan cos 4π 2 − x2 = 1 hay cos 4π − x = − 2 2 ) 4 + nπ , v i n ∈ Z . π Phương trình này có nghi m ch khi n = 0. Lúc ñó cos 4π 2 − x 2 = − hay 4  π 4π 2 − x 2 = ± π − arccos  + k 2π , v i k ∈ Ζ . D th y r ng phương trình này có nghi m:  4 π 2  x = ± 4π −  π ± arccos  2 .  4 N u ∆ > 0 thì nghi m c a b t phương trình s là ño n [t1 ,t 2 ] , ño n này ph i có ch m t ñi m chung v i ño n [ −tan1, tan1] . Suy ra t1 = tan1 hay t2 = -tan1 . Lúc ñó giá tr c n tìm c a tham s ñư c tìm b ng cách gi i t p h p hai h sau :  f ( tan1) = 0  f ( −tan1) = 0  hay  v i f(t) = t2 – 4at +2 + 2a .  tan1 < t0  −tan1 > t0  tan 21 + 2  − ( tan 21 + 2 )  a = 4tan1 − 2  a =  Suy ra  hay  4tan1 + 2 .  a > 1 tan1  a < − 1 tan1   2   2 D th y r ng h th nh t có nghi m , còn h th hai vô nghi m. Giá tr v a tìm c a tham s tương ( ) ng t = tan1. Suy ra tan cos 4π − x = tan1, cos 4π 2 − x 2 = 1 + nπ , n ∈ Ζ . Phương trình này ch có 2 2 ba nghi m x1 = 0 , x2 = -2 π , x3 = 2 π . K t lu n : π 2 1  N ua= thì x = ± 4π −  π ± arccos  2 . 2  4 ð thi HSG môn Toán Trang 2
  3. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá tan 1 + 2 2 N u a= , thì x1 = 0 , x2 = -2 π , x3 = 2 π . 4tan1 − 2 V i các giá tr còn l i c a a phương trình vô nghi m ho c có vô s nghi m . BÀI 2 (3 ñi m) Ta có f ' ( x ) = 1 − a + (1 − 2a ) cos + cos . Nghi m c a phương trình f ( x ) = 0 s là các ñi m x 2x ' 3 3 t i h n c a hàm f . Ta vi t : 1 − a + (1 − 2a )cos + cos x 2x =0 3 3  x 1 cos 3 = − 2 . D th y r ng phương trình này tương ñương v i t p h p:  x  cos = a  3 Phương trình th nh t c a t p h p có hai nghi m x1= 2π và x2 = 4π trên kho ng ( π , 5π ). Các  x 1   ñi m này là ñi m t i h n c a hàm f . Khi vi t ñ o hàm dư i d ng f ( x ) = 2 cos x ' +  cos − a   3 2  3  1 1 d th y r ng các ñi m t i h n tr thành ñi m c c tr ch khi a ≠ − (n u a = − thì ñ o hàm không ñ i 2 2 d u , và do ñó hàm f không có ñi m c c tr ). 1 Như v y n u a ≠ − thì hàm f có ít nh t hai ñi m c c tr trên kho ng ñư c xét . Do ñó , c n tìm 2 các giá tr a sao cho phương trình th hai không có thêm ñi m c c tr . x  1 Trên kho ng ( π , 5π ) hàm y = cos nh n t t c các giá tr thu c ño n  −1;  3  2 9 8 7 6 5 4 3 2 1 E -4 -2 F 2 4 6 8 D 10 12 14 16 -1 -2 -3 -4 1 N u a ∈  − 1,  và a ≠ − thì hàm f s có 4 c c tr . Có nghĩa là v i nh ng giá tr a khác hàm 1    2 2 f s có không quá hai c c tr . 1 1 K t lu n : a ≥ , a = − , a ≤ −1 . 2 2 ð thi HSG môn Toán Trang 3
  4. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá BÀI 3 (4 ñi m)  x ≤ a2  x≥a 2 B t phương trình ñã cho tương ñương v i t p h p hai h :  hay  . Nh t p x ≥ a + 4 x ≤ a + 4 h p này ta bi u di n nghi m c a b t phương trình ban ñ u. K các ñư ng th ng x = k , v i k ∈Ζ. 14 12 10 8 x=a+4 6 x=a2 4 2 -5 5 A 10 15 - 6 12 Lúc ñó giá tr a0 mà v i nó ñư ng th ng a = a0 c t các ñư ng th ng x = k không quá 4 ñi m trong t p h p ñã ñư c ñánh d u, s là giá tr c n tìm. Căn c vào hình v ta có các giá tr a c n tìm là : − 6 < 0 , 0 < a
  5. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá  f (1) = 5   4  f (x ) − x f ( x) = x 2 − 4 x, ∀ x > 0. 2 2  Câu 4: (4 ñi m) Trên m t ph ng cho hình vuông ABCD c nh a và ñi m M thay ñ i. Tìm giá tr nh nh t c a m i t ng sau: 1) T2 = 2.MA2 + MB2 + MC2 + MD2. 2) T1 = 2.MA + MB + MC + MD. Câu 5: (4 ñi m) Cho t p h p A = {0,1,2,…,2006}. M t t p con T c a A ñư c g i là t p con “ngoan ngoãn” n u v i b t kì x, y ∈ T (có th x = y) thì | x – y | ∈ T. 1) Tìm t p con “ngoan ngoãn” l n nh t c a A và khác A. 2) Tìm t p con “ngoan ngoãn” bé nh t c a A ch a 2002 và 2005. 4. ð THI H C SINH GI I KH I 12 (2006-2007) x x−1 Bài 1: (4ñ) Gi i phương trình : ( 3) − 2 = 1.  3x + 2 y  ≤ 6 Bài 2: (4ñ) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c x 2 + y 2 n u:  .  7x − 3y  ≤ 4  1  x1 = Bài 3: (4ñ) Cho dãy x 1 , x 2 ,....., x n , v i  2 . Hãy tìm ph n nguyên c a A x n +1 = x n + x n , (n = 1,2,....)  2 1 1 1 bi t A = + + ....+ . x1 +1 x 2 +1 x100 +1  1  a1 =  2 Bài 4: (4ñ) Cho dãy (a n ) v i :  . Ch ng minh t ng t t c các s h ng c a dãy nh a 1− 1− a2 = n  n +1  2 hơn 1,03. Bài 5: (4ñ) Cho t di n ABCD trong tam giác BCD ch n ñi m M và k qua M các ñư ng th ng song song v i các c nh AB,AC,AD c t các m t (ACD), (ABD) và (ABC) t i A 1 , B 1 , C 1 . Tìm v trí c a M ñ th tích hình t di n MA 1 B 1 C 1 l n nh t. 5. THI H C SINH GI I L NG SƠN 1− x2 Câu 1: Gi i BPT: ln( x 4 + 2 x 3 + 2 x 2 − 2 x + 1) − ln( x 3 + x 2 ) ≤ ln . x Câu 2: Cho tam giác ABC ñ u. Tìm t p h p các ñi m M n m trong tam giác tho mãn h th c: MA 2 = MB 2 + MC 2 . ð thi HSG môn Toán Trang 5
  6. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá 1 1 Câu 3: Cho 2 s th c dương x, y tho mãn: x + y =1. Tìm min c a bi u th c: A= 2 + . x +y 2 8 xy  x1 = 2  Câu 4: Cho dãy ( x n ) xác ñ nh:  (n >0). Tìm lim x n .  xn +1 = 2 + xn  Câu 5: Cho tam giác ñ u ABC c nh b ng 1. Trên dt (d) vuông góc v i mf (ABC) t i A l y ñi m M tuỳ ý. G i H là tr c tâm tam giác MBC. Khi M ch y trên dt (d), tìm max V(HABC) Câu 6: Tìm các ña th c P(x) tho mãn: P(x+1)=P(x) +2x+1 Câu 7: V i m i s t nhiên n, g i P(n) là t p h p các s t nhiên k sao cho: 50 n < 7 k < 50 n +1 . Kí hi u S là s ph n t c a P(n). CMR v i m i s t nhiên n, ta có: S=2 ho c S=3; và CMR t n t i vô s s t nhiên k sao cho S = 3. 6. KỲ THI CH N HSG 12 T NH ð NG THÁP NĂM H C 2007-2008 Baøi 1: (5 ñieåm). a) Tìm taát caû caùc soá nguyeân m sao cho PT x2 + (m2 - m)x - m3+1 = 0 coù moät nghieäm nguyeân. b) Giaûi baát phöông trình. log2 ( 2 −1) x + 3 + 1 − log2 ( 2 +1) x ≤ 2 Baøi 2: (5 ñieåm). a) Giaûi phöông trình 4sin25x - 4sin2x + 2(sin6x + sin4x) + 1 = 0. b) Cho caùc soá thöïc x1,x2,… ,xn thoûa maõn sin2x1+2sin2x2 +…+ nsin2xn = a, vôùi n laø soá nguyeân döông, a laø n(n + 1) soá thöïc cho tröôùc, 0 ≤ a ≤ . Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa x1, x2, … , xn sao cho toång 2 S = sin2x1+2sin2x2 + … + nsin2xn ñaït giaù trò lôùn nhaát vaø tìm giaù trò lôùn nhaát naøy theo a vaø n. Baøi 3: (4 ñieåm). 1 1 1 3 a) Cho ba soá thöïc a,b,c thoûa abc =1 .Chöùng minh : + 6 2 + 6 2 ≥ . a (b + c ) b (c + a ) c (a + b ) 2 6 2 2 2 2 cot A(cot A + 2 cot B) A+ B b) Cho tam giaùc ABC nhoïn thoûa ñieàu kieän = 2 cot( ) − cot B. A+ B 2 2 cot( ) + cot B 2 Chöùng minh raèng ABC laø tam giaùc caân. Baøi 4: (2 ñieåm). Cho tam giaùc ABC, treân caùc caïnh BC, CA, AB laàn löôït laáy caùc ñieåm A’, B’, C’ sao cho AA’, BB’ vaø CC’ ñoàng qui taïi ñieåm M. Goïi S1, S2 vaø S3 laàn löôït laø dieän tích cuûa caùc tam giaùc MBC, MCA, MA ' MB ' MC ' MAB vaø ñaët = x, = y, = z. MA MB MC Chöùng minh raèng: (y + -1) S1+(x + z-1)S2 +(x + y -1)S3 = 0. u = 1 1 Baøi 5: (2 ñieåm).  Cho daõy {un} , n laø soá nguyeân döông , xaùc ñònh nhö sau :  1 + u.n − 1 2 un +1 = .  un Tính un vaø chöùng minh raèng u1 + u2 +…+ un ≥ 1 + π [1 − ( 1 ) n−1 ] .un > 0  Baøi 6: (2 ñieåm). 4 2 Cho ña thöùc f(x)=x3+ ax2 + bx + b coù ba nghieäm x1, x2, x3 vaø ña thöùc g(x) = x3+ bx2 + bx + a. Tính toång S = g(x1) + g(x2) + g(x3) theo a, b. ð thi HSG môn Toán Trang 6
  7. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá HÖÔÙNG DAÃN CHAÁM VAØ BIEÅU ÑIEÅM MOÂN TOAÙN Baøi 1: (5 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm a)(3 ñieåm) + Bieán ñoåi: x(x+m2) -m(x+m2) = -1. 0.5 + (x+m2)(x-m) = -1. 0.5 + x + m2 = 1 (a) 0.5   x − m =2 −1  x + m = −1 hoaëc  (b) x − m = 1 0.5 +Giaûi (a) m =1 hoaëc m =-2. 0.5 +Giaûi (b) voâ nghieäm. 0.5 +Vaäy m =1 hoaëc m =-2. Caâu Ñaùp aùn Ñieåm b)(2 ñieåm) + Bieán ñoåi: log 2 ( 2 − 1) x + 3 + log 2 ( 2 + 1) x − 1 ≤ 2 (1) 0.5 +Vì (log 2 ( 2 − 1) x + 3)(log 2 ( 2 + 1) x − 1) ≥ 0 ⇔ log 2 ( 2 − 1) x + 3 + log 2 ( 2 + 1) x − 1 = 2, A + B ≥ A + B 0.5 neân + ( − log 2 ( 2 + 1) x + 3)(log 2 ( 2 + 1) x − 1) ≥ 0 ⇔ 0.5 1 ≤ (log 2 ( 2 + 1) ≤ 3 x +Vaäy log 2 +1 2 ≤ x ≤ 3log 2 +1 2 0.5 Baøi 2: (5 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm ð thi HSG môn Toán Trang 7
  8. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá 2 2 2 a)(2 ñieåm) Bieán ñoåi 4sin 5x+1-sin x+4sin5xcosx=3sin x 4sin25x+4sin5xcosx+cos2x=3sin2x (2sin5x+cosx)2=3sin2x 0.5 2 sin 5 x + cos x = ± 3 sin x ⇔ 3 1 sin 5 x = ± sin x − cos x ⇔ 0.5 2 2 π sin 5 x = sin( x − ) 6 5π 0.5 sin 5 x = sin( x − ) 6 Vaäy nghieäm π π hoaëc 7π π hoaëc x=− +k x= +k 24 2 36 3 5π π x=− +k hoaëc 11π π 0.5 24 2 x= +k 36 3 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm b)(3 ñieåm) + Bieán ñoåi S = 2(sin x1 cos x1 + 2 sin x2 . 2 cos x2 + ... + n sin xn . n cos xn ) 0.5 +Baát ñaúng thöùc Bunhiacopxki ,ta coù: S ≤ 2 (sin2 x1 + 2 sin2 x2 + ... + n sin2 xn )(cos2 x1 + 2 cos2 x2 + ... + n cos2 xn ) S ≤ 2 a(1 − sin 2 x1 + 2 − 2 sin 2 x2 + ... + n − n sin 2 xn ) 0.5 S ≤ 2 a[(1 + 2 + ... + n) − (sin x1 + 2 sin x2 + ... + n sin xn )] 2 2 2 0.5 n(n + 1) S ≤ 2 a[ − a] 0.5 2 +Daáu = x õy ra khi sin x1 = 2 sin x2 = ... = n sin xn cos x1 2 cos x2 n cos xn hay  tan x1 = tan x2 = ... = tan xn  2 sin x1 + 2 sin x2 + ... + n sin xn 2 2 sin 2 x > 0  i hay  x1 = x2 = ... = xn = α  n(n + 1)   sin 2 α = a 0.5  2 0 ≤ 2 xi ≤ π  ð thi HSG môn Toán Trang 8
  9. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá  0.5  x1 = x2 = ... = xn = α  n(n + 1)  2a Vaäy Max S= 2 a[ − a ] khi sin α = 2  n(n + 1)  π 0 ≤ α ≤  2 Baøi 3: (4 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm a)(2 ñieåm) Aùp duïng baát ñaúng thöùc Bunhiacopxki ,ta coù 1 ( 6 2 2 + 6 2 1 + 1 4 )(a 2 (b2 + c 2 ) + b2 (c 2 + a 2 ) + c 2 (a 2 + b 2 )) ≥ 0.5 a (b + c ) b (c + a 2 ) c 6 (a 2x+= 2 ) . b 3 1 1 1 ≥( .a b 2 + c 2 + .b c 2 + a 2 + .c a 2 + b 2 ) 2 = a b +c3 2 2 b 3 c +a 2 2 c 3 a 2 + b2 1 1 1 = ( 2 + 2 + 2 )2 a b c b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2 2 =( ) 0.5 a 2b 2 c 2 = (b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2 ) 2 ⇒ 1 1 1 (b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2 ) 2 0.5 ( + 6 2 + 6 2 )≥ 2 2 2 = a (b + c ) b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) + b 2 (c 2 + a 2 ) + c 2 ( a 2 + b 2 ) 6 22 2 2 b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2 b 2 3 3 a 4b 4 c 4 3 = ≥ = . 0.5 2 2 2 Caâu Ñaùp aùn Ñieåm b)(2 ñieåm) +Bieán ñoåi ,ta coù A+ B A+ B 0.5 (cot A + cot B)2 = 4cot 2 ( ) ⇔ cot A + cot B = 2cot( ) 2 2 +Bieán ñoåi veá traùi sin( A + B) 2sin( A + B) 2sin( A + B) cot A + cot B = = ≥ sin A sin B cos( A − B) − cos( A + B) 1 − cos( A + B) 0.5 + ( A + B) ( A + B) 0.5 4sin cos 2 2 ( A + B) cot A + cot B ≥ = 2 cot ( A + B) 2 2 sin 2 2 + Daáu = xaõy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B 0.5 Vaäy tam giaùc ABC caân taïi C. ð thi HSG môn Toán Trang 9
  10. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá Baøi 4: (2 ñieåm). Caâu Ñaùp aùn Ñieåm 2 ñieåm + Goïi S laø dieän tích tam giaùc ABC,ta coù S = S + S + S 1 2 3 s1 MA' s AA' = ⇒ = Ta coù s AA' s1 MA' 0.5 s − s1 AA'− MA' MA 1 +Suy ra = = = s1 MA' MA' x s s1 0.5 +Suy ra 1 = x ⇒ = x ⇒ s1 = x( s2 + s3 ) . s − s1 s2 + s3 +Töông töï s2 = y(s3 + s1), s3 = z(s1 + s2 ); S = s1 + s2 + s3 = x(s2 + s3 ) + y(s3 + s1) + z(s1 + s2 ) Vaäy (y+z-1) s1+(x+z-1)s2 +(x+y-1)s3 =0 0.5 0.5 Baøi 5: (2 ñieåm). Caâu Ñieåm Ñaùp aùn 2 ñieåm +Ñaët π un = tan α > 0, 0 < α < 2 ta coù 1 −1 0.5 1 + tan 2 α − 1 cos α α un +1 = = = tan tan α sin α 2 cos α +Vì π 0 < α < ⇒ α < tan α 2 sn = u1 + u 2 + ... + u n maø π π π π 0.5 u1 = 1 = tan = tan ⇒ u2 = tan 2 ,..., un = tan 4 2.2 2.2 2.2n + π π π sn = tan + tan 2 + ... + tan ≥ 0.5 2.2 2.2 2.2n π π π 1 1 π 1 ≥ 1+ 2 + ... + n = 1 + ( 2 + ... + n ) = 1 + (1 − ( ) n −1 ) 0.5 + Suy ra ñpcm 2.2 2.2 2 2 2 4 2 Baøi 6: (2 ñieåm). Caâu Ñieåm Ñaùp aùn ð thi HSG môn Toán Trang 10
  11. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá 2 ñieåm +Theo ñònh lyù Vi eùt,ta coù p1=x1+x2+x3=-a ; p2=x1x2+x2x3+x3x1=b, p3=x1x2x3=-b. 0.5 +Ta coù 2 x1 + x2 + x3 = p12 − 2 p2 = a 2 − 2b 2 2 x13 + x2 + x3 = p13 − 3 p1 p2 + 3 p3 = −a 3 + 3ab − 3b 3 3 0.5 + = ( x 3 + x 3 + x 3 ) + b( x 2 + x 2 + x 2 ) + b( x + x + x ) + 3a S 0.5 1 2 3 1 2 3 1 2 3 + S = (− a 3 + 3ab − 3b) + b(a 2 − 2b) + b(−a ) + 3a 0.5 S = (a − b)(−a 2 + 2b + 3) Chuù yù : hoïc sinh coù theå ñöa ra phöông aùn giaûi quyeát vaán ñeà khaùc neáu keát quaû ñuùng, hôïp loâ gic khoa hoïc vaãn cho ñieåm toái ña cuûa phaàn ñoù. 7. KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH HÀ N I 1995 Bài I. Xét ñư ng cong: y = mx3 − nx 2 − mx + n (C). Tìm các c p s (m; n) sao cho trong các giao ñi m c a (C) v i tr c hoành có hai giao ñi m cách nhau 1995 ñơn v và kho ng cách t tâm ñ i x ng c a (C) ñ n tr c hoành là 2000 ñơn v . Bài II  π V i nh ng giá tr nào c a m thì ∀ x ∈  0;  ta luôn có: m sin 3 α + 2mcos 2α ≤ 3m sin α cos 2α .  2 Bài III ai 3 Cho hai dãy s ( an ) và ( bn ) trong ñó v i m i i = 1, 2, 3… ta luôn có: ai +1 = ai − và bi = ai . 4 Ch ng minh r ng: có ít nh t m t giá tr c a a i sao cho dãy ( bn ) có gi i h n khác 0. Bài IV x2 y 2 Cho hình Elíp + = 1 v i tâm O và các tiêu ñi m F1 , F2 . Qua O, F1 v các ñư ng song song a 2 b2 OM .OM ' MOM', MF1N'. Tính t s : . F1 N .F1 N ' 8. KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH HÀ N I 1996 Bài I 3 Cho dãy ( xn ) xác ñ nh b i ñi u ki n: x1 = a ; xn +1 − xn 2 + xn = ; ( n = 1; 2; 3…). 4 Tìm giá tr c a a sao cho: x1996 = x1997. ð thi HSG môn Toán Trang 11
  12. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá Bài II Hàm s f(x) ñư c xác ñ nh b ng h th c: f (1 − x) + 2 f ( x) = sin 2 x . 2 Ch ng minh r ng: s inf(x) < . 2 Bài III Cho phương trình: cos 2 x + ( m + 3) cos 2α = 8sin 3 α − 2 cos 2 x + 2m sin α + m + 4 . Hãy xác ñ nh giá tr c a m sao cho v i m i giá tr c a α thì phương trình có nghi m. Bài IV Trên m t ph ng to ñ vuông góc Oxy, cho các ñi m A(-1; 0); B(2; 0); H(-2; 0); và M(-1; -0,6). K ñư ng th ng ( ∆ ) vuông góc v i AB t i H và ñư ng tròn (C) nh n AB làm ñư ng kính. Tìm qu tích tâm I c a ñư ng tròn ti p xúc v i ( ∆ ) và ti p xúc trong v i (C) sao cho ñi m M n m bên ngoài ñư ng tròn (I). 9. KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH HÀ N I 1997 e2 x Câu 1 (5 ñi m): Cho hàm s f ( x ) = 2 . e +e 1. Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a hàm s trên ño n ln 2;ln 5  .   1  2   3   1996   1997  2. Tính t ng S = f ( )+ f + f  + ... + f + f . 1998  1998   1998   1998   1998  Câu 2 (5 ñi m): Tìm a ñ phương trình sau có ñúng 3 nghi m: 2− x −sin a +1 − x2 − 4 x 3 ( ) ( ) logπ x 2 + 4 x + 6 + 3 logπ 1 2 ( x − sin a + 1 + 1) =0. Câu 3 (5 ñi m): π π Cho ≤ x1 , x2 , x3 , x4 ≤ . Ch ng minh r ng: 6 4 ( ) 2  1 1 1 1  4 3+1 ( cotx1 +cotx 2 +cotx 3 +cotx 4 )  + + + ≤ .  cotx1 cotx 2 cotx 3 cotx 4  3 Câu 4 (5 ñi m): 3 17 Trong h to ñ tr c chu n xOy cho ñư ng th ng (d) có phương trình: y = x+ . 4 12 1. Tìm ñi m M(a; b) v i a, b ∈ Z sao cho kho ng cách t M t i (d) nh nh t và ñ dài ño n OM ng n nh t. 2. Cho ñư ng tròn (C) tâm M(-2; 0) ti p xúc v i Oy. Tìm t p h p tâm các ñư ng tròn ti p xúc v i Ox và ti p xúc ngoài v i ñư ng tròn (C). ð thi HSG môn Toán Trang 12
  13. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá 10. KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH HÀ N I 1998 Câu 1 (5 ñi m): Cho h ñư ng cong (Cm): y = x 3 − 3 x 2 + mx + 4 − m ( m là tham s ). ðư ng th ng (d): y=3-x c t m t ñư ng cong b t kỳ (C) c a h (Cm) t i 3 ñi m phân bi t A, I, B (theo th t ), ti p tuy n t i A và ti p tyu n t i B c a (C) l n lư t c t ñư ng cong t i ñi m th hai là M và N. Tìm m ñ t giác AMBN là hình thoi. Câu 2 (5 ñi m):  x − y s inx e = siny   ( Gi i h phương trình: 10 x 6 + 1 = 3 y 4 + 2 . )  π < x; 5π y<   4 Câu 3 (5 ñi m): 1 1 1 Ch ng minh b t ñ ng th c: + + > 2 , v i ∀a làm v trái có nghĩa. 1 + cos4a 1 + cos8a 1 − cos12a Có th thay s 2 v ph i b ng m t s vô t ñ có m t b t ñ ng th c ñúng và m nh hơn không? Câu 4 (5 ñi m): Cho 2 ñư ng tròn thay ñ i (C) và (C') luôn ti p xúc v i m t ñư ng th ng l n lư t t i 2 ñi m A và A' c ñ nh. Tìm qu tích giao ñi m M c a (C) và (C') bi t r ng chúng luôn c t nhau dư i m t góc α cho trư c ( α là góc t o b i hai ti p tuy n c a hai ñư ng tròn t i M ). 11. KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH HÀ N I 1999 Câu 1 (5 ñi m): x Cho hai hàm s f ( x) = và g ( x) = arctanx . 1+ x 1. Cmr: ñ th c a chúng ti p xúc nhau. 2. Gi i b t phương trình: f ( x) ≥ g ( x) + x . Câu 2 (5 ñi m): Cho tam giác ABC tho mãn: ( 4 ma 2 + mb 2 + mc 2 ) = 3 ( abc ) 2 cot A B C cot cot . 3 ( cot A + cot B + cot C ) 2 2 2 Cmr: tam giác ABC ñ u. Câu 3 (5 ñi m): Tìm tham s a sao cho phương trình sau có ít nh t m t nghi m nguyên  a 2 + 4π 2 + 4  log 1   4 x − x − 2 ( a − 2π ) x − 2 + 4π a  2  − ( x − 5a + 10π − 34 ) ( π − x − a + 2 + π ) = 0 . π   ð thi HSG môn Toán Trang 13
  14. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá Câu 4 (5 ñi m): Trong h to ñ tr c chu n Oxy cho ñư ng tròn (C) có phương trình: x 2 + y 2 = 4 . 1. Tìm tham s m ñ trên ñư ng th ng y = m có ñúng 4 ñi m sao cho qua m i ñi m có 2 ñư ng th ng t o v i nhau góc 450 và chúng ñ u ti p xúc v i ñư ng tròn (C). 2. Cho 2 ñi m A(a;b), B(c;d) thu c ñư ng tròn (C) ch ng minh: 4 − a − b 3 + 4 − c − d 3 + 4 − ac − bd ≤ 3 6 . 12. KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH HÀ N I 2001 Câu 1 (4 ñi m): Cho hàm s y = x 4 − 2m 2 x 2 + n . Tìm các giá tr c a tham s m và n ñ ñ th có 3 ñi m c c tr là các ñ nh c a m t tam giác ñ u ngo i ti p m t ñư ng tròn có tâm là g c to ñ . Câu 2 (4 ñi m): −1 a 2a 3 + 1 Tìm t t c các giá tr c a a và b tho mãn ñi u ki n a ≥ và > 1 sao cho bi u th c P = ñ t 2 b b (a − b) giá tr nh nh t. Tìm giá tr nh nh t ñó. Câu 3 (4 ñi m): 2 + log 3 x 6 Gi i b t phương trình: < . x −1 2x −1 Câu 4 (4 ñi m): Tìm các giá tr c a x, ñ v i m i giá tr c a y luôn t n t i giá tr c a z tho mãn: 3 y− 1  π sin ( x + y + z ) = y + cos  2x+  + 2 . 2  3  2cosx Câu 5 (4 ñi m): Cho Elíp (E) có 2 tiêu ñi m là F1 và F2. Hai ñi m M và N trên (E). Ch ng minh r ng: 4 ñư ng th ng MF1, MF2, NF1, NF2 cùng ti p xúc v i m t ñư ng tròn. 13. KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH HÀ N I 2003 Câu 1 (4 ñi m): Gi i và bi n lu n theo tham s a s nghi m c a phương trình: (n + 2) x n +3 − 2003(n + 3) x n + 2 + a n +3 = 0 (v i n là s t nhiên l cho trư c). Câu 2 (4 ñi m): ð thi HSG môn Toán Trang 14
  15. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá Cho ñư ng cong (C) có phương trình y = − x + 4 x − 3 .Tìm m và n ñ ñư ng th ng y = mx + n c t ñư ng 4 2 1 cong (C) t i 4 ñi m phân bi t A, B , C, D ( theo th t ) sao cho AB = CD = BC . 2 Câu 3 (4 ñi m): Cho tam giác ABC có tr ng tâm G. G i R và R' l n lư t là bán kính ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và bán kính ñư ng tròn ngo i ti p tam giác có ñ dài 3 c nh là GA, GB, GC. Ch ng minh n u có 9R'= 2R(sinA+sinB+sinC) thì tam giác ABC ñ u. Câu 4 (4 ñi m): Gi i các phương trình sau: 1./ 2cosx+sin19x-5 2 = sin 21x − 3 2 sin10 x . 2./ 32 x 5 − 40 x 3 + 10 x − 3 = 0 . Câu 5 (4 ñi m): Trong m t ph ng to ñ Oxy cho Parabol (P): y 2 = 2 px (p > 0), tiêu ñi m là F. T m t ñi m I k 2 ñư ng th ng ti p xúc v i (P) t i M và N. 1. Cmr: ∆FIM ñ ng d ng v i ∆FIN . 2. M t ñư ng th ng (d) tuỳ ý ti p xúc v i (P) t i T và c t IM, IN t i Q và Q'. FQ.FQ' Cmr: không ph thu c v trí c a (d). FT 14. KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH HÀ N I 2004 Bài 1 (4 ñi m): 4 5 m2 3 Cho hàm s : f(x) = mx 4 − x + 1 và g ( x) = x − 2004 x − 12 có ñ th là (C) và (C’). H y tìm t t c 5 3 cac giá tr c a tham s m ñ t n t i 4 ñư ng th ng khác nhau, cùng song song v i tr c tung và m i ñư ng trong chúng ñ u c t (C) và (C’) t i hai ñi m sao cho ti p tuy n tương ng c a (C)và (C’) t i hai ñi m ñó song song v i nhau. Bài 2 (4ñi m): Cho b t phương trình: x 2 x − x 2 < x 2 − ax 2 x + a 2 x 2 x − x 2 . 1.Gi i bpt khi a = -1. 2.Tìm a ñ bpt có nghi m x >1. Bài 3 (4ñi m): 2x 2x ( x )2 −3 9− 4( x ) Gi i phương trình: 3cos + 2sin =2π +2 π . Bài 4 (4ñi m): 3 3 M t t giác có ñ dài ba c nh b ng 1 và di n tích b ng . Hãy tính ñ dài c nh còn l i và ñ l n các 4 góc c a t giác ñó. Bài 5 (4ñi m): ð thi HSG môn Toán Trang 15
  16. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá Cho t di n ABCD DA = a, DB = b, DC = c ñôi m t vuông góc v i nhau. M t ñi m M tuỳ ý thu c kh i t di n. 1.G i các góc t o b i tia DM v i DA, DB, DC là α , β , γ . Cmr: sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2 . 2.G i S A , S B , S C , S D l n lư t là di n tích các m t ñ i di n v i ñ nh A, B, C, D c a kh i tư di n. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: Q = MA.S A + MB.S B + MC.S C + MD.S D . 15. KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH HÀ N I 2006 Câu 1 (5 ñi m): G i ( Cm ) là ñ th c a hàm s y = x 4 − 6m 2 x 2 + 4mx + 6m 4 ( m là tham s ). 1. Tìm các giá tr c a m ñ ( Cm ) có 3 ñi m c c tr A, B, C. 2. Ch ng minh r ng tam giác ABC có tr ng tâm c ñ nh khi tham s m thay ñ i. Câu 2 (3 ñi m): Gi i các phương trình sau: 1. 15 x5 + 11x 3 + 28 = 1 − 3 x . 2. ( 4 x − 1) 1 + x 2 = 2 x 2 + 2 x + 1 . Câu 3 (3 ñi m): Tam giác ABC có ñ dài các c nh là a, b, c và bán kính R c a ñư ng tròn ngo i ti p tho mãn h th c: bc 3 = R  2 ( b + c ) − a  . Ch ng minh r ng tam giác ñó là tam giác ñ u.   Câu 4 (4 ñi m): Tìm các giá tr c a tham s a ñ h phương trình sau có nghi m:  πy πy πy π ( x − 2 y − 1)  12 cos − 5 − 12 cos − 7 + 24 cos + 13 = 11 − sin  2 2 2 3  .  3 2  x + ( y − a )  − 1 = 2 x + ( y − a ) − 2 2 2 2    4 Câu 5 (5 ñi m): Cho t di n ñ u ABCD có c nh b ng 1. Các ñi n M, N l n lư t chuy n ñ ng trên các ño n AB, AC sao cho m t ph ng (DMN) luôn vuông góc v i m t ph ng (ABC). ð t AM = x, AN = y. 1. Cmr: m t ph ng (DMN) luôn ch a m t ñư ng ph ng c ñ nh và x + y = 3xy. 2. Xác ñ nh v trí c a M, N ñ di n tích toàn ph n t di n ADMN ñ t giá tr nh nh t và l n nh t.Tính các giá tr ñó. 16. ð THI TH HSG VÒNG T NH L N 3 - THPT CAO LÃNH 2 NĂM 2008 Bài 1: (2.0 ñi m) V i a,b,c > 0 th a mãn ñi u ki n abc =1. Ch ng minh r ng: ð thi HSG môn Toán Trang 16
  17. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá 3 3 3 a b c 3 + + ≥ . (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a)(1 + b) 4 Bài 2: (3.0 ñi m) Gi i phương trình: log 2x + ( x-5 ) log 2 x-2x + 6 = 0 . 2 Bài 3: (3.0 ñi m) Tìm ña th c P (x) th a mãn ñi u ki n:  P(3) = 6   .  xP( x −1) = ( x − 3) P( x), ∀x ∈ R  Bài 4: (2.0 ñi m) Cho dãy s dương ( x ) xác ñ nh xác ñ nh như sau: n x = 1  0  .  x1 = 45   xn+ 2 = 45 xn+1 − 7 xn  (n ≥ 0) 1) Xác ñ nh s h ng t ng quát x theo n n 2) Tính s ư c dương c a bi u th c x 2 − x .x . n +1 n n+ 2 Bài 5: (3.0 ñi m) Cho t giác ABCD n i ti p trong ñư ng tròn tâm O. Các ñư ng th ng AB,CD, c t nhau E, AD, BC c t nhau F, AC, BD c t nhau M. Các ñư ng tròn ngo i ti p c a các tam giác CBE, CDF c t nhau N. Ch ng minh r ng O,M, N th ng hàng. Bài 6 : (2.0 ñi m) Tìm nghi m nguyên c a phương trình x3 + (x + 1)3 + ... + (x + 7)3 = y3 (1). Bài 7: (2.0 ñi m) Ch ng minh r ng, Trong m i tam giác ta luôn có: sin A sin B sin C + + cosx, ∀x ∈ (0; ). x 2 Bài 2. ( 6.0 ñi m ) 1. Cho hai s th c x , y tho mãn: x ≥ 0; y ≥ 1; x + y = 3 . Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c: P = x3 + 2 y 2 + 3 x 2 + 4 xy − 5 x .  e x− y = s inx  siny   2. Gi i h phương trình 3 8x 2 + 3 + 1 = 6 2 y 2 − 2 y + 1 + 8 y .  π  x, y ∈ (0; )   4 ð thi HSG môn Toán Trang 17
  18. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá Bài 3. ( 2,5 ñi m ) 1 Ch ng minh r ng: v i m i s nguyên dương n luôn t n t i duy nh t s th c xn sao cho xn − xn + n = 0. 2008 Xét dãy s ( xn )tìm gi i h n : lim( xn +1 − xn ) . Bài 4. ( 5,5 ñi m ) 3 a) Trong m t ph ng to ñ Oxy cho tam giác ABC có di n tích b ng . Bi t A(2;-3) , B(3,-2) và tr ng 2 tâm G thu c ñư ng th ng d có phương trình : 3x – y – 8 = 0. Tính bán kính ñư ng tròn n i ti p △ABC. b) Trong m t ph ng có ñư ng tròn tâm O , bán kính R và ñư ng th ng d ti p xúc v i ñư ng tròn (O,R) t i ñi m A c ñ nh . T ñi m M n m trên m t ph ng và ngoài ñư ng tròn (O,R) k ti p tuy n MT t i ñư ng tròn (O, R) (T là ti p ñi m). G i H là hình chi u vuông góc c a M lên d. Ch ng minh r ng ñư ng tròn tâm M có bán kính MT luôn ti p xúc v i m t ñư ng tròn c ñ nh khi M di ñ ng trên m t ph ng sao cho: MT = MH. 18. KỲ THI CH N H C SINH GI I L P 12 THPT 2007 QU NG NAM x−4 Câu 1 (3 ñi m): Gi i b t phương trình sau : ( x − 1 ) +2 ≥0. x −1 Câu 2 (3 ñi m): Gi i h phương trình sau :  x 2 y 2 − 2x + y 2 = 0   3 . 2x + 3x + 6 y −12x + 13 = 0 2  Câu 3 (3 ñi m): Tìm t t c các hàm s f th a mãn :  x−3  x+3 f + f   = x, ∀x ∈ R , x ≠ 1 .  x +1   1− x  Câu 4 (3 ñi m): Tìm t t c các nghi m nguyên c a phương trình: x2 – 4xy + 6y2 – 2x – 20y = 29. Câu 5 (3 ñi m): Tìm s h ng t ng quát un c a dãy s (un) th a mãn ñi u ki n sau: u1 = a, u2 = b, a ∈ R + , b ∈ R +   1 un + 2 = ( un .un +1 ) 3 , ∀n ∈ N * 2 .  Câu 6 (3 ñi m): Cho ∆ABC. Trên hai c nh AB và AC l n lư t l y ñi m D và E sao cho DE song song v i 1 c nh BC và ti p xúc v i ñư ng tròn n i ti p ∆ABC. Ch ng minh r ng: DE ≤ ( AB + BC + CA). 8 Câu 7 (2 ñi m): ð t x = a + b – c , y = a + c – b , z = b + c – a, v i a, b, c là các s nguyên t . Cho bi t x2 = y và hi u z − y là bình phương c a m t s nguyên t . Xác ñ nh t t c giá tr c a a, b, c. ð thi HSG môn Toán Trang 18
  19. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá 19. ð THI CH N H C SINH GI I B C PTTH TH A THIÊN HU NĂM H C 1999-2000. Bài 1: ( 2.5 ñi m) Cho phương trình: x − 34x + a − (x − 1)(x − 33) = 1 . 5 2 4 a/ Gi i phương trình khi a = 64. b/ Tìm a ñ phương trình có nghi m. Bài 2:(2.5 ñi m) Cho hai s a1, b1 v i 0 < b1 = a1 < 1. L p hai dãy s (an), (bn) v i n = 1, 2, .. 1 theo quy t c sau: a n +1 = (a n + b n ) , b n +1 = a n +1.b n . 2 Tính: lim a n và lim b n . n →+∞ n →+∞ Bài 3:(2.5 ñi m) Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không ñ ng ph ng và ba ñi m A, B, C ( khác ñi m 0) l n lư t trên Ox, Oy, Oz. Dãy s (an) là m t c p s c ng có a1 > 0 và công sai d > 0. V i m i s n nguyên dương, trên các tia Ox, Oy, Oz theo th t l y các ñi m An, Bn, Cn sao cho OA = an.OAn ; OB = an+1.OBn ; OB = an+2.OCn. Ch ng minh các m t ph ng (An, Bn, Cn ) luôn luôn ñi qua m t ñư ng th ng c ñ nh. Bài 4:(2.5 ñi m) T p h p M g m h u h n ñi m trên m t ph ng sao cho v i m i ñi m X thu c M t n t i ñúng 4 ñi m thu c M có kho ng cách ñ n X b ng 1. H i t p h p Mcó th ch a ít nh t là bao nhiêu ph n t ? HƯ NG D N CH M Bài 1: (2.5 ñi m) Câu a: ( 2 ñi m) +(0.25 ñ) ð t u = 5 x 2 − 34x + a v= 4 (x − 1)(x − 33) u 5 − (u − 1) 4 = a − 33 +(0.25 ñ) Ta có h  (I).  v = u −1 ≥ 0 +(1.00 ñ) Hàm s f(u) = u5 – (u – 1)4 có f’(u) = 5u4 – 4(u – 1)3 > 0 ∀u∈ [1; + ∞), nên f(u) tăng trên [1; + ∞). +(0.50 ñ) a = 64, f(u) = 31 = f(2) và f(u) tăng nên h (I) ch có m t nghi m: (u = 2,v = 1) t ñó ta có nghi m c a phương trình là: x = 17 ± 257 . Câu b: ( 0.5 ñi m) + f(u) tăng trên [1; + ∞) mà f(1) = 1 nên phương trình có nghi m khi a – 33 ≥ 1 hay a ≥ 34. Bài 2: (2.5 ñi m) π +(0.50 ñ) Tính a2, b2 v i 0 < b1 = a1 < 1 ta có th ch n 0 < a < sao cho: b1 = cosa, 2 suy ra a1 = cos2a. 1 1 a a 2 = (cos 2 a + cos a) = cos a(cosa + 1) = cosa.cos 2 2 2 2 a a b 2 = cos acos 2 cosa = cos acos 2 2 +(0.75 ñ) B ng quy n p, ch ng minh ñư c: ð thi HSG môn Toán Trang 19
  20. www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá a a a a a a n = cos aco s ...cos n −1 cos n −1 (1) b n = cos aco s ...cos n −1 (2) 2 2 2 2 2 a +(0.75 ñ) Nhân hai v c a (1) và (2) cho sin n −1 và áp d ng công th c sin2a ñư c: 2 a sin 2a.cos n −1 2 sin 2a an = , bn = . n a n a 2 .sin n −1 2 .sin n −1 2 2 +(0.50 ñ) Tính gi i h n: sin 2a sin 2a lim a n = , lim b n = n →∞ 2a n →∞ 2a Bài 3: (2.5 ñi m) +(0.50 ñ) Phát bi u và ch ng minh m nh ñ : N u hai ñi m X,Y phân bi t. ði u ki n c n và ñ ñ ñi m S thu c ñư ng th ng XY là t n t i c p s th c x, y th a:  OS = xOX + yOY  , v i ñi m O tùy ý. x + y = 1  a n +1 a n +(0.25 ñ) T gi thi t: (an) là c p s c ng công sai d > 0 nên: an+1 = an + d − = 1. d d +(0.75 ñ) áp d ng nh n xét trên, ta có: a a OI = n +1 OBn − n OA n thì I ∈ AnBn. d d và OA = a n OA n ; OB = a n +1 OBn ( do a n , a n +1 > 0) OB OA 1 Th vào trên ta ñư c: OI = − = AB , ∀n=1,2... suy ra I c ñ nh, nên ñư ng th ng AnBn luôn d d d ñi qua m t ñi m c ñ nh I. +(0.50 ñ) Tương t , ch ng minh ñư c: 1 • BnBn luôn ñi qua m t ñi m c ñ nh J xác ñ nh b i: OJ = BC . d 1 • AnCn luôn ñi qua m t ñi m c ñ nh K xác ñ nh b i: OK = AC 2d V y các ñư ng th ng AnBn, BnCn, AnCn l n lư t ñi qua ba ñi m I, J, K c ñ nh. +(0.50 ñ) Ch ng minh ba ñi m th ng hàng: 1 1 1 Ta có: OI = AB , OJ = BC , OK = AC . d d 2d 1 1 1 1 Do ñó: OK = AC = (AB + BC) = (d.OI + d.OJ) = (OI + OJ) 2d 2d 2d 2 V y I, J, K th ng hàng. ði u này ch ng t m t ph ng AnBnCn luôn ñi qua m t ñư ng th ng c ñ nh. Bài 4: (2.5 ñi m) +(0.50 ñ) Rõ ràng có ít nh t hai ñi m P,Q thu c M sao cho PQ ≠ 1. Ký hi u : MP = {X ∈ M / PX = 1}. T gi thi t |MP| = 4 ta có: |Mp ∩ Mq| ≤ 2. N u t n t i P, Q sao cho |Mp ∩ Mq| ≤ 1 thì M ch a ít nh t 9 ñi m. +(1.50 ñ) Trư ng h p v i m i P,Q sao cho PQ ≠ 1 và |Mp ∩ Mq| = 2. ð thi HSG môn Toán Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2