Một số kết quả của phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân hỗn hợp

Nguyễn Thị Vân Anh<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 86(10): 81 - 83<br /> <br /> MỘT KẾT QUẢ SỐ CỦA PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH<br /> BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN HỖN HỢP<br /> Nguyễn Thị Vân Anh*<br /> Trường Đại học Khoa học - ĐH Thái Nguyên<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp đơn điệu xuất hiện trong nhiều ứng dụng của toán học,<br /> chẳng hạn bài toán lồi, phương trình phi tuyến, mô hình cân bằng trong kinh tế và kĩ thuật. Bài<br /> toán này được phát biểu như sau: Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X  là không<br /> gian liên hợp của X , A : X  X  là một toán tử phi tuyến đơn điệu, hemi-liên tục,  : X  R là<br /> <br /> X . Với f  X <br /> <br /> một phiếm hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới trên<br /> <br /> cho trước, hãy tìm<br /> <br /> phần tử x0  X sao cho<br /> <br /> A( x0 )  f , x  x0   ( x)   ( x0 )  0 , x  X<br /> ở đây ta viết x  , x thay cho x (x) với x  X  và<br /> <br /> (1)<br /> <br /> x X .<br /> <br /> Mục đích của bài báo này là đưa ra một ví dụ minh họa cho tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh<br /> cho bài toán (1.1) với toán tử ngược đơn điệu mạnh.<br /> Từ khóa: Toán tử đơn điệu, bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, hiệu chỉnh Tikhonov, tốc độ hội tụ.<br /> <br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> Xét bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp đơn<br /> điệu (1.1) trong không gian Banach phản xạ thực X .<br /> Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.1) được trình bày<br /> trong [2]. Nếu A là đạo hàm Gâteaux của phiếm<br /> hàm lồi F xác định trên X thì bài toán (1.1) trở<br /> thành bài toán cực trị lồi không khả vi<br /> <br /> min F ( x)   ( x)<br /> <br /> (1.2)<br /> <br /> xX<br /> <br /> Bài toán (1.1) nói chung là một bài toán đặt không<br /> chỉnh theo nghĩa tập nghiệm S0 của bài toán không<br /> phụ thuộc liên tục vào dữ kiện<br /> <br />  A, f ,   . Để giải<br /> <br /> A( x)  A( y ), x  y  mA A( x)  A( y ) , x, y  D( A) ở<br /> 2<br /> <br /> mA là một hằng số dương.<br /> Định nghĩa 1.2. Ánh xạ U s : X  X * xác định bởi<br /> <br /> U s ( x)  x*  X * : x* , x  x*<br /> <br /> ở đây<br /> <br />  0<br /> <br /> đối ngẫu của<br /> <br /> là tham số hiệu chỉnh,<br /> <br /> X,<br /> <br />  A , f ,   là<br /> <br />  A, f ,   ,    h,  ,   .<br /> <br /> Định nghĩa 1.1. Toán tử<br /> i) đơn điệu nếu<br /> <br /> h<br /> <br /> U S là ánh xạ<br /> xấp xỉ của<br /> <br /> A : X  X  được gọi là<br /> <br /> . x  x , s2<br /> <br /> : X  X  là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục<br /> và là xấp xỉ của toán tử A sao cho:<br /> 1) Ah<br /> <br /> Ah ( x)  A( x)  hg x  , h  0,<br /> <br /> (1.4)<br /> ở<br /> <br /> đây<br /> <br /> g (t ) là hàm không âm thỏa mãn<br /> <br /> g (t )  g0  g1t ,   s  1, g 0 , g1  0 ;<br /> 2)<br /> <br /> f là xấp xỉ của<br /> f : f  f   ,   0 ;<br /> <br /> 3)  là hàm xác định trên<br /> như  , và<br /> <br /> X có tính chất giống<br /> <br />  ( x)   ( x)  d  x  ,   0,<br /> <br /> A( x)  A( y ), x  y  0, x, y  D( A) ;<br /> <br />  ( x)   ( y )  C x  y , x, y  X<br /> <br /> ii) ngược đơn điệu mạnh nếu<br /> <br /> <br /> s 1<br /> <br /> được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian<br /> X.<br /> Trong bài báo này, chúng ta sử dụng bất đẳng thức<br /> biến phân hiệu chỉnh (1.3) với các điều kiện:<br /> <br /> bài toán này, Liskovets [3] đã nghiên cứu phương<br /> pháp hiệu chỉnh trên cơ sở giải bất đẳng thức biến<br /> phân phụ thuộc tham số:<br /> <br /> Ah ( x )  U s ( x  x )  f , x  x   ( x)   ( x )  0 , x  X (1.3)<br /> <br /> Email: anh.nguyenvan849@gmail.com<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> đây<br /> <br /> 81<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> (1.5)<br /> <br /> Nguyễn Thị Vân Anh<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> x0  R M là nghiệm của (2.1) khi và chỉ khi x0 là<br /> <br /> ở đây<br /> <br /> C là một hằng số dương, d (t ) có tính chất<br /> giống như g (t ) và x là một phần tử trong X<br /> <br /> nghiệm của bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (1.1)<br /> (xem [2]). Rõ ràng toán tử A có tính chất ngược đơn<br /> điệu mạnh và khả vi Fréchet. Xét trường hợp hàm <br /> không trơn, hàm này có thể được xấp xỉ bởi dãy hàm<br /> trơn và đạo hàm của nó là một toán tử đơn điệu. Khi<br /> đó phương pháp hiệu chỉnh (1.3) có dạng<br /> <br /> đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn.<br /> <br /> Sự tồn tại duy nhất nghiệm x của bài toán (1.3) và<br /> <br /> sự hội tụ của dãy nghiệm hiệu chỉnh x đến nghiệm<br /> x0  S 0 có x -chuẩn nhỏ nhất được trình bày trong<br /> [3]. Với tham số hiệu chỉnh được chọn tiên nghiệm,<br /> tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được công bố<br /> trong định lý sau (xem [1].<br /> Định lý 1.3. Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn<br /> i) A là một toán tử ngược đơn điệu mạnh từ X vào X *<br /> và khả vi Fréchet với tính chất<br /> <br /> Ah ( x )   ( x  x )   ( x )   (2.2)<br /> Ta xét một ví dụ<br /> <br /> A  BT B là ma trận vuông cấp M với<br /> M<br /> B   bij i , j 1 được xác định bởi<br /> <br /> Cho<br /> <br /> b1 j  cos(1),<br /> j  1,..., M<br /> b2 j  2cos(1),<br /> j  1,..., M<br /> bij  epx(i / j )cos(ij)sin( j ), i  3,..., M , j  1,..., M .<br /> <br /> A( x)  A( x )  A ( x )( x  x )   A( x)  A( x ) , x  X , ở đây<br />  là một<br /> A'(x) là đạo hàm Fréchet của A tại x và<br /> 0<br /> <br /> '<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> hằng số dương;<br /> ii) tồn tại một phần tử z<br /> <br /> Ah : A  hI với I là một ma trận đơn vị cấp M .<br /> <br />  X sao cho<br /> <br /> f   ,  , ...,    R M là<br /> T<br /> <br /> A' ( x0 )* z  U s ( x0  x* ) ;<br /> <br />  : RM  R<br /> <br /> <br /> <br /> x<br /> <br /> min F ( x)   ( x)<br /> <br /> x  ( x1 , x2 ,..., xM )  R M . Hàm này lồi, liên<br /> tục, không khả vi tại x  (0, x2 ,..., xM ) . Xấp xỉ<br /> <br /> vuông<br /> <br /> đối<br /> <br /> ở đây<br /> <br /> <br /> <br /> (2.1)<br /> <br /> xR M<br /> <br /> cấp<br /> <br /> M<br /> <br /> thỏa<br /> <br /> bởi<br /> <br /> <br /> <br /> , xM   , xM  <br />  ( x)<br /> <br />  ( x)    xM   2<br /> ,    xM  <br /> <br /> 4<br /> <br /> <br /> 1<br /> Ax , x , ở đây A là một ma trận<br /> 2<br /> xứng<br /> <br /> được chọn như sau:<br /> <br /> 0 , xM  0<br />  xM , xM  0<br /> <br /> SỐ<br /> Chúng ta xét bài toán cực trị (1.2) trong không gian<br /> M<br /> hữu hạn chiều R<br /> <br /> với F ( x) <br /> <br /> của<br /> <br />  ( x)  <br /> <br /> 1     VÍ DỤ<br />  x  O((h     ) ),   min <br /> , <br />  s 2s <br /> <br /> <br /> 0<br /> <br /> xỉ<br /> <br /> f   0, 0, ..., 0   R M<br /> <br />    h      , 0    1.<br /> <br />  ( h , , )<br /> <br /> xấp<br /> <br /> T<br /> <br /> iii) tham số  được chọn bởi<br /> Khi đó,<br /> <br /> 86(10): 81 - 83<br /> <br /> mãn<br /> <br /> Ax, x  0, x R . Khi đó:<br /> M<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> 82<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Nguyễn Thị Vân Anh<br /> <br />  0<br /> <br /> với<br /> <br /> đủ bé cho trước. Khi đó<br /> <br /> hàm khả vi và<br /> <br /> R<br /> <br /> M<br /> <br /> vào<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> R<br /> <br /> M<br /> <br />  '<br /> <br /> <br /> <br /> là một<br /> <br /> là một toán tử đơn điệu từ<br /> <br /> .<br /> <br /> , xM  <br /> (0,0,...,0)<br /> <br />  1<br />  ' ( x)  <br /> (0,...0, xM   ) ,    xM  <br />  2<br />   0,...0,1<br /> , xM  <br /> Rõ ràng<br /> <br /> x0   0, 0, ..., 0   R M là nghiệm<br /> <br /> h<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> ,<br /> <br /> <br /> ,<br /> <br /> <br /> ,<br /> <br /> <br /> để<br /> M<br /> M2<br /> M2<br /> M2<br /> <br /> nhận được tốc độ hội tụ<br /> <br /> r ,n  x0  x ,n .<br /> Sử dụng phương pháp lặp trong [4] với tiêu<br /> chuẩn dừng của dãy lặp là:<br /> <br /> max x (jn )  x (jn 1)  0.0001 ,<br /> <br /> 1 j  M<br /> <br /> ở đây n là số lần lặp. Bảng kết quả tính toán sau<br /> đây nhận được với xấp xỉ ban đầu<br /> <br /> M<br /> <br /> n<br /> <br /> <br /> <br /> r ,n<br /> <br /> 6<br /> <br /> 44<br /> <br /> 0,09172<br /> <br /> 0,0015437<br /> <br /> 12<br /> <br /> 41<br /> <br /> 0,036399<br /> <br /> 0,0012843<br /> <br /> 24<br /> <br /> 36<br /> <br /> 0,014445<br /> <br /> 0,0012819<br /> <br /> 48<br /> <br /> 27<br /> <br /> 0,0057325<br /> <br /> 0,0014711<br /> <br /> 96<br /> <br /> 26<br /> <br /> 0,0022749<br /> <br /> 0,00089006<br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> <br /> T<br /> <br /> của bài toán (2.1) có chuẩn nhỏ nhất. Bây giờ áp<br /> dụng<br /> Định<br /> lý<br /> 1.3<br /> với<br /> <br /> 86(10): 81 - 83<br /> <br /> [1]. Ng. Buong and Ng. T. T. Thuy (2008), "On<br /> regularization parameter choice and convergence<br /> rates in regularization for ill-posed mixed variational<br /> inequalities", International Journal of Contemporary<br /> Mathematical Sciences, 4(3), pp. 181-198.<br /> [2]. I. Ekeland and R. Temam, (1970), Convex<br /> Analysis and Variational Problems, North-Holland<br /> Publ. Company, Amsterdam, Holland, 1970.<br /> [3]. O. A. Liskovets (1991), Regularization for illposed mixed variational inequalities, Soviet Math.<br /> Dokl., 43, 384-387 (in Russian).<br /> [4]. Ng. T. T. Thuy (2010), “An iterative method to a<br /> common solution of inverse-strongly problems in<br /> Hilbert spaces”, Advances and Applications in<br /> Mathematical Siences, pp. 165-174.<br /> <br /> z0   2, 2, ..., 2   R M :<br /> T<br /> <br /> SUMMARY<br /> A NUMERICAL RESULTS OF REGULARIZATION METHOD FOR MIXED<br /> VARIATIONAL INEQUALITY<br /> Nguyen Thi Van Anh<br /> <br /> <br /> <br /> College of Sciences - Thai Nguyen University<br /> <br /> Variational inequality problems appear in many applications of mathematics such as convex programming,<br /> nonlinear equations, equilibrium models in economics, technics. We suppose that X is a real reflexive Banach<br /> space having a property that the weak and norm convergences of any sequence in X infoly its strong<br /> convergences, and the dual space<br /> <br /> X<br /> <br /> of<br /> <br /> X<br /> <br /> is strictly convex. We write<br /> <br /> x , x<br /> <br /> instead of x (x) for<br /> <br /> x  X  and x  X . Then, the mixed variational inequality problem can be formulated as follow: for a given<br /> <br /> f  X  , find an element x0  X so that<br /> <br /> A( x0 )  f , x  x0   ( x)   ( x0 )  0, x  X .<br /> In this note some numerical experiments to illustration for convergence rates of regularized solution for ill-posed<br /> inverse-strongly monotone mixed variational inequalities are presented.<br /> <br /> <br /> Email: anh.nguyenvan849@gmail.com<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> 83<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br /> Nguyễn Thị Vân Anh<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 86(10): 81 - 83<br /> <br /> Key words: Monotone operators, mixed variational inequalities, Tikhonov regularization, convergence rate.<br /> <br /> Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên<br /> <br /> 84<br /> <br /> http://www.lrc-tnu.edu.vn<br /> <br />